2024屆高考物理第一輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)練習(xí)：第十一章 強(qiáng)化二十二　帶電粒子在立體空間中的運(yùn)動(dòng)

專題強(qiáng)化二十二帶電粒子在立體空間中的運(yùn)動(dòng)

舊標(biāo)要求】1.會(huì)處理帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的螺旋線運(yùn)動(dòng)和疊加場(chǎng)中的旋進(jìn)運(yùn)動(dòng).2.掌握帶

電粒子在立體空間中的運(yùn)動(dòng)的解題思路和處理方法.

題型一帶電粒子的螺旋線運(yùn)動(dòng)和旋進(jìn)運(yùn)動(dòng)

空間中勻強(qiáng)磁場(chǎng)的分布是三維的，帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況可以是三維的.現(xiàn)在主要討

論兩種情況：

(1)空間中只存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，當(dāng)帶電粒子的速度方向與磁場(chǎng)的方向不平行也不垂直時(shí)，帶電粒

子在磁場(chǎng)中就做螺旋線運(yùn)動(dòng).這種運(yùn)動(dòng)可分解為平行于磁場(chǎng)方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直于磁

場(chǎng)平面的勻速圓周運(yùn)動(dòng).

(2)空間中的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)(或重力場(chǎng))平行時(shí)，帶電粒子在一定的條件下就可以做旋進(jìn)

運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)可分解為平行于磁場(chǎng)方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)和垂直于磁場(chǎng)平面的勻速圓周運(yùn)

動(dòng).

I例1】如圖所示，質(zhì)子以初速度。進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B且足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，速度方向與

磁場(chǎng)方向的夾角為。.己知質(zhì)子的質(zhì)量為m、電荷量為e.質(zhì)子重力不計(jì)，則下列說(shuō)法正確的是

()

B

A.質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的軌跡為螺旋線，螺旋線的中軸線方向垂直于紙面向里

B.質(zhì)子在垂直于磁場(chǎng)平面做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為f—

C.質(zhì)子做螺旋線運(yùn)動(dòng)的周期為瑞］

D.一個(gè)周期內(nèi)，質(zhì)子沿著螺旋線軸線方向運(yùn)動(dòng)的距離(即螺距)為一"一

答案D

解析將質(zhì)子的初速度分解為垂直于磁場(chǎng)方向的速度oi=osin。，沿磁場(chǎng)方向的速度02=ocos

e,質(zhì)子沿垂直磁場(chǎng)方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，沿磁場(chǎng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的枕跡為

螺旋線，螺旋線的中軸線方向平行磁場(chǎng)方向，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；質(zhì)子做螺旋線運(yùn)動(dòng)的半徑為「=寫

CD

空那'，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；質(zhì)子做螺旋線運(yùn)動(dòng)的周期為7=竽=繆，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；一個(gè)周期

CDV1CD

內(nèi)，質(zhì)子沿著螺旋線軸線方向運(yùn)動(dòng)的距離（即螺距）為X=02T=—市一，選項(xiàng)D正確.

［例2】（2023?山東荷澤市模擬）在空間中存在水平向右的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大

小為8,電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E,方向均沿x軸水平向右.在。點(diǎn)，一個(gè)a粒子（氫原子核）以速

度。o沿與x軸夾角為60。的方向射入電、磁場(chǎng)，己知質(zhì)子質(zhì)量為〃?、電荷量為%不計(jì)a粒

子的重力.求：

（l）a粒子離x軸的最遠(yuǎn)距離；

（2）a粒子從O點(diǎn)射出后，第3次與x軸相交時(shí)的動(dòng)能.

答案（1）苜^~（2）2機(jī)。J+---（v0+—）

解析（1）由題意可知a粒子的質(zhì)量為〃％=4〃八電荷量為私=2<7，將a粒子的初速度分解成

沿x軸方向的分速度內(nèi)與垂直x軸方向的分速度巧，則有

f.v=yocos6O0=^Vo,vv=fosin60°=坐i>o

由于q與磁場(chǎng)方向平行，不受洛倫茲力影響，電場(chǎng)方向沿著x軸方向，只影響內(nèi)，不影響外,

故a粒子在電、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)可分解為：垂直于x軸的平面

內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，沿x軸方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng).對(duì)于垂直于x軸平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

有必必解得圓周運(yùn)動(dòng)半徑行="吟故a粒子離x軸的最遠(yuǎn)距離是

直徑的長(zhǎng)度，即為2小;“）；

（2）a粒子從O點(diǎn)射出后，第3次與x軸相交時(shí)，由于在垂直于才軸的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

可知此過(guò)程經(jīng)歷的時(shí)間『=37=3乂冽整=且譬，沿x軸方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)所通過(guò)的位移

qb

、=0."+%尸，又加速度”=誓=篝，解得x=^（Vo+喈）

a粒子從。點(diǎn)射出后到第3次與x軸相交的過(guò)程，由動(dòng)能定理有q<xEx=Ek—

2\2itmE.6nE、

聯(lián)立解得a粒子從。點(diǎn)射出后,第3次與尤軸相交時(shí)的動(dòng)能Ek=2wy0-F—^―（。。+?。?

題型二帶電粒子在立體空間中的偏轉(zhuǎn)

分析帶電粒子在立體空間中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，要發(fā)揮空間想象力，確定粒子在空間的位置關(guān)系.帶

電粒子依次通過(guò)不同的空間，運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為不同的階段，只要分析出每個(gè)階段上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,

再利用兩個(gè)空間交界處粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和關(guān)聯(lián)條件即可解決問(wèn)題.有時(shí)需要將粒子的運(yùn)動(dòng)分

解為兩個(gè)互相垂直的平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)（比如螺旋線運(yùn)動(dòng)和旋進(jìn)運(yùn)動(dòng)）來(lái)求解.

【例3】（2022?山東卷?17）中國(guó)“人造太陽(yáng)”在核聚變實(shí)驗(yàn)方面取得新突破，該裝置中用電磁場(chǎng)

約束和加速高能離子，其部分電磁場(chǎng)簡(jiǎn)化模型如圖所示，在三維坐標(biāo)系。到z中，0<zWd空

間內(nèi)充滿勻強(qiáng)磁場(chǎng)I,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8,方向沿x軸正方向；-34Wz<0,的空間內(nèi)

充滿勻強(qiáng)磁場(chǎng)H,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為學(xué)3,方向平行于xOy平面，與x軸正方向夾角為45。；

z<0,的空間內(nèi)充滿沿），軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng).質(zhì)量為加、帶電量為+g的離子甲，從

yOz平面第三象限內(nèi)距y軸為L(zhǎng)的點(diǎn)A以一定速度出射，速度方向與z軸正方向夾角為￡,

在），Oz平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，經(jīng)坐標(biāo)原點(diǎn)。沿z軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)I.不計(jì)離子重力.

（1）當(dāng)離子甲從A點(diǎn)出射速度為加時(shí)，求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E；

（2）若使離子甲進(jìn)入磁場(chǎng)后始終在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的最大速度Um；

（3）離子甲以鬻的速度從。點(diǎn)沿z軸正方向第一次穿過(guò)x。），面進(jìn)入磁場(chǎng)I,求第四次穿過(guò)xO），

平面的位置坐標(biāo)（用”表示）；

（4）當(dāng)離子甲以鬻的速度從。點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)I時(shí)，質(zhì)量為4%、帶電量為+“的離子乙，也從O

點(diǎn)沿z軸正方向以相同的動(dòng)能同時(shí)進(jìn)入磁場(chǎng)I,求兩離子進(jìn)入磁場(chǎng)后，到達(dá)它們運(yùn)動(dòng)軌跡第

一個(gè)交點(diǎn)的時(shí)間差忽略離子間相互作用）.

/Wsin^cos^aBd

口滎⑴qL⑷加

（3）（4d,0）（4）（2+2啦）湍

解析（1）如圖所示

將離子甲在A點(diǎn)的出射速度。o分解到沿y軸方向和z軸方向，離子受到的靜電力沿)，軸負(fù)方

向，可知離子沿z軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿)，軸方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，從A到。的過(guò)程,

有

L=vocosp-t,Uosinp=at,a—

陰，“5r-加溢出6cosB

聯(lián)工解仔E=----瓦:

(2)如圖所示

2

離子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿Z軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)I中，由洛倫茲力提供向心力可得“。歸二一1-

離子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)I偏轉(zhuǎn)后從y軸進(jìn)入磁場(chǎng)H中，由洛倫茲力提供向心力可得qs?坐8=詈，可

得rw

為了使離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，需滿足門Wd,“W3d

則可得uiW嚕

故要使離子甲進(jìn)入磁場(chǎng)后始終在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的最大速度為^

(3)離子甲以。=等的速度從O點(diǎn)沿z軸正方向第一次穿過(guò)xOy面進(jìn)入磁場(chǎng)I,離子在磁場(chǎng)

4

。

I中的軌跡半徑為nB2

離子在磁場(chǎng)II中的軌跡半徑為rz=^

離子從O點(diǎn)第一次穿過(guò)到第四次穿過(guò)xOy平面的運(yùn)動(dòng)情景，如圖所示

離子第四次穿過(guò)xOy平面的x坐標(biāo)為

X4=2「2sin450=d

離子第四次穿過(guò)平面的y坐標(biāo)為＞4=2〃=d

故離子第四次穿過(guò)X。)，平面的位置坐標(biāo)為(d,d,0):

(4)設(shè)離子乙的速度為。'，根據(jù)離子甲、乙動(dòng)能相同，可得%"=/x4w'2

離子乙在磁場(chǎng)I中的軌跡半徑為

,4mvr

r'=~^~=d=2n

離子乙在磁場(chǎng)n中的軌跡半徑為

,4mv1r-

廣2=7z~=y]2d=2r2

q*B

根據(jù)幾何關(guān)系可知離子甲、乙運(yùn)動(dòng)軌跡第一個(gè)交點(diǎn)如圖所示,

從。點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到軌跡第一個(gè)交點(diǎn)的過(guò)程，有

"r+丁k翳+能=(2+2&黨

一品，+/，=9昔+卜*=”4的篝

02B

可得離子甲、乙到達(dá)它們運(yùn)動(dòng)軌跡第一個(gè)交點(diǎn)的時(shí)間差為。=此一，甲

課時(shí)精練

1.（2022?重慶卷5）2021年中國(guó)全超導(dǎo)托卡馬克核聚變實(shí)驗(yàn)裝置創(chuàng)造了新的紀(jì)錄.為粗略了解

等離子體在托卡馬克環(huán)形真空室內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀況，某同學(xué)將一小段真空室內(nèi)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)理想

化為方向均水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)（如圖），電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

員若某電荷量為q的正離子在此電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其速度平行于磁場(chǎng)方向的分量大小為必，

垂直于磁場(chǎng)方向的分量大小為。2,不計(jì)離子重力，則（）

A.電場(chǎng)力的瞬時(shí)功率為qE而可正

B.該離子受到的洛倫茲力大小為*出

C.6與5的比值不斷變大

D.該離子的加速度大小不變

答案D

解析根據(jù)功率的計(jì)算公式可知P=Focos0,則電場(chǎng)力的瞬時(shí)功率為P=Egi,A錯(cuò)誤；由

于功與磁場(chǎng)8平行，則根據(jù)洛倫茲力的計(jì)算公式知尸洛=卯28,B錯(cuò)誤；根據(jù)運(yùn)動(dòng)的疊加原

理可知，離子在垂直于磁場(chǎng)方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，沿磁場(chǎng)方向做加速運(yùn)動(dòng)，則5增大，力不

變，S與0的比值不斷變小，C錯(cuò)誤；離子受到的安培力不變，靜電力不變，則該離子的加

速度大小不變，D正確.

2.如圖所示，豎直平面MNRS的右側(cè)存在方向豎直向上且足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，從平面MNRS

上的。點(diǎn)處以初速度a=10m/s垂直MNRS面向右拋出一帶電荷量為g、質(zhì)量為m的小球.若

磁感應(yīng)強(qiáng)度大小8=等，g取10m/s?.求:

（1）小球離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度大??；

（2）小球離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置與拋出點(diǎn)的距離.

答案（1）10^2m/s（2*/兀］6m

解析（1）小球在水平方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向小球恰好

Tjr/77

轉(zhuǎn)半個(gè)周期離開(kāi)磁場(chǎng)，故離開(kāi)磁場(chǎng)的時(shí)間為1=/=直=1S,則離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)在豎直方向上的速

度馬，=g/=10m/s,故小球離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為0=而再五?=10^m/s.

(2)小球離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)在豎直方向的位移大小為＞=上尸=5m,小球在水平方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

有4加8=噂，解得R=",水平方向位移為直徑，即x=2R=〃*=^m,則小球離開(kāi)

1KC/DCjD兀

磁場(chǎng)時(shí)的位置與拋出點(diǎn)的距離為i=^jr+y2=^y7i2+16m.

3.某離子實(shí)驗(yàn)裝置的基本原理圖如圖所示，截面半徑為R的圓柱腔分為兩個(gè)工作區(qū)，I區(qū)長(zhǎng)

度d=4R,內(nèi)有沿y軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，II區(qū)內(nèi)既有沿z軸負(fù)向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，又有沿z軸正

向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度與I區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度等大.現(xiàn)有一正離子從左側(cè)截面的最低點(diǎn)A處以初

速度。o沿z軸正向進(jìn)入I區(qū)，經(jīng)過(guò)兩個(gè)區(qū)域分界面上的3點(diǎn)進(jìn)入II區(qū)，在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中

恰好未從圓柱腔的側(cè)面飛出，最終從右側(cè)截面上的C點(diǎn)飛出，B點(diǎn)和C點(diǎn)均為所在截面處豎

直半徑的中點(diǎn)(如圖中所示)，已知離子質(zhì)量為，以電荷量為＜7,不計(jì)離子重力，求：

(1)電場(chǎng)強(qiáng)度的大??；

(2)離子到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大??；

(3)H區(qū)中磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??；

(4)II區(qū)的長(zhǎng)度乙應(yīng)為多大.

3mv(^52mvo,

答案⑴(2)4^O(4)rniR+^-/?5=1,2,3,…)

解析(1)離子在I區(qū)做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有4R=o”，竽=/7產(chǎn)，根據(jù)牛頓

第二定律有。=普，解得電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為￡=

(2)類平拋過(guò)程由動(dòng)能定理有—；機(jī)的2,解得離子到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小為U=^Vo.

(3)離子在II區(qū)內(nèi)做復(fù)雜的旋進(jìn)運(yùn)動(dòng).將該運(yùn)動(dòng)分解為圓柱腔截面上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和z軸

正方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意可得，在圓柱腔截面上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示.設(shè)

臨界圓軌跡半徑為r,根據(jù)幾何知識(shí)有(R—r)2=F+與，解得離子的軌跡半徑為離子

沿y軸正方向的速度為Oy=\jV2一研)2=/0,則根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qv、B=~^~

解得II區(qū)中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8=2錚.

CJK

（4）離子在圓柱腔截面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T=—,由題意知離子在n區(qū)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

為T的整數(shù)倍，離子在z軸正方向上做句加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式可

13層兀2

得￡=。0〃7+呼（〃7）2（〃=1,2,3,"?）,聯(lián)立解得H區(qū)的長(zhǎng)度為乙=〃兀/?+jyR（”=l,2,3,,,,）.

4.如圖所示，一些質(zhì)量為，小電荷量為+q的帶電粒子從一線狀粒子源射出（初速度可視為0）,

經(jīng)過(guò)電壓為U的電場(chǎng)加速后，粒子以一定的水平初速度從M5段垂直射出（S為MF中點(diǎn)），進(jìn)

入棱長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方體電磁修正區(qū)內(nèi)（內(nèi)部有垂直面MPRG的方向如圖，磁感應(yīng)強(qiáng)度B和電場(chǎng)

強(qiáng)度E大小未知的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與勻強(qiáng)電場(chǎng)）.距離正方體底部小L處有一與RNAG平行且足夠

大平板.現(xiàn)以正方體底面中心。在平板的垂直投影點(diǎn)為原點(diǎn)，在平板內(nèi)建立直角坐標(biāo)系（其

中x軸與GR平行）.所有帶電粒子都從正方體底面離開(kāi)，且從M點(diǎn)進(jìn)入正方體的粒子在正方

體中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間滿足葬.不計(jì)粒子重力.

（1）求粒子進(jìn)入棱長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方體電磁修正區(qū)時(shí)速度的大??；

（2）粒子射出正方體電磁修正區(qū)后到達(dá)平板所需的時(shí)間；

（3）若滿足關(guān)系式箋，求從M點(diǎn)入射的粒子最后打到平板上的位置坐標(biāo).（結(jié)果用乙

表示）

答案（1寸烹⑵2AA展

/J9-2小9+4兀）

解析（1）設(shè)粒子進(jìn)入棱長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方體電磁修正區(qū)時(shí)的速度大小為V,根據(jù)動(dòng)能定理有qU

=^mv2,解得

（2）在正方體中，粒子在平行于MPRG平面方向的分運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在垂直于MPRG

平面方向的分運(yùn)動(dòng)為勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T,根據(jù)洛倫茲力提供向

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