2023年人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第一章集合與常用邏輯用語綜合測試試卷及答案

第一章綜合測試

考試時(shí)間120分鐘,滿分150分.

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.(2022?全國甲卷)集合卷={2,4,6,8,10},N={x\~1<JC<6},則MAN=(A)

A.{2,4}B.{2,4,6}

C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}

［解析］因?yàn)镸={2,4,6,8,10},N={X|-14<6},所以MAN={2,4},故選

A.

2.命題“kx>0,2x+l>0”的否定是(A)

A.3x>0>x2—2x+lW0

B.Vx>0,f—2x+lW0

C.3x^0,A2—2x+lW0

D.V尤WO,f-Zr+lWO

［解析］含有量詞的命題的否定，一改量詞將“V”改為“三”，二否結(jié)論

將">''改為“W"，條件不變，故選A.

3.設(shè)集合U={123,4,5},3={1果,5},B={2,3,5},則圖中陰影部分表示的

集合的真子集有

A.3

C.7

［解析］因?yàn)榧蟄={1,2,3,4,5},A={1,3,5),6={2,3,5},所以AAB=

{3,5},圖中陰影部分表示的集合為：［u(ACB)={l,2,4},所以圖中陰影部分表示

的集合的真子集有：23—1=8—1=7.

4.已知集合A={xeR*+無一6=0},8={xWR|or—1=0},若則

實(shí)數(shù)。的值為(D)

A.；或一gB.一；或/

C.g或一；或0D.—g或;或0

［解析］A={—3,2},'：BQA,二一3^8或2WB或8=0；二一3a—1=0,

或2。-1=0或a=0.，a=—g或3或0.故選D.

5.命題“x22是x>機(jī)的必要不充分條件”是假命題，則機(jī)的取值范圍是

(A)

A.{m\m<2}B.{〃z|mW2}

C.［m\/n>2}D.

［解析］若命題“x，2是x>m的必要不充分條件”是真命題，則加22.因

為命題是的必要不充分條件”是假命題，所以機(jī)的取值范圍是{相加

<2}.故選A.

6.集合{y￡N|)，=-?+6,xdN}的真子集的個(gè)數(shù)是(C)

A.9B.8

C.7D.6

［解析］%=0時(shí)，y=6；尤=1時(shí)，y=5；x=2時(shí)，y=2；x=3時(shí)，y=-3.

所以{ydN|y=—f+6,xGN}={2,5,6}共3個(gè)元素，其真子集的個(gè)數(shù)為23

-1=7個(gè)，故選C.

7.已知全集U=R,M={x［x<-1),N={4x(x+2)<0},則圖中陰影部分表

示的集合是(A)

A.AfO}

B.{x|—l<x<0}

C.{x[—2<r<-1}

D.{x|x<-l}

［解析］題圖中陰影部分為

因?yàn)镸={x\x<-i］,

所以［uM={x|x2—l},

又N={x|x(x+2)<0}={x［—2<x<0},

所以Nn(［uM)={x|—lWx<0}.故選A.

8.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，

60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的

學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是(C)

A.62%B.56%

C.46%D.42%

［解析］設(shè)只喜歡足球的百分比為羽只喜歡游泳的百分比為y,兩個(gè)項(xiàng)目都

喜歡的百分比為z,

由題意，可得x+z=60,x+y+z=96,y+z=82,解得z=46.

.?.該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是46%.故

選C.

二'多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，

部分選對的得2分)

9.已知集合A={x*-2x=0},則有(ACD)

A.0cAB.12GA

C.{0,2}￡AD.A￡{y|y<3}

［解析］VA={0,2),二。口,一2a4,{0,2}CA,AQ{y\y<3}.故選ACD.

10.設(shè)非空集合P,Q滿足PAQ=Q,且PWQ,則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是(CD)

A.VxGQ,有xGP

B.BxEP,使得*Q

C.3x^Q,使得尤莊P

D.V/Q,有/P

［解析］因?yàn)閜nQ=。，且PW。，所以。是P的真子集，所以VxWQ,有

x&P,Bx^P,使得C,D錯(cuò)誤.

11.下列命題中，假命題是(BCD)

A.若x,月.尤+y>2,則x,y至少有一個(gè)大于1

B.VxeR,x"

C.a+b=O的充要條件是￡=-1

D.f+2W0

［解析］可設(shè)尤Wl,yWl,則x+yW2,與x+y>2矛盾，故A為真命題；

當(dāng)尤=1時(shí)，不成立，故B為假命題；

￡=—1中，a,b#0,而a+/?=0中，可以取到a=/?=0,故C為假命題；

f+2>0恒成立，故D為假命題.

12.已知集合4=但一1<九V3},集合8={x|xVm+l},則AC5=0的一個(gè)

充分不必要條件是(BD)

A.根〈―2B.m<—2

C.［n<2D.—4V〃zV—3

［解析］設(shè)ACB=0的一個(gè)充分不必要條件是p,p對應(yīng)的集合為C,當(dāng)ACB

=0時(shí)，機(jī)+1W-1,解得i2,所以C{"力2}.因此滿足條件的選項(xiàng)

為BD.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知集合七=(0,123,4,5},集合8={1,3,5,7,9},則Venn圖中陰影部分

表示的集合中元素的個(gè)數(shù)為

［解析］由Venn圖及集合的運(yùn)算可知，陰影部分表示的集合為［“AAB).

XA={0,1,2,3,4,5),8={1,3,5,7,9},

二AA8={1,3,5},二［A(AC8)=［0,2,4},

即Venn圖中陰影部分表示的集合中元素的個(gè)數(shù)為3,故答案為3.

14.已知集合4={1,2,3},5={R—3x+a=0},若AABW。，則a的值為制

或6或9.

［解析］由題意可知8=卜戶多.若ACBW0,貝吟=1或1=2或號=3,得a

=3或6或9.

15.已知集合A={x|a?—3x+l=0},若A中只含有一個(gè)元素，則a的值為

0或*:若A的真子集個(gè)數(shù)是3,則a的范圍是1a|a<0或.

［解析］集合A中只含一個(gè)元素.或彳解得a=O或a

［J=9—4?=0,

=9

一不

的真子集個(gè)數(shù)是3個(gè)，

/.ax2—3x+1=0有兩個(gè)不等的實(shí)根,

aWO,9

解得a<Q或0<。<如

J=9-4?>0,

.'.a的取值范圍是1a［a<0或0<a<3

16.在下列所示電路圖中，下列說法正確的是⑴⑵⑶(填序號).

(1)如圖①所示,開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充分不必要條件;

(2)如圖②所示,開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件;

⑶如圖③所示,開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充要條件;

(4)如圖④所示,開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件.

［解析］(1)A閉合，8亮；而8亮?xí)r，A不一定閉合，故A是8的充分不必

要條件，因此正確；(2)A閉合，B不一定亮;而8亮，A必須閉合，故A是8

的必要不充分條件，因此正確；(3)A閉合，B亮；而8亮，A必閉合，所以A是

8的充要條件，因此正確；(4)A閉合，8不一定亮；而3亮，A不一定閉合，所

以A是5的既不充分也不必要條件，因此錯(cuò)誤.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

演算步驟)

17.(本小題滿分10分)判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，

并判斷其真假.

(1)至少有一個(gè)整數(shù)，它既能被11整除，又能被9整除；

(2)末位是0的實(shí)數(shù)能被2整除；

(3)5%>1,%2-2>0；

(4)存在實(shí)數(shù)沒有算術(shù)平方根；

(5)奇數(shù)的平方還是奇數(shù).

[解析](1)命題中含有存在量詞“至少有一個(gè)”，因此是存在量詞命題，真

命題.

(2)命題中省略了全稱量詞“所有”，是全稱量詞命題，真命題.

(3)命題中含有存在量詞“三”，是存在量詞命題，真命題.

(4)命題”存在實(shí)數(shù)沒有算術(shù)平方根”，是存在量詞命題，真命題.

(5)命題中省略了全稱量詞“所有”，是全稱量詞命題，真命題.

18.(本小題滿分12分)已知集合A={x|T4W2},B={x\a^x^a+2}.

(1)若a=l,求AUB；

(2)在①[RA=[RB,②AU8=A,③A08=8,這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為條

件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)

分.

[解析](1)當(dāng)。=1時(shí)，8={x[lWx<3},所以AU3={x|-lWx<3}.

(aN—1

(2)三個(gè)條件[RA=[RB,AUB=A,AnB=B都表示所以,,

十2W2

解得一iWaWO,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|—iWaWO}.

19.(本小題滿分12分)設(shè)集合A={x[—1<%<4},8=卜一5令<||,C={x|l

~2a<x<2a}.

(1)若c=0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)若CW0且CU(AnB),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

［解析］(1)因?yàn)镃={x\l-2a<x<2a}=0,

所以1—2。22。，所以aW：,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是{alaW^.

(2)因?yàn)镃={x|l—2Q<V〈2Q}W。，

所以1—2a<2a,即

因?yàn)锳={x［—l<x<4},B=jx|—5<x<|j-,

所以ACl8=卜|—1<%<多,

〃1一2心一1,

3

因?yàn)镃U(ACB),所以JZaW］,解得(<“W點(diǎn)

1

1/，

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是同

20.(本小題滿分12分)求證：方程x2—2x—3m=0有兩個(gè)同號且不相等的

實(shí)根的充要條件是一g<，"<0.

［證明］⑴充分性：：一；<機(jī)<0,

二方程/一2x—3機(jī)=0的判別式/=4+12m>0,

且一3加>0,

/.方程x2—2x—3m=0有兩個(gè)同號且不相等的實(shí)根.

(2)必要性：若方程2x—3機(jī)=0有兩個(gè)同號且不相等的實(shí)根，

fj=4+12/n>0,1

則有彳,_解得一可<加<0.

［X1X2=—3〃Z>0,D

綜合(1)(2)知，方程x2—2x—3〃z=0有兩個(gè)同號且不相等的實(shí)根的充要條件

是—j<m<0.

21.(本小題滿分12分X。已知p：—2WxW10,夕：1—mWxWl+機(jī)(加>0),

若〃是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)已知p：A={x|-1WXW5},q：B={x\—m<x<2m—1},若“是q的充分

條件，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

［解析］(1)/?：—2WxW10,q：1—/"WxW1+加(加>0).

因?yàn)镻是q的必要不充分條件，

所以4是p的充分不必要條件，

即{x|l一機(jī)WxWl+〃?}{x|-2WxW10},

故有fh1+—m<io—2