2024屆新高三開學摸底2023高二年級下冊期末數(shù)學試題及答案解析 二

數(shù)學2024屆新高三開學摸底2023高二下學期期末試題及答案解析

數(shù)學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

I.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

第二部分（非選擇題共110分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1,已知集合A={O,L2},B=WX+D（X+2）≤0},則4人（）

A.0B.[-2,-1]C.[—2,2]D.2,-1,0,1,2∣

【答案】A

【解析】

【分析】先求出集合5,再求兩集合的交集.

【詳解】由（x+l）（x+2）≤0,得-2≤x≤-l,

所以8={+2≤x≤-l},

因為A={0,l,2},

所以A3=0,

故選：A

2.復數(shù)z=2+MSeR,hθ0）,則z。的虛部是（）

A.MB.-b2C.0D.b2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用共朝復數(shù)的意義及復數(shù)乘法運算求解作答.

【詳解】復數(shù)z=2+M（匕∈R,h≠0）,則，=2.歷，因此z?I=（2+∕）（2-bi）=4+/,

所以z?z的虛部是0-

故選：C

3.某地區(qū)高三學生參加體檢，現(xiàn)隨機抽取了部分學生的身高，得到下列頻數(shù)分布表:

身高范圍(單位：cm)[145,155)[155,165)[165,175)[175,185)[185,195]

學生人數(shù)54040105

根據(jù)表格，估計該地區(qū)高三學生的平均身高是()

A.165B.167C.170D.173

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定的頻率分布表，求出各分組區(qū)間的中間值與對應頻率積的和作答.

【詳解】由數(shù)表知，身高在區(qū)間[145,155),[155,165),[165,175),[175,185),[185,195]內(nèi)的頻率依次為:

0.05,0.4,0.4,0.1,0.05,

則捻=150x0.05+160x0.4+170x0.4+180x0.1+190x0.05=167，

所以該地區(qū)高三學生的平均身高約為167cm.

故選：B

4.已知CoS(X-=E,則sin2x=()

78916

A.—B.—C.—D.

25252525

【答案】A

【解析】

【分析】利用誘導公式和二倍角公式結合已知條件可求得結果.

【詳解】因為CoS(X—+

所以sinIx=cos--Ix

=CoS2x--

I2

故選：A

5.(1—2x+χ2)3的展開式中，/的系數(shù)為()

A.20B.-20C.-15D.15

【答案】B

【解析】

【分析】化筒后利用二項展開式的通項計算得到答案.

【詳解】(l-2x+χ2)'=(χ-1)6,其展開式的通項為：(+I=CZ?χ6-r.(-1)「，

取r=3得到/的系數(shù)為e??(―1)3=-20.

故選:B.

6.某市2023年中考體育考試要求考生必須在籃球、足球、排球這三個項目中選擇一個項目考試.如果這三

個項目該市一初三寢室的四名同學都有人選，則這四名同學所有可能選擇的方案為()

A.72B.36C.18D.24

【答案】B

【解析】

【分析】按照1,1,2把4人分層三組，將分好的三組對應三個項目，由分步計數(shù)原理計算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意：分2步進行：

①四名同學在籃球、足球、排球這三個項目中選擇一個項目考試，

且每個項目至少有一名同學報名，可以把四名同學分成三組，人數(shù)分別為1,1,2,有C；=6種分組方法；

②將分好的三組對應三個項目，有A；=6種對應方法，

則四名同學所有可能選擇的方案有6x6=36種.

故選：B

22

7.已知耳，鳥分別是雙曲線3=l(α>01>0)的左、右焦點，直線X=C1與C的一個交點為P,

IP用=3∣PR∣,則C的離心率為()

A.√5B.2C.√2D.√3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的定義結合IPKl=3儼制可求得α,C關系即可得出答案.

【詳解】

由IP用=3∣PKI，得點尸在雙曲線的右支上，

則IWlTPKl=2|P用=2α,所以IP周=Rp4I=3α,

在RtAKPK中，I尸閭=α,∣Pξ∣=34,

22

故恒用=^?PFlf-?PF2f=2C=y∣9a-a=2缶，

所以￡=也，

a

即雙曲線C的離心率為J5?

故選：c

8.桌上放著4張卡片，每張卡片一面寫著一個大寫或小寫字母，另一面寫著一個O到9的整數(shù)數(shù)字，小

明只能看到卡片的一面.下面的4張卡片，要判斷命題“卡片的一面是大寫字母，這張卡片的另一面是奇

數(shù)”為真，小明至少翻開的卡片是（）

□H□□

①②③④

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題目信息進行合情推理，能求出結果.

【詳解】①的正面是小寫字母，無論①的背面是奇數(shù)還是偶數(shù)，都無法判斷命題的真假；

②的正面是大寫字母，如果②的背面是奇數(shù)，則命題是真命題，否則命題是假命題；

③的正面是3,如果③的背面是小寫字母，也無法說明命題是假命題；

④的正面是6,若④的背面是大寫字母，則判斷命題為假.

綜上，要驗證命題的真假，至少要翻開的是②④.

故選：C.

9.已知-ABC中，角A,B,C的對邊分別為α,b,c.若84?AC=-4，的面積為26,則

b2ccosAcosC+bc2cosBcosΛ_（）

α（sinA+cosA）

A.√3+lB.√3-lC.4√3+4D.4√3-4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積及面積公式列方程求得A=],利用正弦定理及兩角和正弦公式化簡式子，代入計算求

解即可.

【詳解】因為BA?AC=T，所以cb?cos(τι-A)=-4,即ACCoSA=4,

SABC=LbCSinA=χsinA=2tanA=2λ/^,所以tanA=6,又A∈(0,n),所以A=&,

22cosAv73

”,?2ccosAcosC+A>c2cosBcosΛbecosA(bcosC+ccosB)becosΛ(sinBcosC+sinCcosB)

所以----------------------------=-----------------------=------------------------------

6/(sinA+cosA)?(sinA+cosA)sinA(sinΛ+cosΛ)

_∕?CCoSASin(B+C)_becosASinA_becosA_44

sinA(sinA+cosA)sinA(sinA+cosA)sinA+cosAy∣31.

-------1—

22

故選：D

10.在棱長為1正方體ABCz)—AAeQl中，點尸滿足C9=/ICD+4CCI，∕l∈[θ,l],;∕∈[0,l].在

滿足條件的P中隨機取一點，qp與AO所成角小于等于2的概率為()

4

【答案】D

【解析】

IBP.DAI

【分析】建立空間直角坐標系，表示出4尸，設&P與AO所成角為外則cos，=l~I-L,依題意可

I朋.rτ岡

得孝≤cos6≤l,即可得到九2+(〃一l)2≤ι,再根據(jù)幾何概型的概率公式計算可得.

【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則C(0,1,0),C1(0,1,1),D(0,0,0),A(l,0,0),B1(1,1,1),

所以8=(0,-1,0),CC1=(0,0,1),ZM=(1,0,0),B1C=(-1,O,-1),

因為CP=;ICr)+MCC∣,2∈[0,l],χ∕∈[0,l],

所以CP=2(0,—1,0)+M(0,0,1)=(0,—4M),

所以B∣P=4C+CP=(-1,0,-1)+(0,-/1，4)=(-1,一/1，4-1),

B}P-DA\1

設與AO所成角為。,則CoSθ=I------∩~I=/,

22

忸斗網(wǎng)7I+Λ÷(A-I)

因為B/與Ar)所成角小于等于工，則YZ≤cos。41即冬________1

≤1

^1+Λ2+(χz-l)^

42

所以l+；P+(〃—1/<2,即42+("-1)2≤I,

因為/le[0,l],χ∕e[0,l],目標式子為分+(〃—ι)?≤],

如下圖所示，滿足/12+(4-i)2≤ι的(丸，〃)為圖中扇形COB中的點，

1JT

又SCoB=~×l2π=~?^OABC=1×1=1,

所以P=2=3，

^OΛBC4

即在滿足條件的尸中隨機取一點，子與AP所成角小于等于:的概率嗎.

?OAλ

故選：D

22

11.橢圓T+方=l(g>0,b>0,αN3任意兩條相互垂直的切線的交點軌跡為圓：x2+y2=a2+b2,這個

圓稱為橢圓的蒙日圓.在圓(x—4)2+(y—3)2=r2(r>0)上總存在點尸，使得過點產(chǎn)能作橢圓x2+^=l

的兩條相互垂直的切線，則r的取值范圍是()

A.(1,9)B.[1,9]C.(3,7)D.[3,7]

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)蒙日圓的定義，將問題轉化為兩圓有公共點的問題，根據(jù)兩圓關系即可求解.

2

【詳解】由題意可知：與橢圓/+E=I相切的兩條互相垂直的直線的交點尸的軌跡為

3

圓P：√+∕=4,圓心P(0,0),r=2,

由于P在圓C:(X—4p+(y—3)2=戶(r>0),圓心C(4,3),e=廠，

故兩圓有公共點即可，

故兩圓的圓心距為IPq=J4?+3?=5，故∣2-r∣≤5≤2+∕?=3≤r≤7.

故選：D

卜COS(bX]

12.設勺表示集合｛1,2,3,｝的子集個數(shù)，a=log2%,Λ(?)=∑,>其中Z∈N*?給出下列

/=1ai

命題：

①當&=1時?，(~1,θ)是函數(shù)工(21一;)一個對稱中心；

②女=1時，函數(shù)42冗-IJ在一上單調遞增；

Γ33一

③函數(shù)力(X)的值域是;

o4_

④對任意的實數(shù)X,任意的正整數(shù)鼠∣z(χ)∣<i恒成立.

其中是真命題的為()

A.①③B.②④C.①③④D.②③④

【答案】C

【解析】

kCoS(次)

【分析】根據(jù)子集個數(shù)確定數(shù)列通項公式，求得A(X)=Z對于①②根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性

/=12

質判斷即可，對于③根據(jù)二倍角的余弦公式，結合二次函數(shù)的最值判斷即可，對于④根據(jù)余弦函數(shù)的有界

性及等比數(shù)列求和判斷即可.

【詳解】由集合｛1,2,3,…的子集個數(shù)為2"知，?=2^,所以2=log22"="

，/?)=￡畔?,所以工（X）=gcosx,所以工。工一；1?兀

=—COS2x—

/=IZ24

?JLTr,/口KTLJTC-

令a2x—=—Fkn,Z∈Z,得X=---1-----,Z1r∈Zr,

4228

當k=1時，函數(shù)工［2%—1］的對稱中心為［g,θ),故①正確;

E、，兀兀ll23πCππ令z=2x-Ce1里

因為—<x<一,所以<2xV—

444444I4

則y=∕Isz在（F3TTq711上不單調，所以函數(shù)上I「TC卜I一"Tl上Tt不單調’故②錯誤;

f2(X)=LCOSX+」cos2x=Lcosx+L(2cos2X~↑)=J(COSX+32——，

24,24228

313

所以當CoSX=I時，力(X)取最大值一，所以當COSX=-7時，力(X)取最小值一三，

428

33

即函數(shù)人（同值域是，故③正確;

O4

∣Λω∣=∑≤^≤∑^≤∑∣≤ι-?<ι.故④正確；綜上，真命題為①③④.

i=lajZ=I乙i=?Z乙

故選：C

【點睛】關鍵點點睛：第一個關鍵點要掌握余弦函數(shù)的圖象與性質及復合函數(shù)的值域求解，第二個關鍵在

于利用三角函數(shù)的有界性對不等式放縮，再結合等比數(shù)列前“項和進一步放縮判斷.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知點4。.石）在拋物線C：y2=Ipxk,則A到C的準線的距離為.

【答案】49

4

【解析】由題意可得：（6）2=2pχl,則2p=5,拋物線的方程為V=5χ,

準線方程為X=-：，點A到C的準線的距離為1-J1]=3.

4<4J4

9

故答案為：

4

12.如圖，3C,OE是半徑為3的圓。的兩條直徑，BF=ZFO，則ED?BE=.

【解析】由題意可得，IFoI=I,∣C>4=3,

FD?FE=（FO+OD）?（FO+OE）=（FO+OD）?（FO-OD）

=∣FO∣2-∣OD∣2=-8.

故答案為：-8.

13.農(nóng)業(yè)技術員進行某種作物的種植密度試驗，把一塊試驗田劃分為8塊面積相等的區(qū)域（除了種植密度,

其它影響作物生長的因素都保持一致)，種植密度和單株產(chǎn)量統(tǒng)計如下:

5

45

4

3

Z4

2

根據(jù)上表所提供信息，第號區(qū)域的總產(chǎn)量最大.

【答案】5

【解析】設區(qū)域代號為X,種植密度為％,單株產(chǎn)量為％，則x∈{1,2,3,4,5,6,7,8},

由圖象可得種植密度X是區(qū)域代號X的一次函數(shù),

故設y=丘+方,xe{l,2,3,4,5,6,7,8},

由已知函數(shù)弘=履+6的圖象經(jīng)過點(1,2.4),(8,4.5),

2A=k+b=0.3

所以,解得

4.5=8Jt+?b=2.l

所以y=O.3x+2.1,

由圖象可得單株產(chǎn)量%是區(qū)域代號X的一次函數(shù),

故可設%=g+"，XW{1,2,3,4,5,6,7,8},

觀察圖象可得當X=I時，J2=1.28,當χ=8時，J2=0.72,

1.28="?+〃in=-0.08

所以,解得

0.72=8λ77+∕7n=1.36

所以必=一0?08工+1.36,

所以總產(chǎn)量m(x)=(0.3x+2?l)(-0.08x+L36)=-0.024(χ2-IOx-119)

當x=5時，函數(shù)m(x)有最大值，即5號區(qū)域總產(chǎn)量最大，最大值為3.456.

故答案為：5.

14.已知函數(shù)〃X)=X"-alnx(α>0),g(x)=e'-x,若Xe(11川寸，/(x)≤g(x)恒成立，則實數(shù)。的取

值范圍是—.

【答案】(0,e]

【解析】g(x)=e'-X,則g'(x)=e-1,

則x>0時，g'(x)=e'-l>O,g(x)單調遞增.

x∈(l,e2)l?,F(X)≤g(x)恒成立,即X"-αlnx≤e*-x恒成立,

則elnx0-InZ≤e'-尤在(1，e?)匕恒成立，

則In爐≤X即α≤會在(1，T)上恒成立，

r/1,z、Inx-I

令火(X)=T―,Xe(l,e'),則"(幻=7^一√

Inx',(Inx)

則當XG(I,e)時，k?x)<O,Z(X)單調遞減；

當xe(e,e?)時，MX)>0,Z(X)單調遞增.

則當X=e時k(x)取得最小值Λ(e)=±=e,則a≤e

Ine

則實數(shù)。的取值范圍是(0,e]

故答案為：(0,e]

15.在數(shù)列也｝中各項均為正數(shù)，且*「。的=%(〃=1,2,3,?),給出下列四個結論:

①對任意的〃..2,都有%>1

②數(shù)列｛%｝不可能為常數(shù)列

③若0<q<2,則數(shù)列｛叫為遞增數(shù)列

④若4>2,則當.2時,2<all<al

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①③④

【解析】對于①，在數(shù)列｛《,｝中，<,-?+1=?,則/&+「1)=4,，

又對于任意的∕EN'都有%>0,則4向―1>0,即。向>1,

即對于任意的“≥2,都有故①項正確；

對于②，不妨設數(shù)列｛4｝可能為常數(shù)列，則勺=。用，

又。3-4用=4，貝IJd-"“=《，則4,=2,

即q=2時，數(shù)列｛4｝為常數(shù)列，故②項錯誤；

對于③，a,^-an=2a,,+l-a)∣=??+|(2-a,,+l)

又0<q<2,則0<靖-W<2,即1</<2,

同理，當“≥2,都有?！?lt;2,即/—4=2〃向一嫉產(chǎn)—(2——)>0,

即α,M>%,即數(shù)列｛q,｝為遞增數(shù)列，故③項正確；

對于④，al>2,則d-%>2,即%>2,

同理，當“≥2,都有為>2,

又?+l-a”=2all+i-吮=%(2-?+l)<0,即數(shù)歹U｛an｝為遞減數(shù)列，

即當〃≥2時，2<an<at,故④項正確.

故答案為：①③④.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.一ABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,6,c,sin8=g,且.

在①a?-/+/=2,②AB?BC=T,這兩個條件中任選一個，補充在橫線中，并解答.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

(1)求ABC的面積；

⑵若SinASinC=，求b.

3

【解析】(1)若選①：

22/2

因為az-y+。?=2,由余弦定理得COSB="+',整理得"ccosB=l,則cos5>0,

Iac

又SinB=；,則CoSB=Jl-E=逑,ac=-=^-,

3Y⑶3COSB4

則SAac=JacsinB=*;

若選②：

因為A8?BC=-1<O,BPABBC=-accosB<0,則COSB>0,

又SinB=g,則CoSB=Jl-（gj=半，

I?/?

又AB?BC=-accosB，得αc=------=------?

COSB4

則Sabc=IaCSin8=；

28

3√2

（2）由正弦定理得：==-不，則々而==j?=κ=-7τF7^κ=喙"=］，

SinBsιnAsιnCsinBSinASinCSinAsmC√24

T

,b3,3.1

貝πIJ-----=—,h=-SinBo=—.

Sinfi222

17.某中學為了解高二年級中華傳統(tǒng)文化經(jīng)典閱讀的情況,從高二年級隨機抽取10名學生進行了兩輪測試,

并把兩輪測試成績的平均分作為該名學生的考核成績,記錄的數(shù)據(jù)如下：

1號2號3號4號5號6'j7號8號9號10號

第一輪測試成績96898888929187909290

第二輪測試成績90909188888796928992

(1)從該校高二年級隨機選取一名學生，試估計這名學生考核成績大于90分的概率；

(2)為進一步研究這10名同學的成績，從考核成績小于90分的學生中隨機抽取兩人，記這兩人中兩輪測試

至少有一次大于90分的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望；

(3)記抽取的10名學生第一輪測試的平均數(shù)和方差分別為吊考核成績的平均數(shù)和方差分別為石試

比較看與與s；的大小.(只需寫出結論)

【解析】(1)這10名學生的考核成績(單位：分)分別為：

93,89.5,89.5,88,90,89,91.5,91,90.5,91.

其中大于90分的有1號、7號、8號、9號、10號，共5人，

所以樣本中學生考核成績大于90分的頻率是吃=0.5.

從該校高二年級隨機選取一名學生，估計這名學生考核成績大于90分的概率為0.5；

(2)由題知，考核成績小于90分的學生共4人，其中兩輪測試至少有一次大于90分學生有2

人.

所以X可取0,1,2,則

02d20

P(X=O)=CC1P(X=I)C=C*l,2,p(x=2)=*CC」1，

?/C：6I7C；3v,C；6

所以X的分布列為

X012

?2?

P

636

I21

所以E(X)=Ox—+lx—+2x—=l；

636

(3)由題可得另=*χ(96+89+88+88+92+91+87+90+92+90)=90.3,

1

X=一×(93+89.5+89.5+88+90+89+91.5+91+90.5+91)=90.3

210

=L[(96-90.3)2÷(89-90.3)2++(90-90.3)2]=6.21

222

s}=-L[(93-90.3)÷(89.5-90.3)++(91-90.3)]=1.81,

所以內(nèi)=/；S\>S2"

18.如圖，在四棱錐P-ABC。中，P4_L平面A8CO,AD±CD,ADHBC,PA=AD=CD=2,BC=3.E

PF1

為PD的中點，點尸在PC上，且不己=—.

E

%-：；

、D

BC

(1)求證：平面AEF_L平面PCz)；

(2)求平面AEF與平面AEP所成角的余弦值;

(3)若棱8尸上一點G,滿足PG=2G3,求點G到平面AE尸的距離.

【解析】(1)如圖，以。為原點，分別以DA,OC為X軸，)軸，過。作XP平行線為Z軸，建立空間直角

坐標系,

則。(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(2,0,2),￡(1,0,1),8(3,2,0),

PF11

所以OC=(0,2,0),PC=(-2,2,-2),因為為=］，所以依=§巾，

1<42?4即噌相

所以Z^=§(—2,2,-2)+(2,0,2)=

3

所以AF=?m),AE=(T,0,1),

224

n?AF=——X+—y+-z=0

設平面AEF的法向量為〃=(x,y,z),則＜333

n`AE=-x+z=0

令X=Z=1,則y=τ,所以〃=(L-1,1),

m`DC=2?=0

平面PCQ的法向量為加=(α,O,c),則，

n?PC=-2a+2h-2c=0

令α=I,貝IJC=一1,所以m=(l,0,—1),

所以/I-/??=l×l+0×(-l)+l×(-l)=0?所以〃J_機，

(2)易知平面ΛfP的一個法向量"=(0,1,0),

n?ιι?

1-√3

設平面AM與平面用所成角為。，則cos。=麗一耳一行’

所以平面AEF與平面AEP所成角的余弦值為立

3

2

(3)因為棱5尸上一點G,滿足尸G=2GB,所以尸G=§P8,

22I242)

所以AG=AP+PG=AP+§2PB=(O,O,2)+§2(l,2,-2)=K，§,§J,

33

∣∣xl+^x(-l)÷lx∣

?n-AG?

所以點G到平面AEF的距離=0-

?

22

19.己知橢圓C:=+與=l(a>Z>>O)過點A(—2,—1),長軸長為4√L

ab

(1)求橢圓C的方程及其焦距;

(2)直線/：>=區(qū)+機與橢圓C交于不同的兩點M,N,直線AM,4V分別與直線X=T交于點P,Q,。為坐標

原點且IOH=IO。，求證：直線/過定點，并求出定點坐標.

2a=4√2

【解析】(1)由題得〈419.*.a=2?∕2,h=y∣2,c=?/e,

、^>

所以桶圓C的方程為臺A1,焦距為?后

22

直線/：)=履+〃7與橢圓方程土+21=1聯(lián)立,

82

化筒得(4/+1)爐+8MtV+4機2-8=0,

Δ=128?2-16∕n2+32>0.即8公-，/+2>0.

-8km4W2-8

設M(Xl,乂)，N(Λ,y?),則X∣+Λ=

224F7T,“內(nèi)=WT

直線MA的方程為y+1=T?α+2)，則p?;DT),

x1+2X1+2

直線24的方程為y+1=H(χ+2),則Qd,

Λ2+2W+2

因為IOH=IOq,所以二?∕τ+二2(yD-I=0,

?lI/??I*4

所以(2k+l)xl?x2+(2k+m+3)(xl+x2)+4m+8=0,

把韋達定理代入整理得(相-2A+1)(機-縱)=0,，機=2左-1或帆=4%,

當m=2k-l時，直線方程為y=H+2k-l,.?.y+l=A(x+2),過定點(-2,T),

即點A,不符合題意，所以舍去.

當m=4左時，直線方程為y=履+飲，

y=A(x+4)過定點(-4,0).

所以直線/經(jīng)過定點.

20.己知函數(shù)"X)=e"'(x—1)2.

⑴若α=l,求/(x)在(OJ(O))處切線方程；

⑵求/(x)的極大值與極小值；

(3)證明：存在實數(shù)M,當a>0時，函數(shù)y=∕(x)-M有三個零點.

v2x2

【解析】(1)當α=l時，/(x)=e(x-l),f'M=e(x-?),

所以∕=∕'(0)=e°(()2-1)=-1,

又/(0)=e°(0-l)2=l,

所以切線方程為N-I=-(X-O),即x+y-l=O.

(2)∕,(x)=αear(x-1)2+2e,u(x-1)=ea'(x-l)(0r-α+2),

當α=0時,∕,(x)=2(x-l)=0,解得x=l,

故x<l時，∕,(x)<0,/(x)單調遞減；x>l時，∕,(x)>0,/(χ)單調遞增,

故x=l時，F(xiàn)(X)的極小值為/(1)=0,無極大值；

2

當α>0時，令/(X)=O,解得X=1,X=1一一，

2a

2

故當X<1—￡或x>l時，Γ(X)>O,/(X)單調遞增，

a

2

當1一一<不<1時，∕γx)<o,單調遞減，

a

故/(X)的極大值為/(1-2)=e"-2化［=竺:，極小值為/(?)=O；

a?a)a

2

當α<0時，令，'(X)=0,解得XI=1,Xo=1--，

a

2

故當x<ι或χ>ι-w時，rω<o,AX)單調遞減，

a

2

當1<X<1-W時，Γ(x)>Oτ/(X)單調遞增，

a

故F(X)的極大值為/(l-2)=e"-2⑶2=4≤2,極小值為/(D=0;

a?a)a

rt2

綜匚當α=0時，/(x)的極小值為八1)=。，無極大值；當"0時，/⑶的極大值為/(1-23=竺4e廠-，極

aa

小值為/(l)=0?

2

(3)當4>0時,由(2)知,/(?)在(―∞,1—)和(1,÷∞)上單調遞增,

a

?

在上單調遞減，且x<l時，/(x)=e%x-l)2>0恒成立，

X→+8時，/(X)=C6u(X-I)2—>+00,

又/(X)的極大值為/(1--)=竺二，極小值為/0)=0,

aa

所以存在實數(shù)0<M<"二時，函數(shù)y=∕(x)-M有三個零點.

a

21.已知A為有限個實數(shù)構成的非空集合，設A+A={q+%k,,%∈A},A-A={q-%∣q,%eA},記集合

A+A和A—A其元素個數(shù)分別為∣A+A∣,∣A-Λ∣.

設“(A)=∣A+A∣-∣A