線性代數(shù)（財經(jīng)類） 課件 2.5逆矩陣

2.5逆矩陣逆矩陣01020304逆矩陣概念逆矩陣性質分塊逆矩陣總結逆矩陣的概念在數(shù)的運算中，當數(shù)

時，有其中

為

的倒數(shù)

（或稱

的逆）；

在矩陣的運算中，單位陣

相當于數(shù)的乘法運算中的1，那么對于矩陣A

是否也存在一個矩陣

使得A（）=（）A=I

這是我們要討論的逆矩陣中的一個問題

逆矩陣的概念及性質逆矩陣的概念及性質定義8

對于n階矩陣A

如果存在n階矩陣B

使得

AB

BA

II是n階單位矩陣

那么矩陣A稱為可逆矩陣

簡稱A可逆

并稱B為A的逆矩陣

定理1（逆陣的唯一性）如果A可逆

則A的逆矩陣是唯一的，記作A

1

證明：

因為如果B和B1都是A的逆矩陣

則有

AB

BA

I

AB1

B1A

I于是

B

BI

B(AB1)

(BA)B1

IB1

B1即

B

B1逆矩陣的性質例如，矩陣，存在矩陣，使得所以矩陣A可逆，且

單位矩陣的逆矩陣是其本身

逆矩陣的概念及性質逆矩陣的性質逆矩陣的概念及性質補例設解設是的逆矩陣,則利用待定系數(shù)法逆矩陣的性質逆矩陣的概念及性質又因為所以逆矩陣的性質定理2

如果A可逆

則

證：A可逆，則有，使，故所以，且注：當時，稱A為非奇異矩陣，否則稱A為奇異矩陣.例如為非奇異矩陣，為奇異矩陣.逆矩陣的概念及性質矩陣的運算定義9(伴隨矩陣)

由行列式|A|

|aij|的元素aij的代數(shù)余子式Aij(i

j

1

2

n)所構成的矩陣逆矩陣的概念及性質稱為矩陣A的伴隨矩陣

矩陣的運算逆矩陣的概念及性質例27求矩陣的伴隨矩陣.矩陣的運算逆矩陣的概念及性質定理3

矩陣

可逆的充要條件是

，且

證明若

可逆，矩陣的運算逆矩陣的概念及性質矩陣的運算按逆矩陣的定義得非奇異矩陣與可逆的關系逆矩陣的概念及性質矩陣的運算例28判斷矩陣是否可逆，若可逆，求其逆矩陣解：因為，所以可逆，由例27有逆矩陣的概念及性質矩陣的運算例29如果，其中

證明逆矩陣的概念及性質矩陣的運算證明：所以逆矩陣的概念及性質矩陣的運算推論1若A是n階矩陣

且存在n階矩陣B

使AB

I或BA

I

則A可逆

且B為A的逆矩陣

因為

設有AB

I

則

|AB|

|A|

|B|

|I|

1故|A|

0

于是A可逆

設其逆矩陣為A

1

則有

B

IB

A

1I

A

1

A

1(AB)

(A

1A)B

若有BA

I

同理可得B

A

1

如果我們要驗證矩陣B是矩陣A的逆矩陣

只要驗證一個等式AB

I或BA

I即可

不必按定義驗證兩個等式

逆矩陣的概念及性質矩陣的運算例30設n階矩陣A滿足aA2

bA

cI

O(a

b

c為常數(shù)

且c

0)

證明A為可逆矩陣

并求A

1

解

由aA2

bA

cI

O

有

aA2

bA

cI

又因c

0

故有

逆矩陣的概念及性質矩陣的運算逆矩陣的性質

(1)若矩陣A可逆

則A

1也可逆

且(A

1)

1

A

逆矩陣的概念及性質

由可逆矩陣的定義

顯然可見A與A

1是互逆的

(2)若矩陣A可逆，數(shù)

則kA也可逆，且

，因為(3)兩個同階可逆矩陣

A,B的乘積是可逆矩陣，且因為矩陣的運算(4)若矩陣A可逆，則A的轉置矩陣

也可逆，且(5)若矩陣A可逆，則因為，則有，所以逆矩陣的概念及性質矩陣的運算例32證明：如果n階矩陣A可逆，則其伴隨矩陣

也可逆，且，

證：由A可逆

有|A|

0

且若A可逆，則有逆矩陣的概念及性質矩陣的運算逆矩陣的概念及性質例33若是同階矩陣，且A可逆，證明下列結論中(1)，(3)成立，舉例說明(2)，(4)不必然成立.（1）若，則（2）若，則（3）若，則（4）若，則

解

(1)若AB

AC

在等式兩邊左乘以A

1

則有

A

1AB

A

1AC因A

1A

I

于是

IB

IC即B

C矩陣的運算逆矩陣的概念及性質例33若是同階矩陣，且A可逆，證明下列結論中(1)，(3)成立，舉例說明(2)，(4)不必然成立.（1）若，則（2）若，則（3）若，則（4）若，則

解

顯然有AB

CB

但A

C

矩陣的運算逆矩陣的概念及性質例33若是同階矩陣，且A可逆，證明下列結論中(1)，(3)成立，舉例說明(2)，(4)不必然成立.（1）若，則（2）若，則（3）若，則（4）若，則

解

(3)若AB

O

在等式兩邊左乘以A

1

有

A

1AB

A

1O即IB

O于是有B

O矩陣的運算逆矩陣的概念及性質例33若是同階矩陣，且A可逆，證明下列結論中(1)，(3)成立，舉例說明(2)，(4)不必然成立.（1）若，則（2）若，則（3）若，則（4）若，則

解

顯然有BC

O

但B

O

矩陣的運算逆矩陣的概念及性質例34解線性方程組解令則方程組為因為，所以A可逆，且所以矩陣的運算逆矩陣的概念及性質例35設矩陣，，，求解：而故矩陣的運算逆矩陣的概念及性質一般地，如果，則，從而矩陣多項式其中若

，則矩陣的運算逆矩陣的概念及性質分塊矩陣的逆矩陣若分塊對角矩陣其中均可逆，則由逆矩陣的推論1得分塊矩陣的逆矩陣例37設，求

解則所以分塊矩陣的逆矩陣例38設n階方陣A與m階方陣B均可逆，求解令則于是總結逆矩陣的概念及運算性質.逆矩陣的計算方法逆矩陣

存在矩陣的運算逆矩陣的性質