重慶市黔江中學2023-2024學年高二上學期11月考試數(shù)學試題

重慶市黔江中學校20232024年度高二上11月考試數(shù)學試卷考試時間：120分鐘姓名：___________班級：___________考號：__________一、選擇題（本題共8道小題，每小題5分，共40分1.已知點，直線的傾斜角為，則（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由斜率公式計算即可.【詳解】由題意知，，解得.故選：A.2.已知，，則線段的中點坐標是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合空間中點坐標公式計算即可.【詳解】因為，，所以線段中點坐標為，即.故選：B.3.已知命題p：方程表示焦點在軸上的橢圓，則的范圍（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)方程表示焦點在軸上的橢圓列式可得結(jié)果.【詳解】依題意有：，解得，故選：A.4.圓與圓的公切線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩圓的位置關系即可求解.【詳解】圓標準方程為，圓心坐標為，半徑為2.圓與圓的圓心距為3，等于兩個圓的半徑之和，所以圓與圓外切，故圓與圓的公切線有3條.故選：C5.已知直線與以點為圓心的圓相交于A，B兩點，且，則圓C的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，圓心到直線的距離，利用點到直線距離公式即可求解.【詳解】解：由題意，為等腰直角三角形，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以圓C的方程為，故選：C.6.設直線與橢圓交于兩點,且點為線段的中點,則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設的坐標,代入橢圓的方程,作差得的值,即直線的斜率,然后根據(jù)點斜式求得直線方程即可.【詳解】設則將點代入橢圓方程,兩式作差得即直線的斜率為直線的方程為即.故選：.7.設直線與圓交于、兩點，若線段的中點為，則圓上的點到直線的距離的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直線的方程，并求出圓的圓心到直線的距離，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可得出結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，由垂徑定理可知，直線的斜率為，所以，直線的斜率為，故直線的方程為，即，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，因此，圓上的點到直線的距離的最小值為.故選：A.8.油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮開展油紙傘文化藝術節(jié)活動中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘傘沿是一個半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2，當陽光與地面夾角為時，在地面形成了一個橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，若該橢圓的離心率為e，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意先求得短半軸長，再根據(jù)正弦定理求得，進而根據(jù)離心率的公式求解即可【詳解】因傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，由圖可知，橢圓的短半軸長，在中，，由正弦定理得：，所以，故選：D.二、多選題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）9.下列命題是真命題的有（

）A.A，B，M，N是空間四點，若能構(gòu)成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面B.直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直C.直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥αD.平面α經(jīng)過三點是平面α的法向量，則【答案】BD【解析】【分析】A項，空間的基底向量必不共面，易推得結(jié)論錯誤；B項，利用兩直線的方向向量垂直判斷直線垂直即得；C項，利用直線的方向向量與平面的法向量不共線即可判斷線面不垂直；D項，利用平面的法向量與平面內(nèi)的向量垂直即得參數(shù)之間的數(shù)量關系.【詳解】對于A選項，因能構(gòu)成空間的一個基底，故不能平移到同一個平面內(nèi)，即A，B，M，N不共面，A項錯誤；對于B選項，因，即，故l與m垂直，B項正確；對于C選項，要使l⊥α,須使與共線，不妨設，則得：，顯然該方程組無解，故C項錯誤；對于D選項，因是平面內(nèi)的兩個向量，是平面α的法向量，故解得：則有：，故D項正確.故選：BD.10.已知直線，，，以下結(jié)論正確的是（

）．A.不論a為何值時，與都互相垂直B.直線過定點，過定點C.如果與交于點，則點M的軌跡方程為D.如果與交于點，則的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】A.根據(jù)兩直線垂直的公式，即可判斷；B.根據(jù)含參直線過定點問題，即可判斷；C.取特殊點，即可判斷；D.首先求交點的坐標，代入兩點間距離公式，即可判斷.【詳解】對于A，恒成立，l1與l2互相垂直恒成立，故A正確；對于B,無論為何值，直線過定點，過定點，故B正確；對于C，（0，0）能使方程成立，但不能使直線方程成立，故C不正確；對于D，聯(lián)立，解得，即，所以，所以的最大值是，故D正確．故選：ABD．11.已知橢圓的左、右焦點分別為,,過點的直線交橢圓于,兩點,若的最小值為4,則（

）A.橢圓的短軸長為B.最大值為8C.離心率為D.橢圓上不存在點,使得【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的焦點弦中通徑最短,可得橢圓方程,結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可判斷項；根據(jù)焦點三角形的周長和的最小值為4,可判斷項；根據(jù)橢圓中當動點與短軸頂點重合時,最大,結(jié)合余弦定理即可判斷項.【詳解】易知當軸時,即線段為通徑時,最短,解得橢圓方程為橢圓的短軸長為故錯誤;因為△的周長為且故正確；離心率故正確；易知當點位于短軸頂點時,最大,此時又為三角形內(nèi)角,橢圓上不存在點,使得,故正確.故選：.12.如圖，在直三棱柱中，是直角三角形，且為的中點，點是棱上的動點，點是線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.異面直線與所成角的余弦值是B.三棱柱的外接球的表面積是C.當點是線段的中點時，三棱錐的體積是D.的最小值是2【答案】AC【解析】【分析】由空間向量的坐標運算判斷A，由棱柱的外接球半徑與球的表面積公式判斷B，由線面平行關系與棱錐的體積公式判斷C，在平面中，數(shù)形結(jié)合求的最小值后判斷．【詳解】解：在直三棱柱中，是直角三角形，且，則，則建立以為坐標原點，以、、所在直線分別為軸、軸、軸的空間直角坐標系，如圖所示：則，，，，對于：，，，故異面直線與所成角的余弦值是，故A正確；對于：將直三棱柱補成直四棱柱，可得三棱柱的外接球就是直四棱柱的外接球，外接球半徑，故三棱柱的外接球的表面積是，故B錯誤；對于：連接，則是的中點，點是線段的中點，，平面，是棱上動點，點到平面的距離就是點到平面的距離，又，故C正確；對于：由選項C得是的中點，則平面，平面，平面，在中，，，且，在平面中，建立以為原點，以為軸，以為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：則，，，，過作直線對稱點，當時，此時的值最小，且為，也就是點到軸的距離，設，可得的中點坐標為，直線的方程為，即，，解得，的最小值是，故D錯誤，故選：．三、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）13.直線與直線的距離為______．【答案】【解析】【分析】由平行線間的距離公式代入即可得出答案.【詳解】因為直線與直線平行，所以它們間的距離為：.故答案為：14.已知直線經(jīng)過點，圓，若直線與圓C相切，則直線的方程為____________【答案】或【解析】【分析】當直線斜率不存在時，直線為符合題意，當直線斜率存在時，設為，由圓心到該直線的距離等于半徑列方程即可求解.【詳解】將圓的方程化為標準方程為，所以圓心坐標，半徑，因為，所以點在圓外，當直線的斜率不存在時，即直線為，圓心到直線的距離為2，符合題意；當直線的斜率存在時，設直線方程為，即，所以圓心到直線的距離，整理：，解得，所以直線為，即，綜上所述：直線的方程為或.15.已知點，點是直線上的動點，則的最大值為_________.【答案】【解析】【分析】求出關于的對稱點，作出輔助線，當三點共線時，取得最大值，求出最大值.【詳解】設點關于的對稱點為，則，解得，故，由對稱性可知，，當可組成三角形時，根據(jù)三角形三邊關系得到，連接并延長，交于點，則此時，即當三點共線時，取得最大值，最大值為.故答案為：16.已知圓，點是圓上一動點，若在圓上存在點，使得，則正數(shù)的最大值為________.【答案】【解析】【分析】分析可得滿足，結(jié)合條件可得圓與圓內(nèi)切，從而可得答案．【詳解】解：要使最大，考慮點在圓外，若在圓上存在點，使得，當直線與圓相切時，有最大值，∴，即，則滿足，又點是圓上一動點，由圖可知，圓與圓內(nèi)切，∴，即，故答案為：．【點睛】本題主要考查圓與圓的位置關系，考查推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．四、解答題（17題10分，1822題每題12分，總分70分）17.已知的頂點坐標為.（1）試判斷的形狀：（2）求邊上的高所在直線的方程.【答案】（1）直角三角形（2）【解析】【分析】（1）求出，得到，故得到垂直關系，得到三角形形狀；（2）由得到邊上高線所在直線的斜率，進而由點斜式求出直線方程，得到答案.【小問1詳解】，，，，又，，為直角三角形【小問2詳解】因為，所以邊上高線所在直線的斜率為,直線的方程是，即18.如圖，在四棱錐中，平面平面，，．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理可得答案；（2）延長交于點，做交于點，連接，由線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可得即為平面與平面二面角的平面角，在求出可得答案.【小問1詳解】因為，所以，即，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以；【小問2詳解】延長交于點，做交于點，連接，由（1）知平面，平面，所以，且，平面，所以平面，因為平面，所以，所以即為平面與平面二面角的平面角，因為，所以，可得，所以為等腰直角三角形，由得為的中點，所以，由得，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.19.已知圓，圓，動圓P以點P為圓心，且與圓外切，與圓內(nèi)切.（1）求點P的軌跡C的方程；（2）已知點為軌跡C上任意一點，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用動圓與圓外切，與圓內(nèi)切可得動圓圓心滿足的幾何性質(zhì)，再根據(jù)橢圓的定義可得的軌跡方程.（2）根據(jù)點中x,y的關系，代入消去x，轉(zhuǎn)化為關于y的二次函數(shù)求最值.【小問1詳解】設動圓圓心，設動圓的半徑為r，由題意有，，消r得到：，動圓圓心P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點，長軸長為4的橢圓，故，，

故軌跡的方程為：.【小問2詳解】因為點為（1）所求軌跡上任意一點，則，且，所以，當時，取最大值為.20.已知橢圓，直線.（1）求證：對，直線與橢圓總有兩個不同交點；（2）直線與橢圓交于兩點，且，求的值.【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）將直線方程代入橢圓方程中，利用一元二次方程根的判別式進行求解判斷即可；（2）根據(jù)橢圓的弦長公式進行求解即可.【小問1詳解】將直線的方程代入橢圓方程中，得，該一元二次方程根的判別式，所以直線與橢圓總有兩個不同交點；【小問2詳解】設，則有，因，所以，所以的值為.21.如圖，在四棱柱中，四棱錐是正四棱錐，.（1）求與平面所成角的正弦值；（2）若點在棱上，且，求點到平面的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以為原點，的方向分別為的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法求與平面所成角的正弦值；（2）利用向量法求點到平面的距離.【小問1詳解】連接交于點，連接，由四棱錐是正四棱錐可得兩兩垂直，則以為原點，的方向分別為的正方向建立空間直角坐標系，，，，，設面的法向量為，與平面所成角為則，取可得，所以，即與平面所成角的正弦值為；【小問2詳解】，，設面的法向量為，點到平面的距離為，則，取得，所以.22.已知橢圓焦點在軸，離心率為，且過點（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與軌跡交于兩點，若以為直徑的圓經(jīng)過定點，求證:直線經(jīng)過定點，并求出點的坐標；（3）在（2）的條件下，求面積的最大值.【答