高等數(shù)學(xué)（財(cái)經(jīng)類） 課件 1.3 無窮小與無窮大

§1.3

無窮小與無窮大

CONTENT1無窮小2無窮大目錄無窮小Chapter1第一部分：無窮小的概念定義16極限為零的變量(函數(shù))稱為無窮小.例如

(1)函數(shù)sinx是當(dāng)

時(shí)的無窮??；(2)函數(shù)

是當(dāng)

時(shí)的無窮??；(3)

是當(dāng)

時(shí)的無窮小.第一部分：無窮小的概念說明：

(1)無窮小本質(zhì)上是這樣一個(gè)變量(函數(shù))：在某個(gè)過程(如

或)中,該變量的絕對(duì)值能小于任意給定的正數(shù).(2)無窮小不能與很小的數(shù)(如千萬分之一)混淆,但零可以作為無窮小的唯一常數(shù).(3)無窮小是相對(duì)于x的某個(gè)變化過程而言的.

例如,當(dāng)

時(shí),是無窮小；

當(dāng)

時(shí),不是無窮小.第一部分：無窮小的概念定理6*

的充分必要條件是其中

是當(dāng)

時(shí)的無窮小.證*

必要性

設(shè),則對(duì)任意給定的,存在,使當(dāng)

時(shí),恒有令,則

是當(dāng)

時(shí)的無窮小,且第一部分：無窮小的概念定理6*

的充分必要條件是其中

是當(dāng)

時(shí)的無窮小.證*

充分性

設(shè)

其中A為常數(shù),是當(dāng)

時(shí)的無窮小,于是

因?yàn)?/p>

是當(dāng)

時(shí)的無窮小,故對(duì)任意給定的,存在,使當(dāng)

時(shí),恒有,即

從而.第二部分：無窮小的性質(zhì)定理7(1)有限個(gè)無窮小的和或差仍為無窮??；(2)有限個(gè)無窮小的積仍為無窮小；(3)無窮小與有界函數(shù)之積是無窮??；

常數(shù)與無窮小之積仍為無窮小.

練習(xí)例19求

解

因

時(shí),,故

時(shí),為有界函數(shù).又因

時(shí),x為無窮小,由定理1知,當(dāng)

時(shí),為無窮小,即無窮大Chapter2第一部分：無窮大的概念定義17當(dāng)

時(shí),函數(shù)

f(x)的絕對(duì)值|

f(x)|無限增大(即大于預(yù)先給定的任意正數(shù)),則稱函數(shù)

f(x)為

時(shí)的無窮大,記為若,則稱函數(shù)

f(x)為

時(shí)的正無窮大(或負(fù)無窮大).例如第一部分：無窮大的概念是時(shí)的負(fù)無窮大量,是時(shí)的正無窮大量,即說明:無窮大是極限不存在的一種特殊情形.表示:極限不存在注:第一部分：無窮大的概念(1)無窮大量是變量,不能與很大的數(shù)混淆;(2)無窮大量與自變量的變化過程有關(guān);(3)無窮大量必?zé)o界,但反之不真.例如當(dāng)時(shí)是無界的,但不是無窮大.第二部分：鉛直漸近線鉛直漸近線：

若,則稱直線

為

y=f(x)圖形的鉛直漸近線.例如,

時(shí),的絕對(duì)值無限增大,即當(dāng)

時(shí),是無窮大,故,

x=1為

的鉛直漸近線.第三部分：無窮小與無窮大的關(guān)系定理8在自變量的同一變化過程中,若

f(x)為無窮大,則

為無窮小;反之,若

f(x)為無窮小,且,則

為無窮大.例如,因,故

；

因