福建省平潭縣新世紀(jì)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期適應(yīng)性練習(xí)（一）（3月）數(shù)學(xué)試題

平潭新世紀(jì)學(xué)校高二下適應(yīng)性練習(xí)（一）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知某物體的運(yùn)動(dòng)方程是（的單位為），該物體在時(shí)的瞬時(shí)加速度是（

）A． B． C． D．2．已知傾斜角為的直線與曲線相切于點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．4．設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為2，則（

）A．2 B．1 C． D．65．已知，則a，b，c大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．6．若函數(shù)在處有極小值，則（）A． B． C．或 D．7．已知曲線存在過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．8．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．10．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則11．對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．在處取得最小值 B．在處取得最大值C．有兩個(gè)不同零點(diǎn) D．三、填空題12．已知，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是．13．已知函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，則正整數(shù)的值是14．已知函數(shù)的最小值為0，則.四、解答題15．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值．16．已知函數(shù)．(1)求的解析式；(2)討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．17．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.18．某學(xué)校為創(chuàng)建高品質(zhì)示范高中，準(zhǔn)備對(duì)校園內(nèi)某一墻角進(jìn)行規(guī)劃設(shè)計(jì).如圖所示，墻角線和互相垂直，墻角內(nèi)有一景觀，到墻角線、的距離分別為20米、10米，學(xué)校欲過(guò)景觀修建一條直線型走廊，其中的兩個(gè)端點(diǎn)分別在這兩墻角線上.(1)為了使三角形花園的面積最小，應(yīng)如何設(shè)計(jì)直線型走廊？(2)考慮到修建直線型走廊的成本，怎樣設(shè)計(jì)，才能使走廊的長(zhǎng)度最短？19．己知函數(shù)．(1)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍．參考答案：1．C【分析】由題意依次求導(dǎo)代入即可得解.【詳解】由題意，，所以.故選：C.2．C【分析】求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為為，，由題意可得，解得（舍去），即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故選：C.3．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得平行于直線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得，因?yàn)?，可得，則，即平行于直線且與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得點(diǎn)到直線的距離為.故選：B.4．B【分析】由導(dǎo)數(shù)的概念求解.【詳解】由已知有，則.故選：B5．D【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，進(jìn)而得到a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，令，得，因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，，因?yàn)?，所以，?故選：D6．A【分析】求得，由，求得或，分別求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)極值點(diǎn)的定義，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在處有極大值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，令，可得或；令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在處有極小值，符合題意，綜上可得，.故選：A.7．B【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為，則，切線斜率，∴切線方程為，∵切線過(guò)原點(diǎn)，∴，整理得：∵存在過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，∴，解得或，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.8．C【分析】依題意，在區(qū)間上恒成立，分離參數(shù)可得實(shí)數(shù)a的最大值.【詳解】由題意，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上恒成立，即，令，則，又，所以，所以在為減函數(shù)，所以，所以，即實(shí)數(shù)a的最大值是.故選：C9．AD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)奇偶性得到為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，A正確；B不滿足奇偶性，C不滿足單調(diào)性；D選項(xiàng)，滿足為偶函數(shù)，且求導(dǎo)得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，定義域?yàn)?，且，故為偶函?shù)，且時(shí)，單調(diào)遞增，故A正確；B選項(xiàng)，的定義域?yàn)椋什皇桥己瘮?shù)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，時(shí)，單調(diào)遞減，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，故是偶函數(shù)，且時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故D項(xiàng)正確.故選：AD10．CD【分析】利用導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則，求解即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:,,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B:,,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C:,,故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D:,,故選項(xiàng)D正確；故選：CD.11．BD【分析】利用單調(diào)性求最值判斷A,B，求零點(diǎn)判斷C，先轉(zhuǎn)換到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，在比大小判斷D即可.【詳解】定義域?yàn)?，易得，令?令，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則的最大值為，故A錯(cuò)誤，B正確，令，解得，可得只有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，易知，且結(jié)合單調(diào)性知，即成立，故D正確.故選：BD12．【分析】分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)?，，故函?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，由可得，所以，，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13．5【分析】利用導(dǎo)數(shù)可得導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)或，則得到的范圍.【詳解】，時(shí)，或，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，則在左端點(diǎn)處無(wú)法取到極值，，故對(duì)于正整數(shù)取5，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故答案為：5.14．【分析】求導(dǎo)，分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值.【詳解】因?yàn)椋?若，則在上單調(diào)遞減，無(wú)最小值.若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得.故答案為：15．(1)在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；(2)【分析】（1）直接利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值．【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：．在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；（2）的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，令，得，令時(shí)，得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．.16．(1)(2)2【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后令可得，即可求得；（2）根據(jù)函數(shù)解析式對(duì)自變量進(jìn)行分類(lèi)討論，易知是其中一個(gè)零點(diǎn)，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用零點(diǎn)存在定理即可得出在上有2個(gè)零點(diǎn)．【詳解】（1）（1）．令可得，解得．所以．（2）由（1）中可得，①當(dāng)時(shí)，有，，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減，，即可得0是的一個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則恒成立，即在上單調(diào)遞增．又，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，使得．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．又，所以．因?yàn)椋鶕?jù)零點(diǎn)存在定理可知，使得．綜上所述，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí)要充分利用函數(shù)特征，由導(dǎo)函數(shù)判斷出其單調(diào)性并結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可得出零點(diǎn)個(gè)數(shù).17．(1)(2)【分析】（1）將代入并求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求的切線方程；（2）由在上單調(diào)遞增可得，利用參變分離構(gòu)造函數(shù)即可求得，解得的取值范圍是.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，易知，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，即在上恒成立，也即在上恒成立，令，則，顯然在上恒成立，所以可知在上單調(diào)遞減，；因此只需滿足即可，解得.綜上，的取值范圍為.18．(1)，，此時(shí)(2)，，此時(shí)最短.【分析】（1）首先表示直線方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示三角形的面積，結(jié)合基本不等式，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果表示，同時(shí)構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最值.【詳解】（1）如圖，以，所在直線為軸和軸建立平面直線坐標(biāo)系，

并由條件可知，點(diǎn)，設(shè)直線的方程，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，，,當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為平方米；此時(shí)直線的方程為，即，，此時(shí)（2）由（1）可知，，，設(shè)，，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以當(dāng)，，此時(shí)最短.19．(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，分類(lèi)討論，求出的單調(diào)區(qū)間即可求解；（2）求出，分兩種情況討論的范圍，解不等式可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的極值；化簡(jiǎn)得，設(shè)新函數(shù)，由單調(diào)性可求的值域，從而可得結(jié)果．【詳解】（1），，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，，在,上單調(diào)遞減，又在區(qū)