江蘇省南京市姜堰區(qū)藝術(shù)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

江蘇省南京市姜堰區(qū)藝術(shù)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.由公差為d的等差數(shù)列重新組成的數(shù)列是（）A．公差為d的等差數(shù)列

B．公差為2d的等差數(shù)列

C.公差為3d的等差數(shù)列

D．非等差數(shù)列參考答案：B設(shè)新數(shù)列的第項(xiàng)是，則，，此新數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，故選B.

2.設(shè)含有個(gè)元素的集合的全部子集數(shù)為，其中由個(gè)元素組成的子集數(shù)為，則的值為（

）A.

B．

C．

D．參考答案：B

解析：含有個(gè)元素的集合的全部子集數(shù)為，由個(gè)元素組成的子集數(shù)為，3.直線在y軸上的截距是()A．|b|

B．－b2

C．b2

D．±b參考答案：B略4.已知直線：過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，若則橢圓離心率的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B5.下列命題中，正確的命題是(

)(A)分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線；

(B)直線在內(nèi)，直線不在內(nèi)，則是異面直線；

(C)在空間中，經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和這條直線平行；

(D)垂直于同一條直線的兩條直線平行．參考答案：C6.曲線y=x3﹣4x2+4在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為（）A．y=﹣x+2 B．y=5x﹣4 C．y=﹣5x+6 D．y=x﹣1參考答案：C【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出函數(shù)y=x3﹣4x2+4在x=1處的導(dǎo)數(shù)值，這個(gè)導(dǎo)數(shù)值即函數(shù)圖象在該點(diǎn)處的切線的斜率，然后根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求解即可．【解答】解：由曲線y=x3﹣4x2+4，所以y′=3x2﹣8x，曲線y=x3﹣4x2+4點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率為：y′|x=1=3﹣8=﹣5．此處的切線方程為：y﹣1=﹣5（x﹣1），即y=﹣5x+6．故選：C．7.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的過(guò)程中，由n=k變到n=k+1時(shí)，左邊增加了（）A．1項(xiàng) B．k項(xiàng) C．2k﹣1項(xiàng) D．2k項(xiàng)參考答案：D【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】依題意，由n=k遞推到n=k+1時(shí)，不等式左邊為1+++…++++…+，與n=k時(shí)不等式的左邊比較即可得到答案．【解答】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+++…+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的過(guò)程中，假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，左邊=1+++…+，則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1+++…++++…+，∴由n=k遞推到n=k+1時(shí)不等式左邊增加了：++…+，共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k項(xiàng)，故選：D．8.若f′（x0）=﹣3，則=（）A．﹣3 B．﹣6 C．﹣9 D．﹣12參考答案：B【考點(diǎn)】極限及其運(yùn)算．【分析】把要求解極限的代數(shù)式變形，化為若f′（x0）得答案．【解答】解：∵f′（x0）=﹣3，則===2f′（x0）=﹣6．故選；B．9.從集合中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)，設(shè)事件為“取出的數(shù)為偶數(shù)”，事件為“取出的數(shù)為奇數(shù)”，則事件與(

)A．是互斥且對(duì)立事件

B．是互斥且不對(duì)立事件C．不是互斥事件

D．不是對(duì)立事件

參考答案：A10.“”是“”的

條件（

）

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知、取值如下表:0145681.31.85.66.17.49.3從所得的散點(diǎn)圖分析可知:與線性相關(guān),且,則

參考答案：1.4512.直線過(guò)點(diǎn)那么該直線的傾斜角為

.參考答案：13513.以橢圓短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)A（4，﹣5）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】求出橢圓短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)，可得雙曲線的焦點(diǎn)，再利用雙曲線的定義求出2a，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：橢圓短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)為（0，±3），∴雙曲線的焦點(diǎn)為（0，±3）．∵雙曲線過(guò)點(diǎn)A（4，﹣5），∴2a==2，∴a=，∵c=3，∴b==2，∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故答案為：．14.若x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為

．參考答案：8【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合確定z的最大值．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=﹣2x+z的截距最大，此時(shí)z最大．由，解得，即A（3，2）將A（3，2）的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值為8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法．15.已知=2，=3，=4，…若=6，（a，t均為正實(shí)數(shù)），則類比以上等式，可推測(cè)a，t的值，a+t=

．參考答案：41【考點(diǎn)】類比推理．【分析】觀察所給的等式，等號(hào)右邊是，，…第n個(gè)應(yīng)該是，左邊的式子，寫出結(jié)果．【解答】解：觀察下列等式=2，=3，=4，…照此規(guī)律，第5個(gè)等式中：a=6，t=a2﹣1=35a+t=41．故答案為：41．16.命題p：若，則是▲命題；命題p的逆命題是▲命題．（在橫線上填“真”或“假”）參考答案：真；假17.已知函數(shù)f(x)滿足f(p+q)=f(p)f(q)，f(1)=3,則+=

參考答案：24三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)，邊AB所在直線的方程為，點(diǎn)(－1,1)在邊AD所在的直線上.（1）求矩形ABCD的外接圓的方程；（2）已知直線l：（k∈R），求證：直線l與矩形ABCD的外接圓恒相交，并求出相交的弦長(zhǎng)最短時(shí)的直線l的方程.參考答案：（1）∵直線：且∴.∵點(diǎn)在邊所在的直線上，∴所在直線的方程是，即.由得.∴，即矩形的外接圓的方程是.（2）直線的方程可化為.可看作是過(guò)直線和的交點(diǎn)的直線系，即恒過(guò)定點(diǎn).由可知點(diǎn)在圓內(nèi)，∴直線與圓恒相交.∵，∴當(dāng)相交的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線的斜率為.∴直線的方程為，即

19.圓C滿足：①圓心C在射線y=2x（x＞0）上；

②與x軸相切；

③被直線y=x+2截得的線段長(zhǎng)為（1）求圓C的方程；（2）過(guò)直線x+y+3=0上一點(diǎn)P作圓C的切線，設(shè)切點(diǎn)為E、F，求四邊形PECF面積的最小值，并求此時(shí)的值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（1）圓心C的坐標(biāo)為（a，2a）（a＞0），半徑為r，利用條件建立方程組，即可求圓C的方程；（2）四邊形PECF的面積取最小值時(shí)，|PC|最小，從而可求的值．【解答】解：（1）圓心C的坐標(biāo)為（a，2a）（a＞0），半徑為r．則有，解得…∴圓C的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=4…（2）由切線的性質(zhì)知：四邊形PECF的面積S=|PE|?r=r=∴四邊形PECF的面積取最小值時(shí)，|PC|最小，…即為圓心C（1，2）到直線x+y+3=0的距離d=3．∴|PC|最小為∴四邊形PEMF的面積S的最小值為…此時(shí)||=||=，設(shè)∠CPE=∠CPF=α，則…∴=||2cos2α=||2（1﹣2sin2α）=…20.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知△ABC的面積為3sinA，周長(zhǎng)為4（+1），且sinB+sinC=sinA．（1）求a及cosA的值；（2）求cos（2A﹣）的值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及三角形面積公式可求bc=6，進(jìn)而可求a，利用余弦定理即可得解cosA的值．（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，進(jìn)而利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．【解答】解：（1）∵△ABC的面積為3sinA=bcsinA，∴可得：bc=6，∵sinB+sinC=sinA，可得：b+c=，∴由周長(zhǎng)為4（+1）=+a，解得：a=4，∴cosA====，（2）∵cosA=，∴sinA==，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=﹣，∴cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式，兩角差的余弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．21.（本小題滿分12分）已知過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與圓C：相交于兩點(diǎn)。（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且,求直線的方程.參考答案：（本小題滿分10分）已知過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與圓C：相交于兩點(diǎn)。（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求直線的方程.解：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程：，即：?！?分已知，圓C的圓心C：（2,3），半徑R=1。故，解得：，。Ks5u此時(shí)，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線與圓C：相交于兩點(diǎn)。

……………4分（2）設(shè)圓C上兩點(diǎn),,經(jīng)過(guò)M、N、A的直線方程：，（，），圓C:。由已知條件，可列：，

……………①，

……………②，

……………③，

……………④①

-②：，即：

……………⑤由④和⑤得，，

……………⑥解之為，，。恰好為（2，3），即為圓心C。

……………8分故，直線的方程為:，寫成一般式為：?！?0分略22.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R)，函數(shù)F(x)=f(x)-3x2是奇函數(shù)，函數(shù)f(x)在x=-1處取極值.（Ⅰ）求f(x)的解析式；（Ⅱ）討論f(x)在區(qū)間［-3，3］上的單調(diào)性.參考答案：解

（1）∵函數(shù)F(x)=f(x)-3x2是奇函數(shù),∴F(-x)=