數(shù)值分析歷屆考題

03-04學年秋季學期用迭代法求解非線性方程時，可以用二分法來確定初值。把以下二階常微分方程的初值問題化為一階常微分方程組，并寫出求解該方程的改良Euler方法。答：令 那么，其中。 所以用改良的Euler方法表示為：，，，，?！?0分〕給出數(shù)據(jù)表x012f(x)212f’(x)-1求一個滿足插值條件的三次插值多項式，并寫出余項公式。解：先求出滿足函數(shù)值插值條件，i=0，1，2的二次插值多項式。ixf(x)一階差商二階差商102211-132211由牛頓插值公式： 令，其中A是待定常數(shù)，那么 ，由條件，代入可得： ； 所以。 其插值余項為，其中?！?0分〕給出數(shù)據(jù)表x0.10.20.40.5y10.80240.61740.53023 用最小二乘法求擬合曲線〔保存3位小數(shù)〕。 解：對于曲線，令，，得。 把x，y的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為t，z的數(shù)據(jù)〔取3位有效數(shù)字〕：t=1/x2.002.505.0010.0z=1/y1.891.621.251.00 對于，其法方程組為： ；其中：，，，數(shù)據(jù)代入后得法方程組為；解得。所以擬合曲線為。〔15分〕確定以下求積公式的系數(shù)，，，使公式成為Guass型求積公式。解：通過待定系數(shù)法：當時，有 〔1〕當時，有 〔2〕當時，有 〔3〕由此得到一個關(guān)于未知數(shù)，，的線性方程組：；解得。〔20分〕證明：對任意參數(shù)t〔〕以下求解常微分方程初值問題的算法，其局部截斷誤差都是c：。證：令， 那么〔1〕 對作泰勒展開得： 。代入到〔1〕式中：由于 在的條件下。 即對任意參數(shù)t，上述求解微分方程初值問題的算法其局部截斷誤差都是。證明：以下求解常微分方程初值問題的數(shù)值方法，其局部截斷誤差為。證： 在的條件下將上述兩式代入中，可得：由于在的條件下。所以上述求解微分方程初值問題的算法其局部截斷誤差都是。05-06學年秋季學期簡答題〔每題4分，共20分〕x=0.06020，y=0.0418按四舍五入得到，那么x+y，xy的絕對相對誤差限，有效數(shù)字各是。答：，；，所以x+y三位有效，；，所以x/y三位有效，給三個等距節(jié)點，，，及相應(yīng)函數(shù)值，試導(dǎo)出二階數(shù)值導(dǎo)數(shù)的計算公式。答：以這三個點為節(jié)點的根本插值多項式為： ，，；求二階導(dǎo)得：，；設(shè)，i=0，1，2。那么。用數(shù)值方法求解常微分方程時，怎樣選擇適宜的步長。答：先選取一個步長h，計算和，如果，那么將步長逐次減半，直到為止。如果對于初始步長h，就有，那么嘗試將步長逐次加倍，知道滿足的最大步長?！?6分〕給出數(shù)據(jù)表x123f(x)2412f’(x)3求一個3次插值多項式；并證明其余項公式為解：先求出滿足函數(shù)值插值條件，i=0，1，2的二次插值多項式。ixf(x)一階差商二階差商1122242331283由牛頓插值公式： 令，其中A是待定常數(shù)，那么 ，由條件，代入可得： ； 所以。 由插值條件可知，是R(x)的二重零點，和是R(x)的單重零點，所以 ，其中K(x)是待定函數(shù)。 令， 當?shù)?階導(dǎo)數(shù)連續(xù)時，反復(fù)用羅爾定理，可得， 所以?！?6分〕給出一組數(shù)據(jù)X1.001.251.501.752.00Y8.467.456.535.795.10用最小二乘法求擬合曲線。解：對于曲線，兩邊取對數(shù)得： 令，，，那么可得到： 把x，y的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為t，z的數(shù)據(jù)〔取3位有效數(shù)字〕：t=1/x0.5000.5710.6670.8001.00z=lny1.631.761.882.012.14 對于，其法方程組為： ；其中：，，，數(shù)據(jù)代入后得法方程組為；解得。。所以擬合曲線為。〔16分〕用龍貝格方法求以下積分，要求5位有效數(shù)字。。解：； ；； ；； 。〔16分〕對于非線性方程f(x)=0，求證：改良的牛頓迭代格式：，k=0，1，…在單根附近是至少三階收斂的。并判別該方法對重根是幾階收斂。解：〔1〕在單根的情況下，設(shè)是的單重根。 ， 所以是的二重零點，，即該迭代格式是三階收斂的。 〔2〕在重根的情況下，設(shè)是的m重根。〔m>1〕 那么，且，，，同理：這時： 由于m為大于1的整數(shù)，所以顯然，所以在重根情況下題設(shè)迭代法線性收斂。06-07學年冬季學期插值型數(shù)值積分方法的根本原理是什么，其截斷誤差是什么。答：根本原理：，其中是的n次插值多項式。截斷誤差：寫出求解非線性方程組，i=1,2,…,n一般迭代法的迭代格式和收斂條件。當，時收斂。把以下二階常微分方程的初值問題化為一階常微分方程組的初值問題，并寫出數(shù)值求解的歐拉格式。答：令 那么，其中。 所以用歐拉形式表示為：，i=0,1,2,…,n-1?！?6分〕給出一組數(shù)據(jù)x1.001.251.501.752.00y5.105.796.537.458.46 用最小二乘法求擬合曲線。解：對于曲線，兩邊取對數(shù)得：令，，那么可得到： 把x，y的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為t，z的數(shù)據(jù)〔取3位有效數(shù)字〕：x1.001.251.501.752.00z=lny1.631.761.882.012.14 對于，其法方程組為： ；其中：，，，數(shù)據(jù)代入后得法方程組為；解得。。所以擬合曲線為。〔16分〕用任意一種方法求以下積分，要求5位有效數(shù)字。