第7章 剛體教材

第七章剛體力學(xué)

§7.2剛體的動量和質(zhì)心運(yùn)動定理§7.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動內(nèi)容目錄

§7.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量.轉(zhuǎn)動慣量§7.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理§7.5

剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)§7.6

剛體的平衡在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體.(任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組．)剛體的運(yùn)動形式：平動、轉(zhuǎn)動．⑴剛體是理想模型⑵剛體模型是為簡化問題引進(jìn)的．說明：一、

剛體：§7.1

剛體運(yùn)動的描述

剛體平動質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動

平動：剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動軌跡都保持完全相同．

特點(diǎn)：各點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)一樣，如：等都相同．a(chǎn)vv、v轉(zhuǎn)動：分定軸轉(zhuǎn)動和非定軸轉(zhuǎn)動剛體的平面運(yùn)動

剛體的一般運(yùn)動可看作：隨質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動+的合成轉(zhuǎn)動平面：任一垂直于定軸的平面轉(zhuǎn)動中心：轉(zhuǎn)動平面與定軸的交點(diǎn)二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述1.轉(zhuǎn)動平面

可用圓周運(yùn)動的角量描述剛體的整體運(yùn)動

定軸轉(zhuǎn)動的特點(diǎn)：各質(zhì)點(diǎn)都在各自的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)做圓周運(yùn)動；各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的線量一般不同,但角量完全相同（角位移、角速度和角加速度）

pro轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)軸

X參考方向大?。悍较颍貉剌S(與剛體的轉(zhuǎn)動方向成右手螺旋)

=d

dt2.角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量

=d

dt剛體定軸轉(zhuǎn)動（一維轉(zhuǎn)動）的轉(zhuǎn)動方向可以用角速度的正負(fù)來表示.0>w0<wwvwvzz加速轉(zhuǎn)動方向一致減速轉(zhuǎn)動方向相反

角加速度矢量

當(dāng)剛體作勻變速轉(zhuǎn)動時(shí)

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動表１

剛體繞定軸作變速轉(zhuǎn)動質(zhì)點(diǎn)變速直線運(yùn)動

切向加速度：法向加速度：

角量和線量關(guān)系的矢量式

速度：

加速度：[例1]、一轉(zhuǎn)動的輪子由于摩擦力矩的作用，在5s內(nèi)角速度由15rad/s

勻減速地降到10rad/s

。求：(1)角加速度；(2)在此5s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；(3)還需要多少時(shí)間輪子停止轉(zhuǎn)動。解根據(jù)題意，角加速度為恒量。(1)利用公式(2)利用公式5秒內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)(3)再利用

§7.2剛體的質(zhì)心和剛體的動量

㈠、剛體的質(zhì)心⒈質(zhì)心計(jì)算公式

⒉求質(zhì)心的幾種方法⑴對稱法：根據(jù)剛體質(zhì)心的定義式可知，剛體的質(zhì)心必定在剛體的對稱中心、對稱軸、對稱平面上

質(zhì)量分立分布：

質(zhì)量連續(xù)分布：⑵分割法：根據(jù)剛體的形狀，把剛體分成幾部分，轉(zhuǎn)化成求幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)心⑶積分法：選取合適的質(zhì)元、坐標(biāo)，通過做積分求出質(zhì)心[例1]：如圖所示，在半徑為R的勻質(zhì)圓板上鉆一個(gè)半徑為R/2的圓孔，求鉆孔圓板的質(zhì)心

解：補(bǔ)上被鉆掉的小圓板，整個(gè)大圓板可看作由小圓板mA和月牙板mB組成。由對稱性分析可知：大圓板的質(zhì)心在o點(diǎn)，小圓板的質(zhì)心在A點(diǎn)，要求的月牙板的質(zhì)心在x軸上的某一點(diǎn)，設(shè)為B據(jù)質(zhì)心計(jì)算公式：ABomBmAx[例2]：求半徑為a的勻質(zhì)半球的質(zhì)心

解：建立圖示坐標(biāo)系o-xyz，由對稱性分析，質(zhì)心必在z軸上，即xc=0,yc=0，在坐標(biāo)z處，取高為dz

的薄圓盤狀質(zhì)元xyzorazdz據(jù)計(jì)算質(zhì)心的積分公式：㈡、剛體的動量與質(zhì)心運(yùn)動定理

⒉剛體的動量守恒定律：

若剛體所受外力矢量和為零，則剛體的動量保持不變。即若，則

質(zhì)點(diǎn)系的有關(guān)概念和規(guī)律都適用于剛體⒈剛體的動量：⒊剛體的質(zhì)心運(yùn)動定理：[例3]求偏心飛輪對軸承的壓力：已知勻質(zhì)飛輪質(zhì)量m=5.0kg，半徑r=0.15m，轉(zhuǎn)速n=400rev/min，質(zhì)心C距轉(zhuǎn)軸O距離d=0.001m，飛輪所受重力忽略不計(jì)COd解:以飛輪為研究對象，設(shè)軸對其壓力為據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理：據(jù)牛頓第三定律，飛輪對軸的壓力：

轉(zhuǎn)軸偏離質(zhì)心會產(chǎn)生較大附加壓力，使機(jī)座產(chǎn)生有害振動或使軸承變形，因此要盡量使質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸上.P*O

剛體繞Oz

軸旋轉(zhuǎn),力作用在剛體上點(diǎn)P,

且在轉(zhuǎn)動平面內(nèi),為由點(diǎn)O到力的作用點(diǎn)P的位矢.

對轉(zhuǎn)軸Z

的力矩

一、力矩§7.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量O討論

1）若力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和

其中對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故對轉(zhuǎn)軸的力矩3）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消OO二、轉(zhuǎn)動定律2）剛體質(zhì)量元受外力，內(nèi)力

1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)與轉(zhuǎn)軸剛性連接外力矩內(nèi)力矩O定義轉(zhuǎn)動慣量O即于是得到剛體定軸轉(zhuǎn)動定律寫成矢量形式剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律

剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合外力矩成正比

，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比.a.力矩是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。b.內(nèi)力矩不改變剛體定軸轉(zhuǎn)動的狀態(tài)c.若M一定，則I.轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動慣性的量度.d.與地位相當(dāng)2.說明M

對應(yīng)F，I

對應(yīng)

m

，

對應(yīng)

a三、轉(zhuǎn)動慣量

質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣性的計(jì)算方法

質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量：質(zhì)量元定義：剛體的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體上各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與各質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離平方的乘積之和。

物理意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度.

I

大

轉(zhuǎn)動慣性大

質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布面分布質(zhì)量連續(xù)分布的剛體的轉(zhuǎn)動慣量注意：只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量。O′AB[例1]求長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動

慣量。解：取如圖坐標(biāo)，dm=

dxL/2L/2OXdmdm對軸的轉(zhuǎn)動慣量可見，同一剛體的轉(zhuǎn)軸的位置不同，剛體轉(zhuǎn)動慣量的值不同。ABLX

dxO′dI=x2dm=x2dxORO[例2]

一質(zhì)量為,半徑為的均勻圓盤，求通過盤中心O并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量

.

解:

設(shè)圓盤面密度為，在盤上取半徑為，寬為

的圓環(huán)而圓環(huán)質(zhì)量所以圓環(huán)對軸的轉(zhuǎn)動慣量[例3]內(nèi)半徑為R1外半徑R2為質(zhì)量為m的勻質(zhì)中空圓柱繞其對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量[例4]質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)薄球殼繞過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量在球面取一圓環(huán)帶，半徑[例5]質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)球體繞過球心軸的轉(zhuǎn)動慣量把球體看作無數(shù)個(gè)同心薄球殼的組合一些均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量表I的大小和下列因素有關(guān)：明確：剛體的總質(zhì)量；剛體的質(zhì)量分布；轉(zhuǎn)軸位置。四、平行軸定理推廣：若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為I，則有——平行軸定理I＝IC+md

2。說明：1)通過質(zhì)心的軸線的轉(zhuǎn)動慣量最??；2)平行軸定理可以用來計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動慣量。ABLXABL/2L/2CXc

codJJco五、垂直軸定理

對于薄板剛體，若建立坐標(biāo)系Oxyz，其中z軸與薄板垂直，Oxy平面在薄板內(nèi)，則薄板剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量等于對x軸的轉(zhuǎn)動慣量和對y軸的轉(zhuǎn)動慣量之和

yx

z

圓盤

R

C

m[例1]:

一定滑輪的質(zhì)量為，半徑為，一輕繩兩邊分別系和兩物體掛于滑輪上，繩不伸長，繩與滑輪間無相對滑動。不計(jì)軸的摩擦，初角速度為零，求滑輪轉(zhuǎn)動角速度隨時(shí)間變化的規(guī)律。已知：求：思路：質(zhì)點(diǎn)平動與剛體定軸轉(zhuǎn)動關(guān)聯(lián)問題，隔離法，分別列方程，先求角加速度,再三、轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用解：在地面參考系中，分別以為研究對象，用隔離法，分別以牛頓第二定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動定律建立方程。以向下為正方向以向上為正方向思考：×因?yàn)橹鼗喖铀俎D(zhuǎn)動+以順時(shí)針方向?yàn)檎较蛩膫€(gè)未知數(shù)：三個(gè)方程？繩與滑輪間無相對滑動，由角量和線量的關(guān)系：解得：m2m1[例2]：質(zhì)量為m1

的物體置于完全光滑的水平桌面上,用一根不可伸長的細(xì)繩拉著,細(xì)繩跨過固定于桌子邊緣的定滑輪后，在下端懸掛一個(gè)質(zhì)量為

m2

的物體,如圖所示。已知滑輪是一個(gè)質(zhì)量為M,半徑為r

的圓盤,軸間的摩擦力忽略不計(jì)。求滑輪與

m1

之間的繩子的張力、滑輪與m2

之間的繩子的張力以及物體運(yùn)動的加速度

。

解：物體m1、m2和滑輪的受力情況如圖所示。列方程

T1=m1a

（1）

m2g

T2=m2a（2）對于滑輪

（3）

解以上四個(gè)聯(lián)立方程式,可得α）

此題還可以用能量的方法求解。在物體m2下落了高度h時(shí),可以列出下面的能量關(guān)系（5）式中v是當(dāng)m2下落了高度

h

時(shí)兩個(gè)物體的運(yùn)動速率,

是此時(shí)滑輪的角速度。因?yàn)?,所以得由此解得（6）將

v2=2ah

代入(6)式,可以求得兩個(gè)物體的加速度

根據(jù),立即可以求得張力T1根據(jù)

或可以立即算出張力T2

以上兩種方法，都是求解這類問題的基本方法,都應(yīng)該理解和掌握。

[

例3]:

一長為質(zhì)量為勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉(zhuǎn)動.由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O轉(zhuǎn)動.試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成角時(shí)的角加速度和角速度.

解

細(xì)桿受重力和鉸鏈對細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動定律得式中得由角加速度的定義代入初始條件積分得

設(shè)剛體繞z軸作定軸轉(zhuǎn)動,體元

mi對軸的角動量

lzi

=ri

mi

vi

是角速度

,vi=ri

。

lzi=ri

2

mi

或整個(gè)剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量

Lz等于轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。

一、剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量riviOiz·

mi§7-3定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律二、剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量定理由上式得到

剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量定理:

作定軸轉(zhuǎn)動的剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量的時(shí)間變化率，等于剛體相對于同一轉(zhuǎn)軸所受外力的合力矩。將轉(zhuǎn)動定理

Mz=I寫成下面的形式:實(shí)驗(yàn)表明,此式更具普遍性。角動量定理也可以寫為Mz

dt稱為沖量矩,等于力矩與力矩作用于剛體的時(shí)間的乘積。

可見，作定軸轉(zhuǎn)動的剛體所受沖量矩等于剛體對同一轉(zhuǎn)軸的角動量的增量。

對上式積分得到角動量定理的積分形式

剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒定律

當(dāng)定軸轉(zhuǎn)動的剛體所受外力對轉(zhuǎn)軸的合力矩為零時(shí),剛體對同一轉(zhuǎn)軸的角動量不隨時(shí)間變化。

剛體組繞同一轉(zhuǎn)軸作定軸轉(zhuǎn)動時(shí),系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的角動量保持恒定，有兩種情形：一是系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量和角速度的大小均保持不變；另一種是轉(zhuǎn)動慣量改變,角速度的大小也同時(shí)改變但兩者的乘積保持不變?；?/p>

恒量

在定軸轉(zhuǎn)動中,如果

Mz

=0,則

三、剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒定律剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒是經(jīng)?？梢砸姷降模缛耸殖謫♀彽霓D(zhuǎn)動,芭蕾舞演員和花樣滑冰運(yùn)動員作各種快速旋轉(zhuǎn)動作,都利用了對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒定律?；踊\(yùn)動員的旋轉(zhuǎn)表演茹可夫斯基凳[例1]:

一勻質(zhì)細(xì)棒，質(zhì)量為m，長為L，可在水平桌面上繞一端點(diǎn)O在桌面上轉(zhuǎn)動。棒與水平桌面間的摩擦系數(shù)為μ,t=0

時(shí)棒靜止在水平桌面上。現(xiàn)給棒一個(gè)角速度ω0，求經(jīng)過多長時(shí)間棒停止轉(zhuǎn)動。解：設(shè)棒的質(zhì)量線密度為λ，在棒上任取一質(zhì)元dm,

質(zhì)元dm所受摩擦力

因此，棒所受到的摩擦力矩力矩OLdf

對O的力矩dfOM取棒轉(zhuǎn)動方向?yàn)檎瑒tM為負(fù)[例2]一半徑為R，質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間的摩擦系數(shù)為

。令圓盤以

0繞中心軸旋轉(zhuǎn)后，問經(jīng)過多少時(shí)間才停止轉(zhuǎn)動？解:首先求摩擦力矩:取半徑為r(r<R)寬度為dr的環(huán)帶質(zhì)量元產(chǎn)生的阻力矩元(方向均向下)(注意：一般不是恒量)注意到阻力矩是負(fù)值，由剛體定軸轉(zhuǎn)動定律答：經(jīng)過時(shí)間停止轉(zhuǎn)動。這是一個(gè)剛體定軸轉(zhuǎn)動的變力矩問題，注意求解的方法，請同學(xué)與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動中變力問題類比，做方法總結(jié)。

[例3]:

質(zhì)量很小長度為l

的均勻細(xì)桿,可繞過其中心

O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動.當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí),有一只小蟲以速率v0垂直落在距點(diǎn)O為

l/4

處,并背離點(diǎn)O向細(xì)桿的端點(diǎn)A爬行.設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為m.問:欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動,小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?

解:

小蟲與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞前后系統(tǒng)角動量守恒由角動量定理即考慮到[例4]

一半徑為R、質(zhì)量為M的轉(zhuǎn)臺，可繞通過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動,質(zhì)量為

m的人站在轉(zhuǎn)臺邊緣，最初人和臺都靜止。若人沿轉(zhuǎn)臺邊緣跑一周(不計(jì)阻力)，相對于地面，人和臺各轉(zhuǎn)了多少角度？R思考：1.臺為什么轉(zhuǎn)動？向什么方向轉(zhuǎn)動？2.人相對轉(zhuǎn)臺跑一周，相對于地面是否也跑了一周？3.人和臺相對于地面轉(zhuǎn)過的角度之間有什么關(guān)系？系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸合外力矩為零，角動量守恒。以向上為正：設(shè)人沿轉(zhuǎn)臺邊緣跑一周的時(shí)間為t：選地面為參考系，設(shè)對轉(zhuǎn)軸人：I,

;

臺：I′,

′解：R人相對地面轉(zhuǎn)過的角度：臺相對地面轉(zhuǎn)過的角度：R

§7.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理一、剛體的轉(zhuǎn)動動能說明:可見，定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動動能和質(zhì)點(diǎn)系的平動動能在本質(zhì)上是一樣的，兩者的區(qū)別僅在描述方法上不同，一個(gè)為角量描述，一個(gè)為線量描述比較：二、力矩的功0‘0式中

設(shè)剛體在力F的作用下，繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過角位移為

dθ則力F作元功如果力矩的大小和方向都不變則當(dāng)剛體在此力矩作用下轉(zhuǎn)過角θ時(shí)，恒力矩所作功為如果力矩隨時(shí)間變化,則變力矩對剛體作功為1)

M是作用在剛體上諸外力的合力矩

說明:2)對于剛體定軸轉(zhuǎn)動情形，因質(zhì)點(diǎn)間無相對位移，任何一對內(nèi)力作功為零。3)力矩的功本質(zhì)是力的功4)力矩的功率為：當(dāng)輸出功率一定時(shí),力矩與角速度成反比。由上可見，剛體轉(zhuǎn)動時(shí)力矩的功和功率的表達(dá)式，與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時(shí)力的功和功率的表達(dá)式在形式上是類似的，力矩和力相對應(yīng)，角位移和位移相對應(yīng)，角速度和速度相對應(yīng)。三、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理由

設(shè)在外力矩的作用下，剛體的角速度由ω1變到ω2，則在這個(gè)過程中合外力矩所作的功為剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：總外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。與質(zhì)點(diǎn)的動能定理的表達(dá)式相似2）質(zhì)點(diǎn)系的功能原理，機(jī)械能守恒定律對于剛體系統(tǒng)或質(zhì)點(diǎn)＋剛體系統(tǒng)仍然成立1）力矩的功本質(zhì)是力的功，剛體的轉(zhuǎn)動動能本質(zhì)是質(zhì)點(diǎn)系平動動能，因此，剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理本質(zhì)是質(zhì)點(diǎn)系的動能定理說明例1、一根長為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直桿，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初桿靜止在水平位置，求它由此下擺

角時(shí)的角速度和角加速度。在桿的下擺過程中，對轉(zhuǎn)軸O而言，只有重力矩作功，當(dāng)其下擺至與水平位置成θ角的過程中，重力矩所作的總功為解法一：應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理mgO

重力的功！在此過程，桿的動能增量為由剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理解法二：應(yīng)用機(jī)械能守恒

取桿和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)。整個(gè)過程只有重力作功,而重力為保守內(nèi)力，因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。選擇水平位置為桿的勢能零點(diǎn)。在水平位置時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能為在與水平位置成θ角時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能為

由機(jī)械能守恒，有解得

解法三：應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律(課后補(bǔ)充完成)可見,本題應(yīng)用機(jī)械能守恒解題更為簡單!

例2一長為質(zhì)量為勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈

O

相接，并可繞其轉(zhuǎn)動.由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O

轉(zhuǎn)動.試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成角時(shí)的角速度.

解細(xì)桿受重力和鉸鏈對細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動定律解法一：應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律分離變量并積分解得解法二：應(yīng)用機(jī)械能守恒

取桿和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)。整個(gè)過程系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,取地面為桿的勢能零點(diǎn)例3

一長為l

、質(zhì)量為m

的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑軸O在鉛直面內(nèi)擺動。當(dāng)桿靜止時(shí)，一顆質(zhì)量為m0

的子彈水平射入與軸相距為a

處的桿內(nèi)，并留在桿中，使桿能偏轉(zhuǎn)到q=300，求子彈的初速v0。解：分兩個(gè)階段進(jìn)行考慮其中(1)子彈射入細(xì)桿,使細(xì)桿獲得初速度。這一過程進(jìn)行得很快角動量守恒。子彈射入細(xì)桿前、后的一瞬間系統(tǒng)角動量分別為由角動量守恒，得：(1)(2)子彈隨桿一起繞軸O轉(zhuǎn)動。這一過程機(jī)械能守恒。勢能零點(diǎn)選取細(xì)桿處于豎直位置時(shí)子彈的位置為重力勢能零點(diǎn)，系統(tǒng)在始末狀態(tài)的機(jī)械能為由機(jī)械能守恒，E=E0,

代入q=300，得：將上式與聯(lián)立，并代入I值，得直線運(yùn)動與定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律對照質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動§7.5剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)§7.5.1剛體平面運(yùn)動的基本動力學(xué)方程

平面運(yùn)動=平動+定軸轉(zhuǎn)動1.求質(zhì)心的運(yùn)動

根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定律

m—剛體的質(zhì)量.—所有外力的矢量和,

剛體作平面運(yùn)動，受力必是平面力

直角坐標(biāo)系中的分量式

(7.5.1)2.剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動在質(zhì)心系中剛體作定軸轉(zhuǎn)動.

選質(zhì)心坐標(biāo)系

Cx’y’z’,設(shè)z’為過質(zhì)心而垂直于固定平面的軸.在質(zhì)心系中

M外i’—外力對質(zhì)心的力矩,又

M慣=0M慣—慣性力對質(zhì)心力矩.

即剛體相對于質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動同樣服從定軸轉(zhuǎn)動定律.

式(7.5.1)和(7.5.2)稱剛體平面運(yùn)動的基本動力學(xué)方程.(7.5.2)§7.5.2作用于剛體上的力

1.作用于剛體上力的兩種效果·滑移矢量(1)施于剛體的力的特點(diǎn)

作用力通過質(zhì)心，對質(zhì)心軸上的力矩為零，使剛體產(chǎn)生平動.力作質(zhì)心軸的力矩使剛體產(chǎn)生角加速度.施于剛體的某個(gè)點(diǎn)的力,決不可以隨便移到另一點(diǎn)去.AB(2)施于剛體的力是滑移矢量

右圖中,施于A點(diǎn)的力F′可用施于B點(diǎn)的力F′′代替,即力可沿作用線滑移.ABC作用于剛體的力的三要素：

大小、方向和作用線.

2.力偶和力偶矩

力偶:大小相等方向相反彼此平行的一對力.大小

與參考點(diǎn)的選擇無關(guān).Odm1m2

一般作用于剛體的力等效于一作用線通過質(zhì)心的力和一力偶，這力的方向和大小與原力相同，而力偶矩等于原力對質(zhì)心軸的力矩.