新高考二輪復(fù)習(xí)真題導(dǎo)數(shù)講義第36講 指對(duì)函數(shù)問(wèn)題之分離與不分離（解析版）

第36講指對(duì)函數(shù)問(wèn)題之分離與不分離

1.若關(guān)于X不等式x∕nx-Aj+W,,“e'恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

【解答】解：【方法一】設(shè)f(x)=xlwc-X3+x2,χ>0,

則/'(%)=InX+1-3X2+2x,

且廣(1)=加1+1-3+2=0,

是/(x)的極值點(diǎn)，也是最值點(diǎn)；

.??∕(x)Vo恒成立,

又x>0時(shí)，ev>l恒成立，

??.。的取值范圍是［0,+∞).

【方法二】不等式xlnx-X3+X2,,aex可化為Inx-x2÷Λ;,竺-,

X

設(shè)/(X)=。優(yōu)一％2+χ,g(χ)=^-,其中X>0;

X

.1—2f÷X+1

.,.ft(x)=—2x+1=---------------'

XX

令r(X)=。,解得χ=ι或X=-g(舍去)，

.?.X=1時(shí)/(4)取得極大值，也是最大值，為0；

e

又g'(x)=a?"2-”,

X

令/(幻=0,解得X=1,

/.x=l時(shí)g(x)取得極值，也是最值，a..0時(shí)g(x)取得最小值為ci；

由題意知實(shí)數(shù)。的取值范圍是a.0.

故選：B.

2.若關(guān)于X的不等式24e?，-?2x+∕w..0對(duì)任意實(shí)數(shù)x>0恒成立，求實(shí)數(shù)。的最小值

【解答】解：對(duì)任意的x>0,不等式2αe2χ-∕nr+∕w..。恒成立，

即2ae2x..Inx-Ina-In—恒成立，

a

，函數(shù)y=4e"與函數(shù)y=/〃9互為反函數(shù)，又x>0時(shí)，2/>2,

a

???原問(wèn)題等價(jià)于2〃"..歷土恒成立，則2α"..x,即2a.二在x>0恒成立，

設(shè)F(X)=二，貝IJf(X)=EE,令r(χ)=o,解得X=1,

當(dāng)x>l時(shí)，F(xiàn)(X)遞減，O<x<l時(shí)，F(xiàn)(X)遞增,

則/(χ)S=/(I)=L

e

故2α.L,即α..—，

eIe

故答案為：,+8).

2e

3.已知函數(shù)f(x)=ex.

(?)討論函數(shù)g(x)=∕3C)-X-。的單調(diào)性;

34

(2)證明：/(x)+lnx+->-j=.

X√X

【解答】(1)解：?(x)=f(ax)-x-a=eax-x-a,g,(x)=aeax-1,

①若@0時(shí)，g'(x)vθ,g(x)在R上單調(diào)遞減；

②若4>0時(shí)，當(dāng)XV-■!√mz時(shí)，g'(x)vθ,g(x)單調(diào)遞減；

a

當(dāng)x>-Lw時(shí)，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增；

a

綜上,若4,0時(shí)，g(x)在R上單調(diào)遞減;

若α>0時(shí)，g(x)在(-∞,--lna)上單調(diào)遞減；

a

在(一LM+8)上單調(diào)遞增；

a

34r-

(2)證明：要證/(x)+∕nx+->-j=,只需證x(∕"∕+e')-46+3>0,

??∣X

由(1)可知當(dāng)Q=I時(shí)，-X-I..0,即∕?.X+1,

當(dāng)x+l>0時(shí)，上式兩邊取以e為底的對(duì)數(shù)，可得例(x+D,,x(x>-1),

用代替X可得伍/X-1(ΛT>0),又可得加L,一I(X>o),

XX

所?以lπx..1—(X>0),X(IuX+e")—+3>Ml------Fx+1)+3—A-?fx

XX

=X2+2%+2-4五=(X+1)2-4?÷1虞2?)2-4?+1=(2?fx-I)20,

即原不等式成立.

4.已知/(x)=4e'T-空+1.

a

(1)α=l時(shí),求/(%)的單調(diào)區(qū)間和最值;

(2)①若對(duì)于任意的x∈(0,+∞),不等式F(X)…色盧恒成立，求”的取值范圍；

②求證：ex'-2y[x-lnx+-..0.

2

L--1

【解答】解：(1)當(dāng)α=l時(shí)，/(x)=^-'-2√^+I(x..0),則r(x)=e'T-x2=*_歹，

易知函數(shù)/(0在[0,+8)上為增函數(shù)，而1(1)=0,

故當(dāng)Xe((M)時(shí)，∕,(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)Xe(I,+co)時(shí)，∕,(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

故函數(shù)/(X)的減區(qū)間為(0,1)，增區(qū)間為(1,轉(zhuǎn))，最小值為了(1)=0,無(wú)最大值；

(2)①不等式f(x)..空匚即為a/——巫+1…紅二支?，令g(x)=αe*τ-至+1-狂二式?，

2a2a2

?7

(i)若α<l,貝!lg(l)="--+1,令h(a)=a——+l(α<l),易知函數(shù)/?(a)在(-∞,1)上單調(diào)遞增，故/?(a)

aa

<h(1)=0,矛盾；

(H)若"..1,g(x)..0即為2cJeJ-4Λ∕X+2。-a{x-l)2..0,

令φ(a)=2e'-'a2+[2-(x-l)2]a-4√7(a.1),這可以看作關(guān)于α的二次函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸為a=(D廠(chǎng),

4e

u22

現(xiàn)比較a=~0l~與1的大小：

4e'^'

作差可得d2j2_1=(XT)J2-4∕τ,令S*)=*_])2_4∕τ-20>0),

4e'',4e'~,

則W(X)=2(x-1)-4et''=2(x-l-2ex^'),,2(X-I-2x)=2(-x-l)<0,

即函數(shù)皿?在(0,*x))上單調(diào)遞減，故m(x)<m(0)=-l-d<0,即(XT)--<[,

e4e

故函數(shù)9(a)在[1,+8)上單調(diào)遞增，故夕(a)..φ(1),

Γ?！铅??)—2e"I+2—(x—1)~—4-?fx?設(shè)z?(x)=2e"'—(x—1)~~Ayfx+2(X>0),則πr(x)=2[e]—(?—1)—?--],

易知函數(shù)〃'(%)在(0,÷oo)上單調(diào)遞增，而川(1)=0,

故當(dāng)XW(0,1)時(shí)，Az(X)<0,〃(為單調(diào)遞減；當(dāng)Xw(l,KO)時(shí)，Ha)>0,∕t(x)單調(diào)遞減，

故〃(X)(1)=0,即9(1)..0,即不等式F(X)…任/恒成立，

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為[1,+00)；

②證明：由①知，要證e"T-2&—/nx+3..O,只需證S_-..Inx--,即證(X-I)?-2∕ar+1..0,

222

易知/嗎,X-1,故(X-I)2-2∕nx+l?r-l)2-2(x-l)+l=χ2-4x+4=(x-2)20,即得證.

5.已知函數(shù)/(X)=：.

(1)人為正實(shí)數(shù)，若/(x)..依在(O,+∞)上恒成立，求人的取值范圍;

75

(2)證明：當(dāng)x>0時(shí)，有/(x)加x+—>—成立.

X2

【解答】解：(1)令F(X)=f(x)-kx=ex~1-kx,

fχl

^lF(x)=e--kf是增函數(shù),

令尸(X)>0時(shí)，解得：x>lnk+?,

令F(X)<0,解得：O<x<lnk+19

故F(x)在(OJnk+1)遞減，在Qnk+1,+∞)遞增，

故F(x)min=F(IrIk÷1)=Λ-kink-k=-kink..O,

而2>O,故lnky,O,解得：k,,l,

所以R的取值范圍為(0,1].

(2)證明：對(duì)X的取值范圍分類(lèi)討論：

QOVXVI時(shí)，e~1<eλ~1<1,InX<0,所以ex~x?Inx>Inx,

3_33

有f(x)lnx+—=CXTInX+—>Inx+—,

XXX

令g(x)=Inx+-,則g'(x)=3=土一<0,

XXXX

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以g(x)>g(D=3>g,

即fM∣nx+—=ex~xlnx+—>Inx+—>3>—,

XXX2

故OVX<1時(shí).，不等式成立.

②X..1時(shí)，由(1)中結(jié)論，+∞)上恒成立,

而此時(shí)加r..0,于是有f(x)bvc+?=ex~]lnx+—..xlnx+??

XXX

要證/'(x)隊(duì)V+』>3成立，可證其加強(qiáng)條件：XInx÷—>—,

X2X2

25

即證加?+F------>O?X..1時(shí)成立，

X2Ix

35

令∕n(x)=Inx+------(x..l)，

X2x

1652X2+5X-12(2X-3)(X÷4)

則∕nr(x)=--------+-----=-----------------=-------------------

XX32X22X32X3

所以〃川在工|)上單調(diào)遞減’在［|皿上單調(diào)遞增,

_331

所以m(x)..ιn(-)=In----,

223

由于2>3>3,因此』>涓，所以妨3?,，

8223

所以m{x}..zn(~)=妨T一；>0，

3535

BPm(x)=Inx+---->0?BPInx+—>—,

X22xX2

所以f(x)lfvc+—=ex~ilnx+—..xlnx+—>—,

XXX2

故x..l時(shí)，命題成立.

35

綜上，當(dāng)x>0時(shí)，有/(x)∕nr+二>二成立.

X2

6.已知函數(shù)/(X)=歷%+@+了.

X

(1)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)對(duì)任意的xe(g,+8),3(x)<e*+χ2恒成立，請(qǐng)求出α的取值范圍.

【解答】解：(1)r(x)=l-4+ι=x^+Γα>x>0，

XX

當(dāng)4,0時(shí)，r(x)>0,/(X)在。+oo)遞增：

當(dāng)α>0時(shí)，對(duì)于y=d+x—α,Δ=l÷4^>0r故y=0有在x>0時(shí):有一個(gè)解加=1+二+4。

當(dāng)X∈(0,tn)時(shí),f,(x)<0,/(x)遞減；

當(dāng)x∈(m,+∞)時(shí)，∕r(x)>0,/。)遞增；

綜上，當(dāng)4,0時(shí)，/(?在(0,+∞)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(±@±色,+8)遞增；在(O,7+?+%)遞減;

22

(2)根據(jù)題意，任意的九∈(g,+□o),0?x)<eA+V恒成立，即Wix+”",

分離參數(shù)得a<eX-XhVC,

4,g(?)=ex-xlnx,x∈(^,+∞),gr(x)=ex-Inx-I,

g”(X)=e*—L單調(diào)遞增，g?-)=4e-2<0,g"(1)=e-l>0,

X2

故存在唯一的零點(diǎn)”ed,l),e"=L,

2n

當(dāng)x∈g,〃)時(shí)，g"(x)<O,g'(x)遞減，當(dāng)x∈(",+∞)時(shí)，g"(x)>O,g'(x)遞增，

故g'(x)mi"=g(")=et,-Inn-I=L+∕v-l>2-l=］>0,

n

故g(χ)在X∈g,+8)遞增，

故④g(g)=&+；加2.

7.己知函數(shù)/(x)=∕nx+幺+x?

X

(1)若α=l,求曲線(xiàn)/(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程；

(2)對(duì)任意的Xed■,+oo),對(duì)?(x)<e*+χ2恒成立，請(qǐng)求出”的取值范圍.

［解答］解：(1)因?yàn)棣?l,所以f?x)-------L+1，f(1)=1，F(xiàn)(1)=2?

XX

所以切線(xiàn)方程為y=x+l?

(2)不等式?f(X)VeX+￡,對(duì)任意的XG(；,+OO)恒成立，

即a<ex-xlnx對(duì)任意的x∈(；,+Oo)恒成立.

?tv(x)=ex-xlnx,則M(X)=，一∕nx-l,令φ(Q=eX-InX-\,則"(x)=e"-L

X

易知0,(X)在(；,+00)上單調(diào)遞增，

111

因?yàn)橄?=〃一2<o,φ?(1)=e-l>O,且。'(幻的圖象在(a,1)上連續(xù)，

所以存在唯?的％∈(L1)，使得0'(XO)=O，即*--!-=O,則Xo=-歷r().

2?

當(dāng)X∈(g,Λ0)時(shí)，夕(X)單調(diào)遞減；當(dāng)X￡(%,+8)時(shí)、夕O)單調(diào)遞增.

則φ(x)在工=Xo處取得最小值，

且最小值為φ(x0)=e"—lnx(y—1=----FX0—1>2x()?-----1=1>0,

?V?

所以/(尤)>0,即心)在(L÷∞)上單調(diào)遞增，

2

11I

所以“，/——/H-.

22

8.已知函數(shù)/(X)=幺出依為常數(shù)，e=2?7I828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線(xiàn)y=∕(x)在點(diǎn)(1,f(1))處

的切線(xiàn)與X軸平行?

(I)求k的值；

(II)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(In)設(shè)g(x)=，+x)r(x),其中r(x)為.F(X)的導(dǎo)函數(shù).證明：對(duì)任意X>O,g(x)<l+e^2.

【解答】解：(I)f?χ)=i~kx~xl'vc,Λ∈(O,+∞),

xex

且y=∕(x)在(1,f(1))處的切線(xiàn)與X軸平行，

Λf,(1)=0,

.,.A=1；

(II)由(I)得：f,(x)=——-(l-x-xlrυc),x∈(0,+∞),

xex

令h(x)=l-x-xbvc，x∈(0,+∞),

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h(x)>O,當(dāng)Xw(l,÷∞)時(shí)，h(x)<O?

又/?O,

.,.X∈(0,1)時(shí)，f?x)>O，

X∈(l,+∞)時(shí)，f,x)<O,

.?J(X)在(0,1)遞增,在(1,+oo)遞減;

證明：(HI),?g(x)=(x2+x)f,(x),

X+1

.,.g(x)=------(l-?-xlnx),x∈(0,+∞),

ex

/.‰>0g(x)<1+e2<=>1-x-xlnx<—-(1+e"),

jx÷l

由(II)h(x)=?-x-xlnx,x∈(0,+∞),

.,.h?x)=-Inx一2,x∈(0,+∞)，

.?.尤∈(0,"2)時(shí)，"(χ)>O,〃(x)遞增,

X∈(e~2,+∞)時(shí)，Λ(x)<O,∕ι(x)遞減，

22

「?h(x),naλ=∕ι(e~)=l-i-e~f

.?.l-x-xlnx,,1+e~2,

設(shè)∕H(X)=ex-(x+l),

/.m?x)=ex-?=ex-e”,

.,.X∈(O,+∞)時(shí)，R(X)>O,m(x)遞增,

:.m(x)>〃2(0)=O,

.,.X∈(O,÷∞)時(shí)，m(x)>0,

即￡>i,

x+l

1—X-XItvc,1+e~<-----(1+e2)?

y1+x

.,.VX>0,g(x)<?+e~2.

9.已知函數(shù)f(x)=0χ2-∕nx+x+l,g(x)=aex÷-+ax-2?-l,其中α∈A

2X

⑴若〃=1,其函數(shù)g(x)在［1,3］的值域；

(2)若對(duì)任意的x∈(0,+∞),g(x).∕(x)恒成立，求正實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解答】解：(1)α=l時(shí)，g(x)=e*+,+χ-?3,

X

???g?x)=ex--τ+l；

JT

故當(dāng)％∈［1,3］時(shí)，g,(x)>O：

故g(x)在［1,3］上是增函數(shù),

故g(x)∞u=g(3)=/+g，g(x),"?,=g<∣>=e-l;

(3)^h(x)=g(x)-ff(x)

—aβxH----Fax—2a—1—(tzx-----F1)=ctcx-?----------2(α+1)，x￡(O,÷∞)>Q∈(O,+∞)；

XXX

令P(X)=aexx2-a-?,則P,(x)=aexx(x+2)>O,

故P(X)在(0,4W)上是增函數(shù)，

P(O)=-tz-1<O,且當(dāng)x→+oo時(shí)，P(X)→+∞;

Λ3ΛO∈(0,4W),使P(J?)=O;

??.當(dāng)X∈(0,Λ?)時(shí),P(x)vO,BPΛr(x)<O,故〃(%)在(0,%)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈θ?,+8)時(shí)，P(%)>0,即"(x)>0,故人(X)在(XO,+00)上單調(diào)遞增;

.*.HX)min=M?)=Ciexvt+-2(α+l),①

?

xnCl

由尸(A■())=()得，aex^-a-l=Of故a*=］,②

CI

代入①中得，h(x0)=+——--2(〃÷1)；

??

對(duì)任意的工∈(0,÷w),g(x)../(X)恒成立可化為"1+"1一2(。+1)..O；

??

又?4>0,

——4------2..O?乂由xθ>O解得，O<??,,1?

■V?

由②得，

a

易知P(X)=e"2在(0,1］上是增函數(shù)，

故θv^?,,e:

a

故ci...--------，

e-1

故實(shí)數(shù)”的取值范圍為［」一,+oo).

e-1

10.已知函數(shù)f(x)=ex-X2

(1)令g(x)=/(X)-分+g(χ2,若χ..0時(shí)，g(%)..0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(2)當(dāng)x>0時(shí).證明/(x)—ex..x∕nx—f一工+1

【解答】解：(1)由題意可得g(x)=e*-J(x+4)2,

所以g<x)=e"-x-a,

令m(x)=ex-X-ay

,x

所以m(x)=e-?f

當(dāng)X..O時(shí)，W(X)..O,皿x)在［O,+∞)匕單調(diào)遞增，

所以tn(x)nιin="(O)=?-a,

①當(dāng)l-4..0時(shí)，即％1時(shí)，m(x)..0恒成立，即g<x)..O,

所以g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

2

所以g(x)"血=8(0)=1"-0，解得融√2.

所以-JΣ麴b1?

②當(dāng)1—α<0時(shí)，即α>l時(shí)，皿x)在［O,+∞)上單調(diào)遞增，且租(O)=I-α<0,

因?yàn)楫?dāng)l<α<e2-2時(shí)，m(ln(a+2))=2-ln(a+2)>O,

所以存在Xo∈(0,ln(a+2)),使機(jī)(AO)=O,即e"=x()+。，

,f

所以當(dāng)X∈(O,xo)時(shí)，m(x)VO,即g(x)<O，g(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(x0,ln(a+2))時(shí)，Μ(X)>O,即g(x)>O,

g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)“而=g(Λ0)=eW-g(Λ0+a)2=e*-；e2"=e"(l-ge*)..O,

所以e2,2,

所以O(shè)<x0,,Inl,

由e"=XO+。得α=e%一小,記r(?)=ex-x,Λ∈(0,ln2］,

所以t?x)=e?-1>O,

所以“無(wú))在(0,加2］上單調(diào)遞增，

所以KX),,Z(∕π2)=2-∕n2,

所以1V%2—加2,

綜上所述，α∈［-√2,2-ln2］.

(2)證明：要證/(X)-勿..A?X-χ2一χ+l,

即證ex-X2—ex,.xlnx—x2—x+1,

即證e*-ex..xlnx-x+?,

因?yàn)閤>0,所以即證J一加x-L-e+1..0,

XX

x1

令h(x)=-e----Inx-------e+1，

XX

則〃(X)=(Xm).

X-

因?yàn)閤>0,所以、-1>0,

所以當(dāng)OVX<1時(shí)，h'(x)<O,∕z(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時(shí)，"(x)>0,∕z(x)單調(diào)遞增，

所以〃(X)在X=I處有極小值，即最小值,

所以〃(X)../?(1)=e—l-e+l=0,

所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)-ex..xlnx-X2-x+lJ??.

11.已知函數(shù)f(x)=e*+x∕nx-χ2+(1-α)x.

(1)曲線(xiàn)y=∕(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)斜率為0,求。的值；

(2)若/(x)..0恒成立，求α的取值范圍.

【解答】解：(1)函數(shù)/(x)=e*+x∕nx-χ2+(]-α)χ的導(dǎo)數(shù)為∕<χ)=e*+ι+歷x-2x+l-a,

則曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)斜率為e+1+0—2+1—α=0,解得a=e；

(2)ex+xlnx-x2+(1-d)x..O(X>0)可化為(a-I)X,ex+xlnx-x2,

,e`+xlnx-x2,、ex+xlnx-x2

即πιlα-1?-----------------,設(shè)g(x)=------------------,

xx

(X-I)(e*τ)

g'=—p—，

由y=e*-X的導(dǎo)數(shù)為y=e*-1,

當(dāng)OCXCl時(shí)，√<0>y=e*-x遞減；當(dāng)x>l時(shí)，y,>0(y=e*-x遞增.

則y=e'-X的最小值為e-1,

所以O(shè)CX<1時(shí)，g,(x)<0,g(x)遞減：x>l時(shí)，g,(x)>0,g(x)遞增.

所以g(x)的最小值為g(1)=e-l,故a—L,e—1,

即用e,所以。的取值范圍