人教A版高中數(shù)學(xué) 選修第二冊(cè) ?？碱}型練習(xí) 18 等比數(shù)列范圍最值及函數(shù)性質(zhì)

專題18等比數(shù)列范圍最值及函數(shù)性質(zhì)

目錄

【題型一】等比數(shù)列前n項(xiàng)積....................................................................1

【題型二】與通項(xiàng)和Sn有關(guān)的正負(fù)比較...........................................................3

【題型三】等比數(shù)列函數(shù)性質(zhì)....................................................................5

【題型四】等比數(shù)列與范圍......................................................................7

【題型五】等比數(shù)列最值........................................................................8

【題型六】恒成立求參..........................................................................IO

【題型七】等比數(shù)列復(fù)合型：“下標(biāo)數(shù)列”........................................................12

【題型八】遞推公式構(gòu)造等比型.................................................................14

【題型九】遞推：二階等比數(shù)列.................................................................15

【題型十】等比數(shù)列文化應(yīng)用題.................................................................17

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練.....................................................................19

培優(yōu)第二階——能力提升練.....................................................................21

培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練.....................................................................25

熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】等比數(shù)列前n項(xiàng)積

【典例分析】

已知等比數(shù)列｛4｝滿足q=32,q=-g,記/=%4α,,(n∈N+),則數(shù)列｛7；,｝()

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

【答案】A

【分析】求出等比數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式4,進(jìn)而求出再由數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)的意義判斷作答.

【詳解】依題意，等比數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式4,="4i=32?(-J"T=同二，

n(/j-?)

1-1(-D2(-D3(-D,,^l(_])1+2+3++(n-l)(-1尸

〃(“一")

T=τ73(

11Z"7'2^'T-2〃一62-5)+(-4)+(-3)++(/?-6)

2Γ~r~22

■TI∕j(n-11)(Λ+∣XZ?-10)

由需=2-1L=25-"≥l知，"eN*∕≤5時(shí)，數(shù)列｛∣7j｝是遞增的，"eN*,"≥6時(shí)，數(shù)列｛∣7j｝是

遞減而,

于是得數(shù)列｛∣7J｝的最大項(xiàng)為|7；1=國(guó)1=2%而〃為奇數(shù)時(shí)，北>0,”偶數(shù)時(shí)，(<0,

所以4=2、'和7；=-2'5分別是數(shù)歹Ij｛瑁的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).

故選：A

【提分秘籍】

基本規(guī)律

可以類比前n項(xiàng)和求通項(xiàng)過程來求數(shù)列前n項(xiàng)積:

Ln=I,得aι

2?n≥2時(shí)，a,,=?

7,(n=l)

所以a〃=V

【變式訓(xùn)練】

1.已知等差數(shù)列｛α,,｝,等比數(shù)列他,｝的前〃項(xiàng)和之積為22"4+22"?L∕_2〃，設(shè)等差數(shù)列｛α,,｝的公差為4、

等比數(shù)列也,｝的公比為4,則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()

①4=3②[=2③a=3④4=4

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】由題意設(shè)等差數(shù)列｛4｝、等比數(shù)歹∣J｛a｝的前〃項(xiàng)和分別為4?+8"，C-Cqn,因式分解得

22"∕+22"+7-2/=("2+2〃)(22"-1),從而得—<7(加+加)(4"一1)=("2+2〃)(4"-1),即可求解出4=4,

無法求解出q，4，d，可得答案.

【詳解】顯然等比數(shù)列也｝不是常數(shù)列，

設(shè)等差數(shù)列｛%｝、等比數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和分別為A"2+8”,C-Cq",

其中A,B,Cf4為常數(shù)，CqH0,q≠l,

2W+1222n

因?yàn)?2〃/+2n-n-2n=(n+2π)(2-1),

即等差數(shù)列｛4｝、等比數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和之積為(4+2n)(22n-l),

所以(A∕+M(C-C?")=(∕+2磯

所以-C(An2+‰)(√'-1)=(M2+2Π)(4,,-1),

所以q=4,—C4=l,—CB=2,所以不能判斷出",仇川的值，故只有④正確.

故選：A

2..已知｛%｝為等比數(shù)列，伍“｝的前〃項(xiàng)和為S,,,前W項(xiàng)積為「，則下列選項(xiàng)中正確的是()

A.若5改2>邑⑼，則數(shù)列他“｝單調(diào)遞增

B.T2022>T2a2l,則數(shù)列｛α,J單調(diào)遞增

C.若數(shù)列⑸｝單調(diào)遞增，K∣J?2≥‰.

D.若數(shù)列｛7J單調(diào)遞增，≡?022>?02l

【答案】D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式可得組82>0與%)22>1,進(jìn)而可得4、4取值同號(hào)，即可

判斷A、B；

舉例首項(xiàng)和公比的值即可判斷C；

根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可得北>Zi，進(jìn)而得到4>1，求出4≥1,即可判斷D.

【詳解】A：由S2022>S202],得O2022>O,即qq">">O,則4、Q取值同號(hào),

若4<0,夕<0,則｛a,J不是遞增數(shù)列，故A錯(cuò)誤；

B：由心2>(⑼，得心22>1，即4產(chǎn)∣>1,則%、9取值同號(hào)，

若4<0,q<0,則數(shù)列｛“"｝不是遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；

公比q=；，

C：若等比數(shù)列4=1,

所以數(shù)列｛S,,｝為遞增數(shù)列，但?)22</M,故C錯(cuò)誤;

D：由數(shù)列化』為遞增數(shù)列，得7L>7,τ,所以4>1,

即q≥l,所以內(nèi))22202021，故D正確.

故選：D

3.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,,q=9,《=l.記7>%?q,("=l,2,),下列說法正確的是()

A.數(shù)列｛q｝的公比為工B.S,≥g?

1+lf

C.r,存在最大值，但無最小值D.τnan=(?/?)"^

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由4=9,4=1求出公比g,可判斷A的正誤；利用等比數(shù)列的前及項(xiàng)和公式求出S,,,

可判斷B的正誤；根據(jù)題意求出(,，可判斷C,D的正誤.

【詳解】因?yàn)?=9,a,=?,

所以正項(xiàng)等比數(shù)列(??)的公比4滿足才吟=",且q>O,

所以<7=g,故A錯(cuò)誤；

9×?-(?l

由等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式可得，c=-,∣(1T)27

LJII

1-42

因?yàn)?—(gj<l,所以S.<§，故B錯(cuò)誤;

/J-I

因?yàn)閝=q∕i=9x(g)

r∕(2+3-π)一，『+5〃

2l3n2+l++3n

所以7；=ata2an=3×3××3-=3^=32=32

易知空≤3,由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知-H2+5n

0<32≤27,

所以7“存在最大值，但無最小值，故C正確;

-N2+5ιι-M2+5?--W2+3H+6

--------+3-πn~+3n+f)

τ3n2故D錯(cuò)誤;

Tna,l=3~"^×3^=3

故選：C.

【題型二】與通項(xiàng)和Sn有關(guān)的正負(fù)比較

【典例分析】

已知數(shù)列｛〃〃｝是等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S”，則下列結(jié)論正確的是()

A.若4∕+a2>0,則“∕+α3>OB.若α∕+α3>O,則α∕+c∕2>0

C.若4∕>O,則S202∕>0D.若田>0,則S2020>0

［答案］C

【2■析】結(jié)合等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】A選項(xiàng)，等比數(shù)列：-3,6,72,,滿足4+%>0,但4+為<0,A錯(cuò)誤.

B選項(xiàng)，等比數(shù)列:3,-6,12,,滿足α∣+%>0,但4+出<。，B錯(cuò)誤.

i-z,≡∣

C選項(xiàng)，al>0,若4=1,則52必=2。2同>0；若4/0,則S,02∣=qx--，此時(shí)1一4由與1一4同號(hào),

ι-q

↑-a2°2'

所以$2021="∣x-—>0?C正確.

ι-q

1-(-2產(chǎn)°

D選項(xiàng),?1>0,若q=-2,則‰20=a×D錯(cuò)誤.

l1-(-2)

故選：C

【變式訓(xùn)練】

1.設(shè)等比數(shù)列｛α,,｝的前〃項(xiàng)和為s“，其中"CN+,則下列說法正確的是()

A.若%>α∣>0,則α,,>0(〃=1,2,3....)

B.若03>α∣>0,則S">0(〃=1,2,3....)

C.若為+“2+4>“2+4>0,則S“>。(∏=1,2,3,...)

D.若%+%+q>%+4>0，則a”>0(〃=1,2,3....)

［答案］C

【3■析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式分析首項(xiàng)田，公比4的范圍即可得解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝(〃€N,)的公比q(q≠Q(mào)),

n

由”3>4>0,即01∕>q>0得q>o,g>］或,當(dāng)q>0,q<-l,”為偶數(shù)時(shí),an=alq^'<0,即A不

正確；

當(dāng)q>O,q<-l,”為偶數(shù)時(shí)，q''>?,S,,="二①<0,B不正確；

「q

ac2

由/+/+4>/+4>0，即ιJ+qq+4>aiq+ai>0得4>0,q>-?,

當(dāng)q>0,-l<q<0,〃為偶數(shù)時(shí)，a,,=α1√-'<0,即D不正確；

q>0,-l<q<0或OCqCI時(shí)，S11=^-——>0,q>O,q=l時(shí)，S11=nal>0,

ι-q

q>O,q>l時(shí)，q">?,S,,="∣(j)=%/T)>0,所以“∕>0,q>-?,q≠0,有&>0,即C正確.

l-qq-?

故選：C

2.等比數(shù)列｛%｝各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，公比為心給出以下三個(gè)結(jié)論：①若q%<0,則4%<0;②若q+%<0,

且0,+%>0,則q<T；③若44川<0,Pl∣Jk+l-?)(?+1-?+2)<O.其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】選項(xiàng)①，由的2<0可得”0,轉(zhuǎn)化。3%=。羽分析可判斷；

4

選項(xiàng)②，用基本量表示可得4(1+*<0,al(√+?)>0,分析即可判斷；

選項(xiàng)③，由4M+∣<0,可得4<0,轉(zhuǎn)化(4用一4,)(4+1-"“+2)=-(4+1-%)%，分析可得解

2

【詳解】選項(xiàng)①，若q∕<0,則Xal>0,則q<0,?Λ3?=ajq<O,正確；

2

選項(xiàng)②，若4+4<。，α3+α5>°>則4(l+∕)<0,at(q+√)>0

由于q2+q4>0,故q>0,即1+q?<0=0，<_[="<_],正確；

選項(xiàng)③,若44+∣<0,則附<0,則4<0,則(4+1-?！?(?！?1-4+2)=-(4+1-?！?%

由于%r%+ι,故于+「a."。,故(QM-%)(%+∣-%)=-(4,+∣-4,)2<7>0,錯(cuò)誤

故其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為2

故選：C

3.已知等比數(shù)列｛4,,｝的前"項(xiàng)和為S,,,下列一定成立的是()

A.若%>0,則52023>。B.若。3>。，則$2023<。

C.若%>0,則S2o22>OD.若/>°，則S2o22<O

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合特殊值4=1,q=7,qw±l三類情況討論求解即可.

【詳解】解：當(dāng)?shù)缺葦?shù)列｛q｝的公比為4=1時(shí)，由%>0或4>。得6>0,進(jìn)而S,,="4>0,故BD選項(xiàng)

不滿足；

當(dāng)4=-1時(shí)，由/>0得4>0，此時(shí)星023=4>0,由q>0得％<0,s2O22=°>故C選項(xiàng)不滿足；

2

a(?-a^?

當(dāng)qw±l時(shí)，由％>0得4>。，故當(dāng)4?YO,-1)(-1,0)(0,1)(l,+∞)時(shí)，S,ιp.,?—----------^>0，故A

1-4

選項(xiàng)滿足.

a“2022)

由〃4=49’>。得4闖同號(hào)，故當(dāng)4￡(-00,-l)時(shí)，S=-------------->0;當(dāng)夕E(-∞,-1)時(shí)，

20221-夕

%22=也二~^>0:當(dāng)qe(0,l)時(shí)，$期=也二豈1>0；當(dāng)qe(l,+∞)時(shí)，％”=攻工^>0.故

?-q?-qJq

§2022>。不恒成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A

【題型三】等比數(shù)列函數(shù)性質(zhì)

【典例分析】

設(shè)無窮等比數(shù)列｛4｝,則''0<%<4''是為遞減數(shù)歹廣的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由已知條件0<生<q可以得出等比數(shù)列公比的范圍，然后結(jié)合通項(xiàng)公式判斷｛/｝的單調(diào)性；反之，

舉出反例說明｛q｝為遞減數(shù)列但“。<%<4"不成立.

【詳解】因?yàn)椋鹮｝為無窮等比數(shù)列，0<%<q,所以公比9滿足o<q=S<ι,

a?

所以有%>a,,+l=anq,即｛%｝為遞減數(shù)列；

反之，若無窮等比數(shù)列｛《,｝是遞減數(shù)列，則它的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)可以為負(fù)，

如-:,-1'-2,TL2....所以不一定得到0<%<4,

所以是“｛4｝為遞減數(shù)列”的充分而不必要條件，

故選：A.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

比數(shù)列與函數(shù)關(guān)系：

(1)數(shù)列｛〃"｝是等比數(shù)列，‰=α∣qn^l,通項(xiàng)的為指數(shù)函數(shù)：即4"=“|必'；

n,

SJT=40二以=芻——^-q=r-τq'

(2)數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，Sn=IrJq…,Sn為r一國(guó)"型線性指數(shù)函數(shù)

【變式訓(xùn)練】

1.設(shè)｛4｝是等比數(shù)列，則”對(duì)于任意的正整數(shù)"，都有q+2>*'是"｛4｝是嚴(yán)格遞增數(shù)列“()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

[答案]C

【1析】根據(jù)嚴(yán)格遞增數(shù)列定義可判斷必要性，分類討論可判斷充分性.

【詳解】若｛4｝是嚴(yán)格遞增數(shù)列，顯然4+2>?！?，所以“對(duì)于任意的正整數(shù)"，都有4"2>?！啊笔恰保?｝是嚴(yán)格

遞增數(shù)列”必要條件；

2

an+2=a,,q>an對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，所以｛4｝中不可能同時(shí)含正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)，

2

.?.an>O,q>1,BPan>0,<∕>l,或?yàn)?lt;0,q2<l,即a,,<0,0<g<l,

當(dāng)可>0,q>l時(shí)，-^anq>an,即｛%｝是嚴(yán)格遞增數(shù)列，

當(dāng)α,,<0,0<q<l時(shí)，有44>%,BP??+I>an,｛α,,｝是嚴(yán)格遞增數(shù)列，

所以“對(duì)■于任意的正整數(shù)”，都有4+2>4”是"｛%｝是嚴(yán)格遞增數(shù)歹『'充分條件

故選：C

2..在等比數(shù)列｛%｝中，已知q>0,Sa2-a5=0,則數(shù)列｛4｝為().

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C?常數(shù)列D.無法確定單調(diào)性

[答案]A

【3言】根據(jù)條件求出等比數(shù)列的公比，即可判斷數(shù)列的單調(diào)性.

【詳解】由8處-%=0,可知"=∕=8,

〃2

解得q=2.又4>0,所以數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列.

故選：A

3.數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4,公比為q,則。是“數(shù)列｛4｝遞減”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

[a>0[a<0

【分析】由4(q-1)<0,解得1“八、或'1,根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合充分、必要

IqeKqHO)[q>↑

條件的判定方法，即可求解得到答案.

?a.>0(a,<0.

【詳解】由已知q(q-D<O,解得'"八、或<',,a,,=。4一,

M<l(q≠O)["1

此時(shí)數(shù)列｛《,｝不一定是遞減數(shù)列，

所以4(4-1)<0是“數(shù)列｛4,,｝遞減”的非充分條件；

[a,>0[a<0、

若數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，可得二I或λI，所以4z4一1<0,

[0<?<l[q>i

所以4(g-1)<0是“數(shù)列｛??｝遞減”的必要條件.

所以Fg-I)Vo”是“數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.

故選：B.

【題型四】等比數(shù)列與范圍

【典例分析】

已知三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù)列，它們的公比為q,則q可能的一個(gè)值是()

513

A.-B.?C.2D.-

222

【答案】D

【分析】先由三邊構(gòu)成等比數(shù)列求出4的范圍，再逐一對(duì)照即可求解

【詳解】由題意可設(shè)三角形的三邊分別為巴，a,aq^aq≠d).因?yàn)槿切蔚膬蛇呏痛笥诘谌?

所以①當(dāng)4>1時(shí)，~+a>aq,即/-q-l<0,解得ι<g<LL叵；

q2

2

②當(dāng)0<g<l時(shí)，a+aq>-,gpq+q-l>0,解得二It占<q<l；

q2

又當(dāng)g=l時(shí)，三邊相等，三角形為等邊三角形，滿足條件；所以苴二l<q<±5；

22

√5-l2-√5_.?.1<或二1,故B錯(cuò)誤；

=--------<0,

.2~2222

l+√53-√5,2>上正，故C錯(cuò)誤；

.2-n

222

3_l+√52-√5λ31+√53√5-l=^≡^>0.鼻旦,

=--------<0,/.—<--------，---------------故D正確

2222222222

所以4可能的一個(gè)值是3.故選：D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.涉及到首項(xiàng)和公比的不等式(組)關(guān)系。

2.一般情況下，不等式組可以參考“線性規(guī)劃”知識(shí)

【變式訓(xùn)練】

1.5“為等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，al>0,Ss<3al+a2+a4,則公比4的取值范圍是()

A.(-1,0)B.(0,1)

C.(-1,1)D.(-l,0)U(0,l)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，利用首項(xiàng)與公比表示出各項(xiàng)和，建立不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)橹?αι(l+g+q2+q3+∕)<α∣(3+q+q3),且q>0,

所以d+qJ2<0,解得,又q≠0,

解得-1<”0或0<"1,故選：D

2.已知等比數(shù)列｛4｝各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前”項(xiàng)和為5“，則：“4>0”是“Saβ3>Sw22''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】設(shè)公比為4,按照夕>1、4=1、0<4<1、q<0分類討論，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化法可得答案.

【詳解】設(shè)公比為4，

當(dāng)9>1時(shí)，產(chǎn)2</。23,

q(>∕M)q(j∕022)

20232022

ι-17?-q)<q(Jq)

Oal(產(chǎn)-產(chǎn))<ooq>o,此時(shí)，“a,>0”是“Sz023>S2022”的充要條件;

I

當(dāng)4=1時(shí)，S2023>S2022=2023o∣>2022al<=>q>°,此時(shí),``ai>0"是"S2<β3>SXsn”的充要條件;

當(dāng)O<g<l時(shí)，q2m2>q1023,

邑陽>$23?？招?gt;當(dāng)心=4。-產(chǎn)O>4("產(chǎn))

?-q?~q

=a∣(g2022-g2°23)>0=4>0,此時(shí),“a,>0”是“昆岫>%22”的充要條件;

當(dāng)4<0時(shí)，/022>0,產(chǎn)<0,

20232022

?>S,,="一廠)>"一°)=q(L22_1≡)>o<=>β>O,此時(shí)，“4>O”是“S>除，”的充

302?-q?-q71w3

要條件，

綜上所述：“4>0”是“邑儂>52022”的充要條件.

故選：C

3.已知等比數(shù)列｛叫的前5項(xiàng)積為32,l<a,<2,則4+爭(zhēng)全的取值范圍為()

【答案】D

【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)求出生，進(jìn)而求出公比二的取值范圍并用d表示出q+尹與，然后根據(jù)對(duì)勾

函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可知，ala2a3a4a5=tz?=32=>?=2,

因?yàn)閘<q<2,所以寸=幺∈(1,2),從而《+g+牛=??+g+”=2(斗+@+1

424<y224<74

不妨令f=∕e(i,2),則3+冬=/(/)=1+!，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，％)」+：在(1,2)上單調(diào)遞減，

q4f4t4

故對(duì)于VY(1,2),f(2)<f(t)<f(l),l<∕(r)<4,從而l<-V+??<=,貝∣J3<4+??+3<Z

4q244242

故可+年+全的取值范圍為卜，3故選：D.

【題型五】等比數(shù)列最值

【典例分析】

已知等差數(shù)列｛4｝的公差d>0,且%,?3-1,4。成等比數(shù)列，若4=5,S(I為數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和，則

25,,+2n+9

—~Z-的最小值為()

2

??17

A.2?∣3+3B.7C.—D.—

【答案】C

25+2〃+9

【分析】由題意4=5,%，%T，4。成等比數(shù)列，可得d=3,即可求出見,S“，代入一~~—,再結(jié)

41

合雙勾函數(shù)性質(zhì)可求出答案.

【詳解】由于%，%-1，4。成等比數(shù)列，所以(%-1)2=生90，(4+4d-l)2=(α∣+d)?(q+9d)

22

Λ(4J+4)=(5+J)?(5+W),解得c/=3；.a“=3〃+2,.?Sπ=1(3n+7?)

?cIOn÷O3W2+QJ?÷93?

所以“二二+,='+±+3,由雙勾函數(shù)性質(zhì)知y=〃+士在〃≥2∕eN*上單調(diào)遞增，所以當(dāng)

an-23〃〃n

3372S“+2〃+9∣3

〃=2時(shí)，y="+±取得最小值為：2+5==,所以一ii~L的最小值為二.故選：C.

az

n22n~2

【變式訓(xùn)練】

L在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，公比qe(0,l),若%+%=5,%∕=4，bn=?^2an,數(shù)列低｝的前〃

項(xiàng)和為S”，則學(xué)+[+L+曳取最大值時(shí)，"的值為()

12n

A.8B.8或9C.9D.17

【答案】B

【分析】結(jié)合已知條件求得盤，由此求得打，進(jìn)而求得S,,由求得正確答案.

n

24

a↑q+qq=5

aq?aq5=4“1(?V-'.

【詳解】依題意《λλλ

=>ΛI(xiàn)=16,^=-,所以為=i6χ不=2-,?zj=Iog2an=5-n

q>u乙12)

q>0

4+S—nO—“qq—n

所以也｝是首項(xiàng)為4,公差為T的等差數(shù)列，所以Sz,=空|一%=尚上〃,字=2手

由2=2^≥0=14”≤9,"∈N*,所以號(hào)+=?+L+2取最大值時(shí)，〃的值為8或9.

n212n

故選：B

2.等比數(shù)列｛%｝中，若/a；=d，貝∣J()

A.4+4與%+%都有最小值2

B.4+4與%+%都有最小值-2

C.當(dāng)％＜。時(shí)％+%有最小值2,%+%有最大值-2

D.當(dāng)%＜。時(shí)4+。8與%+%都有最大值-2

【答案】C

2

【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到&=1，04+?=?+?＞2,當(dāng)見＜。時(shí)4＜0,%+%=L+q由均值不

等式得到最大值為-2.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為9,根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到：a2a;=a2a6ala=?=?,

得%=1,所以+4=4+42N2,等號(hào)成立的條件為q2=-!rnq=±l,4+&有最小值2:

Q夕

當(dāng)仁＜0時(shí)q＜0,a5+a7=-+q≤-2,等號(hào)成立的條件為才=?4=9=T,

qq

%+%有最大值—2.故選：C.

3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的前八項(xiàng)和S“，滿足S,-2Sz=3,則S6-S&的最小值為()

A.-B.3C.4D.12

4

【答案】D

3

【分析】根據(jù)題意，設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)為4,公比為4,利用5-2邑=3,可得出+%=〒：，

4q-1

則邑-$4=3(d—1)+士+2,再利用基本不等式求最值即可.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)為生,公比為4,

若邑-2邑=3,則有

2

54-252=01+<?+α,+?-2(01+02)=(03+04)-(al+02)=(?-l)(α1+α2)=3,

乂由數(shù)列｛4｝為正項(xiàng)的等比數(shù)列，則4>1,q2>l,

3

貝|]%+4=丁：，

q-1

貝∣J$6_S4=<?+%=/X(4+/)=-?×√=3×(，二1)+2(“二1)+1

√2-lq2-?

3(√-l)+-^-η-+2≥6+3×2×^(<72-1)×-^-J=12,當(dāng)且僅當(dāng)d=2時(shí)等號(hào)成立，

即$6-S,的最小值為12.故選：D.

【題型六】恒成立求參

【典例分析】

已知數(shù)列中，其前八項(xiàng)和為S),,且滿足5,,=2-%，數(shù)列,；｝的前n項(xiàng)和為Z,,若S:---l)%,≥O對(duì)

weN*恒成立，則實(shí)數(shù)2的值可以是()

38

A.--B.2C.3D.-

25

【答案】D

【分析】由5”=2-。“求出/，從而可以求7λ,再根據(jù)已知條件不等式恒成立，可以進(jìn)行適當(dāng)放大即可.

【詳解】若"=1，則B=4=2-α∣,故α∣=l;

「Cl-?

S—1—(1a11?/r1

若"≥2,∏∈N*，則由｛"_得廣=萬，故％=齊F，Sn=一f-=2--

d222

π-l=~?-∣u∏-?乙1-1

2

1_1

所以”,,2=∕r,7h=T=9(4-與)，又因?yàn)镾:-4-l)"7L≥O對(duì)neN*恒成立.

f1-Δ八F/

4

當(dāng)z7=l時(shí)，則（2-1）2+/11（4-1）≥0恒成立，2≥-l

當(dāng)∣”≥2,"∈N*時(shí)，2w^l≥2，θ<^∑τ≤^

所以泊3-產(chǎn)1<2,2<2÷1-≤-5,（113

（2—擊）-×l（-lΓ養(yǎng)一擊）≥0,（2一奈）T（T）H2+強(qiáng)）卜。

若〃為奇數(shù)，貝∣J4≥∕-y^>-3;若〃為偶數(shù)，貝∣j2≤?j^13

-F∏-所以衣τ?7=s9

2+

3?T?'）§（2+；2"^l）3x2

所以，對(duì)“eN*（2—擊）-Λ（-I）"g（4—J）≥0恒成立，必須滿足一1≤∕L≤[

故選：D

【提分秘籍】

基本規(guī)律

數(shù)列恒成立，可以參考函數(shù)恒成立形式：n為自然數(shù)

⑴。/〃）恒成立<=?豕〃）加奴；

（2）γ∕5）恒成立<=?zg（"）加〃.

【變式訓(xùn)練】

1.已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為q=5-〃，其前〃項(xiàng)和為S,,,將數(shù)列｛4｝的前4項(xiàng)去掉其中一項(xiàng)后，剩下三

項(xiàng)按原來的順序恰為等比數(shù)列｛"｝的前3項(xiàng)，記數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為I,若對(duì)任意的〃zeN”，∏∈N^,

S“<（,,+/I恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是（）

A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.[6,+∞)D.(6,+∞)

【答案】D

【分析】利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的前"項(xiàng)和得出S“和r“，再求出（SJu及區(qū)）*,進(jìn)而求出實(shí)數(shù);I的取值

范圍.

【詳解】解：由己知數(shù)列｛可｝的通項(xiàng)公式為?！?5-”,

所以⑸)s=S4=S5=lO.

數(shù)列｛%｝的前4項(xiàng)為4,3,2,I,所以等比數(shù)列也｝的前3項(xiàng)為4,2,所以4=4,q=g,

顯然｛4｝是遞增數(shù)列,且4≤（<8.

若對(duì)任意的〃?∈N,〃∈N',總有S“<1+2成立，則10v4+4,所以2>6.

故選：D.

2.已知數(shù)列｛4｝滿足4+2=3q+「2q,（〃eN*）,且q=l,α2=4,其前〃項(xiàng)和為S,,,若對(duì)任意的正整數(shù)〃,

5,+2〃+處2"20恒成立，則機(jī)的取值范圍是（）

A.∣.+∞JB.-∣,+∞1C.-∣,+∞1

D.[5,+力

【答案】C

【分析】先判斷出數(shù)列｛4*,-“”｝為等比數(shù)列，從而可得其通項(xiàng)公式，通過累加法可得％,進(jìn)而求得S,,,然

后由不等式恒成立得到結(jié)果.

【詳解】由4+2=34用-2%得4,+2-4,+1=2（%-/）,

，數(shù)列｛。,向-4｝是以%=3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

,l

?'??+ι-?=3×2'^,

n2

二當(dāng)〃≥2時(shí)，a?-a?_｝=3×2^,…，ay-a2=3×2,a2-al=3×1,

l×(l-2,,^')

將以上各式累加得=3×2,>^2++3×2+3×l=3×=3(2,,^l-l)>

1-2

1_Dn

:.an=3×2"-'-2,(當(dāng)〃=1時(shí)，也滿足)，.?.S,,=30+2+22+…+2"τ)-2"=3x匕二-2"=3?2"-2"-3,

,,,

?Sπ+2n+w?2'>0,W3?2"-2n-3+2rt+w?2>O.

31133

.?.3-2),-3+∕n?2,,≥0.即機(jī)≥-3+f—≤?.,?m≥-3+-=--.

故，〃的取值范圍是一T'+00)故選：c?

3.已知數(shù)列｛%｝的前N項(xiàng)和為S,,,且滿足34+32+…+3Z=若對(duì)于任意的xe[0,l],“cN",不

等式5“<-2/-(“+1)》+/-。+；恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(-??,-1]1.[3,+∞)B.(―∞,-1)(3,+00)

C.(-∞,-2][l,+∞)D.(-00,—2)D(1,+oo)

【答案】A

【分析】首先根據(jù)題意求出/="，從而得到S“<3：再由對(duì)于任意的XW[0』，〃wN",不等式

S,,<-2χ2-(α+l)χ+Y-α+g恒成立，得至IJ不等式2f+(α+l)χ?〃+α≤0在χ∈[θ,l]時(shí)恒成立，從而得到

,通過解不等式組即可求出實(shí)數(shù)"的取值范圍,

2l

【詳解】因?yàn)?4+3%?+…+3"α,,="("eN*),所以n≥2時(shí)，3al+3α2+...+3"-aπ.l=n-l,

兩式相減，得3"α,,=l("≥2),即4,(“22),又e時(shí)，3α,=l,所以4=g,

ILfiYl

因?yàn)镚=:也適合所以為=3.所以S=3113川』JULL

333λ12y3)2

3

因?yàn)閷?duì)于任意的xe[0,l].〃7*,不等式5“<-2/—(4+1口+/-4+3恒成立，

所以對(duì)于任意的xe[0,l],不等式35-2/-(4+1)》+片—。+3恒成立，

即對(duì)于任意的x∈[0,l],不等式2丁+(°+1方一儲(chǔ)+。<0恒成立，

[/(O)≤Of-a2+a<O

所以只需，「八，即C(,?2"，解得α≤-1或α≥3.

[/(l)≤0[2+(α+l)-/+4≤0

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-∞