河南省南陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期終質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023年秋期高中一年級(jí)期終質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.考生做題時(shí)將答案答在答題卡的指定位置上，在本試卷上答題無(wú)效.2.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整，筆跡清楚.4.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.5.保持卷面清潔，不折疊、不破損.第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，記.則下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)集合對(duì)元素的要求，求得集合,再根據(jù)交集并集的定義判斷A,B兩項(xiàng)，根據(jù)集合新定義和的元素要求，分別求出集合判斷即得.【詳解】由可得可能的取值有，即，均滿足，故.對(duì)于A項(xiàng)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因，故，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，依題有，,則，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.2.下列各組函數(shù)中是同一個(gè)函數(shù)的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】判斷是否為同一函數(shù)，一般考查兩個(gè)方面：①定義域相同；②對(duì)應(yīng)法則相同.只有兩個(gè)方面都分別相同，才能稱為同一函數(shù).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因函數(shù)的定義域?yàn)镽，而函數(shù)的定義域?yàn)?，故該組函數(shù)不是同一函數(shù)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，兩函數(shù)的定義域相同，但對(duì)應(yīng)法則不同，故該組函數(shù)也不是同一函數(shù)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，而函?shù)的定義域?yàn)镽，故該組函數(shù)不是同一函數(shù)，C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，兩函數(shù)的定義域都是，且對(duì)應(yīng)的法則相同，故該組函數(shù)是同一函數(shù)，D項(xiàng)正確.故選：D.3.一元二次方程有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根的充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出方程有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件，結(jié)合選項(xiàng)，判斷哪一個(gè)是該條件的真子集，即可得答案.【詳解】由題意知一元二次方程的兩根為，要使得方程有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根，需，結(jié)合選項(xiàng)知，只有，即一元二次方程有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根的充分不必要條件是，故選：C4.如圖，一高為的球形魚(yú)缸，勻速注滿水所用時(shí)間為.若魚(yú)缸水深為時(shí)，勻速注水所用的時(shí)間為，則函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將容器看做一個(gè)球體，根據(jù)的實(shí)際意義求解．【詳解】將容器看做一個(gè)球體，在剛開(kāi)始注水時(shí)，由于球體的截面積較小，對(duì)于相同的時(shí)間，高度的變化較大，即較大，到水注入球體的一半時(shí)，由于球體的截面積較大，的變化率較小，接近于球體的頂端時(shí)，的變化率又較大．故選：D．5.設(shè)集合，，函數(shù).若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化有兩個(gè)根，設(shè)，，即與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，作出的圖象，結(jié)合圖象分析實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化有兩個(gè)根，設(shè)，，則與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，由題可得：，作出的圖象如下：由題可得，，，所以要使與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍.故選：B6.因?qū)W校政治老師比較緊缺，高一年級(jí)為了了解學(xué)生選科中包含“政治”這一科目學(xué)生人數(shù)便于安排教學(xué).從高一年級(jí)中隨機(jī)抽取了五個(gè)班，把每個(gè)班選科中包含“政治”的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)各不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】C【解析】【分析】分析題意，利用均值和方差的定義列方程求解即可.【詳解】設(shè)五個(gè)班級(jí)參加的人數(shù)分別為，由題意得，,分析得必定為，故，解得，或，，解得或，顯然人數(shù)從低到高為，故最大值為.故選：C7.已知某種獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為，為了保證中獎(jiǎng)率大于，至少應(yīng)該購(gòu)買的獎(jiǎng)券數(shù)為（參考數(shù)據(jù)，）（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】從對(duì)立事件考慮較簡(jiǎn)單，即考慮每張獎(jiǎng)券不中獎(jiǎng)概率為，依題須使不中獎(jiǎng)率不超過(guò)，列出不等式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解之，并用近似值代入估算即得.【詳解】不妨設(shè)至少購(gòu)買張獎(jiǎng)券，依題意，，即，兩邊取常用對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)得：，即，代入，，計(jì)算即得：，即至少要買6張獎(jiǎng)券.故選：C.8.已知函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先結(jié)合條件判斷函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)和單調(diào)性，再分別界定三個(gè)自變量的值或者范圍，利用函數(shù)對(duì)稱性和單調(diào)性即得.【詳解】依題可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在區(qū)間上單調(diào)遞增,則在區(qū)間上單調(diào)遞減.因，則，，故，即.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于，得知了函數(shù)在上的單調(diào)性之后，如何判斷三個(gè)自變量的大小范圍，考慮到三個(gè)都是大于1的，且有一個(gè)是，故對(duì)于和，就必然先考慮它們與的大小，而這需要利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列情境適合用古典概型來(lái)描述的是（）A.向一條線段內(nèi)隨機(jī)地投射一個(gè)點(diǎn)，觀察點(diǎn)落在線段上不同位置B.五個(gè)人站一排，觀察甲乙兩人相鄰的情況C.從一副撲克牌（去掉大、小王共52張）中隨機(jī)選取1張，這張牌是紅色牌D.某同學(xué)隨機(jī)地向靶心進(jìn)行射擊，這一試驗(yàn)的結(jié)果只有有限個(gè)：命中10環(huán)，命中9環(huán)，命中1環(huán)和脫靶【答案】BC【解析】【分析】利用古典概型的定義判斷即可.【詳解】對(duì)于A，實(shí)驗(yàn)結(jié)果有無(wú)數(shù)個(gè)，顯然不是古典概型，故錯(cuò)誤，對(duì)于B，實(shí)驗(yàn)結(jié)果有限且等可能，故正確，對(duì)于C，實(shí)驗(yàn)結(jié)果有限且等可能，故正確，對(duì)于D，顯然實(shí)驗(yàn)并非等可能，故錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)，若存在最小值，則實(shí)數(shù)a的可能取值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】CD【解析】【分析】運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得的的值域，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，可得的值域，由題意列出不等式，求解即可得到所求范圍．【詳解】函數(shù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的范圍是；時(shí)，，，由題意存在最小值，，故選：CD．11.甲乙兩人約定玩一種游戲，把一枚均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，游戲規(guī)則有如下四種，其中對(duì)甲有利的規(guī)則是（）A.若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，則甲獲勝，否則乙獲勝B.若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)中最大的點(diǎn)數(shù)大于4，則甲獲勝，否則乙獲勝C.若兩次擲出點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)，則甲獲勝；若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù)，則乙獲勝D.若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)是一奇一偶，則甲獲勝；若兩次擲出的點(diǎn)數(shù)均是奇數(shù)或者偶數(shù)﹐則乙獲勝【答案】AB【解析】【分析】確定把一枚均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，共有多少個(gè)基本事件，然后分別計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)中甲獲勝的基本事件數(shù)，即可比較兩人獲勝的概率，即可得答案.【詳解】對(duì)于A，把一枚均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，共有36個(gè)基本事件，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是2，3，4，5，6，10，12的基本事件有：，，共19種，則甲獲勝的概率為，乙獲勝概率小于，故此種情況對(duì)甲有利，A正確；對(duì)于B，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)中最大的點(diǎn)數(shù)大于4，最大的點(diǎn)數(shù)為5或6，最大的點(diǎn)數(shù)為5時(shí)，基本事件共有9個(gè)，最大的點(diǎn)數(shù)為6時(shí)，基本事件共有11個(gè)，此時(shí)共有20個(gè)基本事件，則甲獲勝的概率為，故此種情況對(duì)甲有利，B正確；對(duì)于C，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)，共有，，共18個(gè)基本事件，則兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù)，也有18個(gè)基本事件，此時(shí)甲、乙獲勝的概率均為，此時(shí)對(duì)甲并不有利；對(duì)于D，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)是一奇一偶，則基本事件有個(gè)，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)均是奇數(shù)或者偶數(shù)，基本事件也是個(gè)，此時(shí)甲、乙獲勝的概率均為，此時(shí)對(duì)甲并不有利；故選：AB12.已知，，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合的方法，即分別作出以及的圖象，即可判斷A，C；利用中間變量，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，比較大小，可判斷B，D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)均為R上的增函數(shù)，且時(shí)，兩函數(shù)值相等，均為1，時(shí)，兩函數(shù)值相等，均為9，作出函數(shù)的圖象如圖：由圖可知當(dāng)時(shí)，，即，A正確；對(duì)于B，時(shí)，，由于，故，故，B正確；對(duì)于C，作出函數(shù)的圖象如圖，由圖象可知當(dāng)時(shí)，，即，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，，，由于，故，即，D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）比較一次函數(shù)值與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)值的大小關(guān)系，可采用數(shù)形結(jié)合的方法，即作出函數(shù)圖象，可比較函數(shù)值大小關(guān)系；（2）比較指數(shù)冪以及對(duì)數(shù)值的大小關(guān)系，可尋找中間量，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)行大小比較.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知函數(shù)，則不等式的解集是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】,所以,由于函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為：14.最近南陽(yáng)地區(qū)舉辦了“十萬(wàn)教師大比武”活動(dòng)，其中評(píng)委分為專家評(píng)委（10人）和大眾評(píng)委（40人）兩組.某位青年教師參加比賽的得分情況如下：專家評(píng)委組的平均分為9分，方差為0.02；大眾評(píng)委組的平均分為8.5分，方差為0.02.則該教師本次比賽得分的方差是______.【答案】0.06##【解析】【分析】利用總方差公式求解即可.【詳解】設(shè)本次比賽的總方差為，易知總平均數(shù)為由總方差公式得.故答案為：0.0615.要建造一段500m的高速公路，工程隊(duì)需要把60人分成兩組，一組完成一段200m的軟土地帶公路的建造任務(wù)，同時(shí)另一組完成剩下的300m的硬土地帶公路的建造任務(wù).據(jù)測(cè)算，軟、硬土地每米公路的工程量分別是5人天和3人天.要使全隊(duì)筑路工期最短，則需安排到硬土地工作的人數(shù)是______人.【答案】28【解析】【分析】設(shè)安排到硬土地工作的人數(shù)為x人，求出兩地帶的工作時(shí)間，確定兩地帶同時(shí)完工，全隊(duì)筑路工期才最短，解方程并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明，即可得答案.【詳解】設(shè)安排到硬土地工作的人數(shù)為x人，則安排到軟土地工作的人數(shù)為人，則在軟土地帶工作時(shí)間為，在硬土地帶工作時(shí)間為，要使全隊(duì)筑路工期最短，需兩地帶同時(shí)完工，即，即，解得，由于，而，由于為增函數(shù)，在上單調(diào)遞減，故只有當(dāng)時(shí)，兩地帶最接近于同時(shí)完工，故需安排到硬土地工作的人數(shù)是28人，故答案為：2816.已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則______.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，進(jìn)而根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】由可得，記，由于函數(shù)單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，由可得，又，因此，由可得，所以，可得，故答案為：四、計(jì)算題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.（1）已知，，，求證：；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）由乘“1”法結(jié)合基本不等式即可得證；（2）由（1）中結(jié)論可得，由此轉(zhuǎn)換成解一元二次不等式即可得解.【詳解】（1）∵，，，∴，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）,∴.（2）由于，可將x看作（1）中的a，看作（1）中的b，根據(jù)（1）的結(jié)論，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為4，所以有成立，解得：.所以m的取值范圍為.18.已知定義在R上的函數(shù)，滿足.（1）求的解析式；（2）若點(diǎn)在圖像上自由運(yùn)動(dòng)，求的最小值.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）用替換已知中的，然后解方程；（2）利用基本不等式求最值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，①所以，②由①②可解得?【小問(wèn)2詳解】由題知：，∴（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“＝”）.∴的最小值為8.19.我市某高中對(duì)2023年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求a的值，并估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)的平均分；（2）估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)的80%分位數(shù).【答案】（1），平均分為93（2）115【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和即可求解，進(jìn)而根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解，（2）根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】由，解得.即數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢侯l率，頻率，頻率，頻率，頻率，頻率，所以平均分是：【小問(wèn)2詳解】由（1）知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?10分以下所占比例為，在130分以下所占比例為，因此，80%分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，所以樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為115.20.多選題是新高考中的一種題型，其規(guī)則如下：有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的或一個(gè)都不選的得0分．某同學(xué)正在參加西昌市半期考試，當(dāng)其做到多項(xiàng)選擇題11題和12題時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己不會(huì)，在這兩個(gè)多項(xiàng)選擇題中，他選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率是，選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率是，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率是，若該同學(xué)猜答案時(shí)題目與題目之間互不影響，且第11題和第12題的正確答案都是兩個(gè)選項(xiàng)．（1）求該同學(xué)11題得2分的概率；（2）求該同學(xué)第11，12題兩個(gè)題總共得分為7分的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，結(jié)合題意，可得答案.（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）以及概率乘法公式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)“該同學(xué)11題只選一個(gè)選項(xiàng)”為事件，則，設(shè)“該同學(xué)11題選的一個(gè)選項(xiàng)是正確的”為事件，則，易知“該同學(xué)11題得2分”等價(jià)于“該同學(xué)11只選一個(gè)選項(xiàng)且該選項(xiàng)是對(duì)得”，即為，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得“該同學(xué)12題的2分”的概率為，該同學(xué)選兩個(gè)選項(xiàng)的情況有六種情況，正確的只有一種，則事件“該同學(xué)選的兩個(gè)選項(xiàng)是正確的”的概率為，所以事件“該同學(xué)每個(gè)題得5分”的概率為，事件“該同學(xué)11題和12題總共得7分”等價(jià)于事件“該同學(xué)一個(gè)題得2分，另一個(gè)題得5分”，則概率為.21.已知函數(shù)，.（1）解不等式；（2）若對(duì)任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算及換底公式變形函數(shù)，換元并結(jié)合二次不等式求解即得.（2）求出函數(shù)在上值域，再分類探討函數(shù)在上的值域，借助集合的包含關(guān)系列式求解即得.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，由，得，令，則不