2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)檢測2-6函數(shù)與方程及函數(shù)的綜合應(yīng)用

2.6函數(shù)與方程及函數(shù)的綜合應(yīng)用

一、選擇題

1.(2022屆四川南充月考,4)函數(shù)f(x)-Inx的零點所在的區(qū)間為()

X

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

答案B易知f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減,且￡(1)=1〉0,￡(2)力-匕2<0,故1'6)有唯一零點，

且在區(qū)間(1,2)上，故選B.

2.(2021江西頂級名校月考,3)利用二分法求方程log3x=3-χ的近似解,可以取的一個區(qū)間是

()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

答案C設(shè)f(x)=log3χ-3+x,易知f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且

f(2)=log32-l<0,f(3)=l-3+3=l>0,故f(x)在(2,3)上有唯一零點,故方程log,x=3-χ在區(qū)間

(2,3)上有解,故選C.

3.(2022屆浙江百校聯(lián)考,3)已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］內(nèi)的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，

則''f(a)?f(b)<On是“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］內(nèi)有零點”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A由函數(shù)零點存在定理,可知充分性成立；

反之,若函數(shù)y=x2,X∈［T,1］,則f(T)?f(l)>0,且有零點x=0,故必要性不成立.故選?.

思路分析充分性顯然成立，由函數(shù)y=x：x∈［-1,1］說明必要性不成立.

4.(2022屆北京交大附中開學(xué)測試,5)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長率為P,

第二年的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()

A空Brg)

22

C.pqD.7(p+1)(ρ+1)-1

答案D設(shè)該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為X,則(l+p)(l+q)=(1+X)：解得

x=λ∕(1+p)(1+<7)-1,故選D.

5.(2022屆北京一六六中學(xué)10月月考,9)已知函數(shù)f(x)=χ2-l+a(e'+e")有唯一的零點,則a

的值為()

A?4B?ΞCWD?4

答案B因為f(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱,且f(-χ)=χ2-l+a(e'+e")=f(x),所以f(x)

為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱,因為f(x)=χ2-l+a(e'+ef)有唯一的零點,所以零點為x=0,即

f(0)=-l+a×(1+1)=0,解得a=^.故選B.

6.(2022屆廣東珠海二中10月月考,6)衣柜里的樟腦丸,隨著時間的推移會因揮發(fā)而使體積

縮小,剛放進去的新丸體積為a,經(jīng)過t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為Vwekl.已知新丸

經(jīng)過50天后,體積變?yōu)間a,若一個新丸體積變?yōu)樘朼,則需經(jīng)過的天數(shù)為()

A.125B.100C.75D.150

答案C由題意得a?e.?、?設(shè)t天后體積變?yōu)檗郺,

即有V=a?e**a②，由①可得③，由②÷①得e"。、兩邊平方得”小飛,與③比較

可得2t-100=50,解得t=75,即經(jīng)過75天后,新丸體積變?yōu)闂n故選C.

7.(2022屆遼寧葫蘆島協(xié)作校10月月考,8)根據(jù)《民用建筑工程室內(nèi)環(huán)境污染控制標準》，

文化娛樂場所室內(nèi)甲醛濃度W0.lmg∕πf'為安全范圍.已知某新建文化娛樂場所施工過程中使

用了甲醛噴劑,處于良好的通風(fēng)環(huán)境下時,竣工1周后室內(nèi)甲醛濃度為6.25π>g∕m3,3周后室內(nèi)

甲醛濃度為lmg∕∏Λ且室內(nèi)甲醛濃度P(t)(單位:mg/m9與竣工后保持良好通風(fēng)的時間

t(t∈N*)(單位:周)近似滿足函數(shù)關(guān)系式P(t)=e”》,則該文化娛樂場所竣工后的甲醛濃度若

要達到安全開放標準,至少需要放置的時間為()

A.5周B.6周C,7周D.8周

答案B由題意可知，P(l)=ea?b=6.25,P(3)=e3a,b=l,^??=e?解得ea?設(shè)該文化娛樂場

所竣工后放置金周后甲醛濃度達到安全開放標準，

a+babatf1)

則P(t0)=e?=e*?eθ^=6.25x(∣)"'≤0.1,

整理得62.5≤g)z°^',因為Cy<62.5<(J)5,

所以4<t0-l<5,即5<t0<6,

故至少需要放置的時間為6周.

2

8.(2022屆河北秦皇島青龍高中測試,8)已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),且當x<0時,

函數(shù)f(x)=xe*+l,若關(guān)于X的函數(shù)F(x)=[f(x)]2-(a+l)f(x)+a恰有2個零點,則實數(shù)a的取

值范圍為()

A-S『J

B.(-°o,-1)U(1,+8)

CdT)U(ITI)

D.(-°o,-1]U[1,÷∞)

答案C令F(X)=[f(x)T][f(x)-a]=0,則f(x)=l或f(x)=a.當x<0

時，f(x)=xex+l<l,f,(x)=(x+l)ex,當x<-l時，f'(x)<0,f(x)遞減,

當T<x<0時,f,(x)>0,f(x)遞增，

.?，&)的極小值為￡(-1)=1」,

e

又f(x)<l,因此f(x)=l無解.

此時f(x)=a要有兩解,則lΛa<l,

e

又f(x)是奇函數(shù)，.?.x>0時,f(x)=l仍然無解,f(x)=a要有兩解,Plhkad-L

e

綜上,a∈(τ∕T)U(I-Il).故選C.

'-/-2XXWO

9.(2022屆陜西頂級名校月考，12)已知函數(shù)f(x)=]]'若函數(shù)g(x)=f(x)+2-m有

IoglX,X>(7,

4個零點，則m的取值范圍為()

A.(0,1)B.(-1,O)C.(1,3)D.(2,3)

答案D由g(x)=f(x)+2-m=0,得f(x)=m-2,所以問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的圖象與直線y=m-2

有4個不同的交點，函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,所以0<m-2<l,得2<ιn<3,所以m的取值范圍為

(2,3),故選D.

10.(2022屆河北保定重點高中月考,∏)已知函數(shù)f(x)?×XM,若關(guān)于X的方程

f2(χ)+f(χ)+t=O有三個不同的實根，則t的取值范圍是()

3

A.(-8,-2]B.[1,+∞)

C.[-2,1]D.(-∞,-2]U[l,+∞)

答案A

設(shè)m=f(x),作出函數(shù)f(x)的圖象如圖，

則m≥1時,m=f(x)有兩個根，

當m<l時,m=f(x)有1個根，

若關(guān)于X的方程f2(x)+f(x)+t=0有三個不同的實根，

則m'+m+t=0有2個不同的實根，且m2l或當m=l時，t=-2,此時由m"+m-2=0得m=l或m=-2,

滿足f(x)=l有兩個根,f(x)=-2有1個根,滿足條件;當m≠l時，設(shè)h(m)=m2+m+t,則h(l)<0,

即l+l+t<0,則t<-2.綜上,tW-2,故選A.

IL(2022屆山東學(xué)情10月聯(lián)考,8)已知函數(shù)f(x)是定義在(-∞,0)U(0,+∞)上的偶函數(shù)，

e"-2∣-[0<XW4

當x>0時,f(x)=屋，A’若函數(shù)g(x)=af(x)-e'+l的零點個數(shù)為8,則a的取值范

-f(χ-4),X>4,

圍為()

A.{a∣l<a<2)B.{a∣2<a<4}

C.{a∣2≤a≤4}D.{a∣2≤a<4}

答案B由題意得f(x)4有8個不同的實數(shù)解,又f(x)是定義在(-8,o)U(O,+8)上的

a

偶函數(shù),結(jié)合f(x)的圖象得吐i<?,解得2<a<4.

二、填空題

12.(2022屆北京順義一中10月月考，10)已知函數(shù)f(x)=3x-,若存在x°∈(-∞,-l),使得

X

f(x0)=0,則實數(shù)a的取值范圍是()

a?(一8,9B-(。，9

C.(-∞,0)D.θ,+∞)

4

答案B由f(x)=3*士竺=0,可得a=3」,令g(x)=3」,xe(-8,-i),

XXX

由于存在x0∈(-8,-1),使得f(χo)=O,則實數(shù)a的取值范圍即為函數(shù)g(x)在(-8,-D上的值

域.

因為函數(shù)y=3?y=+在區(qū)間(-8D上均為增函數(shù),所以函數(shù)g(χ)在(-81)上為增函數(shù).

當x∈(y,τ)時,g(χ)=3**3-??又g(x)=3?0?

所以，函數(shù)g(x)在(-8,τ)上的值域為(0,0.

因此,實數(shù)a的取值范圍是(0,I).故選B.

13.(2021成都摸底考試,16)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當

(2∣E-1,0<xW2」

x>0時，f(x)if(χ-2),x>,.有下列結(jié)論:

、2

①函數(shù)f(x)在(-6,-5)上單調(diào)遞增;

②函數(shù)f(x)的圖象與直線y=x有且僅有2個不同的交點;

③若關(guān)于X的方程[f(x)]z-(a+l)f(x)+a=O(a∈R)恰有4個不相等的實數(shù)根,則這4個實數(shù)根

之和為8;

④記函數(shù)f(X)在[2bl,2k](k∈N*)上的最大值為ak,則數(shù)列｛aj的前7項和為詈.

其中所有正確結(jié)論的編號是

答案①④

解析當x=0時，f(0)=0.若2<xW4,則(KX-2W2,f(x)?(χ-2)=∣(2is^3l-l);若4<xW6,則

2<χ-2≤4,f(x)^f(χ-2)^(2*5Lι),作出函數(shù)在x>Q時的圖象,如圖所示.

對于①，由圖可知,函數(shù)f(x)在⑸6)上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)f(x)在(-6,-5)上

單調(diào)遞增，故①正確;

5

對于②，由圖可知x>0時,f(x)的圖象與直線y=x有1個交點,又f(x)為R上的奇函數(shù),故f(x)

的圖象與直線y=x有3個不同的交點，故②錯誤；

對于③,設(shè)f(x)=t,則原方程等價于t2-(a+l)t+a=0,解得t=a或t=l,當t=l時,由f(x)=l得

xl=2,原方程恰有4個不同的實根,可分為兩種情況：

(l)t?a??,即f(x)三對應(yīng)3個解,此時4個實數(shù)根的和為8;

(2)t=a=-∣,即f(x)=T對應(yīng)3個解,且x2+xa=-2,x,=-4,此時4個實數(shù)根的和為-4,故③錯誤；

對于④,函數(shù)f(x)在［1,2］上的最大值為f(2)=1,即a∣=l,由函數(shù)解析式及性質(zhì)可知,數(shù)列{4}

是首項為1,公比為;的等比數(shù)列，則前7項和為上隼?故④正確,故答案為①④.

14.(2022屆北大附中10月月考，14)司機酒后駕駛危害他人的安全,一個人喝了少量酒后，血

液中的酒精含量迅速上升到0.9mg∕mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小時25%的速

度減少,為了保障交通安全,某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不

得超過0.09mg∕mL,那么，一個喝了少量酒的駕駛員，X小時后體內(nèi)的酒精含量為

mg/mL;他至少經(jīng)過小時,才能開車？(精確到1小時,參考數(shù)

據(jù)：lg34O48,lg4≈?0.60)

答案0.9XG)';9

解析由題意可知,X小時后該駕駛員體內(nèi)的酒精含量為0.9×(1-25%)x=0.9X(3：

由0.9X(,WO.09得G)AW??

兩邊取對數(shù)得IgGyWIg白即33,

?4∕10Ig3-lg4

因此他至少經(jīng)過9小時,才能開車.

解后反思由題意得出X小時后體內(nèi)的酒精含量,結(jié)合對數(shù)的運算解不鍬

0.9×QΛ≤0.09即可.

15.(2022屆安徽八校聯(lián)考，16)己知f(x)=「S(l^x+至)(-2"WxWO),若方程f恰

11InXT(x>0),

有4個不同的實數(shù)解a,b,c,d,且a<b<c<d,則.

a+b

會:安-?θ

口案^2θ"

6

解析如圖，易知;<m<l,且a+b=-y,又O<c<e<d且∣Inc-I∣=∣Ind-I|,所以I-Inc=Ind-I,所以

In(Cd)=2,所以cd=e2,從而々=一叫.

a^bZU

16.(2022屆山東濟寧兗州期中，20“綠水青山就是金山銀山”.某市一鄉(xiāng)鎮(zhèn)

響應(yīng)號召，因地制宜將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.調(diào)研過程中發(fā)現(xiàn):某水果樹的單株

產(chǎn)量U(單位:千