初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)《相似三角形的周長(zhǎng)與面積》教學(xué)設(shè)計(jì)1

PAGEPAGE12《相似三角形的周長(zhǎng)與面積》教學(xué)設(shè)計(jì)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．理解并初步掌握相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方．2．能用三角形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．重點(diǎn)難點(diǎn)：1．相似三角形的性質(zhì)與運(yùn)用．2．相似三角形性質(zhì)的靈活運(yùn)用，及對(duì)“相似三角形面積的比等于相似比的平方”性質(zhì)的理解，特別是對(duì)它的反向應(yīng)用的理解，即對(duì)“由面積比求相似比”的理解．二、知識(shí)概覽圖相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比（相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比）相似三角形面積的比等于相似比的平方（相似多邊形面積的比等于相似比的平方）三、新課導(dǎo)引生活鏈接：如果兩個(gè)三角形相似，那么它們的周長(zhǎng)之間有什么關(guān)系?它們的面積之間有什么關(guān)系?兩個(gè)相似多邊形呢?問(wèn)題探究：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似圖形的性質(zhì)：相似圖形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．那么相似圖形的周長(zhǎng)與面積又具有怎樣的性質(zhì)呢?四、教材精華（一）知識(shí)點(diǎn)1相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比．如圖27－57所示，如果△ABC∽△A′B′C′，且＝k，那么△ABC與△A′B′C′的相似比為k，過(guò)A作AD⊥BC，過(guò)A′作A′D′⊥B′C′，垂足分別為D，D′，在△ABD與△A′B′D′中，∠B＝∠B′，∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，所以Rt△ABD∽R(shí)t△A′B′D′，所以＝k，即相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比k．（二）知識(shí)點(diǎn)2相似三角形對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比．別為△ABC和△A′B′C′的中線(xiàn)，BE，B′E′分別為△ABC和△A′B′C′的角平分線(xiàn)，若△ABC∽△A′B′C′，則＝k．（三）知識(shí)點(diǎn)3相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．如果△ABC∽△A′B′C′，并且△ABC與△A′B′C′的相似比為k，那么＝k，則AB＝k·A′B′，BC=k·B′C′，AC＝k·A′C′，因此，即相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．例如：已知△ABC∽△A′B′C′，它們的周長(zhǎng)分別為60cm和72cm，且AB＝15cm，B′C′＝24cm，則這兩個(gè)三角形的相似比為，且，因?yàn)锳B＝15cm，B′C′＝24cm，所以A′B′＝18cm，BC＝20cm，所以AC＝60－15－20＝25（cm），A′C′＝72－18－24＝30（cm（四）知識(shí)點(diǎn)4相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比．如果多邊形A1A2…An與多邊形A1′A2′…An′相似，并且多邊形A1A2…An與多邊形A1′A2′…An′的相似比為k，則＝k，∴A1A2＝kA1′A2′，A2A3＝kA2′A3′，…，AnA1＝kAn′A1′，∴A1A2+A2A3+…+AnA1＝k（A1′A2′+A2′A3′+…+An′A1′），∴（五）知識(shí)點(diǎn)5相似三角形面積的比等于相似比的平方．若△ABC∽△A′B′C′，△ABC與△A′B′C′的相似比是k，AD，A′D′分別是BC與B′C′邊上的高，則=k·k=k2,即相似三角形面積的比等于相似比的平方．（六）知識(shí)點(diǎn)6相似多邊形面積的比等于相似比的平方．對(duì)于兩個(gè)相似的四邊形，可以把它們分成兩對(duì)相似的三角形，可以得出這兩個(gè)四邊形面積的比等于相似比的平方．對(duì)于兩個(gè)相似的多邊形，用類(lèi)似的方法，可以把它們分成若干對(duì)相似的三角形，從而得出相似多邊形面積的比等于相似比的平方．規(guī)律方法小結(jié)：（1）如果兩個(gè)三角形相似，那么它們對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比、對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比都等于相似比．（2）相似三角形的面積比等于相似比的平方．（3）類(lèi)比相似三角形的性質(zhì)可知，相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方．（4）本節(jié)內(nèi)容中求相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比和面積的比的問(wèn)題可以互相轉(zhuǎn)化，對(duì)于沒(méi)有指明對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的相似三角形仍然要分類(lèi)討論．五、課堂檢測(cè)基本概念題1．（1）若兩個(gè)相似三角形的面積比為1：2，則它們的相似比為；（2）若兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為3：2，則它們的相似比為；（3）若△ABC∽△A′B′C′，且AB＝5，A′B′＝3，△A′B′C′的周長(zhǎng)為12，則△ABC的周長(zhǎng)為．2．如圖27－59所示，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周長(zhǎng)是24，面積是48，求△DEF的周長(zhǎng)和面積．3．如圖27－60所示，在銳角三角形ABC中，AD，CE分別為BC，AB邊上的高，△ABC和△BDE的面積分別為18和2，DE＝2，求AC邊上的高．4．如圖27－61所示，在△ABC與△CAD中，AD∥BC，CD交AB于點(diǎn)E，且AE：EB＝1:2，EF∥BC交AC于點(diǎn)F，且S△ADE＝1，求S△BCE和S△AEF．5．如圖27－62所示，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，BH⊥AD于點(diǎn)H，CK⊥AD于點(diǎn)K，求證AB·DK＝AC·DH．6．如圖27－63所示，在梯形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，若△COD的面積為a2，△AOB的面積為b2，其中a＞0，b＞0，求梯形ABCD的面積S．7．如圖27－64所示，ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，OE交BC于點(diǎn)F，AB＝a，BC＝b，BE＝c，求BF的長(zhǎng)．8．如圖27－65所示，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，且AD＝AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F．（1）求證△ABC∽△FCD；（2）若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的長(zhǎng)六、體驗(yàn)中考1．已知△ABC與△DEF相似且面積比為4：25，則△ABC與△DEF的相似比為．2．如圖27－67所示，在△ABC中，BC＞AC，點(diǎn)D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分線(xiàn)CF交AD于F，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接EF．（1）求證EF∥BC；（2）若四邊形BDFE的面積為6，求△ABD的面積．參考答案課堂檢測(cè)1．分析（1）∵兩個(gè)相似三角形的面積比等于相似比的平方，∴k2＝，且k＞0，∴k＝．（2）∵相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，且周長(zhǎng)比為3:2，∴相似三角形的相似比為3：2．（3）∵相似比5：3，∴．又∵△A′B′C′的周長(zhǎng)為12，∴＝，∴△ABC的周長(zhǎng)為20．答案：（1）：2（2）3：2（3）20解題策略：解決此類(lèi)題時(shí)，可直接應(yīng)用相似三角形的周長(zhǎng)比、面積比與相似比的關(guān)系來(lái)求解．2．分析先說(shuō)明△ABC∽△DEF，再運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)——相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比、面積比等于相似比的平方進(jìn)行求解．解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，∴又∵∠D＝∠A，∴△DEF∽△ABC，且相似比為．∴．即，∴△DEF的周長(zhǎng)為12．∴，即，∴S△DEF＝12．即△DEF的周長(zhǎng)為12，面積為12．解題策略：解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，可利用相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比、相似三角形面積的比等于相似比的平方來(lái)求解．3．分析若求AC邊上的高，就要把AC邊上的高作出來(lái)，由于△ABC的面積為18，因此只要求出AC邊的長(zhǎng)，就可以求出AC邊上的高．解：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為點(diǎn)F．∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，又∵∠ABD＝∠CBE，∴Rt△ADB∽R(shí)t△CEB．∴,即，且∠ABC=∠DBE，∴△EBD∽△CBA，∴，又∵DE＝2，∴AC＝6．∵S△ABC＝AC·BF＝18，∴BF＝6．解題策略：解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件說(shuō)明△EBD∽△CBA．4．分析由AD∥BC，可得△ADE∽△BCE，求S△BCE比較容易，而求S△AEF不易利用相似三角形的面積關(guān)系來(lái)求解．由DA∥EF可知△AEF與△EAD是兩個(gè)高相等的三角形，所以這兩個(gè)三角形的面積比就等于底邊長(zhǎng)的比，求出EF：AD就可以求出△AEF的面積．解：∵AD∥BC，∴△ADE∽△BCE，∴S△ADE：S△BCE＝AE2：BE2．又∵AE:BE＝1：2，∴S△ADE:S△BCE＝1:4，∵S△ADE＝1，∴S△BCE＝4．又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EF:BC＝AE：AB＝1:3．又∵△ADE∽△BCE，∴AD：BC＝AE：BE＝1：2，∴BC＝2AD，∴EF：AD＝2：3．又∵AD∥EF，∴△ADE與△AEF等高．∴S△AEF：S△ADE＝EF：AD＝2：3．∵S△ADE=1，∴S△AEF＝．解題策略：利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)面積的計(jì)算時(shí)，有時(shí)會(huì)用到等底等高的三角形面積相等、同底（或等底）三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)高之比、同高（或等高）三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)底邊長(zhǎng)之比等等．5．分析由已知易證△BHD∽△CKD，△ABH∽△ACK，從而易得,即AB·DK=AC·DH．證明：∵BH⊥AD，CK⊥AD，∴BH∥CK，∴△BHD∽△CKD，∴．①∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2．又∵∠BHA=∠CKA=90°，∴Rt△ABH∽R(shí)t△ACK,∴．②由①②可知，∴AB·DK＝AC·DH．解題策略：在本題中，利用把和聯(lián)系起來(lái)，通常把這里的叫做中間比，它起到橋梁的作用．6．分析梯形的面積等于4個(gè)三角形的面積之和，而△AOB和△COD的面積都已用a，b表示出來(lái)，因此關(guān)鍵是求出△AOD和△BOC的面積．由圖可知△AOD和△BOC的面積相等，而△AOD和△COD在A(yíng)C邊上的高是同一條高，因此△AOD和△COD的面積比就等于A(yíng)O：OC，這樣就可以求出△AOD的面積．解：∵AB∥CD，∴△COD∽△AOB，∴∴又∵S△ABC＝S△ABD，∴S△ABC－S△AOB＝S△ABD－S△AOB，即S△BOC＝S△AOD．又∵=，∴S△AOD=·S△COD=·a2=ab．∴S△COB＝S△AOD＝ab．∴梯形ABCD的面積S＝a2+ab+ab+b2＝（a+b）2．解題策略：底在同一條直線(xiàn)上，高相同的兩個(gè)三角形面積的比等于底邊長(zhǎng)的比，而相似三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方，要注意區(qū)別這兩個(gè)性質(zhì)．7．分析顯然所求線(xiàn)段BF與已知線(xiàn)段BE在同一個(gè)三角形中，如果能找到一個(gè)與△BEF相似且有已知邊的三角形，問(wèn)題便可解決，但在圖中不能直接找到，如果過(guò)O作OC∥BC交AB于G，就能得到△EBF∽△EGO，此題可解．解：過(guò)點(diǎn)O作OG∥BC交AB于G，則△EBF∽△EGO．∵ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，∴OA＝OC，AG＝GB．又∵△EBF∽△EGO，∴．∵AG＝GB＝AB，∴OG＝BC．又∵AB＝a，BC＝b，BE＝c，∴OG＝b，GB＝a，GE=a+c．∴，∴BF=．解題策略：解決此類(lèi)題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似圖形，而構(gòu)造相似圖形的一般方法是作平行線(xiàn)．8．分析由ED⊥BC，D是BC的中點(diǎn)，可得∠B＝∠1，由AD＝AC，可得∠2＝∠ACD，從而相似可證．過(guò)A作AM⊥BC,垂足為M，求DE的長(zhǎng)可以在ED∥AM的基礎(chǔ)上利用比例線(xiàn)段求得．證明：（1）∵DE⊥BC，D是BC的中點(diǎn)，∴EB＝EC，∴∠B＝∠1．又∵AD＝AC，∴∠2＝∠ACB，∴△ABC∽△FCD．解：（2）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M，∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴==4．又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20．∵S△ABC＝BC·AM，且BC＝10，∴20=×10·AM，∴AM＝4．又∵DE∥AM，∴．∵BM＝BD+DM，BD＝BC＝5，DM＝DC＝，∴BM＝5+＝，