第一單元至第八單元滾動測試卷（能力卷）（解析版）-2024年新高考數(shù)學一輪復(fù)習

第一單元至第八單元滾動測試卷（能力卷）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.（2023?江蘇揚州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)z=x+yi（x,yeR,i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點Z（x,y）,則下

列為真命題的是（）.

A.若|z+l|=|z-l|,則點Z在圓上

B.若|z+l|+|z-l|=2,則點Z在橢圓上

C.若|z+l|一|z-l|=2,則點Z在雙曲線上

D.若|x+l|=|z-l|,則點Z在拋物線上

【答案】D

【分析】|z+l|=7（x+l）2+r>|z-1|=爐+（分別表示點（x,力與（-1,0）、（L0）之間的距離，記

耳（-1,0）,鳥（1,0）,由復(fù)數(shù)模的幾何意義和圓錐曲線的定義逐一判斷可得答案.

【詳解】t+1|=7（^+1）2+/表示點（x》與（T0）之間的距離，

|z-l|=J（x-l）2+y2表示點（x,y）與（1,0）之間的距離,記耳（-1,0）,巴（1,0）,

對于A,|z+l|=|z-l|,表示點Z（x,y）到6、吊距離相等，則點Z在線段耳片的中垂線上，故A錯誤；

或由（工+仔+丁式工一仔+丁，整理得犬=0,所以點z在x=0,故A錯誤；

對于B,由|z+l|+|z-l|=2得|Z制+|Z段=忻q=2,這不符合橢圓定義,故B錯誤；

對于C,若|z+l|—|z-l|=2,\ZFt\-\ZF2\=\FtF2\=2,這不符合雙曲線定義，故C錯誤；

對于D,若|x+l|=|z-l|,則（x+l）2=（x一爐+產(chǎn)，整理得^:人，為拋物線，故D正確.

故選：D.

2.（2023?廣東?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知全集。=1<,集合A=或xWO},B={x\x>4^x?2）,則圖

中陰影部分表示的集合為（）

U

AB

A.（—2,0]B.[—2,0]

C.[-2,0]o{4}D.（-2,0]{4}

【答案】D

【分析】利用集合的交并補的定義，結(jié)合圖即可求解.

【詳解】因為A=或x40},B={'x>4或x?2},

所以={Rx上4或x<0}={目》>4或xW-2}={'xN4或xW0},

Ac3={x|xN4或xV0}c{x|x>4或x4_2}=Mx>4或x?2}.

山題意可知陰影部分對于的集合為（電（4c8））c（AuB）,

所以電（AcB）={x[-2<x44},

@（Ac8））c（AuB）={x|-2<x4（^x=4}.

故選：D.

人=^^,c=ln3xln2,則（）

3.（2023?貴州黔東南?凱里一中?？寄M預(yù)測）若a=ln3-ln2,

In3

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.b<a<c

【答案】B

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可得?！辏?，；

、bepH,即可得。<兒由作差法即可判斷。<c.

【詳解】d；=In3-ln2=In—=In./—<In\/e=—

2\42

plL故.a<b,

In3In32

l-ln23

h-c=-In3xIn2=In2---ln3|=ln2

In3In3IIn3

（[12々、

由于I>ln2>o,ln3>l,所以b—c=ln2<0,故b<c,

【M3）

因止匕4

故選：B

4.（2023?陜西寶雞,統(tǒng)考二模）若過點（0,2）可作曲線丁=丁+3/+辦+?！?的三條切線，則。的取值范圍是

（）

A.(-3,-1)B.(-2,2)C.(4,5)D.(4,6)

【答案】C

【分析】設(shè)切點為「(%,￡+3片+叫+。-2),利用導數(shù)的幾何意義，求得切線方程，根據(jù)切線過點(0,2),

得到2x：+3x：+4-a=0,設(shè)g(x)=2/+3/，求得/(力=6/+6》，得出函數(shù)g(x)單調(diào)性和極值,

列出方程組，即可求解.

(詳解】設(shè)切點為尸(為,￡+3x：+“)+a-2),

由函數(shù)y=d+3x?+(zx+a-2,可得y'=3x,+6x+a,則y].9=3片+6$+a

所以在點尸處的切線方程為廣(石+3%+ar()+a-2)=(3x；+6x<)+a)(x-x(J,

因為切線過點(0,2),所以2—(￡+3片+/+a—2)=(3*+6與+。)(0-%)，

整理得2片+3片+4-。=0,

設(shè)g(x)=2r'+3x2+4-a,所以/(力=6/+6x,

令g'(x)>0,解得x<-l或x>0,令g'(x)<0,解得一1cx<0,

所以g(x)在(―,-1)上單調(diào)遞增，在(TO)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

要使得過點(0,2)可作曲線)=d+3/+奴+〃_2的三條切線，

則滿足-解得4<a<5,即a的取值范圍是(4,5).

故選：C.

5.(2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)=sin(3x+g)(o>0)在gar)上恰有1個零點，則。的取值范圍

是()

23X258

A.(0,-)u[-,-]B.(-,-]u[2,-]

C.[1,2)o[1,y]D.(O,2]u[|,y]

【答案】B

【分析】令r=ox+方嗚0+]m0+g，將問題轉(zhuǎn)化為y=siiu,「嗚0+5,兀0+.只有1個零點，貝I]

.,兀兀，

KTt-Tl<—a)-\-—<KJt

33

、、(aeZ),從而討論可求出結(jié)果.

.71,

ku<neo+—<KfR+7i

3

【詳解】令1=如+1^0+^,兀，因為函數(shù)/（幻=$皿5+］）3>0）在（”）上恰有1個零點，即轉(zhuǎn)化為

y=s\nt,七弓&+;兀&+$只有i個零點,

.」兀n,

kn-n<—(o^—<K7i3k-4<co<3k-\

33Z),即11,2(&eZ),

故可得(Jie

,九，，k——<a)<k+—

K7l<TICO+—K攵兀+兀33

3

2

3k-4<k+-

又。>0,要使上述方程組有解，則需3(JteZ),

k+->0

3

3k-l>0

所以（氏eZ）,故&=1,2,當女=1時，當氏=2時，2<69<-,

故選：B；

6.（2023?重慶巴南?統(tǒng)考一模）如圖所示，正方形ABC。的邊長為2,點E,F,G分別是邊8C,CD,AD

的中點，點P是線段EF上的動點，則GPMP的最小值為（）

2327

B.3C.—D.48

A.T8

【答案】A

【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)P（x,y）,FP=AFE，即可得到y(tǒng)=3-x、x=l+4,根據(jù)

數(shù)量枳的坐標表示得到GPAP，再結(jié)合：次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【詳解】如圖建立平面直角坐標系，則A（0,0）、G（0,l）、E（2/）、*1,2）,

設(shè)P(x,y),FP=AFE,(Ae[0,l]),則(x—I,>—2)=/l(l,T),

x-\=A

所以xT=-(y-2),即y=3—x,

所以6/>=(工,丁-4),AP=(x,y),

所以GPAP=x2+y(y—i)=x2+(3—x)(2—x)=2f—5x+6

23

+一

8

又X=1+4E[1,2],所以當x=j時GPAP取得最小值為

4

Bx

故選：A

2

7.（2023?全國?高二專題練習）若數(shù)列｛叫的前“項積7；=1-百〃，則〃“的最大值與最小值的和為（）

A.—3

【答案】C

2

【分析】由題可得q=1+h一三，利用數(shù)列的增減性可得最值.

2n-17

2

【詳解】回數(shù)列｛4｝的前〃項積1=1-西〃，

13

當九=1時.，4=百，

2

當〃之2時，"1一失(〃-1),

1__

T1152/1-15?2

Cl=---n--=-----------------=------------1H-------------

加l-l(n-D2H-172n-l7

15')

n=l時也適合上式,

2n-17

團當〃48時，數(shù)列m｝單調(diào)遞減，且vl,

當“29時，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，且%>1,

故4的最大值為的=3,最小值為g=-1，

回％的最大值與最小值之和為2.

故選：C.

22

8.（2023?江蘇南京?南京市第一中學校考模擬預(yù)測）如圖，已知不乃是雙曲線C*■-3=1的左、右焦點，P,Q

為雙曲線C上兩點，滿足耳尸〃外。，且怩。=怩"=3忻兒則雙曲線C的離心率為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)分析可得，=。，進而可得/耳^^二/耳2乃:外，結(jié)合勾股定理運算求

解.

【詳解】延長。居與雙曲線交于點P，

因為耳P〃鳥/，根據(jù)對稱性可知由月=內(nèi)川,

設(shè)內(nèi)尸1=1耳H=r,則后”=|va=3f,

可得出目一出H=2f=2a,即…,

所以|P@=4f=4?,則|以耳|=|Q閭+2a=5a,忸可=附=3%

即|PQ『+忻p[2=]。用2,可知/耳p,Q=/耳p乙=9。，

在/缶鳥中，由勾股定理得優(yōu)巧2+寓巧2=歸用2,

B|Ja2+（3a）2=4c2,解得e-=強.

'/a2

故選：D.

【點睛】方法點睛：L雙曲線離心率（離心率范圍）的求法

求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把〃

用a,c代換，求e=￡的值；

a

2.焦點三角形的作用

在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來.

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》中將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉腌.已知四面體ABCD

是一個鱉席，其中43上平面且鉆=1.若該鱉懦的體積為:，則（）

A.AD為四面體ABC。中最長的棱

B.81平面A8C

C.平面8cO_L平面ACO

D.四面體ABC。外接球的表面積的最小值為9兀

【答案】ABD

【分析】將四面體ABCD補全為長方體，即可判斷A：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定定理即可判斷

B；說明NACB為二面角A-CD-B的平面角，即可判斷C；設(shè)BC=x,C。=y根據(jù)四面體的體積求出x,y的

關(guān)系，再結(jié)合基本不等式求得外接球半徑的最小值即可判斷D.

【詳解】如圖，將四面體A8CD補全為長方體，

則AO為四面體ABCD外接球的直徑，是最長的棱，故A正確；

因為431平面BCD,CDu平面BCD,所以ABLCO,

又BC1CD,ABcBC=B,AB,8Cu平面ABC,

所以CD平面ABC,故B正確；

因為ACu平面ABC,所以CDLAC,

又因為平面ACD1平面BC￡>=8,ACu平面ACO,BCLCD,BCu平面8C。，

則ZACB即為二面角A-CD-B的平面角,

因為NACB為銳角，

即二面角A-8-8為銳二面角，故C不正確；

11|2

設(shè)8C=x,C￡>=y,%而體ABCD=§*58C,CO,A8=wAy=§,得個=4,

設(shè)四面體ABCD外接球的半徑為R,則4代=V+V+122沖+1=9,當且僅當x=y=2時等號成立,

所以4兀店29兀，即四面體ABCD外接球的表面積的最小值為9兀，故D正確.

故選：ABD.

10.（2023?河北滄州??？寄M預(yù)測）已知拋物線V=2px（p>0）的焦點為F,過點F的直線/與該拋物線交

于M,N兩點，且的最小值為4,0為坐標原點，則（）

A.p=2

B.存在直線/,使得OMN的面積為1

C.對于任意的直線/,都有0M-0N=-3

D.當|MN|=8時，直線/的傾斜角為J或營

【答案】AC

【分析】設(shè)直線/：x=）+5,代入/=2*，得乂+%、%%、芭+天，根據(jù)|MV|的最小值為4,求出p=2,

故A正確；根據(jù)5^。皿=3|。尸必1=2厲？22,得B錯誤；根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示得C正

確；根據(jù)弦長公式計算得D錯誤.

【詳解】設(shè)直線/：x=（y+g代入y?=2px,得y?-2p）-p?=0,

A=4p2r2+4p2>0恒成立,

設(shè)M(x”y),N(x2,y2),

2

則乂+丫2=20,yty2=-p,xt+x2=t(yt+y2)+p=2pr+p,

所以|MN|=%+X2+p=2/"2+2pN2p,當且僅當［=0時，等號成立，

所以2p=4,p=2,故A正確；

由A知，p=2,y+%=4f,X%=-4,

所以5加=:0臼?及「必1

=gxlx屈B了不元=g加而記=2\/^^22,當且僅當f=0時，等號成立，故B錯誤；

因為>1%=_4，所以O(shè)M.0N=占毛+%%=?,學+--4=1-4=-3,故C正確；

因為|MN|=7+%2+P=4?+2+2=4*+4,

當|MV|=8時,4產(chǎn)+4=8，得產(chǎn)=1,得￡=±1,

由f=l,得宜線/的斜率為1,傾斜角為:；

4

由1=7,得直線/的斜率為-1,傾斜角為3兀:，

所以當|MN|=8時，直線/的傾斜角為:或牛，故D錯誤.

故選：AC.

11.(2023春?江蘇常州?高一華羅庚中學校考期末)已知拋物線C:y2=4x,0為坐標原點，點尸為直線x=-2

上一點，過點尸作拋物線C的兩條切線，切點分別為A,B,則()

A.拋物線的準線方程為戶-1B.直線AB一定過拋物線的焦點

C.線段A8長的最小值為4及D.OP1AB

【答案】ACD

【分析】根據(jù)拋物線的焦點坐標和準線方程，結(jié)合一元二次方程根的判別式進行判斷A、B、D；聯(lián)立直線

與拋物線方程，根據(jù)韋達定理，結(jié)合弦長公式即可判斷C.

【詳解】由拋物線C：y2=4x可知，焦點坐標為尸(1,0),準線方程為x=-l,故選項A正確；

設(shè)P(-2,m),顯然直線R4存在斜率且不為零，設(shè)為尢，方程為y-m=K(x+2),

與拋物線方程聯(lián)立廠……，得幻，2_4+附+4加=0,

y-m=k}(x+2)

因為84是該拋物線的切線，所以△=(—1)2-4仁(86+4")=0,即26+仁m-1=0,

-421

且A的縱坐標為：-亍=7，代入拋物線方程中可得A的橫坐標為：VF，

設(shè)直線存在斜率且不為零，設(shè)為女2，

-421

同理可得：2后+網(wǎng)機-1=0,且5的縱坐標為：F橫坐標為直，

tn

顯然匕、%是方程2A2+加7=0的兩個不等實根，所以匕+《=-￡,秘2=-]I,

221

-------x2

因為％.k=:尢*=2伏_m_

囚力,°"J__1-2k、+k?-2_m-21'

k；k-2

所以O(shè)P_ZAB，因此選項D正確；

2

由上可知：AB的斜率為一，

tn

221

直線A8的方程為：丁一7=一*一7?)，B|Jmk^y-2mk=2k^x-2,

KiIYIKix

又2好+占初一1=0,所以&"?=1-24，

所以6-26)y-2(1-26)=2k^x-2,即(1一2奸)y=2k,(x-2),

所以直線AB一定過(2,0),顯然該點不是拋物線的焦點，因此選項B不正確，

山題意知，直線A8的斜率不為0,設(shè)直線A8的方程為x=my+2,4(/,乂)，8(馬,必)，

[x=my+2八

*l/=4x得，一4*8=0,所以"為=折”-8,

所以|AB|=-4yly2]=^+nr)^6m2+32)

=4J/+3>+2=4J(加+-；24夜，當且僅當加=0時等號成立，故選項C正確；

故選：ACD

x=-2

12.（2023春?新疆?高二兵團二中校考階段練習）已知a>0/>0,a2+b2-ab=2,\a2-b2\<2,下面結(jié)論

正確的是（）

A.a+b>2y/2B.a-b*

C.Iog,a+Iog2/><1D.log,a+log23b>2

【答案】BCD

【分析】A選項，變形得到（“+4=2+3",由基本不等式求出最值,A錯誤;B選項,先推出a42b和642a,

結(jié)合a?+從-"=2得到邁464地，同理得到包4a4偵，可得結(jié)論；C選項，先根據(jù)基本不等式得

3333

到0<ab?2,從而證明出結(jié)論；D選項，由B選項得到14告42,由導函數(shù)得到函數(shù)最值，求出

2b

=￡+f從而得到必2金，證明出結(jié)論.

61bbeI23

【詳解】A選項，/+匕2一必=2變形得到=2+3就，

因為所以必4勺匚故（a+0）2_2=3.43（。7）2,

解得0<a+匕42夜，當且僅當。=力時，等號成立，A錯誤；

B選項，因為|/-留42,所以-24/-從42,即/勺2+凡

5La2=2+ab-b2,^^2+ab-b2<2+b2,BPab<2b2.

因為a>0力>0,所以a42b.同理可得b42a,

由a?2b可得故-匕）《土，

a2+b2-ab=2,所以a（a-6）=2-〃，

&L2-b2<2b2,解得此半，

又bM2a,Wa>-,所以“（a-b）2-2，HP2-/>2>-—.解得從二,

2v7443

mo<b<^-,綜上，旦巫,同理可得逅W泌，

33333

所以_*4〃_后￥，故B正確；

33

C選項，因為〃+62-必=2,所以“2+62=2+462:2",解得0<“6?2,

當且僅當。=b時，等號成立，

log2a+log2b=log2ab<19C正確;

D選項，由B可知，^<y<2,

2h

設(shè)g(f)=，+；，則短⑺

故當re；，“時，g'(f)<0,g(f)=f+；單調(diào)遞減，

當時，g'⑺>0,g(r)=f+；單調(diào)遞增，

又g(；)=g(2)='|，所以8⑺彳，

所以《±以=q+幺42,即比這=2+14*,解得

abba2abab23

iog2a+iog23b-log,3ab>log24=2,

故選：BCD

【點睛】方法點睛：不等式證明或比較大小經(jīng)常用到基本不等式及其變形:

2+

<<<a2+h2

---2-

+1,當且僅當。=b時，等號成立,

8

解題中要結(jié)合題目條件靈活運用.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上)

13.(2023?江蘇無錫?江蘇省天一中學?？寄M預(yù)測)設(shè)ABC內(nèi)接于橢圓E：5+g=l(a>/7>0),A與橢

圓的上頂點重合，邊過E的中心。，若AC邊上中線8。過點尸(0,。)，其中c為橢圓E的半焦距，則該

橢圓的離心率為.

【答案】叵

10

【分析】畫出草圖，分析可知尸為，ABC的重心，求解即可.

【詳解】如圖：

邊6c過E的中心。，所以。為8C的中點,

則A。為邊BC上的中線，AC邊上中線8。過點尸（O,c）,

所以兩中線的交點為尸，即尸為的重心，

所以3|OF|=|Q4|,即3c="則從=%2,

所以02一。2=%2,所以/=1（）。2,

所以《2=二，所以e=典.

1010

故答案為：叵.

10

14.（2023?全國?高二專題練習）已知等比數(shù)列｛4｝滿足：q+4=20,出+生=8。,數(shù)列他｝滿足

b

^,=logA（?eN-）,其前〃項和為S”，若恒成立，則幾的最小值為.

【答案】53/0.3

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的公比為4,求出4、4的值，可得出數(shù)列｛%｝的通項公式，可求出他,｝的通項公

式，求出5“，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求出生的最大值，即可得出實數(shù)4的最小值.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4,則生+6=4（4+生）=204=80,解得”4,

所以，4+生=4+44=54=20,解得q=4,則%=qq"T=4",

n

所以，bn=log2a?=log24=2n,

鼠-我=2（〃+1）-2“=2,所以，數(shù)列也｝為等差數(shù)列，

所以，5,,=皿3=心型=〃（〃+1）,

"22v'

b“_2〃_2

則S.+8/+8+〃n+8+1>

n

因為函數(shù)丫=犬+^+1在（0,20）上單調(diào)遞減，在（2夜,+8）上單調(diào)遞增，

仇=2=2h63

當〃=2時，邑+8-2+|+]-7;當〃=3時，每二=式幣=6

3

又因為2*玄3故事bli的最大值為充

71010

因此，b4"對任意的"eN,恒成立，所以，，之23，故彳的最小值為23?

1（）10

3

故答案為：—.

15.（2023?浙江?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)f（x）=sin0X-6coss（3>O）在（。4）上存在最值，且在弓兀,兀

上單調(diào)，則。的取值范圍是.

II17

【答案】了‘不

【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)/（X）的解析式，利用函數(shù)f（x）在區(qū)間（0彳）上存在最值，以及函數(shù)/（X）

在（|兀，兀）上單調(diào)分別求出。的取值范圍，取交集可得。的取值范圍.

【詳解】因為/（x）=sin=2sin（0x-1）,

當0<x<?時，因為0〉0,P10—<cox-T?

33333

因為函數(shù)/（X）在（0，"上存在最值，則解得

v/3322

、“2兀.2TICD兀兀兀

-I—<x<兀時，--------<cox——<neo——,

33333

因為函數(shù)“X）在（|■兀，兀）上單調(diào)，則（/"],兀（依+,

2兀G兀、7兀

-------->kit---

所以，兀兀，其中AcZ,解得:女一:40〈人（攵wZ）,

neo—<lai+—

32

31513

所以，^k--<k+^,解得心工，又因為0>0,則人{0,1,2}.

當％=0時，0<<y<f；當女=1時，-<co<^；當k=2時，-<a）<^-.

64646

又因為因此，實數(shù)0的取值范圍是.

2[46_

……「1117-

故答案為：-

16.（2023?寧夏石嘴山?統(tǒng)考一模）在棱長為6的正方體ABCO-AAG。中，M,N分別為CD,反弓的中

點，則三棱錐M-A4,N外接球的表面積為.

【答案】86K

【分析】根據(jù)題意，三棱錐"-AAN與三棱柱AEM-ANF外接球相同.確定球心位置，利用正弦定理，余

弦定理，勾股定理，求出球的半徑，再利用球的表面積公式即可求解.

【詳解】如圖，設(shè)E,尸分別為棱BC,的中點，則三棱錐M-A4N與三棱柱4EM-ANF外接球相

同.

在△E4M中，AE=AM=3區(qū)ME=3亞,

4M2a"2_M片43

由余弦定理cosZEAM=二_—=-,所以sinZEAM=-：

2AMAE55

設(shè)△￡的外接圓半徑為『，

ME_3&與

在中，由正弦定理"=sinNE4M=~Y'

5

故4EAM外接圓半徑r=迫，

2

設(shè)三棱柱AEM-%NF外接球半徑為R,山勾股定理R2=3?+（逑＞=—,

22

則二棱錐M-A^N外接球的表面積S=4兀代=4兀xj=86兀.

故答案為：86兀

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵是：把三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為三棱柱的外接球，利用底面外接圓的

半徑和三棱柱的高，可得外接球的半徑，從而得到外接球的面積.

四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（2023?福建福州?福建省福州第一中學校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛4｝的首項4=：,凡“=r%，〃eN*.

5十?

（1）設(shè)求數(shù)列｛〃｝的通項公式；

⑵在“與磯（其中ZwN*）之間插入2人個3,使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列匕｝.記S,,為數(shù)列｛%｝

的前〃項和,求$36.

【答案】⑴2=4"（〃GN*）

⑵$36=1457

4〃a4。

【分析】（1）將。用=二七■兩邊取倒數(shù)，構(gòu)造函數(shù)可得丁*-=—，進而可得也｝是4=4,q=4的等

3為+1l-4+i!-??

比數(shù)列，從而求得通項公式;

（2）根據(jù)題意逐個項判斷內(nèi)也、仇也…之間的3個數(shù)，再分析$36組成項求解即可.

4a4

【詳解】（1）因為。向=「7，4=9二0,

3a“+15

,,131

所以q產(chǎn)。，取倒得—+~，

4

??+14%

?魯，即%=%，

所以」---1=--7=4~--1，即;

〃用4《,441”,，J1a〃+11Un

因為々=4H0,所以他卜是耳=4,4=4的等比數(shù)列，

所以2=4"（〃eN）

（2）在4也之間有2個3,&&之間有22個3,4也之間有少個3,4，瓦之間有24個3,

合計2+2z+23+2,=30個3,

54x（1—45）

所以$36=WA+31x3=—------^+93=1364+93=1457.

r=l1—4

18.（2023?福建寧德??？级＃┮阎狝BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,且

OI

8sin2---7=2cos2A.

2

⑴求A；

（2）若a=>/7,b+c=5,D為BC中點,求A。的長.

【答案】⑴A=g

2

【分析】（1）利用倍角余弦公式化簡可得cosA=；,結(jié)合0<4<兀，即可求解;

2I-12

(2)利用余弦定理可得bc=6,再根據(jù)A￡f=-(AB+AC)=-(AB'+AC+2ABAC)BPnJM.

【詳解】(1)8sin2-^1^-7=2cos2A,即4[l—cos(3+C)]-7=2(2cos2A-l),

化簡得4cos2A-4cosA+1=0，解得cosA=5,

因為OvAv兀，所以A=^.

(2)由余弦定理得/=從+c?-2/?ccosA,

即7=從+c、2-be=(b+c)2—3bc=25-3bc,解得bc=6,

2「］I211

因為=-(AB+AC)=-2+AC2+2AB-AC)=-(b2+c2+2bccosA)

=-(b2+c2+bc)=-r(Z>+c)2-Z?cl=-x(52-6)=—,

44LJ44

故的長度為?.

2

19.(2023?貴州黔東南?凱里一中?？寄M預(yù)測)已知橢圓￡:馬+《=1(4%>0)的長軸長為4,上頂點戶到

ab~

直線/:x+2y-6=0的距離為逑.

5

⑴求E的方程；

(2)直線丫=丘+；(左>0)與E交于A,8兩點，直線R4,尸8分別交直線/于C,。兩點，求的最小值.

2

【答案】⑴三+V=1

4

⑵厲

【分析】(1)利用長軸的長度以及點到直線的距離公式求解；

(2)設(shè)點A(N，yJ,8(占,%)，將宜線、=丘+：(%>0)與橢圓聯(lián)立利用韋達定理求得陽和巧的關(guān)系式，

再將直線R4與/聯(lián)立求得％,將直線PB與/聯(lián)立求得馬，利用弦長公式即可求出|81,化簡整理利用二次函

數(shù)的性質(zhì)求出最值即可.

【詳解】(1)由已知條件得2a=4,解得a=2,

上頂點坐標為/0力)，J==—,解得8=5或b=l,

由于a>2?>0,則b=l,

所以E的方程為《+>2=1；

（2）由（1）得尸（0,1）,設(shè)A（X，X）,8（9,%）,

,1

y=KX+—

2可得（4公+l）f+4辰-3=0,其中A=4（16公+3）＞0,

聯(lián)立2

—+/=1

4

4k3

MW"的'書"百

設(shè)直線R4的方程為

x\

y.—1i

y=——x+1,,4x.

聯(lián)立X解得2

x+2），-6=011

、114x

點4（z斗，必）在直線>=丘+］上,則乂:仁+萬,即％=（2k+l）q_l'

同理可得、。=（2/京一1，

所以|CD|2=.（xc-xJ+Qc-%）［=Q1+哈|4—和|）

（、4|（2￡+1）藥-1（2）l+l）x2-l

5161（玉+%2）~-4x）x2J

4［（2女+］）~不%2_（2%+1）（再+%2）+1］

16公+3

二20x

（4^+1）2

令4A:+1=（＞1）,貝=20xr-,+4=20（1_（+11=20+1

此時0＜；＜1,當;=；時有最小值，即|8|=而.

20.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCD為矩形，叢，平面

ABCD,PA=AD=6AB,點M是?短的中點.

⑵設(shè)AC的中點為。，點N在棱PC上（異于點P,C）,且0N=Q4,求直線AN與平面ACM所成角的正

弦值.

【答案】⑴證明見解析

【分析】（1）山等腰三角形的性質(zhì)可得40，田，山面面垂直的性質(zhì)可得CD,平面PAD,則CDLAM,

所以由線面垂直的判定可得AM1平面PCD,從而可得結(jié)論；

（2）以AB,AD.AP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.

【詳解】（1）證明：因為R4=A￡>,點M是P。的中點，所以AM_LP￡>.

因為_L平面ABCD,PAu平面PAD，所以平面PAD_L平面ABCD,

因為四邊形ABCD為矩形，所以CD_LA￡>,

因為平面P4Qc平面=CZ）u平面A8CZ）,

所以CO_L平面R4D,所以CDJ.AM,

因為PDcCD=D,平面PC。，

所以AMI平面PCD,

因為PCu平面PC。，所以AMLPC.

（2）解：由題意可得AB,AO,AP兩兩垂直，

設(shè)AB=1,如圖，以陰,4）,你所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則A（0,0,0）,B（l,0,0）,C（l,"0）,D（0,立0）,P（0,0,4,

（JyJy

因為點M是尸力的中點，所以加°，事，方-

所以AM=0，￥，f,4C=（1,垃,0）,

AM?n=—yH-----z=0

設(shè)平面ACM的法向量為〃=（x,y,z）則22

ACn=x+\f2y=0

令y=T可得x=0,z=l,所以平面ACM的一個法向量〃

PC=（1,72,-72）,設(shè)汽（；12“-）,取=；1改=卜,&,-&卜0＜幾＜1），

即12-*-⑹=卜,夜4-"I）,所以N（Z衣I,后一衣I）.

又變,o],ON=OA=^,

222

所以（義_；）+（夜2—+（A/2—\/22）2=,

2

化簡得5萬-74+2=0,解得2=（或4=1（舍去）.

rrH....（22夜3夜］

所以AN=寸有一，三一，

設(shè)直線AN與平面ACM所成的角為。，則

3&

n-AN

sin?=5

附訓17~~8~~1810

V2+1+1XJ—+—+—

V252525

所以直線AN與平面ACM所成角的正弦值為正.

10

21.(2023?陜西寶雞?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)3(x)=lnx+/(awR).

⑴討論的單調(diào)性；

(2)當4>1時，證明：/(x)>|^.

【答案】⑴"X)在(o，6)上單調(diào)遞減，在(瘋可上單調(diào)遞增

⑵證明見解析

【分析】(1)求導，利用導數(shù)的正負，結(jié)合對〃的討論即可求解，

(2)求解/(可訕=/(&)=；lna+J,將問題轉(zhuǎn)化為證明lna+g-2>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx+W-2,

利用導數(shù)求解最值即可求解.

【詳解】⑴"X)的定義域為(0,+8),廣(力」