函數(shù)的極限概念與極限計(jì)算法則

匯報(bào)人：XX2024-01-13函數(shù)的極限概念與極限計(jì)算法則目錄極限概念引入極限計(jì)算方法無(wú)窮小量與無(wú)窮大量連續(xù)性與可微性在極限中的應(yīng)用多元函數(shù)極限及其計(jì)算法則總結(jié)回顧與拓展延伸01極限概念引入數(shù)列極限定義數(shù)列極限的ε-N定義對(duì)于任意小的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，數(shù)列{an}與常數(shù)a的差的絕對(duì)值小于ε，則稱數(shù)列{an}收斂于a。數(shù)列極限的幾何意義表示當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列{an}無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)a。函數(shù)極限的ε-δ定義對(duì)于任意小的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí)，函數(shù)f(x)與常數(shù)A的差的絕對(duì)值小于ε，則稱函數(shù)f(x)在x趨近于x0時(shí)極限為A。函數(shù)極限的幾何意義表示當(dāng)x無(wú)限趨近于某個(gè)點(diǎn)x0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)A。函數(shù)極限定義唯一性若數(shù)列或函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則此極限唯一。若數(shù)列或函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則數(shù)列或函數(shù)在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)一定有界。若函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在且大于0（或小于0），則在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)函數(shù)值也大于0（或小于0）。若三個(gè)數(shù)列或函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，且滿足“夾逼”條件，則中間數(shù)列或函數(shù)在該點(diǎn)的極限也存在且等于兩側(cè)數(shù)列或函數(shù)的極限。在一定條件下，通過(guò)求導(dǎo)可以簡(jiǎn)化某些復(fù)雜函數(shù)在某點(diǎn)的極限計(jì)算。有界性?shī)A逼定理洛必達(dá)法則保號(hào)性極限性質(zhì)與定理02極限計(jì)算方法方法描述直接代入法是將自變量直接代入函數(shù)表達(dá)式中，求出函數(shù)在該點(diǎn)的極限值。注意事項(xiàng)在代入自變量前，需要確保函數(shù)在該點(diǎn)有意義，否則無(wú)法求出極限值。適用范圍適用于函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且沒(méi)有間斷點(diǎn)的情況。直接代入法方法描述因子分解法是通過(guò)將函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行因式分解，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，求出函數(shù)在某點(diǎn)的極限值。適用范圍適用于函數(shù)在某點(diǎn)存在間斷點(diǎn)，但可以通過(guò)因式分解將表達(dá)式簡(jiǎn)化為可求極限的形式。注意事項(xiàng)在因式分解前，需要確保函數(shù)在該點(diǎn)有意義，且分解后的因子在求極限時(shí)能夠相互抵消或化簡(jiǎn)。因子分解法適用范圍適用于函數(shù)在某點(diǎn)存在間斷點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，但可以通過(guò)求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為可求極限的形式。注意事項(xiàng)在使用洛必達(dá)法則前，需要確保函數(shù)在該點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，否則無(wú)法使用該方法求出極限值。方法描述洛必達(dá)法則是利用導(dǎo)數(shù)的定義和性質(zhì)，通過(guò)求導(dǎo)的方式求出函數(shù)在某點(diǎn)的極限值。洛必達(dá)法則方法描述01泰勒公式法是利用泰勒級(jí)數(shù)的展開(kāi)式，將函數(shù)在某點(diǎn)的極限轉(zhuǎn)化為無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題。適用范圍02適用于函數(shù)在某點(diǎn)可以展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，且級(jí)數(shù)的和可以求出的情況。注意事項(xiàng)03在使用泰勒公式法前，需要確定函數(shù)的展開(kāi)點(diǎn)和展開(kāi)的階數(shù)，以及級(jí)數(shù)的收斂性和求和方式。同時(shí)，需要注意泰勒級(jí)數(shù)的截?cái)嗾`差對(duì)極限值的影響。泰勒公式法03無(wú)窮小量與無(wú)窮大量性質(zhì)無(wú)窮小量不是零，但比任何正數(shù)都小。無(wú)窮小量與有界量的乘積是無(wú)窮小量。無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量。定義：無(wú)窮小量是指當(dāng)自變量趨近于某一點(diǎn)或無(wú)窮時(shí)，函數(shù)值趨近于零的量。無(wú)窮小量定義及性質(zhì)定義：無(wú)窮大量是指當(dāng)自變量趨近于某一點(diǎn)或無(wú)窮時(shí)，函數(shù)值趨近于無(wú)窮的量。01無(wú)窮大量定義及性質(zhì)性質(zhì)02無(wú)窮大量不是具體的數(shù)，而是表示一種趨勢(shì)。03無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量。04無(wú)窮大量與有界量的乘積是無(wú)窮大量。05無(wú)窮小量與無(wú)窮大量關(guān)系無(wú)窮小量與無(wú)窮大量互為倒數(shù)關(guān)系。在自變量的同一變化過(guò)程中，如果函數(shù)是無(wú)窮小量，則其倒數(shù)函數(shù)是無(wú)窮大量；反之亦然。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系在極限計(jì)算中具有重要意義，它們可以幫助我們判斷函數(shù)的變化趨勢(shì)以及計(jì)算函數(shù)的極限值。04連續(xù)性與可微性在極限中的應(yīng)用函數(shù)在該點(diǎn)有定義連續(xù)函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在條件如果函數(shù)在某一點(diǎn)沒(méi)有定義，那么在該點(diǎn)就不存在極限。函數(shù)在該點(diǎn)的左極限等于右極限左極限和右極限存在且相等是函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)的必要條件。如果函數(shù)在某一點(diǎn)的極限存在，且等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則稱函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。函數(shù)在該點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值01可導(dǎo)必連續(xù)，因此函數(shù)在該點(diǎn)的極限存在是可微的必要條件。函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)02如果函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微。導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)03左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在該點(diǎn)可微的充分條件。函數(shù)在該點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)可微函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在條件連續(xù)性與可微性關(guān)系探討有些函數(shù)在某一點(diǎn)處既連續(xù)又可微，有些則僅連續(xù)或僅可微。因此，在具體問(wèn)題中需要具體分析函數(shù)的性質(zhì)。連續(xù)性與可微性的關(guān)系因函數(shù)而異例如，絕對(duì)值函數(shù)在原點(diǎn)處連續(xù)但不可微。連續(xù)不一定可微可微函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，因此函數(shù)必定連續(xù)?？晌⒁欢ㄟB續(xù)05多元函數(shù)極限及其計(jì)算法則設(shè)多元函數(shù)f(x,y,...,z)在點(diǎn)P0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)點(diǎn)P(x,y,...,z)滿足0<|PP0|<δ時(shí)，都有|f(x,y,...,z)-A|<ε成立，那么稱常數(shù)A為函數(shù)f(x,y,...,z)在點(diǎn)P0的極限。多元函數(shù)極限定義唯一性、局部有界性、保號(hào)性、有理運(yùn)算性質(zhì)（包括極限的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則等）。多元函數(shù)極限性質(zhì)多元函數(shù)極限定義及性質(zhì)直接代入法對(duì)于一些簡(jiǎn)單的多元函數(shù)，可以直接將自變量代入函數(shù)表達(dá)式中計(jì)算極限。等價(jià)無(wú)窮小代換法利用等價(jià)無(wú)窮小進(jìn)行代換，從而簡(jiǎn)化多元函數(shù)的極限計(jì)算。洛必達(dá)法則在一定條件下，通過(guò)求導(dǎo)可以簡(jiǎn)化多元函數(shù)的極限計(jì)算。泰勒公式法利用泰勒公式將多元函數(shù)展開(kāi)為多項(xiàng)式形式，從而方便計(jì)算極限。多元函數(shù)極限計(jì)算方法VS如果多元函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則該點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值。因此，在求解某些多元函數(shù)的極限時(shí)，可以先判斷函數(shù)的連續(xù)性，然后直接代入自變量求解?？晌⑿栽跇O限中的應(yīng)用如果多元函數(shù)在某點(diǎn)可微，則該點(diǎn)的極限可以通過(guò)求導(dǎo)來(lái)計(jì)算。因此，對(duì)于一些復(fù)雜的多元函數(shù)極限問(wèn)題，可以通過(guò)求導(dǎo)來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。同時(shí)，利用可微性還可以判斷多元函數(shù)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)等性質(zhì)。連續(xù)性在極限中的應(yīng)用多元函數(shù)連續(xù)性與可微性在極限中應(yīng)用06總結(jié)回顧與拓展延伸函數(shù)在某一點(diǎn)或無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限是指函數(shù)值無(wú)限接近于某一常數(shù)，且可以任意接近該常數(shù)。極限的定義唯一性、局部有界性、保號(hào)性、四則運(yùn)算法則等。極限的性質(zhì)直接代入法、因式分解法、有理化法、洛必達(dá)法則等。極限的計(jì)算方法本節(jié)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)回顧典型例題分析講解例題1求$lim_{xto1}frac{x^2-1}{x-1}$。分析該極限為“0/0”型，可使用洛必達(dá)法則求解。解答$lim_{xto1}frac{x^2-1}{x-1}=lim_{xto1}frac{2x}{1}=2$。例題2求$lim_{xto+infty}frac{sinx}{x}$。分析該極限為“有界量/無(wú)窮大量”，結(jié)果為0。解答$lim_{xto+infty}frac{sinx}{x}=0$。連續(xù)與極限的關(guān)系連續(xù)函數(shù)在某一點(diǎn)的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，即$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$。導(dǎo)數(shù)與極限的關(guān)系導(dǎo)數(shù)是一種特殊的極限，表示函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率，即$f'(x_0)=lim_{Deltaxto0}frac{f(x_0+Deltax)-f(x_0)}{Delt