新高考數(shù)學(xué)圓錐曲線62種題型第八節(jié) 直線與圓錐曲線問(wèn)題（教師版）

第八節(jié)直線與圓錐曲線問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)歸納1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有相交、相切、相離；相交有兩個(gè)交點(diǎn)(特殊情況除外)，相切有一個(gè)交點(diǎn)，相離無(wú)交點(diǎn).(2)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0代入圓錐曲線C的方程.消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①當(dāng)a≠0時(shí)，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有Δ＞0時(shí)，直線l與曲線C相交；Δ＝0時(shí)，直線l與曲線C相切；Δ＜0時(shí)，直線l與曲線C相離.②當(dāng)a＝0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則l與C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合.2.圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（y1＋y2）2－4y1y2)))，k為直線斜率且k≠0.[常用結(jié)論]與橢圓有關(guān)的結(jié)論：(1)通徑的長(zhǎng)度為eq\f(2b2,a)；(2)過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，P是橢圓上異于A，B的任一點(diǎn)，則kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2)；(3)若點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)P的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.題型歸類題型一直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷例1已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.試問(wèn)當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：(1)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn).解將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，②))將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)當(dāng)Δ>0，即－3eq\r(2)<m<3eq\r(2)時(shí)，方程③有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解.這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).(2)當(dāng)Δ＝0，即m＝±3eq\r(2)時(shí)，方程③有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解.即直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn).感悟提升在判斷直線和圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，先聯(lián)立方程組，再消去x(或y)，得到關(guān)于y(或x)的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需討論二次項(xiàng)系數(shù)等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應(yīng)注意斜率不存在的情形.題型二弦的有關(guān)問(wèn)題角度1焦點(diǎn)弦例2(2023·武漢質(zhì)檢)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為_(kāi)_______.答案eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1解析設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0).連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn).如圖，不妨設(shè)A(0，－b)，由F2(1，0)，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(b,2))).由點(diǎn)B在橢圓上，得eq\f(\f(9,4),a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.角度2中點(diǎn)弦例3已知P(1，1)為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過(guò)P引一條弦，使此弦被P點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為_(kāi)_______________.答案x＋2y－3＝0解析法一易知此弦所在直線的斜率存在，∴設(shè)斜率為k，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(xeq\o\al(2,1),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),2)＝1，①eq\f(xeq\o\al(2,2),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,2),2)＝1，②①－②得eq\f(（x1＋x2）（x1－x2）,4)＋eq\f(（y1＋y2）（y1－y2）,2)＝0.∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴eq\f(x1－x2,2)＋y1－y2＝0.又x2－x1≠0，∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2).經(jīng)檢驗(yàn)，k＝－eq\f(1,2)滿足題意.∴此弦所在的直線方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.法二易知此弦所在直線的斜率存在，∴設(shè)其方程為y－1＝k(x－1)，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－1＝k（x－1），,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，∴x1＋x2＝eq\f(4k（k－1）,2k2＋1).又∵x1＋x2＝2，∴eq\f(4k（k－1）,2k2＋1)＝2，解得k＝－eq\f(1,2).經(jīng)檢驗(yàn)，k＝－eq\f(1,2)滿足題意.故此弦所在的直線方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.角度3一般弦例4如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，|AB|＝4.(1)求橢圓的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝eq\f(48,7)，求直線AB的方程.解(1)由題意知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝eq\r(3)，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時(shí)，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|＋|CD|＝7，不滿足條件.②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線CD的方程為y＝－eq\f(1,k)(x－1).將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，則x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，x1·x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，所以|AB|＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\r(k2＋1)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(12（k2＋1）,3＋4k2).同理，|CD|＝eq\f(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1)),3＋\f(4,k2))＝eq\f(12（k2＋1）,3k2＋4).所以|AB|＋|CD|＝eq\f(12（k2＋1）,3＋4k2)＋eq\f(12（k2＋1）,3k2＋4)＝eq\f(84（k2＋1）2,（3＋4k2）（3k2＋4）)＝eq\f(48,7)，解得k＝±1，所以直線AB的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0.感悟提升1.弦及弦中點(diǎn)問(wèn)題的解決方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢圓或雙曲線方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)關(guān)系表示中點(diǎn)；(2)點(diǎn)差法：利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓或雙曲線方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)、斜率間的關(guān)系.若已知弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，可求弦所在直線的斜率.2.弦長(zhǎng)的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與橢圓或雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng)公式的常見(jiàn)形式有如下幾種：①|(zhì)AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2]).題型三圓錐曲線的切線問(wèn)題例5已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，直線l：4x－5y＋40＝0，橢圓上是否存在一點(diǎn)，使得它到直線l的距離最小或最大？并求最小值與最大值？解設(shè)與直線l：4x－5y＋40＝0平行的直線l′：4x－5y＋m＝0，當(dāng)直線l′與橢圓相切于A點(diǎn)時(shí)，此時(shí)A到l距離最??；當(dāng)直線l′與橢圓相切于B點(diǎn)時(shí)，此時(shí)B到l的距離最大.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－5y＋m＝0，,\f(x2,25)＋\f(y2,9)＝1，))消去y得25x2＋8mx＋m2－225＝0，Δ＝64m2－100(m2－225)＝0，∴m＝±25.當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(9,5)))時(shí)，l1：4x－5y＋25＝0，此時(shí)距離最小，dmin＝eq\f(|40－25|,\r(41))＝eq\f(15\r(41),41).當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(9,5)))時(shí)，l2：4x－5y－25＝0，此時(shí)距離最大，dmax＝eq\f(|40＋25|,\r(41))＝eq\f(65\r(41),41).感悟提升1.處理圓錐曲線的切線問(wèn)題的常用方法為代數(shù)法，即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，根據(jù)Δ＝0來(lái)求解.2.(1)過(guò)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1；(2)過(guò)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1；(3)過(guò)拋物線C：y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為y0y＝p(x＋x0).題型四直線與圓錐曲線的綜合例6已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，短軸長(zhǎng)為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)P(1，0)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若△ABO的面積為eq\f(3,5)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的方程.解(1)由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,2b＝2，,c2＝a2－b2，))解得a2＝4，b2＝1，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由題意可知直線的斜率不為0，則設(shè)直線的方程為x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,\f(x2,4)＋y2＝1，))整理得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，Δ＝(2m)2－4(m2＋4)×(－3)＝16m2＋48＞0，則y1＋y2＝－eq\f(2m,m2＋4)，y1y2＝－eq\f(3,m2＋4)，故|y1－y2|＝eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2m,m2＋4)))\s\up12(2)＋\f(12,m2＋4))＝eq\f(4\r(m2＋3),m2＋4)，因?yàn)椤鰽BO的面積為eq\f(3,5)，所以eq\f(1,2)|OP||y1－y2|＝eq\f(1,2)×1×eq\f(4\r(m2＋3),m2＋4)＝eq\f(2\r(m2＋3),m2＋4)＝eq\f(3,5)，設(shè)t＝eq\r(m2＋3)≥eq\r(3)，則eq\f(2t,t2＋1)＝eq\f(3,5)，整理得(3t－1)(t－3)＝0，解得t＝3或t＝eq\f(1,3)(舍去)，即m＝±eq\r(6).故直線的方程為x＝±eq\r(6)y＋1，即x±eq\r(6)y－1＝0.感悟提升(1)解答直線與橢圓相交的題目時(shí)，常用到“設(shè)而不求”的方法，即聯(lián)立直線和橢圓的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件，建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系求解.(2)涉及直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.課時(shí)作業(yè)一、單選題1．P為橢圓上一點(diǎn)，、為左右焦點(diǎn)，若則△的面積為A． B． C．1 D．3【答案】D【分析】利用橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式，直接計(jì)算得所求三角形的面積.【詳解】橢圓，根據(jù)橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式.屬于基礎(chǔ)題.如果橢圓焦點(diǎn)三角形的頂角為，則焦點(diǎn)三角形的面積為.對(duì)于雙曲線來(lái)說(shuō)，如果雙曲線焦點(diǎn)三角形的頂角為，則焦點(diǎn)三角形的面積為.解題過(guò)程中可以作為結(jié)論來(lái)應(yīng)用.這些結(jié)論平時(shí)注意收集.2．若直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1C．2 D．需根據(jù)a，b的取值來(lái)確定【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用直線與圓的位置關(guān)系，得到，進(jìn)而結(jié)合圓和橢圓的位置關(guān)系，即可求得答案.【詳解】因?yàn)橹本€和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，所以原點(diǎn)到直線的距離，即，所以點(diǎn)是在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn)，又因?yàn)闄E圓，可得，所以圓內(nèi)切于橢圓，所以點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以過(guò)點(diǎn)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：C.3．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，可得，，將兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入橢圓方程，兩式相減可求出===，進(jìn)而可求出的值.【詳解】設(shè)，則，，則，兩式相減得：，∴===，又==，∴，聯(lián)立，得.∴橢圓方程為.故選：D．4．已知斜率為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線交于，兩點(diǎn)，又直線與圓交于，兩點(diǎn).若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】寫出直線方程為與拋物線方程聯(lián)立方程組，設(shè)，方程組消元后求得，由點(diǎn)在直線上求得（也可消去，直接用韋達(dá)定理得結(jié)論），再由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式表示出弦長(zhǎng)，圓心就是拋物線的焦點(diǎn)，圓半徑是，則，代入已知條件可求得．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，直線方程為，由得，設(shè)，則，又，，∴，∴，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為，∴，∵，∴，解得，∵，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元后求得，由焦點(diǎn)是的拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為可表示出弦長(zhǎng)．5．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，若斜率為的直線l過(guò)點(diǎn)F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去后利用韋達(dá)定理得，從而可得中點(diǎn)橫坐標(biāo)，也即可求得中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．【詳解】由題意拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，∴焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，直線方程為，代入拋物線方程整理得，設(shè)，則，設(shè)中點(diǎn)為，則，∴到準(zhǔn)線的距離為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交弦中點(diǎn)問(wèn)題，解題時(shí)直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組消元后應(yīng)用韋達(dá)定理可得中點(diǎn)坐標(biāo)．6．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則△的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)雙曲線定義以及余弦定理求得，再根據(jù)三角形面積公式，利用二倍角正弦與余弦公式化簡(jiǎn)得結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的右支上，所以因?yàn)樗约匆虼恕鞯拿娣e為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線定義、余弦定理、三角形面積公式以及二倍角正弦與余弦公式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.二、多選題7．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線恒有公共點(diǎn)，則C的準(zhǔn)線可能是（

）．A． B．C． D．【答案】BD【分析】由題意得，點(diǎn)在拋物線上或其內(nèi)部，則，求出的范圍，即可得出答案.【詳解】由題意得，點(diǎn)在拋物線上或其內(nèi)部，則，解得，∴其準(zhǔn)線為.故選:BD．8．已知，分別是橢圓：的左?右焦點(diǎn)，在上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，的面積為1，則（

）A．橢圓的離心率為 B．點(diǎn)在橢圓上C．的內(nèi)切圓半徑為 D．橢圓上的點(diǎn)到直線的距離小于2【答案】ABD【分析】先根據(jù)已知條件得到，再利用的面積為1，確定點(diǎn)P為C的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，然后逐項(xiàng)分析即可.【詳解】由，為的中點(diǎn)可知，.由的面積為1，可知，所以，所以P為橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則，所以，所以，A正確；由A可知，橢圓C的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可知滿足C的方程，B正確；因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且，所以的?nèi)切圓半徑，C錯(cuò)誤；不妨取，則直線的方程為，即，設(shè)橢圓C上的點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離，其中，則，D正確.故選：ABD.三、填空題9．已知是拋物線：的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn).若為的中點(diǎn)，則______.【答案】3；【分析】由題意得：，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)，所以點(diǎn)為，又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，代入拋物線便可得出，進(jìn)而求得.【詳解】根據(jù)題意畫出圖象，如下圖所示：因?yàn)槭菕佄锞€：的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則.則.故：.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題目.10．已知P(x，y)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則x＋y的最大值是________．【答案】5【詳解】令x＋y＝t，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線x＋y＝t與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍問(wèn)題．由,去y得25x2－32tx＋16t2－144＝0，∴Δ＝(－32t)2－100(16t2－144)＝－576t2＋14400≥0，∴－5≤t≤5，∴x＋y的最大值為5.11．已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的面積為，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)______．【答案】【分析】根據(jù)的面積和離心率得出a，b，c的值，從而得出的范圍，得到關(guān)于的函數(shù)，從而求出答案．【詳解】∵的面積為，∴，∴，由已知得，即，所以，所以，又，所以，由，解得，進(jìn)而，∴，又，∴，∴.即的取值范圍為.故答案為：12．正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在拋物線上，C、D在直線上，則正方形的面積為_(kāi)_____．【答案】或/或【分析】設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出，再根據(jù)兩平行直線的距離公式及求出，即可得解.【詳解】解：由題意可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消得，，則，，由正方形可得直線與直線之間的距離，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)正方形的面積為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)正方形的面積為，所以正方形的面積為或.故答案為：或.四、解答題13．已知直線與拋物線.(1)若直線與拋物線相切，求實(shí)數(shù)的值；(2)若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)直線和拋物線相切，聯(lián)立方程令，便可求得實(shí)數(shù)的值；（2）根據(jù)韋達(dá)定理表達(dá)出，代入求解即可求得實(shí)數(shù)的值，從而解得直線方程.【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：直線與拋物線相切聯(lián)立，得.（2）設(shè)，由（1）方程聯(lián)立可知.又，且，滿足直線的方程為.14．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，的面積為1（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求橢圓的方程；（2）若，分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，連接，交橢圓于點(diǎn)，證明：為定值．【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析．【詳解】試題分析：（1）利用條件，的面積為1，可建立關(guān)于，的方程組，從而求解；（2）將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示證明與直線斜率無(wú)關(guān)即可得證．試題解析：（1）∵，的面積為1，∴，∴橢圓方程為；（2）由（1）得，，直線的斜率存在，故設(shè)其方程為，代入，得，∴，，又∵，∴為定值．考點(diǎn)：1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)；2．直線與橢圓的位置關(guān)系；3．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；4．橢圓中的定值問(wèn)題