江西省宜春市上高縣2023-2024學(xué)年高三年級上冊12月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024屆高三數(shù)學(xué)月考試卷

一、單選題（每題5分，共40分）

1，已知集合&=｛（、'加一9=°｝,3=｛（%y）|y=e;其中e為自然對數(shù)的底數(shù)

,則Ac8子集的

個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

z(3+4i)=|2V6-i|

V7

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足II，貝l]z=()

34.43.

A.—+—1B.—+—1

5555

34.43.

C.-----1D.---------1

5555

3.已知名廠是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，則（

A.若aua,bu)3且aUb,則2

B.若aua,buaaaHB，bH0,則戊〃夕

c.若a_L/?且aP=a,aVb,則

D.若aua,bu/3,a//13,b//a且a/異面，則a//0

4.由于我國與以美國為首的西方國家在科技領(lǐng)域內(nèi)的競爭日益激烈，美國加大了對我國一些高科技公司的打

壓，為突破西方的技術(shù)封鎖和打壓，我國的一些科技企業(yè)積極實施了獨立自主、自力更生的策略，在一些領(lǐng)域

取得了驕人的成績.我國某科技公司為突破“芯片卡脖子”問題，實現(xiàn)芯片制造的國產(chǎn)化，加大了對相關(guān)產(chǎn)業(yè)的

研發(fā)投入.若該公司2020年全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金為120億元，在此基礎(chǔ)上，計劃以后每年投入的

研發(fā)資金比上一年增長9%,則該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金開始超過200億元的年份是（）

參考數(shù)據(jù)：lgl.09°0.0374,lg2x0.3010,lg3?0.4771.

A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年

5.設(shè)點G是.ABC的重心，若NA=120°，ABAC=-1＞則AG的最小值是（）

32D.B

A.B.----

4333

71,VxeR,總有成立，且|石一到的

6.已知函數(shù)/（x）=sin（0x—9）3>0,|同<2

1

最小值為兀.若COSl；一9=COS（p,則〃龍）的圖象的一條對稱軸方程是（）Ax=~B.X=--

36

7171

C.x=—D.x=一

36

22

7.已知耳，工分別為雙曲線二-谷=l（a>0,6>0）的左、右焦點，過工與雙曲線的一條漸近線平行的直線交

ab

雙曲線于點尸，若［P郊=3歸閶，則雙曲線的離心率為（）

A.3B.75C.73D.2

8.已知/（X）=辰］,關(guān)于X的方程/2（X）+"（X）+2=0（/eR）有四個不同的實數(shù)根，則，的取值范圍為

(

(2e2+nf2e2+l)'2/+1、2e2+P

A.—00,-------------B-.---------,+ooC.,-2D.2,

、e?、eJ、e71e>

二、多選題（每題5分，共20分）

9.下列命題是真命題的有（）

A.分層抽樣調(diào)查后的樣本中甲、乙、丙三種個體的比例為3：1：2,如果抽取的甲個體數(shù)為9,則樣本容量為

30

B.某一組樣本數(shù)據(jù)為125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［114.5,124.5］

內(nèi)的頻率為0.4

C.甲、乙兩隊隊員體重的平均數(shù)分別為60,68,人數(shù)之比為1：3,則甲、乙兩隊全部隊員體重的平均數(shù)為

67

D.一組數(shù)6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的85%分位數(shù)為5

10.一箱產(chǎn)品有正品10件，次品2件，從中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（）

A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B.“至少有T件次品?和都是次品

C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D.“至少有1件次品”和“都是正品”

7T

11.已知，ABC三個內(nèi)角A,B,C的對應(yīng)邊分別為mb,c,且NC=—,c=2.（）

3

A.ABC面積的最大值為6

B.AC?AB的最大值為2+上叵

3

c.——的取值范圍為（—2,+8）

cosA

2

D.bcosA+acosB=y/2

12.如圖，在正方體ABC?！校cE,尸滿足AE=xA5+”1￡),Ak=zA〃，且蒼％ZG(0,1).

記所與AA所成角為a,歷與平面A3CD所成角為夕，則（）

A.若％=J，三棱錐E-3CF的體積為定值

2

B.若z=g,存在x=y,使得EF//平面BDRBi

JT

C.Vx,y,ze（0,1）,a+j0=—

D.若x=y=z=g,則在側(cè)面3CG5］內(nèi)必存在一點p,使得PE工PF

三、填空題（共20分）

13.已知平面向量a==(-2,l),c=(八,2),若atb,b〃C,貝1!772+〃=,

14.(l+x)3+(l+x)4+---+(l+X)8的展開式中V的系數(shù)是.

函數(shù)/（x）=sinawcos<ur+cos2cox在|工“單調(diào)遞減，則①的取值范圍為.

15.已知。>0,

2

16.設(shè)〃龍）是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，若VxeR,/（/（x）-2*）=n,則不等式/（“<7的解集為

四、解答題（共70分）

17.在448C中，角4B,C所對的邊分別是a，b，c，已知bcosC=/2a-qa>$8.

“，求角8的大??；"/設(shè)a=2,c=3,求sin化八+8J的值.

3

18.在中，角ABC的對邊分別為。，"c,二ABC的面積為S,已知---=<22COSB+abcosA.(1)求

tanB

q

角3；(2)若6=3,△ABC的周長為/,求丁的最大值.

19.已知數(shù)列｛4｝的前〃項的和S”=衛(wèi)/，數(shù)列出｝的前幾項的和T“滿足44+4=8%〃cN*.⑴分

別求數(shù)列｛4｝和也｝的通項公式；⑵求數(shù)列｛。也｝前九項的和Q.

20.如圖所示，在四棱錐S-A5CD中，底面A3CD是邊長為2的正方形，5A，平面ABCD,二面角

TT

S-OC-A的大小為一，E、F、G分別是S4、SB、BC的中點.

4

(1)求證：S。//平面所G

,4BM

(2)在線段上是否存在一點使得點A到平面ER以的距離為一，若存在，求出——的值；若不存

5MC

在，請說明理由.

21.某縣一高級中學(xué)是一所省級規(guī)范化學(xué)校，為適應(yīng)時代發(fā)展、百姓需要，該校在縣委縣政府的大力支持下，

啟動建設(shè)了一所高標準、現(xiàn)代化、智能化的新校，并由縣政府公開招聘事業(yè)編制教師，招聘時首先要對應(yīng)聘者的

簡歷進行評分，評分達標者進入面試環(huán)節(jié)，面試時應(yīng)聘者需要回答三道題，第一題考查教育心理學(xué)知識，答對

得10分，答錯得。分；第二題考查學(xué)科專業(yè)知識，答對得10分，答錯得0分；第三題考查課題說課，說課優(yōu)

秀者得15分，非優(yōu)秀者得5分.

4

（1）若共有2000人應(yīng)聘，他們的簡歷評分X服從正態(tài)分布N（65,15?）,80分及以上為達標，估計進入面試

環(huán)節(jié)的人數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；

（2）面試環(huán)節(jié)一應(yīng)聘者前兩題答對的概率均為二，第三題被評為優(yōu)秀的概率為:，每道題正確與否、優(yōu)秀與

否互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績y的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

附：若隨機變量x則

P（〃一b<X鼓山+cr）?0.6827,P（〃一2cr<X〃+2c）?0.9545,-3a<X?jU+3cr）?0.9973.

22.已知函數(shù)〃u=glx）-bx-（a,b€.R）

（1）當(dāng)a：1，時，求曲線v=—g/x）在x=1處的切線方程；

（2）當(dāng)b=o時，若對任意的力“，0工，三C恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

（3）當(dāng)a=0，b>0時，若方程〃g僅有兩個不同的實數(shù)解勺，x2（xl求證：^x2>2-

答案解析

一、單選題（每題5分，共40分）

1.已知集合'=｛（2）底—1=3=｛（乂，）卜=1,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)｝,則AC8子集的

個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】

【分析】首先判斷直線%-丁+1=。為曲線y=e’的切線，再結(jié)合集合含義，得出AC8只有一個元素，從而

求解.

【詳解】由題知，V=e',在點（0,1）處的切線斜率為e°=l，則在（0,1）處的切線方程為x—y+l=。.

5

因為直線>=尤+1與曲線y=e'相切于點（0,1）,有且只有這一個公共點，故AcB中有且只有一個元素,

所以AC8的子集個數(shù)為2個.

故選:B.

z（3+4i）=|2回i|

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足V7II，貝廠=（）

34.

A.—+—1B.

5555

34.43.

C.----iD.——i

5555

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則和模的定義即可求出復(fù)數(shù)z,再根據(jù)共輾復(fù)數(shù)定義即可得結(jié)果.

5（3-4i）_34.

【詳解】由z（3+4i）=|2#—i|,得z=J（2女--------------=-----]

（3+4i）（3-4i）55

-34

所以Z=g+gi,

故選：A.

3.已知戊,萬是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，則（）

A.若aua,bu。aa〃力，則a〃/

B.若且。///3,b〃/，則a〃/

C.若a_L/?且。P=a,a工b,則匕_1_￡

D.若aua,buB，a///3,b//a且a力異面，則a//0

【答案】D

【解析】

分析】根據(jù)線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系逐項判斷可得答案.

【詳解】對于A,若aua,"u/7且?！Γ灿锌赡躠與夕相交，如下圖，故A錯誤;

m

6

對于B,若aua,bua豆aHB，bH0,也有可能e與夕相交，如下圖，故B錯誤;

對于C,若且a/3=a,aLb,也有可能Z>ua,如下圖,

故C錯誤;

對于D,若aua,bu仇aHB，bIIa且a,b異面,則e〃夕，故D正確.

故選：D.

4.由于我國與以美國為首的西方國家在科技領(lǐng)域內(nèi)的競爭日益激烈，美國加大了對我國一些高科技公司的打

壓，為突破西方的技術(shù)封鎖和打壓，我國的一些科技企業(yè)積極實施了獨立自主、自力更生的策略，在一些領(lǐng)域

取得了驕人的成績.我國某科技公司為突破“芯片卡脖子”問題，實現(xiàn)芯片制造的國產(chǎn)化，加大了對相關(guān)產(chǎn)業(yè)的

研發(fā)投入.若該公司2020年全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金為120億元，在此基礎(chǔ)上，計劃以后每年投入的

研發(fā)資金比上一年增長9%,則該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金開始超過200億元的年份是()

參考數(shù)據(jù)：lgl.09x0.0374,lg2x0.3010,lg3?0.4771.

A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意列出不等關(guān)系，然后結(jié)合對數(shù)運算化簡求出年份即可.

【詳解】設(shè)2020年后第九年該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金開始超過200億元,

由120x(1+9%)”>200得(1.09)”>|,

lg5-lg31-Ig2-lg3

兩邊同取常用對數(shù)，得〃〉。5.93

lgl.09lgl.09

7

所以“26,所以從2026年開始，該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金開始超過200億元.

故選：C.

5.設(shè)點G是一ABC的重心，若NA=120°，ABAC=-b則的最小值是()

32rV2

A.一B.一D

433-T

【答案】C

【解析】

一1-

【分析】設(shè)。是BC的中點，連接A。，進而得AG=§(A3+AC),再結(jié)合已知得|AB|.|AC|=2,最后結(jié)

合向量模的計算公式與基本不等式求解即可.

【詳解】解：設(shè)。是的中點，連接AD.因為G是4ABe的重心,

211

所以AG=§AD=§(AB+3Z>+AC+CD)=](AB+AC)

因為NA=120,ABAC=-\,

所以||=2，

IIIIcosA

所以AG=gAB+=gJABI2+|AC|2+2ABAC=1^AB|2+|AC|2-2

>|^2|AB|.|AC|-2=當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)|AB|=|AC|時取等號

6.已知函數(shù)/(%)=5皿0%-9)10〉0,|同<1],\/%€11,總有/(%)</(力</(%2)成立，且歸—引的

最小值為兀.若cos]|_-e)=cos9，則/(%)的圖象的一條對稱軸方程是()

8

71717171

Ax=——B.X-----C.x——D.x=—

3636

【答案】A

【解析】

71

【分析】根據(jù)四-九21的最小值為兀，可得周期，進而根據(jù)cosej=cos。求解9=看，即可根據(jù)整體法求

3

解對稱軸方程.

【詳解】由于對VxeR,總有/a)W〃x)W/(X2)成立，且卜一目的最小值為兀,

12兀

所以一丁=兀07=2兀=一=。=1,

2co

(兀)7T7C

又cosI-I=cos(p,則耳一夕=±*+2kJi,ZeZ,所以§一夕=0+2防i,keZ,

所以夕二工一女兀歡eZ,由于［同<二,所以9=

626

故/(x)=sin

兀71Z兀

令x—=—+E,左wZ,所以%=---bE,左eZ,

623

2兀

故/(x)=sin對稱軸方程x=——+防1,左￡Z,

3

TT

取上=—1時，％=--,

故選：A

22

7.已知可，工分別為雙曲線5-與=l(a>0,6>0)的左、右焦點，過工與雙曲線的一條漸近線平行的直線交

ab

雙曲線于點尸，若歸國=3歸月|,則雙曲線的離心率為()

A.3B.&C.石D.2

【答案】C

【解析】

b

【分析】設(shè)過居與雙曲線的一條漸近線丁=一%平行的直線交雙曲線于點P,運用雙曲線的定義和條件可得

a

\PF^3a,\PF2\=a,|￡^|=2c,再由漸近線的斜率和余弦定理，結(jié)合離心率公式，計算即可得到所求值.

b

【詳解】設(shè)過B與雙曲線的一條漸近線丁二—九平行的直線交雙曲線于點尸，

a

9

由雙曲線的定義可得|P￡ITPR1=2a,

由|尸耳|=3|尸6|,可得|PfJ=3a,\PF2\=a,\FlF2\=2c,

h

由tanN￡KP=—可得

a

在三角形尸耳心中，由余弦定理可得:

2

IPFt|=|PF21+]4葉F-2|尸夫I耳氏IcosN耳招」,

BP<9a2=a2+4c2-2ax2cx-,化簡可得c?=3/,

C

所以雙曲線的離心率e=￡=Q.

a

故選：C.

8.已知F(x)=ke],關(guān)于X的方程/2(X)+"(X)+2=0(teR)有四個不同的實數(shù)根，貝V的取值范圍為

()

f2e2+l^f2e2+l)f2e2+lQ(2e2+l)

A.—00,--------------B.-----------,+ooC.--------,-2D.2,------

e

1eJke)ke)I)

【答案】A

【解析】

【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，確定單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，令/(x)=〃2,得到+有兩個不同的

根叫m2e(g,+oo],得到*+/+2<0,解得答案.

【詳解】令y=%e",/=(x+l)ex,

當(dāng)x>—1時，???、'>()?,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)％<—1時，/<0,函數(shù)單調(diào)遞減;

故當(dāng)芯二一1時，函數(shù)的最小值為一。一1二一，，

e

=辰"圖像是由y=xex的圖像X下方的部分向上翻折形成，如圖所示：

10

當(dāng)機=0時，等式為2=0,矛盾，舍去；

若叫=!，此時對應(yīng)兩個不同根，若要湊四個根，則如=!，不滿足題意，舍去；

ee

則加2+碗+2=0有兩個不同的根叫機2即「+：+2<0,/<-2e+1,

故選：A.

二、多選題（每題5分，共20分）

9.下列命題是真命題的有（）

A.分層抽樣調(diào)查后的樣本中甲、乙、丙三種個體的比例為3：1：2,如果抽取的甲個體數(shù)為9,則樣本容量為

30

B.某一組樣本數(shù)據(jù)為125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［114.5,124.5］

內(nèi)的頻率為04

C.甲、乙兩隊隊員體重的平均數(shù)分別為60,68,人數(shù)之比為1：3,則甲、乙兩隊全部隊員體重的平均數(shù)為

67

D.一組數(shù)6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的85%分位數(shù)為5

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)判斷A選項；利用落在區(qū)間［114.5,124.5］內(nèi)的個數(shù)除以總數(shù)計算概率，即可判

斷B選項；由甲、乙兩隊的人數(shù)比，計算出兩隊在所有隊員中的所占權(quán)重，然后利用平均數(shù)的計算公式，即

可判斷C選項；由百分位數(shù)的性質(zhì)，即可判斷D選項.

3

【詳解】對于選項A：根據(jù)樣本的抽樣比等于各層的抽樣比，樣本容量為9十一--=18,故選項A錯誤；

3+1+2

對于選項B：樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［114.5,124.5］內(nèi)的有120,122,116,120共4個，所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間

［114.5,124.5］內(nèi)的頻率為2=0.4,故選項B正確；

11

對于選項C：甲、乙兩隊的人數(shù)之比為1:3,則甲隊隊員在所有隊員中所占權(quán)重為'=一,乙隊隊員在所

1+34

33-13

有隊員中所占權(quán)重為——=—,則甲、乙兩隊全部隊員體重的平均數(shù)為x=—x60+—x68=66,故選項C

1+3444

錯誤；

對于選項D：將該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：1,2,2,2,3,3,3,4,5,6,由10x85%=8.5,則該組數(shù)據(jù)

的85%分位數(shù)是第9個數(shù)，該數(shù)為5,故選項D正確.

10.一箱產(chǎn)品有正品10件，次品2件，從中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有()

A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B.“至少有T件次品?和都是次品

C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D.“至少有1件次品”和“都是正品”

【答案】AD

【解析】

【分析】判斷各選項中的事件是否有同時發(fā)生的可能，即可確定答案.

【詳解】A：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同時發(fā)生，為互斥事件；

B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；

C：“至少有1件正品”的基本事件為{“有1件正品和1件次品”，“有2件正品”},“至少有1件次品”的基本

事件為{“有1件正品和1件次品”，“有2件次品”},它們有共同的基本事件“有1件正品和1件次品”，不是

互斥事件；

D：由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同時發(fā)生，為互斥事件；

故選：AD

TT

11.已知.ABC三個內(nèi)角A,B,C的對應(yīng)邊分別為a,b,c,且NC=-,c=2.()

3

A.ABC面積的最大值為指

B.AC?AB的最大值為2+生叵

3

rneR

C.的取值范圍為(—2,+8)

cosA

D.bcosA+acosB=V2

【答案】AB

【解析】

【分析】由余弦定理、三角形面積公式及基本不等式計算判斷A；由正弦定理，向量數(shù)量積的定義，三角恒等

變換結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解判斷B；利用三角恒等變換結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)計算判斷C；利用余弦定理計算

12

判斷D.

7T

【詳解】對于A,由NC=§,c=2,得4=a2+b2—ab?2ab—ab=ab，當(dāng)且僅當(dāng)。=6=2時取等號,

即ab的最大值為4,

則一ABC面積S=ga6sinC＜；x4x#=Q,即面積的最大值為也，A正確；

對于B,由正弦定理得—^=，=生8,則b=tgsin2,B=--A,

sin5sinC333

AC-AB=becosA=—sinBcosA=—cosAsin(——A)

333

8A/31,4G

=----coscosA+—sinA)=4cosAd———sinAcosA

3

=2(1+cos2A)+2fsin2A=~~~(；sin2A+cos2A)+2=~~~sin(2A+g)+2,

Lt5、cA27r,.__.4兀7T..7T5兀.t,—.兀兀

顯然0<A<—,有0<2A<—,一<2AH—<—,則當(dāng)2AH—=一,

3333332

即人=工時，a。取得最大值為拽+2,B正確；

123

j-r-cos(--A)cos—cosA+sin-sinA/r,..2TD

對于C,cosD%13L33.13,3tan，4,由4￡(/0R,彳),

cosAcosAcosA22J

得tanAe(-oo,-u(0,+oo),因此的取值范圍為(一8,-2)?！?-±+8),C錯誤;

cosA2

72,2_22,2_r2

對于D,由余弦定理得bcosA+acosB=b----------+a-~——-------=c=2,D錯誤.

2bc2ac

故選：AB

12.如圖，在正方體ABCD—中，點瓦廠滿足==且x,y,z￡（0,l）.

記所與44］所成角為/跖與平面A5CZ）所成角為夕，則（）

13

A.若》=』，三棱錐E-3CF的體積為定值

2

B.若z=g,存在x=y,使得EF//平面BDRBi

jr

C.Vx,y,ze（0,1）,a+j0=—

D.若x=y=z=e，則在側(cè)面BCCdi內(nèi)必存在一點P,使得尸E人尸尸

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，由三棱錐的體積計算判斷A；取點E,借助面面平行推理判斷B；利用線

線角、線面角的意義判斷C；建立空間直角坐標系，借助空間向量計算判斷D作答.

【詳解】對于A,當(dāng)了=」時，取A5中點S,CD中點T,連接ST,

2

根據(jù)平面向量基本定理知，則E在ST上，則ST/ABC,

57（/平面8。5，5Cu平面5b,則ST//平面BCT,

則E到平面8"的距離為定值，又ABCF的面積為定值，

因此四面體廠-AEB的體積為定值，A正確；

對于B,當(dāng)z=1?時，取x=y=:,則尸為4〃的中點，取AD的中點G,

令A(yù)CBD=O,則E為AO的中點，連接EG,/G,

顯然FGHDD,,FG<Z平面BD”,DDXu平面BDD{B{,則/G//平面BDDXB1,

而EG//DO,同理EG//平面瓦，又EGcFG=G,EG,FGu平面EFG,

14

因此平面EFG//平面5。。百，又叱u平面E尸G,所以EF//平面BDD禺,B正確;

對于C,過產(chǎn)作BG//A&交A。于G,連接EG,由A4，平面A3CD,

得尸G,平面A3CD,

而EGu平面ABCD,看FG工EG,

顯然NEEG是ER與平面ABCD所成的角，即Z?=NREG,

由RG//A4,得NEFG是E尸與AM所成的角，即cr=NEFG,所以a+^=NEfG+NEEG=5,C正

確；

對于D,建立如圖所示的空間直角坐標系，當(dāng)x=y=z=1■時，

￡(1,1,0),尸(1,0,2),點尸在側(cè)面BCQB］內(nèi),

設(shè)尸(后〉/。),為*。^。,?,PE=(l-x0-l-z0),PF=(l-x0-2,2-z0),

222

則PE-PF=(1-XO)+2+ZO(ZO-2)=(1-XO)+(ZO-1)+1>1>O,

三、填空題(共20分)

13.已知平面向量a==(-2,l),c=(八,2),若a工b,b〃C,貝！h篦+〃=.

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標表示，列式計算，求出辦〃的值，即可求得答案.

【詳解】由a=(l,m),b=(-2,l),c=(n,2),tz±Z?,Z?//c,

得-2+切=0,-2*2—7?=0,解得m=2,”=T,

所以m+n=—2,

15

故答案為：-2

14.（1+力3+0+力4+…+0+'8的展開式中%3的系數(shù)是.

【答案】126

【解析】

【分析】根據(jù)通項公式表示二項展開式的第r+1項，該項的二項式系數(shù)是G；,表示出v的系數(shù)，然后利用組

合數(shù)的性質(zhì)進行求解.

【詳解】（1+力3+（1+力4…+（1+力8的展開式中?的系數(shù)為

Cl+Cl+Cf+Cl++Cf=Ct+Cl+Cf+Cl+C^+Cl=C^=126.

15.已知（y>0,函數(shù)/（x）=sinoxcosa>x+cos2公r在［；兀J單調(diào)遞減，則0的取值范圍為.

【答案】

【解析】

【分析】運用降次公式及輔助角公式化簡函數(shù)〃x）=*sin（20x+：）+g，結(jié)合《之兀-/、換元法及復(fù)

合函數(shù)單調(diào)性求解即可.

1.八1+cos2a)xe.兀、i五,兀、口

【詳解】因為/(%)=sincoxcos(^x+cos2cox=—sin2cox+---------=2sin（2?x+-）+5在（萬，兀）上

22

單調(diào)遞減，

ttT、兀rtr兀、兀

所以一2?！?，即一2一，

22co2

又G>0,所以0<。<2,

C兀

令A(yù)"2s+一,

4

7C兀兀

因為一<1<兀，0<〃><2,所以①兀+—</<20兀+—，

244

所以問題轉(zhuǎn)化為丁=Y2sin/+L在（刃兀+嗎,2①兀+工）（0<口<2）上單調(diào)遞減,

2244

16

7T7T

所以問題轉(zhuǎn)化為y=sint在(師+—,2。兀+—)(0<<?<2)上單調(diào)遞減，

-44

又殳〈師+紜〈電，—<2a)7i+—<^^-,y=sinf單調(diào)遞減區(qū)間(殳+2E,羽+2E),keZ,

44444422

所以(0兀+：,2(w兀+：)0,

0<?<2?

7T7T15

所以《am+—>—?,解得一Wo4一.

4248

。，兀/3兀

2am+—<—

42

j_5

故選:

458

16.設(shè)〃龍)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，若VxeR,/(/(x)-2")=11,則不等式/(x)<7的解集為

【答案】(-8,2)

【解析】

【分析】根據(jù)題意，設(shè)/(x)—2'=冽，得至u/(x)=2'+m,結(jié)合/(根)=2恒+根=11,求得加的值，得到

/(x)=2*+3,把不等式轉(zhuǎn)化為2,+3<7,即可求解.

【詳解】由VxeR,/(/(x)—2x)=n,可得了⑴一2,必為定值，

設(shè)/(x)—2*=〃z,即/(x)=2*+〃z,

由/(切)=2'"+根=11,解得機=3,所以/(x)=2*+3,

則不等式/(X)<7,即2工+3<7,可得2*<4,解得x<2,

所以不等式/(“<7的解集為(—8,2).

故答案為：(-8,2).

四、解答題(共70分)

17./本小題me分j

17

在△ABC中，角4，6，C所對的邊分別是a，b，c，已知bcwC，(2a-

求角B的大??；化)設(shè)a=2,(■二3，求》“〃*8,的值.

【答案】解：(1，:bcosC=/2a1c)co5B,

bcosC*ccosB=2aco$B,

由正弦定理得sinBcosC?sinCcosB：2夕心

smf3+0=sm4：2s”?』ros8，

cosB二

又?.?Be(0f可，

???8=；.

“I)由。=2，c=3，可得了=02+〃-2。"。$8二7,可得b:C，

因為所以以相

rzn^7

又acc,則/!W(0fros.4-

可得$fn24^2stnAcosA=2xns2A-2cos1A-1-

所以siW24?叫:sin2AcosB*cosiAsinB

727ZK

4s

18.在ABC中，角A8,C的對邊分別為。，"G-ABC的面積為S,已知----=a2cosB+abcosA.

tanB

(1)求角3；

S

(2)若b=3,△ABC的周長為/,求了的最大值.

7T

【答案】19.-

3

18小

4

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等變換即可求解；

(2)由余弦定理及三角形的面積公式得5=告包+c-3)，再由基本不等式進行求解即可.

18

【小問1詳解】

4s2

因為-----=acosB+abcosA,

tanB

匚匚…4x—acsinBcosB

所以22Al入一

---------------------二acosD+abcosA

sinB

即2ccosB=acosB-\-bcosA,

由正弦定理，得2sinCeosB=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B),

因為A+5=4—C,

所以2sinCeosB=sinC,

因為所以sinCwO,所以cos3=g,

又3e(O,?),所以3=：.

【小問2詳解】

由余弦定理，得〃=+c2—2accosB，^99=a2+c2—ac

所以9=(a+c)2—3〃c,即ac|(a+-9

因為S=—acsinB=^-ac，/=a+c+3,

24

所以9=—=師"+c)』

I4(a+c+3)12(〃+c+3)

所以9=Yl(a+c—3)，

112['

又acW（當(dāng)且僅當(dāng)。=c時取等號）,

4

所以9=（a+c）2-3ac>小十”（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時取等號）,

所以Q+C<6（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時取等號），

所以S9（a+c—3）W史■義估―3）=亞（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時取等號）,

112v'12v'4

19

即9的最大值為走.

I4

2

19.已知數(shù)列｛4｝的前幾項的和數(shù)列也｝的前幾項的和T,滿足44+4=死，〃eN*.

（1）分別求數(shù)列｛?！埃鸵玻耐椆?；

（2）求數(shù)列｛%"｝前九項的和Q.

【答案】⑴4=n；4=2。

（2）（n-l）-2H+1

【解析】

sm二

【分析】（1）由4=?即可求得｛&｝的通項公式，由。“與7；的關(guān)系即可求得仙“｝的通項公式.

A”-3"一12力?

（2）根據(jù)錯位相減法即可得出結(jié)果.

【小問1詳解】

121

當(dāng)時，a=S-Sn_x=ZL±ZL_^-）+^~）=n.

當(dāng)〃=1時，/=S[=1,滿足上式，

故數(shù)列｛a,｝的通項公式為a”=n.

當(dāng)"22時，由44+4=82，得4北_1+4=82_1，

兩式相減得4（7；,-T“_[）=8（么-優(yōu)t）

即4年=8（2-%）,

所以仇=22_1，

又當(dāng)”=1時，4偽+4=8偽，解得偽=1,

所以數(shù)列｛〃｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，

二b"=2”T.

【小問2詳解】

由（1）知：="-2"T,

20

.?.c?=1+2-2'+3-22+4-23++〃2T①

2C=l-2+2-22+3-23+4-24++n-T②

①-②得：

-C?=l+21+22+23++2n-1-n-2"

1-2"

=—=(1—“)2”—1.

1-2

.?<=(〃-1)2"+1.

20.如圖所示