山西省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三8月開學(xué)聯(lián)考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.樣本數(shù)據(jù)26，34，24，20，30，40，22，24，50的中位數(shù)和極差分別為（）A.30，24 B.26，30 C.24，30 D.26，243.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則（）A. B. C. D.5.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，為C上一點(diǎn)，則（）A. B.5 C.6 D.6.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（）A. B.0 C.1 D.7.已知遞增等比數(shù)列的公比為q，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知在三棱錐中，除PC外其他各棱長均為2，且二面角的大小為.若三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.已知雙曲線，則C的（）A.焦點(diǎn)在y軸上 B.焦距為3C.離心率為 D.漸近線為10.小明上學(xué)有時(shí)乘公交車，有時(shí)騎自行車，他各記錄了100次乘公交車和騎自行車上學(xué)所用的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：乘公交車平均用時(shí)20min，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6；騎自行車平均用時(shí)24min，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2.已知若隨機(jī)變量，則.假設(shè)小明乘公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，則（）A.B.C.若某天有28min可用。小明要想盡可能不遲到應(yīng)選擇騎自行車D.若某天有25min可用，小明要想盡可能不遲到應(yīng)選擇乘公交車11.已知的三邊長分別為2，3，，O為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知展開式中x的系數(shù)為80，則______.13.已知函數(shù)在區(qū)間有零點(diǎn)，則a的取值范圍是______.14.設(shè)，且，記M為，，…，中最大的數(shù)，則M的最小值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值.16.（15分）如圖，直三棱柱的高為6，，，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)。G為上一點(diǎn)，且.（1）證明：平面；（2）求直線EG與平面所成角的正切值.17.（15分）某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，已知每次投籃的命中率均為0.5，且每次投籃是否命中相互獨(dú)立.若該同學(xué)投籃3次，記其中命中的次數(shù)為X.（1）求X的分布列與期望；（2）已知有大小相同的紅球和黃球各個(gè)，從中隨機(jī)取3個(gè)球，記其中紅球的個(gè)數(shù)為Y，若用的值近似表示，且滿足誤差的絕對值不超過0.01，求n的最小值.18.（17分）已知橢圓過點(diǎn)，且C的右焦點(diǎn)為.（1）求C的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的一條直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，且與線段AF交于點(diǎn)S.（i）證明：S到直線FP和FQ的距離相等；（ii）若的面積等于的面積，求Q的坐標(biāo).19.（17分）“割圓術(shù)”是利用圓的外切或內(nèi)接正多邊形逼近圓并由此求圓周率的一種方法.設(shè)，圓的外切和內(nèi)接正邊形的周長分別為和，其中.（1）若的半徑為1，求的外切正邊形的面積；（2）證明：；（3）設(shè)，，證明：數(shù)學(xué)參考答案1.【答案】c【解析】因?yàn)?，且，?2.【答案】B【解析】將樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，第1個(gè)數(shù)為20，第5個(gè)數(shù)為26，第9個(gè)數(shù)為50，故樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為26，極差為.3.【答案】D【解析】，，，故4.【答案】C【解析】根據(jù)題意有，當(dāng)k取1時(shí)，.5.【答案】B【解析】將代入C，解得，由拋物線的定義可知.6.【答案】A【解析】，若是奇函數(shù)，則，即恒成立，故.7.【答案】B【解析】方法1：設(shè)，由，可得，設(shè)，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，應(yīng)在區(qū)間存在零點(diǎn)，因?yàn)椋手恍?，即；?dāng)時(shí)，應(yīng)有大于1的零點(diǎn)，因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，故對于任意均存在大于1的零點(diǎn)，故的取值范圍是.方法2：因，所以.因等比數(shù)列遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，.所以的取值范圍為.設(shè)，則，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的取值范圍是.8.【答案】A【解析】方法1：如圖，設(shè)，分別為，的中點(diǎn)，連接，，，且，是邊長為的等邊三角形，則球心必在線段上，其中，設(shè)球的半徑為，因?yàn)椋?解得，故球的表面積為.方法2：如圖，設(shè)，分別為，的中點(diǎn)，連接，，，則球心必在線段上，且.設(shè)在直線上的射影為，則為正的重心，且底面.所以，，所以，，故球的表面積為.9.【答案】AC（選對一項(xiàng)給3分）【解析】的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故焦點(diǎn)在軸上，，，，故焦距為，離心率為，漸近線為，故A，C正確.10.【答案】BCD（選對一項(xiàng)給2分，選對兩項(xiàng)給4分）【解析】根據(jù)題意知，，故A錯(cuò)誤，B正確；若有28min可用，分別設(shè)隨機(jī)變量，的平均數(shù)和方差為，，，.則故，小明要想盡可能不遲到應(yīng)選擇騎自行車，故C正確；若有可用，則，，因?yàn)?，，故，小明要想盡可能不遲到應(yīng)選擇乘公交車，故D正確.11.【答案】BCD（選對一項(xiàng)給2分，選對兩項(xiàng)給4分）【解析】，故A錯(cuò)誤；不妨設(shè)，，，由余弦定理可知，故，，設(shè)，，，則，又因?yàn)?，故，所以，故B正確；由余弦定理可知，，同理，，故，，故C正確；，故D正確.12.【答案】-2【解析】因?yàn)榈南禂?shù)為，故.13.【答案】【解析】方法1：令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，且，所以若在區(qū)間有零點(diǎn)，則的取值范圍是.方法2：根據(jù)條件知，，，，解得，即a的取值范圍是.14.【答案】6【解析】，因?yàn)?，故，所以所以的最小值?，當(dāng)，且時(shí)成立.15.（13分）【解析】（1）根據(jù)題意有， 2分故切線的斜率. 3分又，故切點(diǎn)坐標(biāo)為. 4分所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為. 6分（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是. 9分當(dāng)時(shí)，取得極大值； 11分當(dāng)時(shí)，取得極小值. 13分16.（15分）【解析】（1）如圖，延長，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，故為的中點(diǎn). 1分過作，交于點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，，因?yàn)?，? 3分又因?yàn)?，故，故，?5分因?yàn)槠矫?，平面，所以平? 7分（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，直線為軸建立坐標(biāo)系，則，，，，故，，且記. 10分設(shè)平面的法向量為，則不妨取，則. 13分所以， 14分所以直線與平面所成角的正弦值為，正切值為. 15分17.（15分）【解析】（1）根據(jù)題意有，其中， 1分， 2分， 3分， 4分的分布列為： 5分方法1：所以 7分方法2：因?yàn)?，? 7分（2）根據(jù)題意有. 10分由（1）可知，故應(yīng)滿足. 13分解得. 14分故n的最小值為20. 15分18.（17分）【解析】（1）根據(jù)題意有， 1分且由橢圓的幾何性質(zhì)可知， 2分所以，. 3分所以的方程為. 4分（2）（i）顯然的斜率存在，設(shè)的方程為，代入的方程有：，其中. 6分設(shè)，，則，， 7分若到直線和的距離相等，則直線平分，且易知軸，故只需滿足直線與的斜率之和為0.設(shè)，的斜率分別為，，則：， 10分代入，，有，故命題得證. 12分（ii）由（i）知直線平分，即. 13分因?yàn)榈拿娣e等于的面積，故，即，故. 14分故，，在線段的垂直平分線上. 15分易知線段的垂直平分線為，與的方程聯(lián)立有，故的坐標(biāo)為或. 17分19.（17分）【解析】（1）根據(jù)題設(shè)可知，故外切多邊形每一條邊所對的圓心角為. 1分當(dāng)?shù)陌霃綍r(shí)，有. 3分所以圓的外切正邊形的面積為. 4分（2）方法1：設(shè)的半徑為，的內(nèi)接正邊形每一條邊所對的圓心角為，則由幾何關(guān)系可知，且，. 6分故