2022-2023學(xué)年新疆和田地區(qū)皮山高級(jí)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年新疆和田地區(qū)皮山高級(jí)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)

試卷

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中選出符合題目的一項(xiàng)）

1.瓦-赤+而-灰的運(yùn)算結(jié)果是（）

A-BEB-AOc-0AD-AE

2.若2+ai=b-i,其中a,i是虛數(shù)單位，則附加:（）

5

A.0B.2C.—D.5

2

3.設(shè)/是直線，a、0是兩個(gè)不同的平面，那么下列判斷正確的是（）

A.若/〃a,/〃0,貝"a〃廿B.若l//a,則/〃0

C.若&_1_0,l±a,則/〃0D.若/〃a,/±p,則

4.設(shè)平面向量之=（1,2），b=（x,-3）-若Z底，貝■=（）

Q9

A.-6B.qC.'D.6

23

5.若復(fù)數(shù)咨-（i為虛數(shù)單位，“，人WR且6W0）為純虛數(shù)，則包=（）

4+3ib

A.—B.工C.—D.

3344

6.如題圖所示，長(zhǎng)方體ABC。-4BGO1的底面ABC。的斜二測(cè)直觀圖為平行四邊形A'

B'CD'.已知A'B'=3,B'C=2,A4i=5,則將該長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐A

后剩余的幾何體體積為（）

7.已知向量￡4滿足1手=1，￡1=4,且（a+fe）?（2/*=-⑵則￡7的夾角為（)

8.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,6）,則|z-2i|=（)

A.3B.4C.5D.6

9-已知某圓錐的高為mS,體積為嚕/，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.B.3ncm2C.Gncm2D.\2ncm2

10.如圖，在aABC中，AB=3ADfCE=ED,設(shè)獲二W，AC=b^則亞=（）

c-4亭D-/;亭

11.為了測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)C,。間的距離，現(xiàn)在沿岸相距2km的兩點(diǎn)A,B處分別測(cè)得/8AC

=105°,ZBAD=60°,NABC=45°,ZABD=60°,貝ljC,。間的距離為（）

A.&B.2C.4&D.4

12.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,則|z+3-4i|（i為虛數(shù)單位）的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

二、填空題（本大題共4小題共20.0分）

13.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,1）.則z?^=.

14.正aABC的邊長(zhǎng)為2,。為8c邊的中點(diǎn)，則標(biāo)+標(biāo)的模等于.

15.復(fù)數(shù)z=（73-i>i+i2002（i為虛數(shù)單位），貝憫=.

IT1

16.如圖，在四邊形ABCD中，AB=8,8c=3,CD=5,ZA=—,cosZADB=—,則^

37

BCD的面積

D

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.已知向量1=(-3,1),1=(1,-2),3=(1,1).

(1)求向量Z與E的夾角的大?。?/p>

(2)若3j_(a+kb)-求實(shí)數(shù)k的值.

18.已知復(fù)數(shù)zi=a+3i,Z2=2-出(a€R,i是虛數(shù)單位).

(1)若Zi+司在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若虛數(shù)zi是實(shí)系數(shù)一元二次方程9-6"m=0的根，求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

19.如圖，在三棱錐4-8C。中，點(diǎn)E,F,M,N分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形EFMN為平行四邊形.

(2)若AC=BO=2,EH=J5，求異面直線AC與B。所成的夾角.

20.在銳角△A8C中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知2csinA=\/5a-

(1)求角C的大??；

(2)若6=2,c珀,求△A8C的面積.

21.設(shè)復(fù)數(shù)z—a1-a-(a-1)i(?ER).

(1)若z為純虛數(shù)，求z?W

(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求。的取值范圍.

22.如圖，在四棱錐P-A8CD中，PA=PD,底面ABC。是矩形，側(cè)面底面ABCO,

E是AD的中點(diǎn).

(1)求證：A。〃平面PBC；

(2)求證：A8J_平面PAO

參考答案

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中選出符合題目的一項(xiàng)）

1.瓦-赤+而-灰的運(yùn)算結(jié)果是（）

A.BEb-AOc-0AD-AE

【分析】根據(jù)向量和向量加法的幾何意義，向反向量的概念即可進(jìn)行向量的運(yùn)算.

解：AB-CB+0E-0C=AB+BC+0E+C0=AC+CE=AE-

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】考查向量和向量加法的幾何意義，以及相反向量的概念.

2.若2+3=匕-i,其中a,bCR,i是虛數(shù)單位，則a2+62=（）

A.0B.2C.—D.5

2

【分析】直接利用復(fù)數(shù)相等的條件列式求得“，匕的值，代入〃+按得答案.

解：\'2+ai=b-i,

??6=2,（i—~~1,

a2+b2—5.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題.

3.設(shè)/是直線，a、。是兩個(gè)不同的平面，那么下列判斷正確的是（）

A.若/〃a,/〃0,貝ija〃0B.若&_1_0,l//a,則/〃0

C.若a_L0,/±a,貝D.若/〃a,/±p,則

【分析】由平行于同一直線的兩平面的位置關(guān)系判斷4由直線與平面平行、平面與平

面垂直判斷直線與平面的位置關(guān)系判斷B；由直線與平面垂直、平面與平面垂直判斷直

線與平面的位置關(guān)系判斷C；直接證明D正確.

解：若/〃a,/〃0,則a〃?；騛與0相交，故A錯(cuò)誤；

若l//a,則/u0或/〃0或/與0相交，相交也不一定垂直，故8錯(cuò)誤；

若a，B，/±a,則/〃?；?u0,故C錯(cuò)誤；

若/〃a,過(guò)/的平面與a相交，交線為惟則/〃利，

又UB，

所以，“J-B，可得aJ_0,故。正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用,

考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題.

4.設(shè)平面向量之=(1,2)，b=(x,-3).若則》=()

32

A.-6B.qC.fD.6

23

【分析】根據(jù)1//三即可得出-3-2x=0,然后解出x的值即可.

解：；aIIb,

-3-2x=0,解得=-.

x2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.若復(fù)數(shù)至紗(i為虛數(shù)單位，a,b€R且0片0)為純虛數(shù)，則包=()

4+3ib

A.—B.工C.—D.衛(wèi)

3344

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

解：瑞=需簿翳=瞥若浮為純虛數(shù)'

4a+3b=0,八

則,,即Hn4“+36=0,

4b-3a卉0

故”

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查純虛數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.如題圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-AiB.CiDi的底面ABCD的斜二測(cè)直觀圖為平行四邊形A'

B'CD'.已知A'B'=3,B'C=2,A4i=5,則將該長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐A

后剩余的幾何體體積為()

A.50B.30C.25D.15

【分析】利用斜二測(cè)法畫法規(guī)則求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，從而可求出長(zhǎng)方體的體積和

三棱錐的體積，進(jìn)而可求出結(jié)果.

解：因?yàn)?'B'=3,B1C=2,A4=5,

所以在長(zhǎng)方體A8CQ-4B1C1。中，AB=3,BC=4,A4=5,

所以長(zhǎng)方體的體積為V=3X4X5=60,

又％A】BD《S"B|DjAAiWx3X4X5=10，

所以長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐4-AS。后剩余的幾何體體積為60-10=50,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查長(zhǎng)方體的截面問(wèn)題，兒何體的體積的求解，屬基礎(chǔ)題.

7.已知向量;,I滿足|；|=1,—=4,且(；+百?(2；-*=T2,則；,石的夾角為()

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求解即可.

解：因?yàn)橄蛄?？，芯滿足=芯=4,且(Z+E)?(2彳-百=-12,

所以2/+；-12,可得a?E=2,即cos<a，b>=:[i=J<a，b

IaIlbI2

>G[0,n],

TT

所以<z，b>=^--

o

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量的夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題.

8.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,6),則|z-2i|=()

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據(jù)題意寫出復(fù)數(shù)z=3+6i,再求z-2i的模長(zhǎng).

解：復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,6）,貝Ijz=3+6i,

所以z-2i=3+4i,

所以|z-2?|=^32+42=5-

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

9.已知某圓錐的高為2&CIT，體積為.咚cm3,則該圓錐的側(cè)面積為（）

3

A3兀2

A.—cmB.3jtcm2C.(mem1D.1如CTO2

【分析】先設(shè)該圓錐的底面半徑與母線長(zhǎng)分別為廠，I,再根據(jù)題意求得r的值，結(jié)合勾

股定理求得/的值，進(jìn)而即可求得圓錐的側(cè)面積.

解：設(shè)該圓錐的底面半徑與母線長(zhǎng)分別為r,I,

2

由V=yHrX2>/2/當(dāng)兀,得r=1,

所以132+0點(diǎn)七=3,

所以該圓錐的側(cè)面積S=nr/=3n.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，以及圓錐的側(cè)面積和體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.如圖，在△4BC中，AB^3AD,CE=ED,設(shè)標(biāo)=彳，AC=b1則標(biāo)=（）

A'筋亭B.亭U的亭D.系亭

【分析】因?yàn)镃E=E￡>,所以AE昔AC玲AE，因?yàn)?8=3A￡>,所以AD=^AB*a?代

入化簡(jiǎn)即可.

■?1?1T

解：因?yàn)锳B=3A。，所以AD

因?yàn)镃E=E。,所以標(biāo)卷正卷元字亭.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.為了測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)C,D間的距離，現(xiàn)在沿岸相距2km的兩點(diǎn)A,B處分別測(cè)得/8AC

=105°,/BAO=60°,NABC=45°,/48。=60°,則C,。間的距離為（）

D.4

【分析】根據(jù)題意，在aABC中由正弦定理求得ZM,在△D4C中由余弦定理求得OC.

解：因?yàn)?AB￡>=60°,ZBAD=(>0Q,

所以△43。是正三角形,

所以AB^BD=DA=2km,

因?yàn)椤鰽BC中，ZABC=45°,ZBAC=105°,

所以NACB=30°,

利用正弦定理得ACAB

sin450sin30

孚=2&,

ABsin45

AC--------T-

sin30

~2

△AC。中，/CAQ=105°-60°=45°,

所以CD2=AC1+Aiy-2AC?AD?cos45°==4,

所以CD=2,即C、D間的距離為2km.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦和余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力和分析推

理能力，是基礎(chǔ)題.

12.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,則|z+3-4i|（i為虛數(shù)單位）的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】求出圓心O（0,0）與點(diǎn)P（-3,4）的距離d.可得|z+3-4i|（i為虛數(shù)單位）

的最大值為d+r.

解：圓心。(0,0)與點(diǎn)尸(-3,4)的距離”=必+『=5.

??.lz+3-443為虛數(shù)單位)的最大值為5+1=6.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)幾何意義、圓的方程、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力

與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題(本大題共4小題共20.0分)

13.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,1).則2.

【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義得到z,z，再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則直接求得.

解：由題得：z=l+i,z=l-i，z*z=(1+i)(1-i)=1-i=2-

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義、共軌復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.正△ABC的邊長(zhǎng)為2,。為8c邊的中點(diǎn)，則標(biāo)+皮的模等于_々_.

【分析】根據(jù)題意，由等邊三角形的性質(zhì)可得即可得標(biāo)?前=0,結(jié)合數(shù)量積

的計(jì)算公式計(jì)算可得答案.

解：根據(jù)題意，正△ABC中，。為3c邊的中點(diǎn)，易得AOLBC,

貝I」有標(biāo),前=。，

又由正△ABC的邊長(zhǎng)為2,則BC=2,

故I標(biāo)+前F=俞+前2=3+4=7,

則1瓦+立尸我?

故答案為：W.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量枳的運(yùn)算，涉及向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

15.復(fù)數(shù)z=(73-i)計(jì)祥助(i為虛數(shù)單位)，則

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

解：Z=(?-i)j+z,2002-1+73i+(i4)500-i2=l+V3i-l=V3i-

故IzI=后

故答案為：M.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

TT1

16.如圖，在四邊形中，AB=8,BC=3,CD=5,/4=—,cosZADB^—,則4

37

BCD的面積為返..

一4-

【分析】由已知可求sin/AOB的值，根據(jù)正弦定理即可解得8。的值，利用余弦定理求

得NC的值，再計(jì)算△88的面積.

解：△ABD中，因?yàn)閏os/ADB=工，ZADB&(0,TT),

7

所以sinNADB=41_g)2

BD_AB

根據(jù)正弦定理得

sin/Asin/ADB

代入AB=8,ZA=—,解得BD=7；

o

在中，根據(jù)余弦定理得

W/C=_BC2?2_BD2=32+52_72尸__1

2BC-CD2X3X52，

OJT

又NC6(0,7T),所以NC=\-；

所以△BCD的面積為

15a

S&BCD=—BC>CD?sinZC=—X3X5Xsin^^=^

2234

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦、余弦定理以及三角形面積公式的綜合應(yīng)用問(wèn)題，是中檔

題.

三、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.已知向量1=（-3,1）,（1,-2）,3=（1，1）.

（1）求向量Z與芯的夾角的大?。?/p>

（2）若G+kE），求實(shí)數(shù)&的值.

【分析】(1)根據(jù)題意，設(shè)向量之與E的夾角為。，由二三的坐標(biāo)可得I』、兄|以及7E

的值，計(jì)算可得cos。的值，結(jié)合。的范圍，分析可得答案；

(2)根據(jù)題意，求出的坐標(biāo)，由向量垂直的判斷方法可得3。(a+^b)=(-3+k)

+(1-2k)=-2-k=0,解可得/的值，即可得答案.

解：(1)根據(jù)題意，設(shè)向量？與芯的夾角為。，

向量之=(-3,1),3=(1,-2),

則力E=7-2=-5,lal=V9+l=^.l-0=Vi+4=V5>

ab_______-3-2圾

貝”cos

8-111lbI=V9<LxVw~~

又因?yàn)椤Ｔ?,n],故8烏L；

4

（2）向量Z=（-3,1）,E=（L-2），3=（L1），

則Z+kE=（-3+k,i-2k）>因?yàn)閃iG+kE>

c*（a+^b）=（-3+左）+（1-2k）=-2-k=0,

解可得k=-2；

故攵=-2；

故答案為：(1)哥；(2)-2.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量的坐標(biāo)計(jì)算以及數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算，屬

于基礎(chǔ)題.

18.已知復(fù)數(shù)zi=a+3i,Z2—2-ai（a€R,i是虛數(shù)單位）.

(1)若Z1+Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若虛數(shù)zi是實(shí)系數(shù)一元二次方程N(yùn)-6X+，〃=()的根，求實(shí)數(shù)〃?的值.

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合共鈍復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

(2)將如代入一元二次方程X2-6X+〃?=0,再結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解.

解：(1)".'zi—a+3i,Z2—2-ai,

z]+z2=(a+2)+(3+a)i>

?；Zi+Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限,

a+2>0

解得a>-2,

3+a>0'

故〃的取值范圍為（-2,+8）.

（2）由z；-6z]+m=0，得（a+3i）2-6Ca+3i）+加=0,

即a2-6。+〃？-9+（6。-18）z=0,

故卜"6a%r9=0,解得卜=3,

k6a-18=0lm=18

故?M=18.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)相等的條件，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

19.如圖，在三棱錐A-8C。中，點(diǎn)E,F,M,N分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn).

（1）求證：四邊形EFMN為平行四邊形.

（2）若AC=BZ）=2,EH=J5,求異面直線AC與8。所成的夾角.

【分析】（1）結(jié)合中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理，即可得證；

（2）由MN〃AC,MF//BD,知/&WN或其補(bǔ)角即為所求，再由勾股定理的逆定理和平

行四邊形的性質(zhì)，即可得解.

【解答】（1）證明：???點(diǎn)E,F,M,N分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)，

J.MN//AC,MN=—AC,EF//AC,EF=—AC,

22

：.MN//EF,MN=EF,

四邊形EFMN為平行四邊形.

（2）解：I?點(diǎn)E,F,M,N分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)，

：.MN//AC,MF//BD,且MN=」AC=1,EN=MF=—BD=1,

22

...NFMN或其補(bǔ)角即為異面直線AC與8。所成的夾角，

在AMNE中,有MM+EM=E”，即NMNE=90。,

由（I）知，四邊形EFMN為平行四邊形，

...NFMN=180°-NMNE=90°,

故異面直線AC與8。所成的夾角為90°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線與線的平行關(guān)系、異面直線夾角的求法，利用平移法找出異

面直線所成的角是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

20.在銳角△A8C中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為〃、b、c,已知2csinA=JEa.

(1)求角C的大小；

(2)若6=2,cW7，求△ABC的面積.

【分析】(1)由己知及正弦定理，結(jié)合sinAWO,可求sinC的值，結(jié)合C為銳角，可求