新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第六章計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第2課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分布乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用課件新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第六章計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第2課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分布乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1.進(jìn)一步理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別數(shù)學(xué)抽象2.會(huì)正確應(yīng)用這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)數(shù)學(xué)運(yùn)算自學(xué)導(dǎo)引兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系項(xiàng)目分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來計(jì)算完成一件事的不同方法種數(shù)不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每一步都完成才算完成這件事(每一步完成的只是完成這件事的一個(gè)環(huán)節(jié))注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整【預(yù)習(xí)自測(cè)】用前6個(gè)大寫英文字母和1～9九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少個(gè)不同的號(hào)碼？提示：編寫一個(gè)號(hào)碼要先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，我們可以用樹狀圖列出所有可能的號(hào)碼.如圖：由于前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們各不相同，因此不同的號(hào)碼共有6×9＝54(個(gè)).課堂互動(dòng)用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字，(1)可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼？(2)可以排成多少個(gè)三位數(shù)？(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解：(1)三位數(shù)字的電話號(hào)碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，因此每個(gè)位置都有5種排法，所以共有5×5×5＝125(個(gè)).題型1組數(shù)問題(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此共有4×5×5＝100(個(gè)).(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此可以分兩類：一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．因而共有12＋18＝30(種)排法．故可以排成30個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．【例題遷移】

(改變問法)由本例中的五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？解：完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個(gè)位，只能從1，3中任取一個(gè)，有2種方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用過的一個(gè)剩下的3個(gè)中任取一個(gè)，有3種方法；第三步排百位，有3種方法；第四步排十位，有2種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有2×3×3×2＝36(個(gè)).組數(shù)問題的原則及注意點(diǎn)(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵．一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法反面分類求解．(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位或兩位以上的數(shù)的最高位．1．從0，2中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為

(

)A．24

B．18

C．12

D．6【答案】B【解析】由于題目要求是奇數(shù)，那么對(duì)于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇，偶奇奇．如果是奇偶奇：個(gè)位有3種情況，十位有2種情況，百位有2種情況，共12種；如果是偶奇奇：個(gè)位有3種情況，十位有2種情況，百位不能是0，有1種情況，共6種．因此總共有12＋6＝18個(gè)奇數(shù)．故選B．高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有

(

)A．16種

B．18種

C．37種

D．48種【答案】C【解析】方法一(直接法)以甲工廠分配班級(jí)情況進(jìn)行分類，共分為三類：第一類，三個(gè)班級(jí)都去甲工廠，此時(shí)分配方案只有1種情況；題型2選(抽)取與分配問題第二類，有兩個(gè)班級(jí)去甲工廠，剩下的一個(gè)班級(jí)去另外三個(gè)工廠，其分配方案共有3×3＝9(種)；第三類，有一個(gè)班級(jí)去甲工廠，另外兩個(gè)班級(jí)去其他三個(gè)工廠，其分配方案共有3×3×3＝27(種).綜上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(種).方法二(間接法)先計(jì)算3個(gè)班級(jí)自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即有4×4×4－3×3×3＝37(種)分配方案．解決抽取(分配)問題的方法(1)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí)，一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法．(2)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理．一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若是按對(duì)象特征抽取的，則按分類進(jìn)行．②間接法：去掉限制條件，計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．2．安排甲、乙、丙3名護(hù)士去6所醫(yī)院實(shí)習(xí)，每所醫(yī)院至多2人，則不同的分配方案共有多少種？解：方法一(直接法)以甲、乙、丙3名護(hù)士是否分到同一所醫(yī)院進(jìn)行分類：第一類，3名護(hù)士分到不同的醫(yī)院，此時(shí)分配方案有6×5×4＝120(種)；第二類，甲、乙分到同一所醫(yī)院，丙分到另外5所的其中一所，此時(shí)分配方案有6×5＝30(種)；第三類，甲、丙分到同一所醫(yī)院，乙分到另外5所的其中一所，同理可得分配方案有30種；第四類，乙、丙分到同一所醫(yī)院，甲分到另外5所的其中一所，同理可得分配方案有30種．綜上所述，不同的分配方案有120＋30＋30＋30＝210(種).方法二(間接法)由題意，每名護(hù)士有6種分法，共有6×6×6＝216(種)，其中3名護(hù)士分到同一所醫(yī)院的分配方案有6種，故3名護(hù)士不分到同一所醫(yī)院的分法有216－6＝210(種).(1)將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種作物，則不同的種植方法共有________種．題型3涂色與種植問題

(2)將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？1234【答案】(1)42【解析】分別用a，b，c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設(shè)放入a，再安排第二塊田，有兩種方法b或c，不妨設(shè)放入b，第三塊也有2種方法a或c.1．若第三塊田放c：abc第四、五塊田分別有2種方法，共有2×2＝4(種)方法．2．若第三塊田放a：aba第四塊有b或c，共2種方法，①若第四塊放c：第五塊有2種方法；②若第四塊放b：第五塊只能種作物c，共1種方法．綜上所述，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(種)方法．a(chǎn)bacabab(2)解：第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法．①當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有4×3＝12(種)不同的涂法，第4個(gè)小方格有3種不同的涂法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，有5×12×3＝180(種)不同的涂法．②當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的涂法有5×4×4＝80(種).由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有180＋80＝260(種)不同的涂法．【例題遷移】

(變換條件)將例3(2)中的區(qū)域改為如圖所示，其他條件均不變，則不同的涂法共有多少種？①②④③解：依題意，可分兩類情況：①④不同色；①④同色．第一類：①④不同色，則①②③④所涂的顏色各不相同，我們可將這件事情分成4步來完成．第一步涂①，從5種顏色中任選一種，有5種涂法；第二步涂②，從余下的4種顏色中任選一種，有4種涂法；第三步涂③與第四步涂④時(shí)，分別有3種涂法和2種涂法．于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂法為5×4×3×2＝120(種).第二類：①④同色，則①②③不同色，我們可將涂色工作分成三步來完成．第一步涂①④，有5種涂法；第二步涂②，有4種涂法；第三步涂③，有3種涂法．于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(種).綜上所述，所求的涂色方法共有120＋60＝180(種).解決涂色(種植)問題的常用方法(1)按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析．(2)以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”等問題，用分類加法計(jì)數(shù)原理分析．(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題．種植問題按種植的順序分步進(jìn)行，用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)或按種植品種恰當(dāng)選取情況分類，用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)．3．(2023年太原期中)如圖，a省分別與b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案種數(shù)為 (

)A．480 B．600C．720 D．840【答案】C【解析】依題意，按c與d涂的顏色相同和不同分成兩類：若c與d涂同色，先涂d有5種方法，再涂a有4種方法，涂c有1種方法，涂e有3種方法，最后涂b有3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得到不同的涂色方案有5×4×1×3×3＝180(種)；若c與d涂不同色，先涂d有5種方法，再涂a有4種方法，涂c有3種方法，涂e，b也各有3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得到不同的涂色方案有5×4×3×3×3＝540(種).由分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的涂色方案共有180＋540＝720(種).有紅、黃、藍(lán)旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗桿上縱向排列，表示不同的信號(hào)，順序不同也表示不同的信號(hào)，共可以組成多少種不同的信號(hào)？錯(cuò)解：每次升1面旗，可組成3種不同的信號(hào)；每次升2面旗，可組成3×2＝6(種)不同的信號(hào)；每次升3面旗，可組成3×2×1＝6(種)不同的信號(hào)．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有不同的信號(hào)3＋6＋6＝15(種).易錯(cuò)警示分類計(jì)數(shù)時(shí)不要出現(xiàn)遺漏易錯(cuò)防范：每次升2面或3面旗時(shí)，顏色可以相同．正解：每次升1面旗，可組成3種不同的信號(hào)；每次升2面旗，可組成3×3＝9(種)不同的信號(hào)；每次升3面旗，可組成3×3×3＝27(種)不同的信號(hào)．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得，共可組成3＋9＋27＝39(種)不同的信號(hào)．素養(yǎng)達(dá)成1．分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是兩個(gè)最基本、也是最重要的原理，是解答后面將要學(xué)習(xí)的排列、組合問題，尤其是較復(fù)雜的排列、組合問題的基礎(chǔ)．2．應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理要求分類的每一種方法都能把事件獨(dú)立完成；應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理要求各步均是完成事件必須經(jīng)過的彼此獨(dú)立的步驟．3．一般是先分類再分步，分類時(shí)要設(shè)計(jì)好標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)計(jì)好分類方案，防止重復(fù)和遺漏．4．若正面分類，種類比較多，而問題的反面種類比較少時(shí)，則使用間接法會(huì)簡(jiǎn)單一些．1．(題型2)有A，B兩種類型的車床各一臺(tái)，現(xiàn)有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都會(huì)操作兩種車床，丙只會(huì)操作A種車床，要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩種車床，則不同的選派方法有 (

)A．6種

B．5種

C．4種

D．3種【答案】C【解析】不同的選派情況可分為3類：若選甲、乙，有2種方法；若選甲、丙，有1種方法；若選乙、丙，有1種方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選派方法有2＋1＋1＝4(種).2．(題型1)用0，1，…，9這10個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為

(

)A．243 B．252C．261 D．648【答案】B【解析】0，1，2，…，9共能組成9×10×10＝900(個(gè))三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648(個(gè))，所以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個(gè)).3．(題型3)如圖所示，積木拼盤由A，B，C，D，E五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現(xiàn)拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色(如：A與B為相鄰區(qū)域，A與D為不相鄰區(qū)域)，現(xiàn)有五種不同的顏色可供挑選，則不同的涂色方法的種數(shù)是 (

)A．780 B．840C．900 D．960【答案】D【解析】先涂A，有5種涂法，再涂B，因?yàn)锽與A相鄰