2023年北京房山區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京房山高三一模

數(shù)學(xué)

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

(1)已知集合A={X|-1<R<1},B={x|0WxW3},則AB=

(A)[0,1)(B)[0,1]

(C)(-1,3](D)(—1,3)

(2)在(1-馬4的展開式中，產(chǎn)的系數(shù)是

x

(A)-8(B)8

(C)-4(D)4

(3)已知數(shù)列{4}對(duì)任意滿足勺+q且4=1,則%等于

(A)2(B)3

(C)4(D)5

7?

(4)“0<x<—"是"tanx<1"的

4

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(5)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，拋物線C上一點(diǎn)P到點(diǎn)尸的距離為3,則點(diǎn)尸

到原點(diǎn)的距離為

(A)2(B)3

(C)2>/2(D)2>73

(6)已知直線y+l=〃?(x-2)與圓(x—l)2+(y—l)2=9相交于M,N兩點(diǎn)，則IMNI的最小值為

(A)75(B)2A/5

(C)4(D)6

(7)已知函數(shù)/(x)同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：

①對(duì)任意實(shí)數(shù)X,都有〃制+/(x)0；

②對(duì)任意實(shí)數(shù)為，X,,當(dāng)％+工0時(shí)，都有了(女)<0.

為十々

則函數(shù)/(x)的解析式可能為

(A)/(x)：2x(B)/(x)2x

(C)/(x)-2X(D)f(x)2V

1

(8)在△ABC中，ZC=90°,AC=BC=6.P為AABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,則

\PA+PB|的最大值為

(A)16(B)1()

(C)8(D)4

(9)血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是95%100%,當(dāng)血氧飽和度低

于90%時(shí)，需要吸氧治療.在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：S(f)=S°e的描述血氧

飽和度S")隨給氧時(shí)間f(單位：時(shí))的變化規(guī)律，其中So為初始血氧飽和度，K為參數(shù).已知

S°=60%,給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為80%.若使得血氧飽和度達(dá)到90%,則至少還需要給氧時(shí)間

(單位：時(shí))為

(精確到0/，參考數(shù)據(jù)：In2^0.69,ln3?1.10)

(A)0.3(B)0.5

(C)0.7(D)0.9

(10)如圖，已知正方體A8CO-AMGR,則下列結(jié)論中正確的是

(A)與三條直線48,CC,,。出所成的角都相等的直線有且僅有一條——洲

(B)與三條直線A8,CC,,RA所成的角都相等的平面有且僅有一個(gè)D'i…一II

(C)到三條直線48,CC,,RA的距離都相等的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，且在同一“^------%

(D)到三條直線A8,CC,.RA的距離都相等的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，且不同在一條直線上

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1),則(l+i).z=—.

(12)能夠說(shuō)明“設(shè)mb,c是任意實(shí)數(shù).若a<b<c,則ac<be”是假命題的一組整數(shù)mb,c的值依次

為一

22

(13)已知雙曲線C:￡-m=1的一條漸近線方程為y=則雙曲線C的離心率為

(14)在△ABC中，sinA=sin2A,2a=j3b,貝”NA=—；2的值為_.

c

llnxl，x>0,

(15)設(shè)函數(shù),給出下列四個(gè)結(jié)論：

x~+4x+l,x近0.

①函數(shù)/(x)的值域是R；

②Va>l,方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根；

+

③3x0eR,使得/(f)—/@)=0;

④若實(shí)數(shù)%<々<工3<%4，且/(西)=/(工2)=/(x3)=/(尢4)，則(%+工2)(工3一次4)的最大值為

2

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

(16)(本小題13分)

已知函數(shù)/(x)=sin(s+9)3>(),0<°<兀)的最小正周期為兀.

(I)求出值；

(II)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，確定了(X)的解析式.

設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-2sin2x,求g(x)的單調(diào)增區(qū)間.

條件①：/(%)是偶函數(shù)；

條件②：/1)圖象過(guò)點(diǎn)(二,1)；

6

條件③：/(%)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(三,0).

注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.

(17)(本小題14分)

如圖，四棱錐尸―A8CD的底面是矩形，底面A8CO,PD=DC=2,

AD=2>/2)M為的中點(diǎn).

(I)求證：AMJ.平面P8O；

(II)求平面ABCO與平面APM所成角的余弦值;

(III)求點(diǎn)。到平面APM的距離.

(18)(本小題13分)

某社區(qū)組織了一次公益講座，向社區(qū)居民普及垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)

居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后分別回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民的講座前和講座后答

卷的正確率如下表：

\^編號(hào)1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)6號(hào)7號(hào)8號(hào)9號(hào)10號(hào)

正確卜、

講座前65%60%70%100%65%75%90%85%80%60%

講座后90%85%80%95%85%85%95%100%85%90%

(I)從公益講座前的10份垃圾分類知識(shí)答卷中隨機(jī)抽取一份，求這份答卷正確率低于80%的概率;

(II)從公益講座前、后所有正確率不低于90%的垃圾分類知識(shí)答卷中隨機(jī)抽取3份，

3

記隨機(jī)變量X為抽中講座前答卷的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(III)判斷此次公益講座的宣傳效果，并說(shuō)明你的理由.

(19)(本小題15分)

丫2?「

已知橢圓E東+方=1(4>匕>0)過(guò)點(diǎn)B(O,1),且離心率為學(xué).

(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)若直線/與橢圓E相切，過(guò)點(diǎn)”(1,0)作直線/的垂線，垂足為N,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：|0N|為定

值.

(20)(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=ax-(a+l)lnX--.

x

(I)當(dāng)。=0時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程；

(II)若/(x)在x=2處取得極值，求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(HI)求證：當(dāng)0va<l時(shí),關(guān)于x的不等式/(幻>1在區(qū)間口,e]上無(wú)解.

(21)(本小題15分)

如果數(shù)列｛%｝對(duì)任意的"cN*,a*-<>4+1-4,則稱應(yīng)｝為“速增數(shù)列”.

(I)判斷數(shù)列｛2"｝是否為“速增數(shù)列”？說(shuō)明理由；

(H)若數(shù)列｛%｝為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)q=l,a2=3,%=2023,

求正整數(shù)人的最大值；

(III)已知項(xiàng)數(shù)為2k(&M2,ZeZ)的數(shù)列也,｝是“速增數(shù)列"，且｛4｝的所有項(xiàng)的和等于若

b

cn=2",n=1,2,3,,2k,證明：c*c“]<2.

4

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分)

(1)C(2)A(3)D(4)A(5)D

(6)C(7)B(8)D(9)B(10)D

二、填空題((共5小題，每小題5分，共25分)

(11)—1+i(12)—3,—2,—1(答案不唯一)

(13)2(14)-,215)②③④

3

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

(16)(本小題13分)

解：(I)因?yàn)?=@=兀，所以3=2.

CO

(II)選擇條件①：

方法一：因?yàn)?(x)=sin(2x+0)是偶函數(shù)，所以/(())=±1.

所以sing=±1.

IT

因?yàn)?<e<兀，所以0=5.

jr

所以/(x)=sin(2x+y)=cos2x.

所以g(x)=/(x)-2sin2x=cos2x-(1-cos2x)

-2cos2x-l.

因?yàn)閥=cosx在[-兀+2E,2E](keZ)上單調(diào)遞增，

由一兀+2knW2xW2E(Z￡Z),

解得一]+&兀WxWE(Z:GZ).

所以g(x)的單遞增區(qū)間為-]+E，E(keZ).

方法二：因?yàn)?(x)是偶函數(shù)，所以對(duì)任意xeR,都有/(一x)=/(x),即

sin(—2x+夕)=sin(2x+0),

71

所以一2x+0=兀一(2元+夕)+2版，解得。二萬(wàn)+攵).

TT

因?yàn)?<0<兀，所以/=(以下與選擇方法一相同)

選擇條件②：

因?yàn)?(x)圖象過(guò)點(diǎn)(工，1)，所以2x四+°=2E+工(ZEZ),

662

5

TT

解得夕=/+2E(女￡2).

因?yàn)?。?＜兀，所以『=看,

JT

所以/(x)=sin(2x+—).

6

所以g(x)=/(x)-2sin2x

.71

=sin(2xH——)-(1-cos2x)

6

=sin2xcos—+cos2xsin—+cos2x-1

66

=V3sin（2x+-）—1.

因?yàn)閥=sinx在一］+2也卷+2版（攵EZ）上單調(diào)遞增,

由一四+2E+W工+2E（&wZ）,

232

解得一2+EWxWN+E（攵￡Z）.

1212

所以g（x）的單調(diào)增區(qū)間為+E（ZwZ）.

選擇條件③：

因?yàn)?（X）的一個(gè)對(duì)稱中心為（型,0）,所以2x2+e=E（A：GZ）.

1212

解得0=—2+々兀（4GZ）.

6

7T

因?yàn)?＜夕＜兀，所以e=%?.

TT

所以f（x）=sin（2x+—）.

6

（以下與選擇條件②相同）

6

(17)

(1)證明：(方法一綜合法)AM^ABCD,

：.PDLAM.

AnAR

在矩形ABC。中，—,所以

ABBM

所以NABD=ZBMA.則ZAOB^ZMBD+ZBMA=NMBD+ZABD=90°.

所以80工AM.

又BDCPD=D,

：.AM，面PBO.

（方法二坐標(biāo)法）

P。J_面ABCD,PD±AD,PD1DC

又因?yàn)榈酌鍭BC。是矩形，ADVDC,

以。為原點(diǎn)，分別以ZM,DC,DP為x,y,z軸建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)3(2五,2,0),則4(2行,0,()),M(6,2,0),汽0。2)

AM=(-72,2,0)，DB=(2屈2,0)，AP=(-272,0,2)

AM-DB=0,/.AM1BD.

PD±平面ABCD,AMu平面ABCD,

：.AM1PD.

又BDCPD=D,

：.AM1,平面P8D.

(II)(方法一)由(I)可知AP=(-2A/2,0,2)>AM=(-V2,2,0).

平面ABCD的一個(gè)法向量為m=（0,0,1）.

n-AM=-s/2x+2y=0

設(shè)平面APM的法向量為〃=O，y,z）,則

n-AP=-2y/lx+2z=0

取x=V2得到n=(V2,l,2),

則平面ABCD與APM所成角的余弦值為

\m■川22J7

cos<m,n>=-j—i~i—i=r==-----

n-m1-V77

7

（方法二綜合法）

由,AM，面PBD,AM1PO,

NPOO是平面ABC。與平面所成角的平面角.

7

在矩形A8CZ）中,

在直角三角形P。。中,

：.平面ABCD與APM所成角的余弦值為cosAPOD=—=^.

PO7

（III）（方法一坐標(biāo)法）

DA=（272,0,0）.平面APM的法向量n=（、歷,1,2）.

44"

所以點(diǎn)。到平面APM的距離為4=^^=*=--

〃V77

（方法二綜合法）sinAPOD=Vl-cos2APOD=

44

點(diǎn)D到平面APM的距離為d=DO-sin/POD=?Vl-cos2ZPOD^

?3

（18）（本小題13分）

解：（I）記事件A為“從公益講座前的10份垃圾分類知識(shí)答卷中隨機(jī)抽取一份，這份答卷正確率低于

80%”.

在公益講座之前，10份垃圾分類知識(shí)答卷正確率低于80%的有6人，則

P（A）=-=-.

105

（II）正確率不低于90%的垃圾分類知識(shí)答卷有7份，其中講座前的答卷有2份，X的可能取值為

0,1,2；

「3co2C2CX4ClC21

P（X=0）=N=弓；P（X=1）=中=不；尸（X=2）=,=T

X的分布列為

X012

P241

777

￡（X）=0x-+lx-+2x-=-.

7777

（HI）角度一：講座前答卷正確率的平均值

工=J-（65%+60%+70%+60%+65%+75%+90%+85%+80%+100%）=75%

8

講座后答卷正確率的平均值為

&$(90%+85%+80%+90%+85%+85%+95%+100%+85%+95%)=89%

因?yàn)橛谩炊嬷v座后答卷正答率的平均值高于公益講座前答卷正答率的平均值，公益講座后社區(qū)

居民答題水平提高，所以公益講座有明顯的效果；

角度二：平均值變大，且講座前答卷的方差

s；=-L[(65%-75%)2+(60%-75%)2+(70%-75%)2+(60%-75%)2+(65%-75%)2+

(75%-75%)2+(90%-75%)2+(85%-75%)2+(80%-75%)2+(100%-75%)2]=1.65

同理計(jì)算講座后答卷的方差￥=0.34

因?yàn)楣嬷v座之后社區(qū)居民答題正確率的方差小，整體水平高，并且比較集中，所以公益講

座有明顯的效果；

角度三：公益講座前答題正確率最小值為60%,公益講座之后答題的正確率最小值為80%,講座前的極

差為：100%-60%=40%,講座后的極差為：100%-80%=20%,

講座后答卷正確率的變化范圍比講座前答卷正確率的變化范圍小，公益講座有效果。

(19)(本小題15分)

,b=l

cV2t—

解：(1)由己知可得，\-=—解得。=正，

a2

a2=b2+c2

所以，橢圓E的方程為三+V=i.

2-

(2)①當(dāng)切線/的斜率不存在時(shí)，直線/：》=±近，過(guò)點(diǎn)加(1，0)作直線/的垂線為y=o,即此時(shí)

N(6,0)或N(-6,0),則|ON|=JL

②當(dāng)切線/的斜率為0時(shí)，直線，：y=±l,過(guò)點(diǎn)M(l，0)作直線/的垂線為x=l,即此時(shí)N(l,l)或

QN|=0；

③當(dāng)切線/的斜率存在且不為。時(shí)，設(shè)/的方程為)=依+，〃，

y=kx+m

聯(lián)立直線/和橢圓E的方程得/,

—+V=1

2

消去y并整理，得(2后2+1b2+4而a+2,/-2=0,

因?yàn)橹本€/和橢圓E相切，

...△=16左2/一4(2-2+1)(2加-2)=0,化簡(jiǎn)并整理，得旭2=2'+1,

9

因?yàn)橹本€MN與/垂直，所以直線MN的方程為y=--(x-1),

k

\-ktn

聯(lián)立卜T-)x=

l+k21-kmk+m

,解得<,即點(diǎn)N().

k+m]+k2'1+&2

y=kx+m

y=\+k2

22222

2_(X~km)+(k+m)~_k~nr+A:+m+1_(k+l)(m+1)

1=(IZP7==(i+/)2

zn2+l2k2+2.

1+/1+二

所以，QNI=JL

綜上所述，1。〃=友為定值.

(20)(本小題15分)

解：(I)當(dāng)。=0時(shí)，f(x)=—Inx—>f'(x)=---1—-,

XXX

/(1)=—1,切點(diǎn)(1,—1).

/'(1)=0,切線斜率左=0.

所以切線方程為y=-1.

(II)因?yàn)?(x)在x=2處取得極值，所以/'(2)=0.

因?yàn)閒\x)=a--+\,

XX

所以a-四+工=0,a=~.

242

當(dāng)a=g時(shí)，/(x)在x=2處取得極小值.

小，、131%2-3尤+2(x-l)(x-2)

/⑶2C2Cx+x22/

由/'(%)=0，得兀=1，或x=：2.

f\x)與/(X)隨龍的變化情況

x(0,1)1(1)2)2(2,4-00)

/'(X)+0-0+

/(X)//

/■*)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2).

(HI)證明：”/(幻＞1在區(qū)間［1，e］上無(wú)解”,等價(jià)于“/(x)wl在區(qū)間口，e］上恒成立”,

等價(jià)于“f(x)在區(qū)間［1,e］上的最大值W1”.

10

a+\1(ax-l)(x-l)

f(x)=a------+—=------;------，

XX~XT

當(dāng)0＜。＜1時(shí);由/'(x)=0,得x=l,或》='.

a

①當(dāng)時(shí)，/(x)WO,函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,e］上單調(diào)遞減.

a

所以⑴不等式/。)＞1在區(qū)間［1,e］上無(wú)解.

②當(dāng)，＜e時(shí),

a（1」）

X(一,e)

aaa

f'(x-)—0+

/（X）\極小值/

所以函數(shù)在區(qū)間［1,e］上的最大值為/⑴或/(e).

因?yàn)?(e)=ae—(a+1)—>/(e)—1=a(e—1)—2—<(e—1)—2—<0?

eee

所以/(e)<1,

又因?yàn)?所以，f(x)wl在區(qū)間［1,e］上恒成立.

綜上，當(dāng)0<。<1時(shí)，不等式/(x)>l在區(qū)間［1,e］上無(wú)解.

(21)(本小題15分)

,,+2n+lB+I

解：(I)數(shù)列｛2"｝對(duì)V”€N*,a?+2-a?+,=2-2=2,a?+i-an=2",

所以(限-J)-&*「4)=2e-2"=2">0

所以，數(shù)列｛2")為“速增數(shù)列”

(II)因?yàn)閿?shù)列｛〃“｝為“速增數(shù)列"，4=1，生=3,且a“eZ.

所以,對(duì)V”eN*,an+2-an+l>a?+l-aH,a2-a｛=2,

所以，%-%N3,a4-a3^4,,ak-ak_｝Nk.

相加得，(a?-q)+(%—a?)+(a4—a3)++(a*-a?_］)N2+3++k>

nn>(A-l)(k+2)

即為------------

所以4044^^-1)也+2).

62x65=4030,63x66=4158,所以上的最大值為63.

(Ill)

方法一：(反證法)

假設(shè)，eg,聲2.

因?yàn)樗?｝是“速增數(shù)列”，且所有項(xiàng)的和等于％,

11

所以%-2<2+2-%，"+2++%=?，

因?yàn)镃“=2"bn=log2c?,c?>0

所以log2c?+l-log2c,<log2c,l+2-log2c“M，且log2q+log2c2++log2c2kk.

k

所以因此￡1<旦<&