數(shù)列-2023上海市高三數(shù)學(xué)一模匯編【教師版】

2023一模匯編【數(shù)列】

一、填空題

L【青浦3】從等差數(shù)列84,80,76,…的第項(xiàng)開始，以后各項(xiàng)均為負(fù)值.【答案】23

【提示】?1=84,d=80-84=-4=4=q+(〃-1)4=84-4(八-1)=88-4〃，令/<0,得〃>22

2.【松江4】記S“為等差數(shù)列｛α,J的前〃項(xiàng)和.若2S3=3S2+6,則公差d=.【答案】2

【解析】由2S3=3$2+6可得2(q+02+%)=3(4+%)+6,化簡得2q=4+%+6，

即2(4+")=2q+d+6,解得Q=2

3.【奉賢4】已知等差數(shù)列｛4,,｝中，%+為=15,4=1，則an的值等于_________.【答案】14

_?i

2q+14d=15"1―W3113

【解析】?.?%+<?=15,4=1，>?^=>a,-t—a,+??d-------F1Ix—=14

4+3d—1,1388

a=—

I8

4.［崇明5］設(shè)等比數(shù)列僅“｝滿足q+%=—1,4-%=-3,貝∣J%=.【答案】-8

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為夕，很明顯"H一1

a｝+a2=al(l+?r)=-l,①②

則〈~/2?cc√由崇■，可得4=-2,代入①可得4=1=4=q∕=-8

q-4=q(1—q)=—3，②①

5.【虹口6】已知首項(xiàng)為2的等比數(shù)列｛2｝的公比為:，則這個數(shù)列所有項(xiàng)的和為.

Sal2

【答案】3【解析】1—q??

~3

6.【徐匯8］在數(shù)歹∣J｛4｝中，q=2,且%=+Ig=(〃≥2),則0100=.【答案】4

n—\

〃23?00

【解析】由題意可得cι—a_=Ig----->所以“2—6=1g—，Ci-Ci=Ig-,........，4—〃99=IgM

nn{〃一113020099

，2,3100,23???x幽

累加得4o-4=尼1+但］+…+但1西=電=IglOO=2,所以α∣=2+α∣=4

0U29900

7.【楊浦11］等差數(shù)列｛〃〃｝的公差d≠0,其前〃項(xiàng)和為s〃，若SH)=0,則Sc=L2,3,,2022)中不

同的數(shù)值有個.【答案】2018

【提示】s,,是關(guān)于〃的二次函數(shù)，且SO=0,若品)=0,則對稱軸為X=上詈=5nS∣=S9,S2=S8,

S3=S7,S4=S6,僅有四組數(shù)相同，故E(i=l,2,3,…,2022)中不同的數(shù)值有2022-4=2018個.

8.【青浦12］己知數(shù)列｛4｝中，4=3%，記｛叫的前〃項(xiàng)和為S,,,且滿足SN+S,,+S,T=3"2+2

137

（〃22,〃eN*）.若對任意〃∈N*，都有a<a,則首項(xiàng)%的取值范圍是.【答案】

nll+l15,6

[】根據(jù)給定的遞推公式，分段求出數(shù)列｛%｝的表達(dá)式，再利用給定不等關(guān)系列出不等式組求解作答.

【解析】當(dāng)〃之2,〃eN*時，SM+S,,+SM=3∕+2,有Sm+5.+S,,=3(〃++2,

相減得an+2+alt+i+an=6n+3,有??+3+α,,+2+an+i=6(n+l)+3,相減得an+3-all=6,

而S3+S,+S∣-14,則4+g+4+a2+4+4=14=>%=14—6β1—3α1=14-9αl,

又4+4+。2=15,則有4=15-(14-9α∣)-3α∣=6q+1,

囚，n=1

3a+(A:-1)6=6Z+3a-6,n=7)k-?._,

??｝]a

?an=<,Z∈N,因?qū)θ螒摇ā蔔，都有<n+?，

14—9q+(Z—1)6—6k—9q+8,vι=3k

6%+1+(Z—1)6=6k+6q—5,及=3Z+1

>0

7

4<3%<―

6

3a-6<8-9a]137

4V<°31<a=><a<—

則a2,CLik-γ<斤+3k+2'從而得"13=~\

8—9q<64—5?1>一156

15

64一5<3。]

5

<-

3

=a,(〃∈N*,n>1),若數(shù)列｛α,,｝為嚴(yán)格增數(shù)列,

9.【松江12]已知數(shù)列｛《,｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，a^-an+ll

2(-1Y,^'

α∣=-------1-<A：+

則首項(xiàng)％的取值范圍是,當(dāng)時，記/?=------,若k<U+b,τb20-,21,則

3"an-?

整數(shù)Z=，【答案】（0,2）,-6

【分忖】先由題給條件求得1<%+∣<2,再利用4=4；-4（1<的<2）即可求得0<6<2；先利用裂

91

項(xiàng)相消法求得4+4+…+4022,再列不等式組，即可求得整數(shù)女的值.

242022

“〃+1—”〃+1>°n*>1

【解析】???正項(xiàng)數(shù)列｛《,｝為嚴(yán)格增數(shù)列.?.0<a,3-%+∣=a<α,n-

nn+∣

4+1—2?！?]<°q+<2'

解得l<α,,+∣<2,由q=比一。2。<々2<2），可得0<4<2,

1111?11

由AM4+ι=α,,("eN","≥l),可得---r=—,貝U=—=>--------=1

aβ-?)anβ-l%+∣----aa,-l---a?,

n+?π÷.n+lnn+ll+

2(—1)"T

又當(dāng)4時，b“=\~J

3an-?

則4+/?2+…+4022=--------------------------~+----------7--------------；++------7-------------------7

4—16?2-]—?々4一?”>021一?a)02)—?

1111(11)(111(11)11、-3」

—+—+—÷—--------1--------+,,+-------------1------------------1-------

%a

Iala2J、。3a4)Ia20200202J%()2102022√22O22

3

,C1191U

由]<42022<2,可得一■—------<一5,

LLa2022

>+l≥-5

,91,

又kj------<k+l1,則■A<_!!'解得一6≤kW-?,所以整數(shù)&=-6.故答案為(0,2),-6

202022

10.【金山12］設(shè)｛a,,｝是由正整數(shù)組成且項(xiàng)數(shù)為加的增數(shù)列，已知q=1,am=100,數(shù)列｛0,,｝任意相鄰

兩項(xiàng)的差的絕對值不超過L若對于｛4｝中任意序數(shù)不同的兩項(xiàng)4.和4,在剩下的項(xiàng)中總存在序數(shù)不同的

"I

兩項(xiàng)ap和4,使得as+a,=ap+aq,則Eai的最小值為［答案】5454

/=1

【分析】本題為數(shù)列的新定義題，由已知可推出，當(dāng)2≤左≤m時，α*=4τ或%=%τ+l,根據(jù)q=1,

可推出數(shù)列｛a,J前6項(xiàng)，結(jié)合題意，應(yīng)有%=3,4=4，4=5,…，α,>6=98,中間各項(xiàng)為公差為

1的等差數(shù)列時，可使得加值最小，同理推出數(shù)列后6項(xiàng)，即可得出最小值.

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛4.｝任意相鄰兩項(xiàng)的差的絕對值不超過1,q=1,所以0≤%≤2,

又｛4｝是由正整數(shù)組成且項(xiàng)數(shù)為〃?的增數(shù)列，所以%=1或%=2,

當(dāng)g=2時，a4≥ai≥2,此時q+/=3<%+%，

這與在剩下的項(xiàng)中總存在序數(shù)不同的兩項(xiàng)和％,使得4+4=%,+%矛盾，

所以％=1，類似地，必有生=1，%=1，

m

由》,.=%+%++%,要最小，則每項(xiàng)盡可能小，且加值也要盡量小，故%=2,a6=2

Z=I

=>2+2=l+α7=%=3,同理，t?=4,a9=5,am_6=98,

當(dāng)｛〃〃｝中間各項(xiàng)為公差為1等差數(shù)列時，可使得加值最小，且滿足已知條件.

aaaa

由對稱性得最后6項(xiàng)為CLm—tn-?=m-2~m-3=?θθ,∏ι-4~?！?一5=99,

川

則D=%+%++的最小值

i=?

(Zq)min=1+1+1+1+2+2+(3+4+…+98)+99+99+100+100+100+100

Z=I

96(3+98)

=101x6+—-------L=5454.

2

【點(diǎn)睛】對于數(shù)列新定義題，關(guān)鍵在于讀懂題意.根據(jù)題意，可得出當(dāng)2≤k≤m時，4=%τ或

%=%T+1，根據(jù)己知，可推出數(shù)列的前6項(xiàng)以及后6項(xiàng)，進(jìn)而推得中間項(xiàng)和取的最小值應(yīng)滿足的條件.

11.【浦東12】已知項(xiàng)數(shù)為用的有限數(shù)列｛α,,｝(∕π∈N,m≥2)是1,2,3,,加的一個排列.若

∣0l-a2?≤?a2-a3?≤?<?am,λ-am?,且ZE--qt+J=m+2,則所有可能的加值之和為.

k=?

【答案】9

.一!

【解析】記e=∣4-q+∣∣,(i=l,2,3,,m-l),下面列舉Z々為最大值時的情況：

i=?

當(dāng)帆=2時，或｛。〃｝：2,1=B=IW2+2,舍去；

當(dāng)加=3時，｛。〃｝:2,1,3或｛?！ǎ?2,3/=>4+么=1+203+2,舍去；

當(dāng)〃2=4時，｛〃〃｝:2,3,1,4或｛〃〃｝:3,2,4,1=>4+4+4=1+2+3=4+2,符合；

4

法一：當(dāng)〃2=5時，｛%｝:2,3,4,5,1或｛a.｝：4,3,2,1,5=>Z偽=1+1+1+4=7=5+2,符合；

/=1

5

當(dāng)加=6時，｛?！ǎ?2,3,4,5,6,1=>Z2=4+5=9>6+2,不符合，

Z=I

5

或湊22=3+2+3=8,得｛gj:2,3,5,6,4,1=2>∕?=1,不符合；

Z=I

綜上，猜測所有可能的團(tuán)值之和為4+5=9?

乃一!

法二：(嚴(yán)格證明)當(dāng)時，m-?<'Y?ak-ak+^=m+2..bi=?(z=l,2,3,,m-4),

A=I

〃1-1

假設(shè)4=]α=l,2,3,?,m-5),bm_4=2,則ZO=加一5+4x2=m+3〉m+2,矛盾，

i≈?

故q(i=l,2,3,…,加一3)是連續(xù)的自然數(shù)列,且｛4｝最后3項(xiàng)的和為(加+2)—(加-4)=6.

不妨設(shè)｛%｝為增數(shù)列，(?1.3,?.2,?,.,)∈｛(2,2,2),(1,2,3),(1,1,4))，

①若SBl-3，b*2jbrιι)=(2,2,2),

則｛a〃｝:q,a2,a3,,am_3,am_3+2,am_3+4,α,,τ+6不是1,2,3,??,機(jī)的一個排列，舍

去；

②若(*4一2,%)=(L2,3),

則｛%｝：4，a2,a3,,a”—,am_3+1,am_3+3,不是1，2,3,,機(jī)的一個排列，舍去；

③若(bm_3,bm_2,bm_x)—(1,154),

a3—

則｛a,,｝:%,a2，％，F(xiàn)0”3,nι-3^*"??O"-+2,2，

當(dāng)且僅當(dāng)。吁3-2=4-1=1=α∣=2,a,7=?，

此時｛4｝:2,3,4,5,1是1,2,3,4,5的一個排列，得加=5；

綜上所述：所有可能的加值之和為4+5=9.

二、選擇題

12.【靜安13】已知數(shù)列｛α,,｝是等差數(shù)列，01+αl5=48,則/+3%+k=（）

A.120B.96C.72D.48

【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)計算可得結(jié)果.

【解析】因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列，q+α∣5=48,所以2%=48,即4=24,

所以/+3%+《3=2%+3?=5?=5×24=120.故選A

13.【金山14】已知角。的終邊不在坐標(biāo)軸上，則下列一定成等比數(shù)列的是（）

A.Sina,cosa,tanaB.sin。,tana,cosa

C.sin2?z,cos6if,tan26rD.cos26z,sinez,tan2^

【答案】D

【Z怯】對于ABC,舉反例排除即可；對于D,利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可判斷.

【解析】法一：〈cos?ɑtan?α=Sin?α「.sina是CoS%、tan%的等比中項(xiàng)，故選D.

法二：逐項(xiàng)驗(yàn)證，得A、B、C均錯誤，故D正確.選D.

14.【虹口16】已知函數(shù)/（x）=Sin號，數(shù)列｛αj滿足％=1,且a,”=（l+j/（〃為正整數(shù)），

則/(。2022)=()

(A)-1(B)1(C)--(D)由

22

【答案】C【解析】α,,=

+ln?+1nn(n+1)

ana.11ICl-,

≡?≡7≈τ+-+—++訴r2-La"=2"-1

則/(?022)=/(4043)=sin(l348萬-?)=-?.所以選C

15.【閔行16】已知數(shù)列｛凡｝滿足4>0,a.+4—a；=l（〃eN,〃21）,如果'+」-++—1-=2022,

aa

?2“2022

那么（）

A.2022<<2022?

ZUQ2B.2022—2Vtz9n7α<2023

C.2023<O2023<2023?D.2023?<α2023<2024

【答案】A

(分析】由4,+Ia“一4=1("∈N,"≥1)可得出()23=4+2022,再由題意結(jié)合基本不等式與數(shù)列得單調(diào)

性求出q的范圍，即可求解

【解析】因?yàn)橐?4-d=l("∈N,"≥l),所以α,川—∕=;("∈N,"≥1),

=>-a------1---a------1-H-----------=(。2—4)+(“3-)++(“202342022)42023一0|=2022

?2fl2022

n“2023=6+2022,又q>0,由<‰+ι-4='(〃eN,〃≥1)可歸納得4>O=>iz,1+,-απ>0

an

1、C“1、IIlC

且&〃+]=%+—≥2,得2≤%<Q3<%<=72—>—>—>>°

att2a,a.a.

1(11、八120232

n—=2022-—+H---->----2---0-22-2021X-=------=?0<ɑ<-------

fl

%二。22O22J222023

21

所以2022<o2023=4+2022<牙法+2022<2022]，故選A

11111111111111

16.【徐匯16】設(shè)數(shù)列｛4｝為：1，

2,2,4,4,4,4,8,8"8'8'8"8'8'8

其中第1項(xiàng)為L，接下來2項(xiàng)均為L,再接下來4項(xiàng)均為L,再接下來8項(xiàng)均為！，…，以此類推，記

1248

”1②數(shù)列［顯,是嚴(yán)格減數(shù)列.下列判斷正

Stl=Ea-現(xiàn)有如下命題：①存在正整數(shù)Z，使得為<一；

/=1kn

確的是()

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

【答案】D

【分八】由題規(guī)律找出凡的表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)判斷即可，對〃進(jìn)行分類討論寫出S”,從而求出

SrS'S

口，利用-一^<0即可.

n71+1n

［解析］法一：當(dāng)2"'W〃<2m+*,4=J(m∈N),所以q=J,，所以不存在正整數(shù)k,使得％<；,

法二：當(dāng)2k-'≤"≤2^-1伏eN*)時，其中〃=2k-'+m,0≤m≤一1(機(jī)∈N),%=白≥而F

所以不存在正整數(shù)々，使得％故①為假命題；

當(dāng)"=2"-l(k∈N*)時，S,,=l+2×→4×→8×→+2*τX或=R,

所以"+I'="S,+ι-("+1)S,,="令用一S,,(2"-I)XJ-A(1一％)—J

〃+1H∏(∏÷1)zι(π÷1)——<O

IJn(π+1)n(n+l)

當(dāng)〃=2bd+m,0≤∕∕2≤2"T-2(Z≥2,∕n∈N)時，

S“+1S”-咯+]?~O?+1)S"%+∣-S"(2^'+w)×^--(^-l)+(m+l)×^zr^l

n+1nn(π+l)n(n+1)=-------------------------------------------------------

n(π+l)

2kk

J~^~2-'<Q,故數(shù)列｛4｝是嚴(yán)格減數(shù)列，所以②為真命題.綜上，選D.

∏(rt+i)IJ

三、解答題

17.【長寧17](本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分

已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，數(shù)列｛"｝為等比數(shù)列，數(shù)列｛%,｝的公差為2.

（1）若々=4，h2=a2,4=%，求數(shù)列山』的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛α,J的前〃項(xiàng)和為S,,若Su=?%.,OI+4+∣=6,求％.

【答案】⑴?=3π^1;（2）4=-8.

【分析】⑴根據(jù)｛可｝,但｝數(shù)列性質(zhì)及｛q｝的公差為2,寫出偽也也之間的關(guān)系，再用乙國代替即

可求出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)｛%｝為等差數(shù)列且公差為2,將S?=3%,q+4χ=6兩式中均變?yōu)殛P(guān)于首

項(xiàng)和人的等式，進(jìn)而解出首項(xiàng)即可.

【解析】（l）b∣=q,b2-a2-at+2,4=%=4+8，因?yàn)?；=伉/，所以（4+2『=4（4+8）,得q=1,

4=1,h2=3,所以數(shù)列他,｝的公比為3,數(shù)列｛〃,｝的通項(xiàng)公式為b,,=3"T;

（2）由題知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且公差為2,

12a+12×ll=3（αl+2（fe-l））f0,=—8

S∣2=3%,4+%+∣=6,,解得〈，,1,故4=一8.

4+α∣+2%=6W=Il

18.【閔行17］（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題7分，第2小題7分

在等差數(shù)列｛4｝中，4=25,%≠q,%、小、%成等比數(shù)列，｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”.

（1）求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式；（2）求S“的最大值.【答案】（1）4=27-2〃；（2）169.

【4,析】（1）由已知可知，公差dwθ.根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)，可得知2=4.43,解得。=一2,即得數(shù)列

｛4｝的通項(xiàng)公式；⑵經(jīng)化簡可求出S,,=-("-13y+169,即可得到最大值.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,因?yàn)樾4,所以d#0，

則dyI=25+1Od,。門=25+12d,......................2分

由生、對、小成等比數(shù)列，知25(25+12d)=(25+10dy,..................5分

解得d=-2,.................................6分

所以數(shù)列｛α,,｝的通項(xiàng)公式為4=25—2(〃-1)=27-2〃；..............7分

(2)由(1)得S"="(?；/).................................9分

=:(25+；7—2")=_〃2+26〃=_(〃_13)2+169.............................12分

所以當(dāng)〃=13時，S,,最大，最大值為169?.............................14分

19.【黃浦17](本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

已知｛3｝是等差數(shù)列，也,｝是等比數(shù)列，且％=3，么=9,ai=hl,ai4=b4.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)%=%+(T)"a("eN*),求數(shù)列｛%｝的前2"項(xiàng)和.

2

【答案】(1)all=2n-↑；(2)4n+---.

44

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛α,J的公差為4,等比數(shù)列｛2｝的公比為4,

9b-,,

貝Ij4=—=3=>q-bx--=1=>α14=Z?4=b3q=27,3分

3q

又αl4=4+13d=l+134=27=>d=2,…4分

所以="∣+(〃-1)4=1+2(〃-1)=2〃-1；..........6分

(2)由(1)可得2=3"T,.....................................7分

故(T)"2=-(-iyi?3"T=-(-3)"T,以它為通項(xiàng)的數(shù)列是以—1為首項(xiàng)、—3為公比的等比數(shù)列，……8分

所以數(shù)列｛g｝的前2〃項(xiàng)和=(《+%+…+a2n)+(-l)[l+(-3)+???+(-3產(chǎn)T]

2n(l+4n-l),(-l)[l-(-3)2n]一,9"?S八

=-----------------+---------------------=4n+....................10分

21-(-3)44

20.【浦東17](本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

已知數(shù)列｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，q=4,且4,生，4成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；(2)求當(dāng)〃為何值時，數(shù)列｛a,｝的前〃項(xiàng)和Sn取得最大值.

【答案】(1)al1=5-n-(2)當(dāng)〃=4或5時，S,取得最大值.

【解析】(1)設(shè)數(shù)列｛α,,｝的公差為d,d≠0,.............................1分

由4,%,應(yīng)成等比數(shù)列，得雨=44，..............3分即(4+24)2=4(4+3d),..................4分

23.【寶山18］（本題滿分14分）本題共有3個小題，第1小題4分，第2小題5分，第3小題5分

已知數(shù)列｛?！埃凉M足4=1，all=3α,ι+4（〃≥2）.

⑴求證：數(shù)列｛%+2｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

5

（3）寫出Z?,T的具體展開式，并求其值.

/=I

θ??QQ

【答案】（1）證明見解析；（2）%=3"-2；（3）--——.

88

【分析】（1）利用構(gòu)造法，得到α,,+2=3（α,τ+2）,可證明｛α,,+2｝是等比數(shù)列；

（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出%+2=3",進(jìn)而可求｛α,,｝的通項(xiàng)公式；

55

（3）直接寫出一的具體展開式，根據(jù)勺，利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，直接計算X/-可得答

Z=IZ=I

案.

【答案】（1）證明：由4=3%+4,得%+2=3（4τ+2）,且q+2=3≠0,

ci÷2C

即〃N2時，~=?,..................................3分

%+2

所以數(shù)列｛α,,+2｝是等比數(shù)列；..................4分

（2）由⑴知數(shù)列也+2｝是等比數(shù)列，公比為3,且首項(xiàng)4+2=3,............6分

從而α,,+2=3?3"-∣=3",............................................8分

所以數(shù)列W的通項(xiàng)公式為%=3"-2；...........................9分

5

(3)Za2i-l=+%+..........................................11分

Z=I

=(3I+33+35+37+39?-2×5=3￠1~9^-10^22133................14分

1,1-9

24.【虹口18］（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）

在等差數(shù)列｛”“｝中，％=2,且％,%+2,%構(gòu)成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式；

（2）令么=2"?+9,記S,,為數(shù)列｛〃,｝的前〃項(xiàng)和，若Sl,≥2022,求正整數(shù)〃的最小值.

【答案】(1)an=In..(2)6.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛〃,,｝的公差為d，則由4,%+2,%成等比數(shù)列及4=2,得

22

(4+2)=a2as,即(4+2d)=(2+J)(2+7J),解得d=±2.……2分

當(dāng)d=2時，％=4,4+2=8,%=16構(gòu)成等比數(shù)列，符合條件；

當(dāng)d=-2時，%=0,%+2=0,4=-12不能構(gòu)成等比數(shù)列，不符合條件....4分

因此d=2,于是數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4,=2〃.……6分

(2)由(1)知?！?2”,故4=22”+9,所以

2462n

Sn^bt+b2+b3++?,,?(2+9)+(2+9)+(2+9)++(2+9)

J甲T

,,

+9n=-(4-l)+9rt……10分

22-l3

4Λ

易知S,,=I(4-1)+9Π在正整數(shù)集上嚴(yán)格遞增，且$5=1409,S6=5514.

故滿足S,,22022的正整數(shù)”的最小值為6.……14分

25.【普陀18］（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

設(shè)。、h均為正整數(shù)，｛4｝為首項(xiàng)為。、公差為6的等差數(shù)列，｛〃｝為首項(xiàng)為人、公比為。的等比數(shù)

列.

（1）設(shè)/為正整數(shù)，當(dāng)α=3,。=1,%<α<%9時，求Z（q+偽）的值；

/=1

（2）若%<“<。2<無<%,且對于某項(xiàng)品，存在外,使得1+。,“=%,試提出一個關(guān)于加、女的結(jié)

論，并說明理由.

【答案】(1)∑ω,.+?,.)=58;(2)機(jī)=2*τ,理由見解析.

Z=I

【解析】ɑ)當(dāng)α=3,〃=1時，%=〃+2,bn=3"-',其中〃為正整數(shù).……2分

代入為<白<。79，得9<3'τ<81,解得3<f<5,故f=4.......3分

+b

于是Z(q+4)=(6+%+%+4)+S∣2+bi+b4)=4(3+6)+)(1-3)=58.4分

/=121—3

(2)由qV4<么<生，得a<bva+b<ab<a+2b,其中。、均為正整數(shù)……6分

由ab>b,得。>1；再由αbvα+2Z?

法一,：=>b(a-2)VQ=>Q(Q—2)≤b(a-2)<α=>1<<3a=2.......8分

z?1z?

法二：=>a<----=2H-----,又α>l,α∈N*,故α=2,

b-?b-?

(共同)又因?yàn)閎>α,所以匕>2,b∈N"?……10分

^>↑+a+(m-l)b-h?ak~',即A(2*τ—m+1)=3,......12分

因?yàn)??T—〃2+1是正整數(shù)，所以匕=3,2λ-'-m+l=1-故加=2&，……14分

26.【金山18】近兩年，直播帶貨逐漸成為一種新興的營銷模式，帶來電商行業(yè)的新增長點(diǎn).某直播平臺第

1年初的啟動資金為500萬元，由于一些知名主播加入，平臺資金的年平均增長率可達(dá)40%,每年年底扣

除運(yùn)營成本。萬元，再將剩余資金繼續(xù)投入直播平合.

(1)若α=100,在第3年年底扣除運(yùn)營成本后，直播平臺的資金有多少萬元？

(2)每年的運(yùn)營成本最多控制在多少萬元，才能使得直播平臺在第6年年底初除運(yùn)營成本后資金達(dá)到3000

萬元？(結(jié)果精確到0.1萬元)

【答案】(1)936萬元；(2)3000萬元.

【分八】(1)用/表示第〃年年底扣除運(yùn)營成本后直播平臺的資金，然后根據(jù)已知計算4,4，4可得；

(2)由已知寫出“∣,4,%，?，/，然后由423000求得”的范圍.

【解析】(1)記?！叭f元為第〃年年底扣除運(yùn)營成本后直播平臺的資金，則

q=500×1.4—100=600,......2分

α2=600×1.4-100=740,……4分

4=740x1.4—100=936,……6分

故第3年年底扣除運(yùn)營成本后直播平臺的資金為936萬元;

⑵法一：?,=500×1.4-?,

2

a2=(500×1.4-α)×1.4-α=500×1.4-1.4?-?,

654

aft=500×1.4-(1.4+1.4++1)。，……9分

146—1146—1

=500×1.46-α?--------=500×1.46-α?---------……11分

1.4-10.4

,cn用(500X1.46-3000)×0.4…，，八

由［23000,得α≤l----------------------------≈46.8.……13分

1.46-1

法二：設(shè)/萬元為第"年年底扣除運(yùn)營成本后直播平臺的資金，則α,,+∣=L4%-α,

令an+l+2=1.4(πz,+2),則4=-?=--=-2.5a

1.4-10.4

=數(shù)列｛?！耙?.5。｝是以(1.4X500-a)-2.5a=700-3.5α為首項(xiàng)，1.4為公比的等比數(shù)列

5

=>an-2.5a=(700-3.5o)?L4"T=>a6=(700-3.5a)?1.4+2.5?≥3000

700?1.45-3000

<≈46.8

3.5?1.45-2.5

(共同)故運(yùn)營成本最多控制在46.8萬元，才能使得直播平臺在第6年年底扣除運(yùn)營成本后資金達(dá)到3000

萬元.

27.【奉賢19](本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分

某地區(qū)1997年底沙漠面積為9xlθ5hπ√(注：hπ√是面積單位，表示公頃).地質(zhì)工作者為了解這個

地區(qū)沙漠面積的變化情況，從1998年開始進(jìn)行了連續(xù)5年的觀測，并在每年底將觀測結(jié)果記錄如下表：

觀測年份該地區(qū)沙漠面積比原有(1997年底)面積增加數(shù)

19982000

19994000

20006001

20017999

200210001

請根據(jù)上表所給的信息進(jìn)行估計.

(1)如果不采取任何措施，到2020年底，這個地區(qū)的沙漠面積大約變成多少hπ√?

(2)如果從2003年初開始，采取植樹造林等措施，每年改造面積800Ohrn2沙漠，但沙漠面積仍按原有

速度增加，那么到哪一年年底，這個地區(qū)的沙漠面積將首次小于8χlθ5hn√?

【答案】⑴9.46χl(yihm2;⑵到2021年底這個地區(qū)沙漠治理的總面積首次小于8χlθ5h∏√.

【分析】(1)從增加數(shù)看，數(shù)字穩(wěn)定在2000附近，所以可認(rèn)為沙漠面積的增加值構(gòu)成一個等差數(shù)列.求

2010年底的沙漠面積可利用數(shù)列的通項(xiàng)公式，首項(xiàng)可以選2002年的增加數(shù).列出經(jīng)過n年后的沙漠面積,

再根據(jù)已知列出不等式.

(2)設(shè)在2002年的基礎(chǔ)上，再經(jīng)過n年，該地區(qū)的沙漠面積將小于8xlθ5hrn2,列出不等式能求出結(jié)果.

【解析】從表中數(shù)據(jù)看，每年沙漠面積增長量可以假設(shè)是一個等差數(shù)列，公差約2000例后，3分

(1)假設(shè)%表示〃年底新增沙漠面積，那么到2020年底新增沙漠面積約

4

。202（）=?oo2+18d≈10000+18×2000=4.6×10（hm23分

到2020年底，這個地區(qū)的沙漠面積將大約變成9x105+4.6x1()4=946x1()51分

(2)以2003年年底為第一年，設(shè)X年年底后這個地區(qū)的沙漠面積小于8xl0%m2,

9×105+IxIO5+20‰-8∞0Λ<8×IO5.3分

化簡得X>18.3,所以到2021年底這個地區(qū)沙漠治理的總面積首次小于8X10%ΛΠ24分

28.【青浦19］(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)

流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病.某市去年11月份曾發(fā)生流感，據(jù)統(tǒng)計，11月1日

該市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于該市醫(yī)療部門采取措施,

使該種病毒的傳播得到控制，從11月％+l(9WZW29,ZwN*)日起每天的新感染者比前一天的新感染者減

少20人.

(1)若k=9,求11月1日至11月10日新感染者總?cè)藬?shù)；

(2)若到11月30日止，該市在這30天內(nèi)的新感染者總?cè)藬?shù)為11940人，問11月兒日，該市新感染者

人數(shù)最多？并求這一天的新感染者人數(shù).

【答案】(1)2480人；(2)11月13日新感染者人數(shù)最多為630人.

［分析］(1)根據(jù)題意數(shù)列｛為｝(1≤n≤9)是等差數(shù)列,4=20,公差為50,又1=410,進(jìn)而根據(jù)

等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求解即可；

(2)11月4日新感染者人數(shù)最多，則當(dāng)1≤"≤A時，an=50n-20,當(dāng)A+l≤"≤30時，

%=-20〃+70%-20,進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列公式求和解方程即可得答案.

【解析】(1)記11月〃日新感染者人數(shù)為q,(l≤"≤30),

則數(shù)列｛4,｝(1K"≤9)是等差數(shù)列，由4=30,公差為50，

得。“=30+50(〃-1)=50n-20,(l≤n≤9),又/=30+