高中數(shù)學(xué)集合專項(xiàng)練習(xí)（含解析）

高中數(shù)學(xué)集合精選

一.選擇題（共6小題）

1.已知集合河={(》，y)ly=f(x)}，若對(duì)于任意(％,yt)eM,存在(占，y2)eM,使得

司赴+》必=0成立，則稱集合加是"理想集合',給出下列集合：①M(fèi)={(x,y)|y=U；

X

②M={(x,y)|y=cosx}：③Af={(x,y)|y=e*-2}：④M={(x,y)|y=/gx}.其中所有“理

想集合”的序號(hào)是()

A.①③B.②③C.②④D.③④

2.已知f(x)=|x+l|+|x+2|+....+|x+2018|+|x-l|+|x-2|+........+|x-2O18|(xe7?),

且集合〃=伍|/(/-4-2)=，(4+1)},則集合N="(a)laeM}的元素個(gè)數(shù)有()

A.無(wú)數(shù)個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.2個(gè)

3.已知集合R“={X|X=&,x?),x,.e{0,1},i=\,2,”}(〃..2).對(duì)于

A=(q,a2,....a”R“,B=也，b2..........2)eR“，定義A與8之間的距離為

d（A,B）=\ax-bx\+\a2-b2\+...\all-bn|=-b:\.若集合M滿足：MR3,且任意

/=!

兩元素間的距離均為2,則集合M中元素個(gè)數(shù)的最大值為（）

A.4B.5C.6D.8

4.已知非空集合A,8滿足以下兩個(gè)條件:（i）A,8={l,2,3,4,5,6},哨B=0：（商）

若xeA,則x+lwB.則有序集合對(duì)（A,8）的個(gè)數(shù)為（）

A.12B.13C.14D.15

5.設(shè)集合A={(x,y)號(hào)耨X-2)?+Vm2},B={{x,y)\2n&+y2機(jī)+1},若4]”0,

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.[；,2+V2]B.[2-V2,2+721C.口+事，+?>)D.0

6.已知集合4={(取)|1娜50,啜)50,seN,t&N}.若3=且對(duì)任意的(a,b)w3,

（x,y）e3,均有（4-x）（6-y）,,0,則集合3中元素個(gè)數(shù)的最大值為（）

A.25B.49C.75D.99

二.填空題（共10小題）

7.集合A,8滿足久,8={1,2,3,4,5,6,7,8},$8=0,若A,3中的元素個(gè)

數(shù)分別不是A,3中的元素，則滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為—.(用數(shù)字作答)

8.已知集合4=[f,/+1J[t+4,Z+9J,O^A,存在正數(shù)幾，使得對(duì)任意aeA,都有A,

則f的值是—.

9.已知q,a2,4與4，瓦，4是6個(gè)不同的實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的方程

|尤-q|+|x—4|+|x—4l=|x-/J+|x—4|+|》-々|解集A是有限集，則集合A中，最

多有一個(gè)元素.

10.設(shè)6,P2,P、..&是平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)正八邊形，點(diǎn)月的坐標(biāo)為(玉，y,)(z=l,

2....8),集合A={y|存在ie{l,2.....8},使得y=yj,則集合A的元素個(gè)數(shù)可能

為—(寫出所有可能的值)

11.若集合A={x|x2-(a+2)x+2-〃<0,xeZ}中有且只有一個(gè)元素，則正實(shí)數(shù)a的取值

范圍是—

12.已知集合/={(無(wú)>)|/+丫2,,11,若實(shí)數(shù)2,〃滿足：對(duì)任意的(x,y)eM,均有

則稱(九〃)是集合〃的“可行數(shù)對(duì)”.以下集合中，不存在“可行數(shù)對(duì)”的

是-.

①{(4〃)"+〃=1}；②.(4〃)9+§=J；③匹/西一人2)；?

{(Z〃)|/l2=4〃}.

13.已知集合4={*|工=2%-1,keN*],B={x[x=Sk-S,keN*},從集合A中取出機(jī)

個(gè)不同元素，其和記為S;從集合8中取出〃個(gè)不同元素，其和記為T.若S+T,,967,則

"2+2〃的最大值為.

14.已知集合”={幻1082。-3),,0},N={x\y=y/2x-l}f則集合為.

15.若集合A={1,2,3},則其真子集有個(gè).

16.己知集合A={1,2},^={x|(x2+OJC)(X2+ax+2)=0},記集合A中元素的個(gè)數(shù)為〃(A),

定義皿A,B)=["(A)-〃(B),〃(A)..〃(B),若皿A,B)=1,則正實(shí)數(shù)a的值是.

三.解答題(共24小題)

17.設(shè)及是不小于3的正整數(shù)，集合S,,={(4，a2,a?)|a,€{0,1},i=\,2,

n],對(duì)于集合S“中任意兩個(gè)元素A=(q,a2,a?),B=電,b2,....b?).

定乂1:AtB=n—(]at—bf\+\a-,—b21+…+1a”—bn|).

定義2：若4B=0,則稱A=(q,a,,...?a“),B=電,b2,...?〃,)互為相反兀素，

記作4=8，或3=耳.

(I)若〃=3,A=(0,1,0),B=(l,1,0),試寫出％,B,以及A.3的值；

(II)若A,BwS",證明：A?B+A>B-n；

(UI)設(shè)人是小于”的正奇數(shù)，至少含有兩個(gè)元素的集合Mi5.，且對(duì)于集合M中任意兩

個(gè)不相同的元素4=(《，a2,...?an),B=S],b27...?b“),都有A.3="-A,試求集

合M中元素個(gè)數(shù)的所有可能值.

18.己知全集為實(shí)數(shù)集R,集合A={x|y=GT+VT工},B={x|log2x>l}.

(1)求人門打，9隊(duì)1A；

(2)已知集合C={x[l<x<a},若CqA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

19.設(shè)集合A={x|V+4x=0},B={x\x2+2(a+\)x+a2-\=0}

(1)若A0|B=B,求實(shí)數(shù)a的值；(2)若=求實(shí)數(shù)a的值.

20.已知集合A={x[融*128},B={y[y=log,x,xe[-,32].

48

(1)若C={x|加+啜/2w-l},Cc(A<B),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(2)若。={x|x>6〃?+l},且(4-B)fD=0,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

21.已知函數(shù)/(、)=—=的定義域?yàn)榧螦,函數(shù)g(x)=(%(-啜k0)的值域?yàn)榧?,

VX-12

U=R.

(1)求B；(2)若。={劃磅/2^-1).ftCo求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

22.已知集合A={x|?->1,xeR},B={x\x2-2x-m<0}.

x+\

(I)當(dāng)m=3時(shí)，求；(H)若ACB={x|-l<x<4},求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

23.設(shè)集合M=0,1),集合4={(N，x2,x3,...?x?,i=\,2...,n],

集合4中滿足條件“閱不|+|吃1+…+1%|m”的元素個(gè)數(shù)記為S：.

m+l+,

(1)求S；和5；的值；(2)當(dāng)〃?時(shí)，求證：S；)<3"+2-2".

24.已知等差數(shù)列{4}的公差de(0,如，數(shù)列電}滿足2=sin(a“)，集合

S={x|x=2，〃eN*}.

(1)若q=0,4=等，求集合S；(2)若4=|-求d使得集合S恰好有兩個(gè)元素；

(3)若集合S恰好有三個(gè)元素：b,l+T=b?,7是不超過(guò)7的正整數(shù)，求T的所有可能的值.

25.已知非空集合M滿足Mq{0,1,2,〃}(〃..2,〃eN+).若存在非負(fù)整數(shù)艘七,〃)，

使得當(dāng)aeM時(shí)，均有2%-aeM,則稱集合M具有性質(zhì)P.設(shè)具有性質(zhì)尸的集合M的

個(gè)數(shù)為了(“).

(1)求/(2)的值；(2)求〃〃)的表達(dá)式.

26.已知函數(shù)/(x)=V^二^+/g(x+l)的定義域?yàn)榧螦,函數(shù)g(x)=/g(f-2x+a)的定義

域?yàn)榧?.

(I)當(dāng)。=一8時(shí)，求A「'B；(II)若4。a8={工|-1<%,3},求。的值.

27.已知集合A=+x-2<0},B={x|x2+2mx+m2-1<0}.

(1)若@4)，B=0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)若集合A[8中僅有一個(gè)整數(shù)元素，求8.

28.在集合A={1,2,3,4,2〃}中，任取利(%”,m,"eN")個(gè)元素構(gòu)成集合.若

4的所有元素之和為偶數(shù)，則稱"為A的偶子集，其個(gè)數(shù)記為了(〃?)；若、的所有元

素之和為奇數(shù)，則稱二為A的奇子集，其個(gè)數(shù)記為g(〃i).令尸Q")=/(m)-g(〃z).

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，求P(1),F(2),F(3)的值；(2)求尸(利).

29.已知全集。=/?,集合A={x|f+3x-4,,0),B={x|/n-lMm+\]

(1)若加=1,求@B)「A；(2)若BqA,求機(jī)的取值范圍

30.設(shè)集合8是集合A,,={1,2,3,……,3n-2,3n-\,3〃},的子集.記3中

所有元素的和為S(規(guī)定：3為空集時(shí)，5=0).若S為3的整數(shù)倍，則稱3為4”的“和

諧子集”.求:

(1)集合A的“和諧子集”的個(gè)數(shù)；(2)集合4的“和諧子集”的個(gè)數(shù).

31.設(shè)集合A={x|-掇k2},B={x\m-\<x<2m+\].

(1)若BuA,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)設(shè)實(shí)數(shù)集為A,若中只有一個(gè)整數(shù)-2,求實(shí)數(shù)，"的取值范圍.

32.已知集合4=&|(犬-2〃?)。-2〃7+2),,0},其中帆wR,集合8={x|二」,,0}.

x+2

(1)若%=1,求4、，8；(2)若4nB=A,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

33.已知集合A={x|f-2x-8?0},8=[耳±|<0卜U=R.

(1)求A^B；(2)求@A)P|8；

(3)如果非空集合C={x|/n-l<x<2〃z+l},且41c=0,求的取值范圍.

34.設(shè)函數(shù)/(x)=52,-32的定義域?yàn)榧螦,集合8={》*+依-6<0}.

(1)若。=-5,求A「8；(2)若3走8,且-2走3,求(瘵4)「(涉).

35.已知集合A={xeR|ox?—3x+2=0,aeR].

(1)若A是空集，求。的取值范圍；

(2)若A中只有一個(gè)元素，求。的值，并把這個(gè)元素寫出來(lái).

36.已知集合A={x||2x-l|<3},B={x\xl-(a+2)x+2a,,0}.

(1)若a=l,求4[B；(2)若AB=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

37.已知全集。=△，A={x[g<2'<4},8={x|log3%,2}.

(I)求A(]B；(II)求的(AB).

38.已知集合4={x|2x-4<0},B={x|0<x<5},全集U=R,求：

(1)AfB；(2)?A"9.

39.設(shè)全集是實(shí)數(shù)集A,A=｛x|g麴k3｝,8=*|/+”0｝.

（1）當(dāng)a=Y時(shí)，求和AB；（2）若（54）「|8=8,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

40.設(shè)集合卬由滿足下列兩個(gè)條件的數(shù)列｛6｝構(gòu)成：

①“"+《+2<4田；②存在實(shí)數(shù)M,使（〃為正整數(shù)）

（I）在只有5項(xiàng)的有限數(shù)列｛4｝、伯,｝中，其中4=1,生=2,%=3，4=4,a5=5；

偽=1,2=4,打=5,%=4,2=1,試判斷數(shù)列｛4｝、｛2｝是否為集合W中的元素；

（II）設(shè)｛?！皇堑炔顢?shù)列，S”是其前〃項(xiàng)和，。3=4,53=18,證明數(shù)列｛S〃｝eW；并寫出

M的取值范圍；

（III）設(shè)數(shù)列｛4JcW,且對(duì)滿足條件的常數(shù)存在正整數(shù)3使4=M.

求證：4+[>d—>4+3?

高中數(shù)學(xué)集合精選解析

參考答案與試題解析

一.選擇題(共6小題)

1.已知集合用={。，y)\y=f(x)},若對(duì)于任意(%,凹)￡加，存在(％,y2)eM,使得

“男+乂%=°成立，則稱集合M是''理想集合給出下列集合：①M(fèi)={(x,y)|y=1}；

X

②/={(x,y)|y=cosx}：③用={(x,y)|y=e、-2}：④知={(x,y)|y=3}.其中所有“理

想集合”的序號(hào)是()

A.①③B.②③C.②④D.③④

【分析】對(duì)于①，利用漸近線互相垂直，判斷其正誤即可.

對(duì)于②，說(shuō)明滿足理想集合的定義，即可判斷正誤；

對(duì)于③，畫出函數(shù)圖象，說(shuō)明滿足理想集合的定義，即可判斷正誤：

對(duì)于④，畫出函數(shù)圖象，取一個(gè)特殊點(diǎn)即能說(shuō)明不滿足理想集合定義.

【解答】解：①丫:,是以x,y軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角為90。，

X

在同一支上，任意(X],yJeM,不存在(七，y2)eM,滿足好集合的定義；

對(duì)任意(％,,在另一支上也不存在(%，,使得+乂為=。成立，

所以不滿足理想集合的定義，不是理想集合.

②在函數(shù)丫=85丫上存在點(diǎn)(0,1)、4，0),滿足士々+x、2=0成立，

滿足“理想集合的”，滿足條件；

③仞={(x,y)|y=e*-2},如圖在曲線上兩點(diǎn)構(gòu)成的直角始存在，

例如取〃(0,-1),N(/〃2,0),

-3-2-1UA1/23x

滿足理想集合的定義，所以正確.-3

@M={(x,y)|y=/gx},如圖取點(diǎn)(1,0),曲線上不存在另外的點(diǎn)，使得兩點(diǎn)與原點(diǎn)的連線互

相垂直，所以不是理想集合.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，考查了元素與集合的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的

思想，解答的關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，是中檔題.

2.已知f(x)=|x+l|+|x+2|+...+|x+2018|+|x-l|+|x-2|+....+|x-2018|(XG/?),

且集合M={a|/d-a—2)=/(a+l)},則集合N={/(a)的元素個(gè)數(shù)有()

A.無(wú)數(shù)個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.2個(gè)

【分析】先判斷函數(shù)f(x)奇偶性，由/(a2-a-2)=/(a+l)進(jìn)而|/_〃一2|=|4+1|解得a,

另外當(dāng)1]時(shí)/(x)=4074342,聯(lián)立)][[:+二"；？1得到a的范圍，根據(jù)/(a)

的解析式可以得到/(a)的個(gè)數(shù)，從而得到結(jié)果.

【解答】解：?.?函數(shù)

/(x)=|x-2018|+|x-2017|+...+|x-l|+|x+l|+...+|x+2017|+|x+2018|,

/(-%)=|-%-2018|+|-^-2017|+...+|-%-1|+|-%+1|+...+|-%+2017|

+1—x+20181=|x—20181+1x—20171+...+1x—11+1x+11+…+|X+20171+1x+20181=f(x),

即函數(shù)/(X)是偶函數(shù)，

當(dāng)1]時(shí)，7(x)=4074342；

當(dāng)xe[-2,-1]時(shí)，/(x)=-2x+2(3+4+...+2018)=-2%+4074336

若/(/-4-2)=/伍+1),

則/—a-2=a+1①，或a?！ā?=-(a+1)②；(1"力“之③

-1加+11

由①得—2。—3=(。+1)(。—3)=0,

即3—1)(。-3)=0,解得〃=一1或〃=3；

由②得片-1=0,解得4=1或。=一1；

由③得：上巫領(lǐng)b匕叵

22

綜上a=1或：--"3領(lǐng)h-~或a=3；

22

又/(1)=4074342,

當(dāng)-啜h上手時(shí)/(a)=4074342

當(dāng)口叵”“<]時(shí)%)=_為+4074336,有無(wú)數(shù)個(gè)

2

f(3)=4+5+...+2021+2+1+0+1+....+2015=4074348

:.f(a)的值有無(wú)數(shù)個(gè).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)性質(zhì)，方程與不等式的解法，集合的性質(zhì)，考查了推理與計(jì)算能力，

屬于難題.

3.已知集合R“={X|X=(為，x2,x?)?Xje{0,1},z=l,2,,〃}(〃..2).對(duì)于

A=g,a2,a,”R“,8=(々，b2.....b“)eR”,定義A與3之間的距離為

"(A,B)=|q-仇|+|%-仇|+...|a?-bn|=^|af-bt|.

/=1

若集合M滿足：M三R,,且任意兩元素間的距離均為2,則集合M中元素個(gè)數(shù)的最大值為

()

A.4B.5C.6D.8

【分析】由集合的子集得：鳥中含有8個(gè)元素，

先閱讀然后再理解定義得：可將其看成正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，已知集合M中的元素所對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)應(yīng)該兩兩位于該正方體面對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)，

即M=[(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)1或"=1(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)卜得解.

【解答】解：由〃元子集個(gè)數(shù)得：/中含有8個(gè)元素，可將其看成正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，

已知集合用中的元素所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)應(yīng)該兩兩位于該正方體面對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn),

所以(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)1或

(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,I,1)

故集合M中元素個(gè)數(shù)最大值為4.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的子集及閱讀能力，屬難度較大的題型.

4.已知非空集合A,3滿足以下兩個(gè)條件

(i)A(jB={l,2,3,4,5,6),4「'B=0；

(ii)若xwA,貝Ux+leB.

則有序集合對(duì)(A8)的個(gè)數(shù)為()

A.12B.13C.14D.15

【分析】對(duì)集合A的元素個(gè)數(shù)分類討論，利用條件即可得出.

【解答】解：由題意分類討論可得：若人={1},則8={2,3,4,5,6}；若4={1},則8={2,

3,4,5,6}；若4={2},貝=3,4,5,6)；若4={3},則8={1,2,4,5,6)；

若4={4},則8={1,2,3,5,6}；若4={5},則8={2,3,4,1,6}；若A={6},

則8={2,3,4,5,1}；

若人={1,3},則8={2,4,5,6}；若4={1,4),則8={2,3,5,6}；若4={1,5},

則8={2,3,4,6)；

若4={2,4},則8={1,3,5,6)；若4={2,5},則8={1,3,4,6)；

若&={3,5},則8={1,2,4,6)；

若人={1,3,5},則8={2,4,6).

綜上可得：有序集合對(duì)(48)的個(gè)數(shù)為12.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了元素與集合之間的關(guān)系、集合運(yùn)算、分類討論方法，考查了推理能力與

計(jì)算能力，屬于中檔題.

5.設(shè)集合A={(x,y)號(hào)張口-2)2>},B={(x,y)|2底!k+y2/n+l},若早)8/0,

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.[-,2+V2]B.[2-0,2+72]C.[1+—,+8)D.0

22

【分析】求出使集合A非空的機(jī)的范圍，再由得圓(X-2)2+/,,/(切。0)與

x+y=2〃?或x+y=2,"+l有交點(diǎn)，利用圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系求解.

【解答】解：由題意，A*0,則/…?，.■.名,()或，〃.」；

22

顯然

要使Br0,只需圓(x-2y+y2,,小(機(jī)工0)與犬+丫=2m或x+y=2m+l有交點(diǎn)，

\2-2m\

BnPn—&—,,I〃/1或-—,,I加I，

.?.2-每版2+&或1一變?nèi)冢?+—,

22

又,圖，0或m.2,2+72.

22

當(dāng)〃2=0時(shí)，(2,0)不在晦山+y1內(nèi).

綜上，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是七，2+及].

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集及其運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.

6.已知集合A={(sj)|掇水50,啜:50,seN,rwN}.若BqA,且對(duì)任意的(a,b)w8,

(x,)，)eB,均有(a-x)g-y),,0,則集合8中元素個(gè)數(shù)的最大值為()

A.25B.49C.75D.99

【分析】由題意，集合3中任取兩個(gè)元素，需滿足橫坐標(biāo)之差與縱坐標(biāo)差的乘積小于0,或

橫坐標(biāo)相等縱坐標(biāo)不等，或橫坐標(biāo)不等而縱坐標(biāo)相等.由此可得集合8中元素個(gè)數(shù)的最

大值.

【解答】解：根據(jù)題意，A={(s,f)|l轟650,蹶)50,s《N,teN}.B^A,將A、B

中的元素看成點(diǎn)，其坐標(biāo)為(s,r),

若對(duì)任意的(a,b)e8,(x,y)e8,均有(a-x)(b-y)?0,即(a-x)(b一y)<0或匕=丫或〃=*,

①,全部都屬于集合{(1,50),(2,49),……(50,1)},其中元素最多有50個(gè)；

②，全部都屬于集合{(1,1),(2,2)......(50,50)),其中元素最多有50個(gè).

而(25,25)在①②兩種情況中重復(fù)，

集合8中的元素最多有50+50-1=99個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的包含關(guān)系及其應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，正確理解題意是關(guān)鍵，是

中檔題.

二.填空題（共10小題）

7.集合A,B滿足山8={1,2,3,4,5,6,7,8},Ap）B=0,若A,8中的元素個(gè)

數(shù)分別不是A,B中的元素，則滿足條件的集合4的個(gè)數(shù)為44.（用數(shù)字作答）

【分析】分別就集合A中含有0,I,2,3,4,5,6,7,8個(gè)元素逐一分析，求和后得答

案.

【解答】解：如果A=0,那么8不在5中，由于=2,3,4,5,6,7,8）,與

題意不符，

如果A中有一個(gè)元素，那么1不在A中,A={2},{3},{4},⑸，{6},{7},{8},

當(dāng)4={2},⑶，{4},⑸，⑹，{8},時(shí),，3中要有7個(gè)元素，必含有元素7,與題意不

符，

.-.A={7},B={1,2,3,4,5,6,8}；

若A中有2個(gè)元素，那么2不在A中，6在A中，從1,3,4,5,8中任取一個(gè)共6中取法；

若A中有3個(gè)元素，那么3不在A中，5在A中，從1,2,4,6,7,8中任取2個(gè)元素共C：=15

種取法；

若A中有4個(gè)元素，那么4不在A中，4也不在3中，與A[,B={1,2,3,…，8}矛盾；

若A中有5個(gè)元素，那么5不在A中，3在A中，從1,2,4,6,7,8中任取4個(gè)元素共C：=15

種取法；

若A中有6個(gè)元素，那么6不在A中，2在A中，從1,3,4,5,7,8中任取5個(gè)元素共=6

種取法；

若A中有7個(gè)元素，那么7不在A中，3在A中，從1,2,4,5,6,8中任取6個(gè)元素共

1種取法；

若A中有8個(gè)元素，那么8不在A中，該種情況不存在.

綜上，滿足條件的所有不同的集合A的個(gè)數(shù)為44個(gè).

故答案為：44.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列組合的應(yīng)用，根據(jù)元素關(guān)系分別進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵，屬

難題.

8.已知集合4=上，z+1],jk+4,t+9],OcA,存在正數(shù)/I,使得對(duì)任意awA,都有。wA,

則f的值是1或-3.

【分析】，＞0時(shí)，當(dāng)。=f時(shí)，一,,1+9;當(dāng)。=，+9時(shí):2=/(/+9)；當(dāng)a=1+1時(shí)，一..1+4,

aa

當(dāng)a=，+4FI寸，A=(r+l)(r+4),從而《f+9)=?+l)Q+4),解得，=1；當(dāng)l+lvOvr+4

時(shí)，當(dāng)aw|7,1+1]時(shí)，則一￡上，Z+1].當(dāng)〃￡,+4,『+9],當(dāng)〃=/時(shí)，一,,r+1,當(dāng)

aa

2J

a=，+l時(shí)，一../,即4=/Q+l),當(dāng)a=，+4時(shí)，一,,f+9,當(dāng)a=f+9時(shí)，4=Q+4)Q+9),

aa

從而W+l)=Q+4)(r+9),解得r=-3.當(dāng)￡+9v0時(shí),無(wú)解.

【解答】解：當(dāng)，＞0時(shí)，當(dāng)1+1]時(shí)，則4￡上+4,t+9],

a

當(dāng)ae[f+4,f+9]時(shí)，則2《上，r+1],

a

即當(dāng)。=/時(shí)，—?z+9；當(dāng)a=f+9時(shí)，—,即；l=，Q+9)；

aa

1J?

當(dāng)a=f+l時(shí)，—..r+4,當(dāng)a=f+4時(shí)，一,,，+l,即4=Q+l)Q+4),

aa

??.fQ+9)=Q+l)(l+4),解得f=l.

當(dāng)，+lv0v，+4時(shí)，當(dāng)E+l]時(shí)，則f+l].

a

2

當(dāng)a￡[r+4,r+9],則，￡上+4,r+9],

a

即當(dāng)。=/時(shí)，—?z+l,當(dāng)a=r+l時(shí)，—,.t,即4=/(r+l),

aa

夕J?

即當(dāng)a=，+4時(shí)，一,,，+9,當(dāng)a=f+9時(shí)，一.J+4,即幾=?+4)(1+9),

aa

.?/Q+l)=?+4)Q+9),解得,=_3.

綜上，f的值為1或-3.

故答案為：1或-3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查元素與集合的關(guān)系、分類討論思想等基礎(chǔ)知識(shí)，考查

運(yùn)算求解能力，是難題.

9.已知4,勺，的與4，瓦，A是6個(gè)不同的實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的方程

|%-4|+|%-%|+|%-々31=1%-41+*-仇1+1%-4I解集A是有限集，則集合A中,最

多有1個(gè)元素.

【分析】由題意，可將關(guān)于X的方程|%—4|+|人一。21+1工一。3Rx-41+1人一921+“—”3I解

的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為/(X)=|X—Q||+|X-%|+|工一。3I，g(X)=l=|x-偽1+1工一〃21+1%-&?兩

個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，將兩個(gè)函數(shù)變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，由于兩個(gè)函數(shù)都是折線，分別討

論折線端點(diǎn)處的函數(shù)值，作出符合題意的圖象，即可得出圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得出方程

解的個(gè)數(shù)

【解答】解：令/0)=|工一4|+|%一%|+|工一生|,g(x)=Hx-乙|+|%一人1+1]—4I，

將關(guān)于X的方程|+|X-4|+|x-。31=1%-41+1%-偽1+1%-匕3I解的個(gè)數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題

不妨令q<的<%<，<b2<b3,

3x-a1一〃2—。3，X>。3

x-a-a+%,。2<x</

由于/(X)=|不一《|+|x-。21+1元一。3l=<}2

-x-a}+4+%，4<x<a2

-3x+a}+4+。3，工<4

3x-b}-b2-b3,x>b3

x-b}-b2+b3,b2<x<by

g{x)=\=\x-bx\+\x-b2\^\x-b31=?

-x-h[+%+<x<h2

-3x+&+b2+4,x<4

考查兩個(gè)函數(shù)，可以看到每個(gè)函數(shù)都是由兩條射線與兩段拆線所組成的，且兩條射線的斜率

對(duì)應(yīng)相等，兩條線段的斜率對(duì)應(yīng)相等.

當(dāng)4，4，〃3的和與4，〃2，々的和相等時(shí)，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)射線部分完全重合，這與題設(shè)

中方程的解集是有限集矛盾

不妨令q,a2,生的和小于4，b?,4的和即4+外+4<4+2+4，

—4—a、—q>—b、—b2—4，

兩個(gè)函數(shù)圖象射線部分端點(diǎn)上下位置不同，即若左邊/(x)=|x—4|+|%一%1+以-%1的射

線端點(diǎn)在上，右邊射線端點(diǎn)一定在下，反之亦有可能.

不妨認(rèn)為左邊f(xié)(x)=lx-al\+\x-a2\+\x-a31的射線端點(diǎn)在上，右邊射線端點(diǎn)一定在下，

且射線互相平行，中間線段也對(duì)應(yīng)平行，圖象只能如圖：

故兩函數(shù)圖象只能有一個(gè)交點(diǎn)，即方程的解集是有限集時(shí)，最多有一個(gè)元素，

故答案為：］

Rx)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的綜合運(yùn)用，屬于函數(shù)中較難理解的題，用到數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化

化歸的思想，屬于能開(kāi)拓思維訓(xùn)練能力的好題，也是易錯(cuò)題

10.設(shè)P2,P3,凡是平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)正八邊形，點(diǎn)"的坐標(biāo)為（七，y）（i=l,

2,8）,集合A=｛y|存在,2,8｝,使得y=yj,則集合A的元素個(gè)數(shù)可能

為4或5或8（寫出所有可能的值）

【分析】分類討論可得：①如果46//X軸時(shí)，②如果R6//X軸時(shí)，③如果與X軸不

平行時(shí)，可得集合A的元素個(gè)數(shù).

【解答】解：如圖所示，

①如果斗鳥//x軸時(shí)，可得集合4=｛乂，為，丫4，%｝，此時(shí)A的元素個(gè)數(shù)為4.

②如果《巴//x軸時(shí)，可得集合4=｛乂，丫?，為，丫…%｝，此時(shí)A的元素個(gè)數(shù)為5.

③如果［g與x軸不平行時(shí)，可得集合人=｛丫］,y2,y?,y4,y5,y6,y?,%｝，此時(shí)A

的元素個(gè)數(shù)為8.

綜上可得：集合A的元素個(gè)數(shù)可能為4或5或8.

故答案為：4或5或8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合元素、正八邊形、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

于中檔題.

11.若集合A={x|x2-(a+2)x+2-〃<0,xeZ}中有且只有一個(gè)元素，則正實(shí)數(shù)a的取值

【分析】因?yàn)榧螦中的條件是含參數(shù)的一元二次不等式，首先想到的是十字相乘法，但

此題行不通；應(yīng)該把此不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為/(x)<g(x)的形式，然后數(shù)形結(jié)合來(lái)解答，需要

注意的是盡可能讓其中一個(gè)函數(shù)不含參數(shù).

【解答】解：/-3+2)》+2-〃<0且a>0

x2-2x+2<a(x+1)

令/(x)=x2-2x+2；g(x)=a(x+1)

A={x"(x)<g(x),xeZ}

.?.y=/(x)是一個(gè)二次函數(shù)，圖象是確定的一條拋物線；

而y=g(x)一次函數(shù)，圖象是過(guò)一定點(diǎn)(-1,0)的動(dòng)直線-

又.xeZ,a>0.數(shù)形結(jié)合，可得：

23

故答案為：(-,-]

23

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查集合A的幾何意義的靈活運(yùn)用，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來(lái)解決參

數(shù)取值范圍問(wèn)題.

12.已知集合知=｛*,〉），+優(yōu),1｝,若實(shí)數(shù)％,〃滿足：對(duì)任意的（x,y）eM,均有

則稱（九〃）是集合"的“可行數(shù)對(duì)”.以下集合中，不存在“可行數(shù)對(duì)”的

是②③.

①｛（九〃）"+〃=1｝；②.（九〃）*+；=＞；③｛（%〃）|矛-〃2=2｝；④

｛（4〃）心4〃｝.

【分析】此題主要分析出“可行數(shù)對(duì)”的含義，得出萬(wàn)+4,,1.

【解答】解：由題意知，石2+M2y2融2+〃2],時(shí)=｛（4〃）|萬(wàn)+〃2,,1｝表示一個(gè)圓及圓

內(nèi)的點(diǎn)集；

①表示一條直線；②表示一個(gè)橢圓；③表示一條雙曲線；④表示一條拋物線.

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷圓與選項(xiàng)表示的曲線有交點(diǎn)，

具體如下：①中直線與〃所表示的圓有兩個(gè)交點(diǎn)；②中橢圓與此圓無(wú)交點(diǎn)；③中雙曲線與

此圓無(wú)交點(diǎn)；④中拋物線與此圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以②③符合題意.

故答案為：②③.

【點(diǎn)評(píng)】本題以集合的形式來(lái)考查圓與直線、橢圓、雙曲線、拋物線有無(wú)交點(diǎn)問(wèn)題.難點(diǎn)：

如何正確把握2和〃的數(shù)量關(guān)系.

本題的易錯(cuò)點(diǎn)是能否從已知條件“可行數(shù)對(duì)”中抽象概括出不等式萬(wàn)+〃2,,1,對(duì)選頊做逐

一判斷即可.

13.已知集合4=｛x|x=2A-l,kwN*）,B=｛x\x=8k-S,keN*｝,從集合A中取出m

個(gè)不同元素，其和記為S；從集合3中取出〃個(gè)不同元素，其和記為7\若S+7；,967,則

m+2n的最大值為45.

【分析】利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和將S,T分別表示出來(lái)，代入不等式，再用基本不等式可

得.

【解答】解：要使m+2〃的值最大，即使S+T,,967時(shí)，加在一起的項(xiàng)數(shù)最多，應(yīng)使相加的

項(xiàng)最小.

將集合A,8元素分別按從小到大順序排列，則集合A為以1為首相，以2為公差的等差

數(shù)列，故s=l+(2〃?-l)一二一2,

2

同理，7=()+(8.—8)〃=4〃2_4,

2

967..S+T=nr+4n2-4n,

2

/.968廊2+(2/?-l)2(一+2〃7y,

2

.,.m+2〃-1,,44,

廠.機(jī)+2幾,45.

故填：45.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的前〃項(xiàng)公式、基本不等式、集合元素的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中

檔題.

14.已知集合加={》|1082(彳一3),,0},N={x|y=ViI=7},則集合為_(kāi)弓_:_4]_.

【分析】根據(jù)題意，分析可得集合V、N,由交集的定義計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意,集合M={x|log2(尤-3),,0}=(3,4],

.____7

N={x\y=>j2x-1]=[-,+oo),

7

則=4],

故答案為：4，4],

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合交集的計(jì)算，關(guān)鍵是求出集合V、N.

15.若集合A={1,2,3},則其真子集有7個(gè).

【分析】根據(jù)集合元素個(gè)數(shù)和真子集的關(guān)系即可判斷.

【解答】解：集合A含有3個(gè)元素，

其真子集的個(gè)數(shù)為2?-1=7個(gè).

故答案為：7.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合關(guān)系的判斷，含有n個(gè)元素子集個(gè)數(shù)為2"個(gè)，真子集的公式為2小，

比較基礎(chǔ).

16.已知集合4={1,2}>B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0}，記集合A中元素的個(gè)數(shù)為"(A),

定義皿4,8)=〃⑶-〃(A),〃(A)<〃⑻'右皿AB)=1，則正頭數(shù)”的值是一2近一

【分析】根據(jù)A={1,2),B={x|(x2+ox)(x2+ar+2)=0},且加(A,8)=1,可知集合5要

么是單元素集合，要么是三元素集合，然后對(duì)方程|/+依+1|=1的根的個(gè)數(shù)進(jìn)行討論，

即可求得。的所有可能值，進(jìn)而可得結(jié)論.

【解答】解：由于，+6)，+5+2)=0等價(jià)于

x2+ax=0?^4x2+or+2=0②，

又由A={1,2},且皿A,B)=1,

，集合5要么是單元素集合，要么是三元素集合，

1。集合3是單元素集合，則方程①有兩相等實(shí)根，②無(wú)實(shí)數(shù)根，

/.67=0；

2。集合5是三元素集合，則方程①有兩不相等實(shí)根，②有兩個(gè)相等且異于①的實(shí)數(shù)根，

即已，

[?2-8=0

解得a=±2\/21

綜上所述a=0或a=±2&,

a>0,a=2&,

故答案為2夜.

【點(diǎn)評(píng)】此題是中檔題.考查元素與集合關(guān)系的判斷，以及學(xué)生的閱讀能力和對(duì)新定義的理

解與應(yīng)用.

三.解答題(共24小題)

17.設(shè)w是不小于3的正整數(shù)，集合S“={(4，a2)...?a?)|a,e{0,1},i=\,2,

n],對(duì)于集合S“中任意兩個(gè)元素A=(q,a2,a?),8=(4，b2,b?).

定乂1:48=〃—(|4—〃|+1a?—a|+…+1a”—dI).

定義2：若4B=0,則稱A=(q,a2,%),8=(々，b2,〃,)互為相反元素，

記作4=8，或3=,.

(I)若〃=3,A=(0,1,0),B=(l,1,0),試寫出％,B,以及A.3的值；

(H)若A,BeSn,證明：A?B+A^B=n；

(III)設(shè)％是小于”的正奇數(shù)，至少含有兩個(gè)元素的集合MgS“，且對(duì)于集合M中任意兩

個(gè)不相同的元素A=(q,a2,a?),B=(4，b2,bn),都有-48=〃-%,試求集

合M中元素個(gè)數(shù)的所有可能值.

【分析】(I)根據(jù)相反元素的定義進(jìn)行計(jì)算即可

(II)根據(jù)相反元素的定義分別計(jì)算出A.8和A.B,進(jìn)行計(jì)算即可

(III)根據(jù)根據(jù)相反元素的定義結(jié)合條件48=〃-無(wú)，利用反證法進(jìn)行證明求解即可

【解答】解：(I)A=(1,0,1),B=(0,0,1),43=2............(3分)

(H)設(shè)A=(q,a,?an),B=(b、,b2?...?或)，A=(玉,々,…,％),

由a；,bt,X/e{0,1),z=1,2,n,可得z=1,2,,n

所以14一占|+3-%|+…+|a“-x“|?n,

當(dāng)且僅當(dāng)Ia,-x,|=1,i=\,2,n,即x,.=l-4，z=1,2,…，〃時(shí)上式“="成立

由題意可知A?A=n-(|a,-%)|+1a2-x21+...+1an-x?|)=0

即I4一百1+1/-x?|+…+|a“一怎|=〃

所以%=1-4,z=1,2,...,

+A?8=2〃-f||4-bt1+Kl-aJ-^|]=2n-^(|l-^|+|0-^|)=2〃-￡(1-2+bJ=2〃-〃=〃.............................................

i=l；=1；=1

(8分)

(III)解法1：假設(shè)4=(%,a?，…，a”)，B=也,b29...,勿),C=(q,c2,...,cn)

為集合M中的三個(gè)不相同的元素.

貝UA?B=〃一(Iq—4I+1生一4I+…+1〃〃一〃"I)=〃一%

即14—4I+1a2—%I+…+1a”—勿1=%

又由題意可知I4一〃|=0或1,i=l,2,川q-仇I，&一〃21，…，1?！ㄒ?1恰有％個(gè)

1,與，一個(gè)0

設(shè)其中4個(gè)等于1的項(xiàng)依次為-瓦1,1。皿-九|,…-左個(gè)等于0的項(xiàng)依次為

由題意可知A?C=〃_(|%_q|+1/-QI+???+］?！盻?！↖)=〃_女

所以Zu%一%/+El%-%l=^>同理Zl%-q11+slb-J,l=k

/=1j=k+li=lj=k+\

c

所以(A%-??1+EI每一I)+(>%一c“l(fā)+￡|bm)-cm,I)=2k

/=1j=k+\i=lj=k+l

即Z(l5I+1%-q“,I)+fI%-%1+X\bn.,-c,“，I=2k

z=lj=k+\j=k+\

ab

因?yàn)镮a，w_超,1=1,?,-n,,l=---=la,,,_bmi|=1

由(2)可知之(|4-Cgl+I%-Jl)”

/=1

因?yàn)镮R…=1"，，，「％」=°

所以El%-%1=E也，一CmJ

j=A+1j=k+l

設(shè)XI%-%1=t,也,-C,“,l=p,由題意可知夕eN

j=k+ij=k+\

所以％+2p=2Z,得k=2p與k為奇數(shù)矛盾

所以假設(shè)不成立，即集合M中至多有兩個(gè)元素

/\

當(dāng)M={1,1,…,1,0,0”..,。，(0,0,…,0}時(shí)符合題意

、攵小〃一上個(gè)>

所以集合M中元素的個(gè)數(shù)只可能是2............................