2023-2024學(xué)年四川省青神中學(xué)數(shù)學(xué)高二年級上冊期末調(diào)研模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年四川省青神中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖，在正方體ABCZJ-ErGH中，尸在棱5c上，BP=x,平行于RD的直線/在正方形EFGH內(nèi)，點(diǎn)E到直線/

的距離記為d,記二面角為Ad尸為仇已知初始狀態(tài)下x=0,d=0,則。

A.當(dāng)x增大時(shí)，。先增大后減小B.當(dāng)x增大時(shí)，。先減小后增大

C.當(dāng)d增大時(shí)，，先增大后減小D.當(dāng)d增大時(shí)，，先減小后增大

2222

2.曲線上一匕=1與曲線L—乙=左（左〉1）的（）

259259

A.實(shí)軸長相等B.虛軸長相等

C.焦距相等D.漸進(jìn)線相同

3.若命題p為真命題，命題g為假命題，則下列命題為真命題的是（）

A.0八4B.pAjq)

C（「P）A<7D.（—）△（「"）

4.一道數(shù)學(xué)試題，甲、乙兩位同學(xué)獨(dú)立完成，設(shè)命題0是“甲同學(xué)解出試題”，命題4是“乙同學(xué)解出試題”，則命題“至

少一位同學(xué)解出試題，，可表示為（）

A.P人4B.pv（->q）

COvJq)D.pvq

22萬

5.若雙曲線土+乙=1的漸近線方程為>=土在x，則實(shí)數(shù)。的值為。

4a4

1

A—2B.一

2

1

C.2D.----

2

6.已知函數(shù)/（x）=xsinx+cosx,則/'⑺的值為（）

A.兀B.

C.OD.1

7.在等差數(shù)列｛%｝中，/+%=2,則品等于

A.2B.18

C.4D.9

8.如圖，過拋物線產(chǎn)=2卬;①>0）的焦點(diǎn)廠的直線，交拋物線于點(diǎn)A,B,交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C,若15cl=2|5月，且以蜴=3,

則此拋物線的方程為（）

C.j2=3xD/=6x

2

9.若1,m,9三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線/+匕=1的離心率是（）

m

A.巫或MB.述或2

33

C.逅或而D.好或2

33

10.已知點(diǎn)4（2,—3）,B（-3,-2）,直線/：爾+y—機(jī)—1=0與線段A3相交，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是。

A.加工7■或機(jī)2—B.m<——或根24

44

“33

C.-4<m<—D.——<m<4

44

11.已知圓C]：(x—5)~+(y—3)2=9,圓。2：x"+—4x+2y—9=0,則兩圓的位置關(guān)系為()

A.外離B.外切

C.相交D.內(nèi)切

12.某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的k的值是

A.3B.4

C.5D.6

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知。=(3,2,—1),b=(-l,x-l,l),S.a±b，則％的值是.

14.已知曲線丫=三+4,則曲線在點(diǎn)P(L5)處的切線方程為

15.已知正方形ABCD的邊長為2,E,F分別是邊A3,8的中點(diǎn)，沿E尸將四邊形AEED折起，使二面角A-EF-B

的大小為60，則AC兩點(diǎn)間的距離為

16.已知。=4+2百,°=4-2石，若”,仇c三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則匕=；若a,"c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則

b=_____

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)自我國爆發(fā)新冠肺炎疫情以來，各地醫(yī)療單位都加緊了醫(yī)療用品的生產(chǎn).某醫(yī)療器械廠統(tǒng)計(jì)了口罩生產(chǎn)

車間每名工人的生產(chǎn)速度，并將所得數(shù)據(jù)分成五組并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.已知前四組的頻率成等差數(shù)

列，第五組與第二組的頻率相等

件/小時(shí)）

（1）估計(jì)口罩生產(chǎn)車間工人生產(chǎn)速度的中位數(shù)（結(jié)果寫成分?jǐn)?shù)的形式）;

（2）為了解該車間工人的生產(chǎn)速度是否與他們的工作經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，現(xiàn)從車間所有工人中隨機(jī)抽樣調(diào)查了5名工人的生產(chǎn)

速度以及他們的工齡（參加工作的年限），數(shù)據(jù)如下表:

工齡X（單位：年）4681012

生產(chǎn)速度y（單位：件/小時(shí)）4257626267

根據(jù)上述數(shù)據(jù)求每名工人的生產(chǎn)速度y關(guān)于他的工齡x的回歸方程y=Zzx+a，并據(jù)此估計(jì)該車間某位有16年工齡的

工人的生產(chǎn)速度

￡（x,-x）（y-?。?/p>

附：回歸方程+a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式為：5--------;—，a=3-bx

2（i）,

i=l

18.（12分）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m>Q）,直線/不過原點(diǎn)。且不平行于坐標(biāo)軸，/與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段

A5的中點(diǎn)為M

（1）證明：直線0M的斜率與/的斜率的乘積為定值;

（2）若/過點(diǎn)（二，口），延長線段OM與C交于點(diǎn)P,四邊形。4P5能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)，的斜率，若

不能，說明理由

19.（12分）已知圓C過兩點(diǎn)4（—2,0）,5（2,4）,且圓心C在直線2x-y-4=0上

（1）求圓C的方程;

（2）過點(diǎn)P（6,4g）作圓C的切線，求切線方程

20.（12分）已知?jiǎng)訄A。過定點(diǎn)尸（0,1）,且與直線4：丁=-1相切，圓心。的軌跡為E

（1）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程;

(2)已知直線4交軌跡E于兩點(diǎn)p，Q，且PQ中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則|PQ|的最大值為多少？

22

21.(12分)已知雙曲線L—21=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過E作斜率為近的弦A3.求：

27

(1)弦AB的長；

(2)△耳A5的周長.

22.(10分)已知直線，i：2x+y+l=0,直線4經(jīng)過點(diǎn)(1,2)且與直線(平行，設(shè)直線“分別與x軸，y軸交于A,3兩

點(diǎn).

(1)求點(diǎn)A和3的坐標(biāo)；

(2)若圓C經(jīng)過點(diǎn)A和氏且圓心C在直線4上，求圓C的方程.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】以廠為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B,FG,尸E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2,則

P(2,x,0),A(2,0,2),設(shè)直線/與Eb,EH交于點(diǎn)M、N,Af(0,0,2—&d),N(O,、歷d,2),求得平面AMN的法向量

為m=卮),平面PMN的法向量〃=(一.+3d2,1,_i),由空間向量的夾角公式表示出

-x+血-2.小血

m-n2

cos<m,n>-,對于選項(xiàng)，令則

\m\\n\A,Bd=0,

A/2J-229

-2)

j(x+2)2

,由函數(shù)y=的單調(diào)性可判斷；對于C,D,當(dāng)x=0時(shí)，則

,令y=([2+4)[(d-行了+4],利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可判斷.

【詳解】解：由題意，以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B,FG,FE所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

設(shè)正方體的棱長為2,則P(2,x,0),A(2,0,2),設(shè)直線/與E尸，E77交于點(diǎn)V、N,

則Af(0,0,2-國),N(0,&,2),

所以AM=(—2,0,—岳),AN=(—2,何,0),

MN=(0,&),PM=(-2,-x,2-V2J),

設(shè)平面AMN的法向量為m=(a,b,c),

m-AM=0—2a—sf2dc=0

則，即《

m-AN=0—2a+yf2db=0

令a=d,則力z=(d,,

設(shè)平面PMN的法向量為n=(e,f,g),

fn-PM=0\~2e-xf+(2-y/2d)g=0

則V，即Vr-r-

n-MN=Q[42df+y/2dg=0

令/=1,則“=(f2,],_]),

~X+^d~2-d+242

m-n

cos<m,n>=-------2

|m||n—X+yfzd—27?

----------------)+2

2

對于A,B選項(xiàng)，令d=0,則

cos0=cos<m,n>=?==%/----+--2--)-2--+--8，

顯示函數(shù)y=J——2—在(0,+s)是為減函數(shù)，即cos6>減小，則夕增大，故選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤;

\(%+2)2+8

對于C,D,

對于給定的x,如圖，過尸作PQLBG,垂足為Q,過￡作￡5，"0,垂足為S,

過。作QTLMV,垂足為丁,

當(dāng)Q在“W下方時(shí)，ES+MQ=26.—（2—X）X%=&+%X，

設(shè)夜+Y2x=s，則對于給定的x,5為定值，

2

此時(shí)設(shè)二面角A—MN—E為a,二面角P—MN—Q為0,

22

則二面角A-MV—尸為萬一2-/?,且tana=—,tan/=------

ds-d

22

tana+tan/3

故tan（萬一a—=------d-----s--—--d--=2s

tanatan/?-l22d2-ds+4-

—x------------1

ds—d

而逐KsK2A/2，故s2—16<0即—杰+4>o，

c2w

當(dāng)0<d<一時(shí)，、=〃2一辦+4為減函數(shù)，故y=下一^--為增函數(shù),

2d—ds+4

c2w

當(dāng)二<d<s時(shí)，y=d?—ds+4為增函數(shù)，故丫=下——---為減函數(shù),

2d—ds+4

故乃一2―/?先增后減，故D錯(cuò)誤.

當(dāng)。在跖V上方時(shí)，ES—MQ=2挺—（2—x）x等=&+等X，

則對于給定的X,s為定值，則有二面角A-MN-P為4-

22

且tanQg-0=tanQ-tanad—sd2s

1+tan/tana22I?—ds+4,

1-----X—

d-sd

2s

因s<d<20，故了=解-ds+4為增函數(shù)，故tan(/?-tz)=為減函數(shù),

綜上，對于給定的x,A-MN-P隨d的增大而減少,

2、D

22

【解析】將曲線a=左(左〉1)化為標(biāo)準(zhǔn)方程后即可求解.

2222

【詳解】三-匕=左化為標(biāo)準(zhǔn)方程為上一-匕=1,由于左>1,則兩曲線實(shí)軸長、虛軸長、焦距均不相等，而漸近

25925k9k

3

線方程同為y=±yx.

故選：D

3、B

【解析】根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”，。八q一假則假，對四個(gè)選項(xiàng)一一判斷直接即可判斷.

【詳解】邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”，?人4一假則假.

因?yàn)槊}P為真命題，命題g為假命題，所以可為假命題，F(xiàn)為真命題.

所以，夕入4為假，故A錯(cuò)誤；

。△（「幻為真，故B正確；

（「p）Aq為假，故C錯(cuò)誤；

（一）△（「/為假，故D錯(cuò)誤.

故選：B

4、D

【解析】根據(jù)“或命題”的定義即可求得答案.

【詳解】“至少一位同學(xué)解出試題”的意思是“甲同學(xué)解出試題，或乙同學(xué)解出試題”.

故選：D.

5、D

【解析】由雙曲線的漸近線方程結(jié)合已知可得.

22

【詳解】雙曲線方程為二-匕=1

4-a

所以漸近線為y=土且x，故互=也，解得：。=一」.

2242

故選:D

6、B

【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，然后將不代入導(dǎo)數(shù)中可得結(jié)果.

【詳解】/?=1?sinx+cosx,貝!|/'（%）=sinx+x?cosx-sinx=x-cosx,

貝!If'⑺—4COS"=-71,

故選：B

7、D

【解析】利用等差數(shù)列性質(zhì)得到%=1，Sg=9%,計(jì)算得到答案.

詳解】等差數(shù)列｛4｝中，+%=2%=2,%=1

S9=@+，X9=9%=9

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算，利用性質(zhì)可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.

8、C

【解析】過點(diǎn)A,5分別作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E,D,設(shè)|8尸|=a,利用拋物線的定義和平行線的性質(zhì)、直角三

角形求解

【詳解】如圖，過點(diǎn)A,3分別作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E,D,設(shè)|5F|=a,則由已知得15cl=2%由拋物線定義得

\BD\=a,故N5CD=30。，在直角三角形ACE中，因?yàn)閨A￡|=|Ab|=3,\AC\=3+3a,2\AE\=\AC\f所以3+3a=6,

—13

從而得a=l,\FC\=3a=3所以p=|FG|=3尸。1=3，因此拋物線的方程為y2=3x,

f22

故選：C.

9、D

【解析】運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)可得加，再討論772=3,相=-3,求出曲線的。，C,由離心率公式計(jì)算即可得到

【詳解】三個(gè)數(shù)1,m,9成等比數(shù)列，

則根2=9，解得，m=±3,

當(dāng)機(jī)=3時(shí)，曲線V+匕=1為橢圓,

3

貝?。?，=與1=乎；

ay/33

2

當(dāng)初=-3時(shí)，曲線為必一2L=i為雙曲線，

3

則離心率6=2

故選：D

10、A

【解析】由丁=—加(％—1)+1可求出直線/過定點(diǎn)P(l』)，作出圖象，求出左PA和即B，數(shù)形結(jié)合可得一加〈原A或

-m>kPB,即可求解.

【詳解】由y-相-1=0可得：m(x-l)+y-l=0,

x_1—0x—1/、

由?八可得「所以直線/：5+y—根—1=。過定點(diǎn)。(1』)，

[y-i=o[y=i

由mx+y-m-l=Qn\^y=-m(A:-1)+1,

作出圖象如圖所示：

33

若直線/與線段A3相交，則—mW—4或-—,解得機(jī)＜—-或相，4,

44

3

所以實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是■或機(jī)2—，

4

故選：A.

11、C

【解析】求出兩圓的圓心和半徑，根據(jù)圓心距與半徑和與差的關(guān)系，判斷圓與圓的位置關(guān)系

【詳解】圓G：(x—5)2+(y—3)2=9的圓心為弓(5,3),半徑，i=3,

圓。2：x2+/-4x+2j-9=0,即(x—2y+(y+l)2=14,圓心GQ,-D,半徑4=排，

兩圓的圓心距IGC2]=J(5-2)2+[3-(一1)]2=5,顯然—3<5vJIZ+3，即馬一4<|￡G|<馬+小

所以圓G與圓。2相交.

故選：C

12、B

【解析】循環(huán)體第一次運(yùn)行后5=17-=：＜100.t=1；第二次運(yùn)行后j=H2-=；＜：.-.；-=2；第三次運(yùn)行后

5=3+2：=11<100需=3,第四次運(yùn)行后5=11+2”=2059>100,t二心循環(huán)結(jié)束，輸出；值為4,答案選B

考點(diǎn)：程序框圖的功能

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、3

【解析】根據(jù)空間向量a_L6可得。力=0,結(jié)合a=(3,2,—l)/=(—l,x—1,1)計(jì)算即可.

【詳解】由題意知，a=(3,2,-1),Z?=(-1,%-1,1),a±b,

所以a?〃=-3+2(x-1)-1=0,解得x=3.

故答案：3

14、3x-y+2=0

【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率即得解.

【詳解】解：由題得丁'=3一，

所以切線的斜率為左=3xV=3，

所以切線的方程為y-5=3(%-1),即3%—y+2=0.

故答案為：3x-y+2=0

15、忖

【解析】取3E的中點(diǎn)G,然后證明NAE5是二面角A—即—5的平面角，進(jìn)而證明AG_LGC,最后通過勾股定理

求得答案.

【詳解】如圖，取3E的中點(diǎn)G,連接AG,CG,由題意"LAE,"，5E,則NAE5是二面角A—所―5的平面

角，則NAEB=60°,又AE=BE=1,則/XABE是正三角形，于是AG，5￡,AG=T

根據(jù)所，人￡,所，3石,4￡<^5￡=E可得：平面A5E,而AGu平面ABE,所以EELAG,而

AGLBE,BEcEF=E,則AG±平面BCFE,又GCu平面5c尸E,于是，AG，GC,又GC2=BC2+BG2=—,

4

所以AC=y/AG2+GC2=J|+y=75.

故答案為：、后.

16、①.4②.±2

【解析】由等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)計(jì)算即可.

【詳解】若。，b,c三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.

匕二1、17〃+C4+26+4-2百,

所以6=----=--------------=4?

22

若a,b,c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列.

所以/=。。=(4+26)(4—26)=4=>6=±2

故答案為：4,±2.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

/、455

17、(1)——

9

(2)80件/小時(shí)

【解析】(1)先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和頻率分布直方圖各矩形的面積之和為1求出各組頻率，再利用頻率分布直

方圖求中位數(shù)；

(2)先求出是、亍，利用最小二乘法求出回歸直線方程，再進(jìn)行預(yù)測其生產(chǎn)速度.

【小問1詳解】

解：設(shè)前4組的頻率分別為4,a2,a3,%，公差為d，

=0.16

由頻率分布直方圖，得<

6+出+/+。4=1—0.16=0.84

a.+d=0.16[a,=0.06

即｛,解得《

14%+6d=0.84[4/=0.1

貝！]%+g+%=048,a4=0.36,

__0.5—0.48.?455

所以中位數(shù)為50+丁1xl°=丁.

【小問2詳解】

-1

解：由題意，得x=—(4+6+8+10+12)=8,

-1

y=《(42+57+62+62+67)=58,

-—4x(—16)+(—2)x(—1)+0X4+2X4+4X911

由所給公式，得)=--—

I

%=y-^x=58-—x8=36,

4

所以回歸直線方程為$=Ux+36,

-4

則當(dāng)尤=16時(shí)，y=80，

即估計(jì)該車間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度為80件/小時(shí).

18、（1）證明見解析

（2）能為平行四邊形；斜率為4一3或4+近

【解析】（1）設(shè)A,3兩點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)差法證明

（2）求出尸，加兩點(diǎn)坐標(biāo)，由平行四邊形的幾何性質(zhì)判斷

【小問1詳解】

設(shè)A（石,乂）,3（%2，%），/的斜率為左，

+y；=m2,9xl+yl-m2

兩式相減可得**"-。，即（*）（出）=一9

故kJ=-9

【小問2詳解】

9vn

由（1）得的直線為歹=--%,直線/方程為y—加=左（*—§）

k

9

y=——x

km(k-3)

聯(lián)立＞解得

3(—+9)

y-m=k(x—y)

9

v=——xkm

聯(lián)立-k解得與=±

3a+9

9x2+y2=m2

若四邊形Q4P5為平行四邊形，則對角線互相平分

km2km(k-3)

M為OP中點(diǎn),土

3a+93(4+9)

解得上=4±近，經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意

故四邊形。4P5能為平行四邊形，此時(shí)/斜率為4-4或4+J7

19、(1)/+12=0.(或標(biāo)準(zhǔn)形式(龍—2)2+/=16)

(2)x=6或x-岔y+6=0

【解析】(D根據(jù)題意，求出A3中垂線方程，與直線2x-y-4=0聯(lián)立，可得圓心。的坐標(biāo)，求出圓的半徑，即

可得答案；

(2)分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，求出切線的方程，綜合可得答案

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意，因?yàn)閳AC過兩點(diǎn)4—2,0),3(2,4),

設(shè)A3的中點(diǎn)為則知(0,2),

4-0

因?yàn)?B=不，K=1，所以43的中垂線方程為y-2=-(%-0),即y=2—九

y=2-xfx=2..

又因?yàn)閳A心在直線2x—y—4=0上，聯(lián)立；八，解得八，所以圓心C(2,0),半徑，"忸。^"故圓

2x-y-4=0[y=°

的方程為(x—2)2+y2=i6,

【小問2詳解】

解：當(dāng)過點(diǎn)尸的切線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線％=6與圓C相切

當(dāng)過點(diǎn)尸的切線斜率及存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-4百=左(工一6)即履—〉+4百—6左=0(*)

|4-^3—4/:|

由圓心C到切線的距離?_____」=4,可得左=組

VF7T3

將左=且代入(*),得切線方程為X—6y+6=0

3

綜上，所求切線方程為x=6或%-血丁+6=0

20、(1)x2=4y

(2)6

【解析】(1)利用拋物線的定義直接可得軌跡方程;

（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得|PQ|,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.

【小問1詳解】

由題設(shè)點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到4的距離,

..?點(diǎn)。的軌跡是以P為焦點(diǎn)，4為準(zhǔn)線的拋物線,

所求軌跡的方程為好=分；

【小問2詳解】

由題意易知直線4的斜率存在，

設(shè)PQ中點(diǎn)為。,2）,直線〃的方程為y—2=左（%—。,

%2=4y

聯(lián)立直線與拋物線得尤2-4Ax+4H-8=0,八=（-4左）2—4（4比