人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步練習(xí) 第12課 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)（原卷版+解析）

第12課二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象；會(huì)用配方法將二次函數(shù)的解析式寫成的形式；2.通過圖象能熟練地掌握二次函數(shù)的性質(zhì)；3.經(jīng)歷探索與的圖象及性質(zhì)緊密聯(lián)系的過程，能運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，深刻理解數(shù)學(xué)建模思想以及數(shù)形結(jié)合的思想．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01二次函數(shù)與之間的相互關(guān)系1.頂點(diǎn)式化成一般式

從函數(shù)解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(diǎn)，所以我們稱為頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)式去括號(hào)，合并同類項(xiàng)就可化成一般式．2.一般式化成頂點(diǎn)式．對(duì)照，可知∴拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．要點(diǎn)詮釋：1．拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，可以當(dāng)作公式加以記憶和運(yùn)用．2．求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用．知識(shí)點(diǎn)02二次函數(shù)的圖象的畫法1.一般方法：列表、描點(diǎn)、連線；2.簡(jiǎn)易畫法：五點(diǎn)定形法.其步驟為：(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求和，在直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫出對(duì)稱軸．(2)求拋物線與的交點(diǎn)，當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A、B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)D，將A、B、C、D及M這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來．要點(diǎn)詮釋：當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對(duì)稱點(diǎn)D，由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A、B，然后順次用平滑曲線連結(jié)五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的圖象，知識(shí)點(diǎn)03二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)(a、b、c為常數(shù)，a≠0)圖象開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而．簡(jiǎn)記：在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而．簡(jiǎn)記：最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最值，2.二次函數(shù)圖象的特征與a、b、c及b2-4ac的符號(hào)之間的關(guān)系項(xiàng)目字母字母的符號(hào)圖象的特征a開口向上開口向下b對(duì)稱軸在y軸左側(cè)對(duì)稱軸在y軸右側(cè)c圖象過原點(diǎn)與y軸正半軸相交與y軸負(fù)半軸相交b2-4ac與x軸有唯一交點(diǎn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)與x軸沒有交點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)04求二次函數(shù)的最大(小)值的方法如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大(或最小)值，即當(dāng)時(shí)，．要點(diǎn)詮釋：如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝x2時(shí)，；當(dāng)x＝x1時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x＝x1時(shí)，；當(dāng)x＝x2時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時(shí)y值的情況．能力拓展能力拓展考法01二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，與y軸的交點(diǎn)B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之間(不包括這兩點(diǎn))，對(duì)稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④⑤b＞c．其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是()A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤【即學(xué)即練1】若二次函數(shù)()的圖象如圖所示，則的值是．考法02二次函數(shù)的最值【典例2】分別在下列范圍內(nèi)求函數(shù)的最大值或最小值．(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3．考法03二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例3】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)經(jīng)過點(diǎn)A(2，0)，B(6，0)，交y軸于點(diǎn)C，且S△ABC=16．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；(3)若正方形DEFG內(nèi)接于拋物線和x軸(邊FG在x軸上，點(diǎn)D，E分別在拋物線上)，求S正方形DEFG．【典例4】一條拋物線經(jīng)過A(2，0)和B(6，0)，最高點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是1．(1)求這條拋物線的解析式，并用描點(diǎn)法畫出拋物線；(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為D，拋物線與y軸的交點(diǎn)為E，請(qǐng)你在拋物線上另找一點(diǎn)P(除點(diǎn)A、B、C、E外)，先求點(diǎn)C、A、E、P分別到點(diǎn)D的距離，再求這些點(diǎn)分別到直線的距離；(3)觀察(2)的計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)這條拋物線上的點(diǎn)具有何種規(guī)律?請(qǐng)用文字寫出這個(gè)規(guī)律．【即學(xué)即練2】已知二次函數(shù)(其中a>0，b>0，c<0)，關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的圖象有如下說法：①圖象的開口一定向上；②圖象的頂點(diǎn)一定在第四象限；③圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在y軸的右側(cè)．以上說法正確的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．將二次函數(shù)化為的形式，結(jié)果為()A．B．C．D．2．關(guān)于拋物線y＝x2﹣2x+1，下列說法錯(cuò)誤的是()A．開口向上B．對(duì)稱軸是直線x＝1C．與x軸沒有交點(diǎn)D．與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，1)3．拋物線的圖象先向右平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的解析式是，則A．13 B．11 C．10 D．124．拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，對(duì)稱軸是直線x＝1，則a+b+c的值為()A． B．1 C．0 D．5．二次函數(shù)，當(dāng)________時(shí)，的最小值是_______.6．已知拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)求圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)．7．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，下列關(guān)于此函數(shù)圖象的描述中，錯(cuò)誤的是()A．對(duì)稱軸是直線x＝1 B．當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)y隨x增大而增大C．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，4) D．圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(4，0)8．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3．(1)寫出這個(gè)二次函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和最大值；(2)求出這個(gè)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．題組B能力提升練1．如圖，一次函數(shù)y1＝x與二次函數(shù)y2＝ax2＋bx＋c圖象相交于P、Q兩點(diǎn)，則函數(shù)y＝ax2＋(b－1)x＋c的圖象可能是()A． B． C． D．2．若二次函數(shù)的圖象，過不同的六點(diǎn)、、、、、，則、、的大小關(guān)系是()A． B． C． D．3．二次函數(shù)的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線．下列結(jié)論：①；②；③；④(為實(shí)數(shù))．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．如圖拋物線y=x2+2x﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)D、E、F分別是BC、BP、PC的中點(diǎn)，連接DE，DF，則DE+DF的最小值為_____．5．如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(2，0)，B(-4，0)兩點(diǎn).(1)求該拋物線的解析式；(2)求出拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)若拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．題組C培優(yōu)拔尖練1．二次函數(shù)的圖象如圖所示，若，．則、的大小關(guān)系為_____．(填“”、“”或“”)2．如果函數(shù)y＝b的圖象與函數(shù)y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，則b的可能值是_____．3．如圖，拋物線與x軸相交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，與軸相交于點(diǎn)．為拋物線上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為，且．⑴求此拋物線的解析式；⑵當(dāng)點(diǎn)位于軸下方時(shí)，求面積的最大值；⑶設(shè)此拋物線在點(diǎn)與點(diǎn)之間部分(含點(diǎn)和點(diǎn))最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為．①求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，直接寫出的面積．4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．(1)直接寫出拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出與的關(guān)系式；(2)若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，均滿足，求的取值范圍；(3)過拋物線上動(dòng)點(diǎn)(其中)作軸的垂線，設(shè)與直線交于點(diǎn)，若、兩點(diǎn)間的距離恒大于等于1，求的取值范圍．第12課二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象；會(huì)用配方法將二次函數(shù)的解析式寫成的形式；2.通過圖象能熟練地掌握二次函數(shù)的性質(zhì)；3.經(jīng)歷探索與的圖象及性質(zhì)緊密聯(lián)系的過程，能運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，深刻理解數(shù)學(xué)建模思想以及數(shù)形結(jié)合的思想．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01二次函數(shù)與之間的相互關(guān)系1.頂點(diǎn)式化成一般式

從函數(shù)解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(diǎn)(h，k)，所以我們稱為頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)式去括號(hào)，合并同類項(xiàng)就可化成一般式．2.一般式化成頂點(diǎn)式．對(duì)照，可知，．∴拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．要點(diǎn)詮釋：1．拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，可以當(dāng)作公式加以記憶和運(yùn)用．2．求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用．知識(shí)點(diǎn)02二次函數(shù)的圖象的畫法1.一般方法：列表、描點(diǎn)、連線；2.簡(jiǎn)易畫法：五點(diǎn)定形法.其步驟為：(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，在直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫出對(duì)稱軸．(2)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A、B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)D，將A、B、C、D及M這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來．要點(diǎn)詮釋：當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對(duì)稱點(diǎn)D，由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A、B，然后順次用平滑曲線連結(jié)五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的圖象，知識(shí)點(diǎn)03二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)(a、b、c為常數(shù)，a≠0)圖象開口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小．簡(jiǎn)記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，2.二次函數(shù)圖象的特征與a、b、c及b2-4ac的符號(hào)之間的關(guān)系項(xiàng)目字母字母的符號(hào)圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bab＞0(a，b同號(hào))對(duì)稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a，b異號(hào))對(duì)稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過原點(diǎn)c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負(fù)半軸相交b2-4acb2-4ac=0與x軸有唯一交點(diǎn)b2-4ac＞0與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)b2-4ac＜0與x軸沒有交點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)04求二次函數(shù)的最大(小)值的方法如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大(或最小)值，即當(dāng)時(shí)，．要點(diǎn)詮釋：如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝x2時(shí)，；當(dāng)x＝x1時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x＝x1時(shí)，；當(dāng)x＝x2時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時(shí)y值的情況．能力拓展能力拓展考法01二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，與y軸的交點(diǎn)B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之間(不包括這兩點(diǎn))，對(duì)稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④⑤b＞c．其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是()A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)稱軸為直線x=1及圖象開口向下可判斷出a、b、c的符號(hào)，從而判斷①；根據(jù)對(duì)稱軸得到函數(shù)圖象經(jīng)過(3，0)，則得②的判斷；根據(jù)圖象經(jīng)過(﹣1，0)可得到a、b、c之間的關(guān)系，從而對(duì)②⑤作判斷；從圖象與y軸的交點(diǎn)B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之間可以判斷c的大小得出④的正誤．【答案】D．【解析】解：①∵函數(shù)開口方向向上，∴a＞0；∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè)∴ab異號(hào)，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①正確；②∵圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，對(duì)稱軸為直線x=﹣1，∴圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(3，0)，∴當(dāng)x=2時(shí)，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②錯(cuò)誤；③∵圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=(﹣1)2a+b×(﹣1)+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵對(duì)稱軸為直線x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=(﹣2a)﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4?a?(﹣3a)﹣(﹣2a)2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正確④∵圖象與y軸的交點(diǎn)B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之間，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正確⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正確；故選：D．【總結(jié)升華】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系．解題關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【即學(xué)即練1】若二次函數(shù)()的圖象如圖所示，則的值是．【答案】-1.考法02二次函數(shù)的最值【典例2】分別在下列范圍內(nèi)求函數(shù)的最大值或最小值．(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3．【答案與解析】∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-4)．(1)∵x＝1在0＜x＜2范圍內(nèi)，且a＝1＞0，∴當(dāng)x＝1時(shí)y有最小值，．∵x＝1是0＜x＜2范圍的中點(diǎn)，在x＝1兩側(cè)圖象左右對(duì)稱，端點(diǎn)處取不到，不存在最大值．(2)∵x＝1不在2≤x≤3范圍內(nèi)(如圖所示)，又因?yàn)楹瘮?shù)(2≤x≤3)的圖象是拋物線的一部分，且當(dāng)2≤x≤3時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝3時(shí)，；當(dāng)x＝2時(shí)，．【總結(jié)升華】先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后看頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否在所規(guī)定的自變量的取值范圍內(nèi)，根據(jù)不同情況求解，也可畫出圖象，借助于圖象的直觀性求解，如圖所示，2≤x≤3為圖中實(shí)線部分，易看出x＝3時(shí)，；x＝2時(shí)，．考法03二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例3】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)經(jīng)過點(diǎn)A(2，0)，B(6，0)，交y軸于點(diǎn)C，且S△ABC=16．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；(3)若正方形DEFG內(nèi)接于拋物線和x軸(邊FG在x軸上，點(diǎn)D，E分別在拋物線上)，求S正方形DEFG．【答案與解析】解：(1)∵A(2，0)，B(6，0)，∴AB=6﹣2=4．∵S△ABC=16，∴×4?OC=16，∴OC=8，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，8)；(2)∵拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)經(jīng)過點(diǎn)A(2，0)，B(6，0)，∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣2)(x﹣6)，將C(0，8)代入，得8=12a，解得a=，∴y=(x﹣2)(x﹣6)=x2﹣x+8，故拋物線的解析式為y=x2﹣x+8，其對(duì)稱軸為直線x=4；(3)設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為m，則m＞0，∵正方形DEFG內(nèi)接于拋物線和x軸(邊FG在x軸上，點(diǎn)D，E分別在拋物線上)，∴D(4﹣m，﹣m)，E(4+m，﹣m)．將E(4+m，﹣m)代入y=x2﹣x+8，得﹣m=×(4+m)2﹣×(4+m)+8，整理得，m2+6m﹣16=0，解得m1=2，m2=﹣8(不合題意舍去)，∴正方形DEFG的邊長(zhǎng)為2，∴S正方形DEFG=22=4．【總結(jié)升華】熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題綜合題的前提.第(3)問中設(shè)出正方形DEFG的邊長(zhǎng)為m，根據(jù)二次函數(shù)與正方形的性質(zhì)用含m的代數(shù)式正確表示點(diǎn)D與點(diǎn)E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【典例4】一條拋物線經(jīng)過A(2，0)和B(6，0)，最高點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是1．(1)求這條拋物線的解析式，并用描點(diǎn)法畫出拋物線；(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為D，拋物線與y軸的交點(diǎn)為E，請(qǐng)你在拋物線上另找一點(diǎn)P(除點(diǎn)A、B、C、E外)，先求點(diǎn)C、A、E、P分別到點(diǎn)D的距離，再求這些點(diǎn)分別到直線的距離；(3)觀察(2)的計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)這條拋物線上的點(diǎn)具有何種規(guī)律?請(qǐng)用文字寫出這個(gè)規(guī)律．【答案與解析】(1)由已知可得拋物線的對(duì)稱軸是．∴最高點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，1)．則解得∴所求拋物線的解析式為．列表：-20246810-8-3010-3-8描點(diǎn)、連線，如圖所示：(2)取點(diǎn)(-2，-8)為所要找的點(diǎn)P，如圖所示，運(yùn)用勾股定理求得ED＝5，PD＝10，觀察圖象知AD＝2，CD＝1，點(diǎn)E、P、A、C到直線y＝2的距離分別是5、10、2、1．(3)拋物線上任一點(diǎn)到點(diǎn)D的距離等于該點(diǎn)到直線y＝2的距離．【總結(jié)升華】(1)描點(diǎn)畫圖時(shí)，應(yīng)先確定拋物線的對(duì)稱軸，然后以對(duì)稱軸為參照，左右對(duì)稱取點(diǎn)．(2)計(jì)算兩點(diǎn)之間的距離應(yīng)構(gòu)造兩直角邊分別平行于兩坐標(biāo)軸的直角三角形，然后運(yùn)用勾股定理求得．【即學(xué)即練2】已知二次函數(shù)(其中a>0，b>0，c<0)，關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的圖象有如下說法：①圖象的開口一定向上；②圖象的頂點(diǎn)一定在第四象限；③圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在y軸的右側(cè)．以上說法正確的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3【答案】C.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．將二次函數(shù)化為的形式，結(jié)果為()A．B．C．D．【答案】D．【解析】試題分析：y=x2﹣4x﹣1=x2﹣4x+4﹣5=(x﹣2)2﹣5．故選D．考點(diǎn)：二次函數(shù)的頂點(diǎn)式．2．關(guān)于拋物線y＝x2﹣2x+1，下列說法錯(cuò)誤的是()A．開口向上B．對(duì)稱軸是直線x＝1C．與x軸沒有交點(diǎn)D．與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，1)【答案】C【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各項(xiàng)即可解答．【詳解】∵拋物線y＝x2﹣2x+1＝(x﹣1)2，∴該函數(shù)圖象開口向上，選項(xiàng)A正確，對(duì)稱軸是直線x＝1，選項(xiàng)B正確，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即拋物線與x軸的交點(diǎn)是(1,0)選項(xiàng)C錯(cuò)誤當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，選項(xiàng)D正確，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．3．拋物線的圖象先向右平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的解析式是，則A．13 B．11 C．10 D．12【答案】B【分析】因?yàn)閽佄锞€y=ax2+bx+c的圖象先向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到圖象的解析式是y=x2﹣3x+5，所以y=x2﹣3x+5向左平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，可得拋物線y=ax2+bx+c的圖象，先由y=x2﹣3x+5的平移求出y=ax2+bx+c的解析式，再求a+b+c的值．【詳解】∵y=x2﹣3x+5=(x﹣)2+，當(dāng)y=x2﹣3x+5向左平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，可得拋物線y=ax2+bx+c的圖象，∴y=(x﹣+3)2++2=x2+3x+7；∴a+b+c=11．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．4．拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，對(duì)稱軸是直線x＝1，則a+b+c的值為()A． B．1 C．0 D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性可求出點(diǎn)(－3，0)關(guān)于對(duì)稱軸x＝－1的對(duì)稱點(diǎn)為(1，0)，然后把(1，0)代入y＝ax2＋bx＋c即可求出答案．【詳解】解：∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱軸為x＝－1，∴根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得：點(diǎn)A(－3，0)的對(duì)稱點(diǎn)為(1，0)，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a＋b＋c＝0，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，難度不大．5．二次函數(shù)，當(dāng)________時(shí)，的最小值是_______.【答案】-1，-4【分析】根據(jù)完全平方式和頂點(diǎn)式的意義，可直接得出二次函數(shù)的最小值．【詳解】由于(x+1)2≥0，

所以當(dāng)x=-1時(shí)，(x+1)2取得最小值，

則二次函數(shù)y=2(x+1)2-4最小值為-4．

故答案為：-1,-4．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于要熟悉非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，找到完全平方式的最小值即為函數(shù)的最小值．6．已知拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)求圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)y=x2-3x；(2)開口向上，直線x=，(，)【分析】(1)把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，根據(jù)待定系數(shù)法列式求解即可．(2)配成頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】解：(1)∵拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式是：y=x2-3x；(2)，∵a=1＞0，∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．7．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，下列關(guān)于此函數(shù)圖象的描述中，錯(cuò)誤的是()A．對(duì)稱軸是直線x＝1 B．當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)y隨x增大而增大C．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，4) D．圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(4，0)【答案】D【分析】利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，判斷選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】由函數(shù)圖像可知，對(duì)稱軸是直線x＝1故選項(xiàng)A正確；當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)y隨x增大而增大，故選項(xiàng)B正確；圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，4)，故選項(xiàng)C正確；圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(3，0)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選D【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3．(1)寫出這個(gè)二次函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和最大值；(2)求出這個(gè)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)見解析;(2)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣1，0)，(3，0)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，3)．【解析】【分析】(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)確定開口方向，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式確定頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸．(2)當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2x+3＝0，解方程可求得與x軸的交點(diǎn)為(﹣1，0)，(3，0)；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，即求得與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)．【詳解】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4∴開口方向向下，對(duì)稱軸x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，4)當(dāng)x＝1時(shí)，y有最大值是4；(2)∵當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣1，0)，(3，0)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，3)．故答案為(1)見解析;(2)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣1，0)，(3，0)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，3)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用解析式求坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及頂點(diǎn)坐標(biāo)公式．題組B能力提升練1．如圖，一次函數(shù)y1＝x與二次函數(shù)y2＝ax2＋bx＋c圖象相交于P、Q兩點(diǎn)，則函數(shù)y＝ax2＋(b－1)x＋c的圖象可能是()A． B． C． D．【答案】A【分析】由一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c圖象相交于P、Q兩點(diǎn)，得出方程ax2+(b-1)x+c=0有兩個(gè)不相等的根，進(jìn)而得出函數(shù)y=ax2+(b-1)x+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系得出函數(shù)y=ax2+(b-1)x+c的對(duì)稱軸x=-＞0，即可進(jìn)行判斷．【詳解】點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P(x，ax2+bx+c)，又因點(diǎn)P在直線y=x上，∴x=ax2+bx+c，∴ax2+(b-1)x+c=0；由圖象可知一次函數(shù)y=x與二次函數(shù)y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q兩點(diǎn)，∴方程ax2+(b-1)x+c=0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根．∴函數(shù)y=ax2+(b-1)x+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，又∵-＞0，a＞0∴-=-+＞0∴函數(shù)y=ax2+(b-1)x+c的對(duì)稱軸x=-＞0，∴A符合條件，故選A．2．若二次函數(shù)的圖象，過不同的六點(diǎn)、、、、、，則、、的大小關(guān)系是()A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，把A、B、C三點(diǎn)代入解析式，求出，再求出拋物線的對(duì)稱軸，利用二次根式的對(duì)稱性，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，把點(diǎn)、、代入，則，消去c，則得到，解得：，∴拋物線的對(duì)稱軸為：，∵與對(duì)稱軸的距離最近；與對(duì)稱軸的距離最遠(yuǎn)；拋物線開口向上，∴；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征的理解和掌握，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，正確求出拋物線的對(duì)稱軸進(jìn)行解題．3．二次函數(shù)的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線．下列結(jié)論：①；②；③；④(為實(shí)數(shù))．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①由拋物線開口方向得到，對(duì)稱軸在軸右側(cè)，得到與異號(hào)，又拋物線與軸正半軸相交，得到，可得出，選項(xiàng)①錯(cuò)誤；②把代入中得，所以②正確；③由時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，可得出，得到，由，，，得到，選項(xiàng)③正確；④由對(duì)稱軸為直線，即時(shí)，有最小值，可得結(jié)論，即可得到④正確．【詳解】解：①∵拋物線開口向上，∴，∵拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，∴，∵拋物線與軸交于負(fù)半軸，∴，∴，①錯(cuò)誤；②當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，把代入中得，所以②正確；③當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，，，∴，即，所以③正確；④∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴時(shí)，函數(shù)的最小值為，∴，即，所以④正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項(xiàng)系數(shù)決定拋物線的開口方向和大小．當(dāng)時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)與同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在軸左；當(dāng)與異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在軸右．常數(shù)項(xiàng)決定拋物線與軸交點(diǎn)：拋物線與軸交于．拋物線與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由判別式確定：時(shí)，拋物線與軸有2個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，拋物線與軸有1個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，拋物線與軸沒有交點(diǎn)．4．如圖拋物線y=x2+2x﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)D、E、F分別是BC、BP、PC的中點(diǎn)，連接DE，DF，則DE+DF的最小值為_____．【答案】【分析】連接AC,與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P,此時(shí)DE+DF最小，求解即可.【詳解】連接AC,與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P,此時(shí)DE+DF最小，點(diǎn)D、E、F分別是BC、BP、PC的中點(diǎn)，在二次函數(shù)y=x2+2x﹣3中，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，或即點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，則PA=PB,PA+PC=AC,PB+PC=DE+DF的最小值為：故答案為【點(diǎn)睛】考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的中位線，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，找出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵.5．如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(2，0)，B(-4，0)兩點(diǎn).(1)求該拋物線的解析式；(2)求出拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)若拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)對(duì)稱軸是直線x=﹣1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，9)；(3)存在，Q(-1，6)【分析】(1)將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c中，解方程組即可求解；(2)將拋物線方程化為頂點(diǎn)式，即可求得對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)由于A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，所以直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時(shí)周長(zhǎng)最小，求出直線BC的解析式，令x=1，求出y值，即可知點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【詳解】解：(1)將A(2，0)，B(-4，0)代入y=-x2+bx+c中，得：，解得：，∴拋物線的方程為；(2)∵，∴對(duì)稱軸為直線x=﹣1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1，9)；(3)存在，理由：∵△QAC的周長(zhǎng)=AC+QA+QC,∴要使△QAC的周長(zhǎng)最小，只需QA+QC最小，根據(jù)題意，A、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x=﹣1對(duì)稱，∴直線BC與直線x=﹣1的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時(shí)QA+QC最小，即△AQC周長(zhǎng)最小，對(duì)于，令x=0，則y=8，∴C(0，8)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+8(k≠0)，將點(diǎn)B(﹣4，0)代入，得：﹣4k+8=0，解得：k=2,∴直線BC的解析式為y=2x+8，當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=2×(﹣1)+8=6，∴Q(﹣1，6)．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、利用二次函數(shù)的對(duì)稱性求最短路徑問題，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，找尋相關(guān)聯(lián)信息，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行推理、探究和計(jì)算．題組C培優(yōu)拔尖練1．二次函數(shù)的圖象如圖所示，若，．則、的大小關(guān)系為_____．(填“”、“”或“”)【答案】<【分析】由圖像可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，然后用作差法比較即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，即，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，作差法比較代數(shù)式的大小，熟練掌握二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足二次函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵.2．如果函數(shù)y＝b的圖象與函數(shù)y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，則b的可能值是_____．【答案】-6或-6.25【分析】由y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3，得：，進(jìn)而畫出函數(shù)的圖象，即可得到答案.【詳解】∵y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3，∴，在平面直角坐標(biāo)系中，畫出圖象，如圖所示：∵由圖象可知：A(0，-6)，B(0.5，-6.25)，C(1，-6)，直線y=-6和直線y=-6.25與函數(shù)圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，∴b的可能值是：-6或-6.25.故答案是：-6或-6.25.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象，