高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2測評模塊綜合測評（A）

模塊綜合測評(A)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.設(shè)z1=x2i,z2=1+xi,x∈R,若z1+z2為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)x的值為()A.1 B.0 C.1 D.1或1解析由z1=x2i,z2=1+xi,則z1+z2=x2i+(1+xi)=x21+(x1)i.若z1+z2為純虛數(shù),則x2-1=0,故選A.答案A2.設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且f(x)=x2+2x·f'(1),則f'(0)等于()A.0 B.4 C.2 D.2解析因?yàn)閒(x)=x2+2x·f'(1),所以f'(x)=2x+2f'(1),f'(0)=2f'(1).因?yàn)閒'(1)=2+2f'(1),所以f'(1)=2,故f'(0)=4.答案B3.復(fù)數(shù)1+2i2-i的共軛復(fù)數(shù)是A.3i5 B.3i5 C.i D解析因?yàn)閺?fù)數(shù)1+2i2-所以復(fù)數(shù)1+2i2-i答案D4.已知a,b是空間中兩不同直線,α,β是空間中兩不同平面,下列命題正確的是()A.若直線a∥b,b?α,則a∥αB.若平面α⊥β,a⊥α,則a∥βC.若平面α∥β,a?α,b?β,則a∥bD.若a⊥α,b⊥β,a∥b,則α∥β解析若直線a∥b,b?α,則a∥α或a?α,故A不對;若平面α⊥β,a⊥α,則a∥β或a?β,故B不對;若平面α∥β,a?α,b?β,則a∥b或a,b是異面直線,故C不對;根據(jù)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,可得D正確.答案D5.觀察下列等式,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,根據(jù)上述規(guī)律,13+23+33+43+53+63=()A.192 B.202 C.212 D.222解析歸納得13+23+33+43+53+63=(1+2+…+6)2=212.答案C6.函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖像如圖,則函數(shù)y=ax2+32bx+c3的遞增區(qū)間是(A.(∞,2] B.1C.[2,3] D.9解析由題圖可知d=0.不妨取a=1,∵f(x)=x3+bx2+cx,∴f'(x)=3x2+2bx+c.由圖可知f'(2)=0,f'(3)=0,∴124b+c=0,27+6b+c=0.∴b=1.5,c=18.∴y=x294x6,y'=2x9當(dāng)x>98時(shí),y'>0,∴y=x294x6的遞增區(qū)間為98,答案D7.定積分121+x2xdA.32+ln2 B.34 C.3+ln2 D解析121+x2xdx=121x+xdx=121xdx+12xdx=lnx|12+12x答案A8.函數(shù)y=lnx(x>0)的圖像與直線y=12x+a相切,則實(shí)數(shù)a等于(A.ln21 B.ln2+1C.ln2 D.2ln2解析y'(x)=1x,由1x=12得切點(diǎn)為(2,ln2),代入y=12x+a,得a=答案A9.已知過原點(diǎn)的直線l與曲線y=ex相切,則由曲線y=ex,y軸和直線l所圍成的平面圖形的面積是()A.e21 B.eC.e2 D.e+解析由已知y=ex的導(dǎo)函數(shù)為y'=ex,設(shè)過原點(diǎn)的直線l與曲線y=ex相切于點(diǎn)(a,ea),則y'|x=a=ea,直線l的方程為y=ea(xa)+ea,即y=eaxaea+ea.又直線l過原點(diǎn),則aea+ea=0,解得a=1,所以直線l的方程為y=ex.由曲線y=ex,y軸和直線l所圍成的平面圖形的面積為01(exex)dx=ex-12e故選A.答案A10.設(shè)函數(shù)f(x)=sinθ3x3+3cosθ2x2+tanθ,其中θ∈0,5πA.[2,2] B.[2,3] C.[3,2] D.[解析∵f'(x)=sinθx2+3cosθx,∴f'(1)=sinθ+3cosθ=2sinθ+∵θ∈0,∴θ+π3∴sinθ+∴2sinθ+π3∈[答案D11.設(shè)m=01exdx,n=e11xdx,則m與n的大小關(guān)系為A.m<n B.m≤n C.m>n D.m≥n解析m=01exdx=ex|01=e1>n=e11xdx=答案C12.函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,下列數(shù)值排序正確的是()A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)(2)B.0<f'(3)<f(3)f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)f(2)D.0<f(3)f(2)<f'(2)<f'(3)解析觀察圖像可知,該函數(shù)在(2,3)上為連續(xù)可導(dǎo)的增函數(shù),且增長的越來越慢,所以各點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在(2,3)上處處為正,且導(dǎo)數(shù)的值逐漸減小,所以f'(2)>f'(3),而f(3)f(2)=f(3)-f(2)3-2,表示連接點(diǎn)(2,f(2))與點(diǎn)(3,f(3))割線的斜率,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,一定可以在(2,3)之間找到一點(diǎn),該點(diǎn)處的切線與割線平行,則割線的斜率就是該點(diǎn)處的切線的斜率,即該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),則必有0答案B二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.設(shè)f(z)=z,且z1=1+5i,z2=3+2i,則f(z1-z2)解析∵z1z2=(1+5i)(3+2i)=4+3i,∴z1-z2∵f(z)=z,∴f(43i)=4+3i.答案4+3i14.已知函數(shù)f(x)=2x,若x1,x2是R上的任意兩個(gè)數(shù),且x1≠x2,則2x1+2x22>2x1+x22,請對比函數(shù)f(x.

解析由題意知函數(shù)f(x)=2x是一個(gè)凹函數(shù),函數(shù)g(x)=lgx是一個(gè)凸函數(shù),所以x1,x2是R上的任意兩個(gè)數(shù),且x1≠x2,則lgx1+lgx答案x1,x2是R上的任意兩個(gè)數(shù),且x1≠x2,則lgx1+lg15.曲線y=x21與直線y=2x+2圍成的封閉圖形的面積為.

解析由y=x可知所求的封閉圖形的面積S=-13[2x+2(x21)]dx=x2+3x13x3

-13=(9+99)13+13=答案3216.已知點(diǎn)P(1,1)在曲線y=xx+a上,則該曲線在點(diǎn)P處的切線方程為解析由于點(diǎn)P(1,1)在曲線y=xx+則1=-1a-1,得a=2,即有y=xx+2,導(dǎo)數(shù)y'=x+2-x(x+2)2=2(x+2)2,則曲線在點(diǎn)P答案y=2x+1三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx的極小值為8,其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,0),23,0(1)求f(x)的解析式;(2)若對x∈[3,3]都有f(x)≥m214m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)∵f'(x)=3ax2+2bx+c,且y=f'(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,0),23∴-∴f(x)=ax3+2ax24ax,由圖像可知函數(shù)y=f(x)在(∞,2)上是減少的,在-2,23上是增加的,在23,+∞上是減少的,由f(x)極小值=f(2)=a(2)3+2a(2)24a∴f(x)=x32x2+4x.(2)要使對x∈[3,3]都有f(x)≥m214m恒成立,只需f(x)min≥m214m即可.由(1)可知函數(shù)y=f(x)在[3,2)上是減少的,在-2,23上是增加的,在23,3上是減少的,且f(2)=8,f(3)=332×32+∴f(x)min=f(3)=33.∴33≥m214m?3≤m≤11.故所求的實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|3≤m≤11}.18.(本小題滿分12分)(2020江蘇,15)在三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分別是AC,B1C的中點(diǎn).(1)求證:EF∥平面AB1C1;(2)求證:平面AB1C⊥平面ABB1.證明(1)因?yàn)镋,F分別是AC,B1C的中點(diǎn),所以EF∥AB1.又EF?平面AB1C1,AB1?平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.(2)因?yàn)锽1C⊥平面ABC,AB?平面ABC,所以B1C⊥AB.又AB⊥AC,B1C?平面AB1C,AC?平面AB1C,B1C∩AC=C,所以AB⊥平面AB1C.又因?yàn)锳B?平面ABB1,所以平面AB1C⊥平面ABB1.19.(本小題滿分12分)如圖,某小區(qū)有一矩形地塊OABC,其中OC=2,OA=3.已知OEF是一個(gè)游泳池,計(jì)劃在地塊OABC內(nèi)修一條與池邊EF相切于點(diǎn)M的直路l(寬度不計(jì)),交線段OC于點(diǎn)D,交線段OA于點(diǎn)N.現(xiàn)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以線段OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,若池邊EF滿足函數(shù)y=x2+2(0≤x≤2)的圖像,點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離記為t.(1)當(dāng)t=23時(shí),求直路l所在的直線方程(2)當(dāng)t為何值時(shí),地塊OABC在直路l不含泳池那側(cè)的面積取到最大,最大值是多少?解(1)當(dāng)t=23時(shí),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=23,將其代入函數(shù)y=x2+2,得M∵y'=2x,∴k=43∴直線方程為y=43x+22(2)由(1)知,直線的方程為y=2tx+t2+2,令y=0,得x=12t+2t,令x=0,∴12t+2t≤2,t2∴22≤t≤1.∴S△OND=12×12t=14令g(t)=14則g'(t)=(t當(dāng)t=63時(shí),g'(t)=0,當(dāng)t∈2-2,63時(shí),當(dāng)t∈63,1時(shí),g'(t)>0,g(t)≥故所求面積的最大值為68920.(本小題滿分12分)已知△ABC的三邊長分別為a,b,c,且其中任意兩邊長均不相等,若1a,(1)比較ba與cb(2)求證:角B不可能是鈍角.(1)解ba<c要證ba<cb∵a,b,c>0,∴只需證b2<ac.∵1a,∴2b=1a+1c≥21又a,b,c均不相等,∴b2<ac.故所得大小關(guān)系正確.(2)證明方法一在△ABC中,由余弦定理得,cosB=a2+∴角B不可能是鈍角.方法二假設(shè)角B是鈍角,則角B的對邊為最大邊,即b>a,b>c,∴1a>1b>0,1c>1b>0,則∴角B不可能是鈍角.21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=alnx+x,g(x)=xexa.(1)若x=1是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a=1,證明f(x)≤g(x).解(1)由已知可得,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且f'(x)=ax+1因?yàn)閤=1是f(x)的極值點(diǎn),所以f'(1)=a+1=0,解得a=1,此時(shí)f'(x)=1x+1=x故當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0.所以f(x)的遞增區(qū)間為(1,+∞),遞減區(qū)間為(0,1).(2)若a=1,則f(x)=lnx+x,g(x)=xex1.設(shè)h(x)=f(x)g(x)=lnx+xxex+1,x∈(0,+∞),則h'(x)=1x+1(x+1)ex=(x+1)1令t(x)=1xex,x∈(0,+∞則t'(x)=1x2ex<0對任意x∈(0,+∞)恒成立,所以t(x)=1xex在(0,+∞又t12=2e>0,t(1)=1e<所以?x0∈12,1,使得t(x0)=1x0-ex0=0,即1x0=ex0因此,當(dāng)0<x<x0時(shí),t(x)>0,即h'(x)>0,則h(x)是增加的;當(dāng)x>x0時(shí),t(x)<0,即h'(x)<0,則h(x)是減少的.故h(x)≤h(x0)=lnx0+x0x0ex0+1=01+1=0,即f(x)≤g(x22.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=an2+1an1,且an>(1)求a1,a2,a3;(2)猜想{an}的通項(xiàng)公式