新高考數(shù)學(xué)圓錐曲線62種題型第十二講 圓錐曲線中的求值、證明與探索性問(wèn)題（原卷版）

第十二節(jié)圓錐曲線中的求值、證明與探索性問(wèn)題題型歸納題型一求值問(wèn)題例1(2022·新高考Ⅰ卷)已知點(diǎn)A(2，1)在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2－1)＝1(a>1)上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0.(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ＝2eq\r(2)，求△PAQ的面積．感悟提升求值問(wèn)題即是根據(jù)條件列出對(duì)應(yīng)的方程，通過(guò)解方程求解．訓(xùn)練1(2022·北京卷)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，1)，焦距為2eq\r(3).(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P(－2，1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N.當(dāng)|MN|＝2時(shí)，求k的值．題型二證明問(wèn)題例2(2023·濟(jì)南模擬)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(eq\r(3)，1)，且漸近線方程為y＝±x.(1)求a，b的值；(2)點(diǎn)A，B，D是雙曲線C上不同的三點(diǎn)，且B，D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，△ABD的外接圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.求證：直線AB與圓x2＋y2＝1相切．感悟提升圓錐曲線中的證明問(wèn)題常見(jiàn)的有：(1)位置關(guān)系方面的：如證明直線與曲線相切，直線間的平行、垂直，直線過(guò)定點(diǎn)等．(2)數(shù)量關(guān)系方面的：如存在定值、恒成立、相等等．在熟悉圓錐曲線的定義與性質(zhì)的前提下，一般采用直接法，通過(guò)相關(guān)的代數(shù)運(yùn)算證明．訓(xùn)練2如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T(2，0)，與y軸正半軸相交于M，N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方)，且|MN|＝3.(1)求圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)M任作一條直線與橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1相交于A，B兩點(diǎn)，連接AN，BN，求證：∠ANM＝∠BNM.題型三探索性問(wèn)題例3(2023·南陽(yáng)模擬)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A，離心率為eq\f(\r(3),2).動(dòng)直線l：y＝eq\f(1,m)(x－1)與Γ相交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)B′到Γ的兩焦點(diǎn)的距離之和為4.(1)求Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線B′C與x軸交于點(diǎn)M，△OAC，△AMC的面積分別為S1，S2，問(wèn)：eq\f(S1,S2)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．感悟提升此類(lèi)問(wèn)題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種．若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗(yàn)證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在；若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，再針對(duì)其表達(dá)式進(jìn)行討論，往往涉及對(duì)參數(shù)的討論．訓(xùn)練3(2023·廣州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－2，0)，B(2，0)，點(diǎn)M滿足直線AM與直線BM的斜率之積為－eq\f(3,4)，點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)已知點(diǎn)F(1，0)，直線l：x＝4與x軸交于點(diǎn)D，直線AM與l交于點(diǎn)N，是否存在常數(shù)λ，使得∠MFD＝λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．課時(shí)訓(xùn)練一、單選題1．已知點(diǎn)是橢圓上非頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若是的平分線上一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點(diǎn)，過(guò)作于，則線段的垂直平分線（

）．A．經(jīng)過(guò)點(diǎn) B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．平行于直線 D．垂直于直線3．若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．祖暅(公元5-6世紀(jì)，祖沖之之子，是我國(guó)齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家).他提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異.”這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.該原理在西方直到十七世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚一千一百多年.橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體如圖將底面直徑皆為，高皆為的橢半球體及已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面上，用平行于平面的平面于距平面任意高處截得到及兩截面，可以證明總成立據(jù)此，短軸長(zhǎng)為，長(zhǎng)軸為的橢球體的體積是（）.A． B． C． D．5．畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個(gè)圓稱(chēng)為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓：的蒙日?qǐng)A方程為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).離心率為，為蒙日?qǐng)A上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于P，Q兩點(diǎn)，若面積的最大值為36，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6．運(yùn)用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí)，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面所截，若截面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等，構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖①）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖②），用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等．現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖③），類(lèi)比上述方法，運(yùn)用祖暅原理可求得其體積等于（

）．A． B． C． D．二、填空題7．如圖，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線C：y2＝1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，若，?0，則雙曲線C的焦距|F1F2|為_(kāi)____．8．設(shè)橢圓：，直線過(guò)的左頂點(diǎn)交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若是等腰三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于_________.9．已知直線與圓，則圓上各點(diǎn)到的距離的最小值為_(kāi)____________.三、解答題10．已知曲線，過(guò)點(diǎn)作直線和曲線交于A、B兩點(diǎn)．(1)求曲線的焦點(diǎn)到它的漸近線之間的距離；(2)若，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連結(jié)，求直線傾斜角的取值范圍；(3)過(guò)點(diǎn)作另一條直線，和曲線交于、兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得和同時(shí)成立？如果存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)的取值集合，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于和兩點(diǎn)，且．（1）求該拋物線的方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值．12．已知橢圓：()四個(gè)頂點(diǎn)恰好是邊長(zhǎng)為，一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若直線交橢圓于、兩點(diǎn)，在直線：上存在點(diǎn)，使得為等邊三角形，求的值．13．已知拋物線和圓，拋物線的焦點(diǎn)為.（1）求的圓心到的準(zhǔn)線的距離；（2）若點(diǎn)在拋物線上，且滿足，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，記切點(diǎn)為，求四邊形的面積的取值范圍；（3）如圖，若直線與拋物線和圓依次交于四點(diǎn)，證明:的充要條件是“直線的方程為”14．已知雙曲線的焦距為4，直線與交于不同的點(diǎn)D、E，且時(shí)l與的兩條漸近線所圍成的三角形恰為等邊三角形.(1)求雙曲線的方程；(2)若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以線段DE為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.15．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求該橢圓的方程；(2)若A為橢圓的左頂點(diǎn)，直線AM、AN與橢圓分別交于點(diǎn)M、N，且，連接MN，試問(wèn)：直線MN是否恒過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.16．等軸雙曲線是離心率為的雙曲線，可建立合適的坐標(biāo)平面使之為反比例函數(shù)．（1）在等軸雙曲線上有三點(diǎn)，，，其橫坐標(biāo)依次是，，．設(shè)，，分別為，，的中點(diǎn)，試求的外接圓圓心的橫坐標(biāo)．（2）雙曲線的漸近線為和，上有三個(gè)不同的點(diǎn)，，，直線、直線、直線與分別交于，，，過(guò)，，分別作直線、直線、直線的垂線，，．（i）當(dāng)為等軸雙曲線時(shí)，證明：，，三線共點(diǎn)．（ii）當(dāng)不為等軸雙曲線時(shí)，記，，分別是與，與，與的交點(diǎn)，類(lèi)似地從另一條漸近線出發(fā)來(lái)定義，，．證明：．17．給出如下的定義和定理：定義：若直線l與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，且l與的對(duì)稱(chēng)軸不平行，