第7講 恒定電流的磁場(chǎng)(I)

電磁場(chǎng)與電磁波主講：史琰Field

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Wave

ElectromagneticsReview電流密度電荷守恒定律歐姆定律焦耳定律恒定電流場(chǎng)的基本方程恒定電場(chǎng)的邊界條件靜電比擬法2024/3/21shiyan@2恒定電流場(chǎng)的基本方程由于恒定電流場(chǎng)的旋度為零，引入電位φ：均勻?qū)w內(nèi)部(電導(dǎo)率σ為常數(shù))電位滿足：電位邊界條件2024/3/21shiyan@3第7講恒定電流磁場(chǎng)2024/3/21shiyan@4磁感應(yīng)強(qiáng)度磁通連續(xù)性原理安培環(huán)路定律恒定磁場(chǎng)的基本方程矢量磁位磁感應(yīng)強(qiáng)度2024/3/21shiyan@5場(chǎng)的產(chǎn)生靜止電荷在周圍激發(fā)電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)電荷(電流)在周圍激發(fā)電場(chǎng)和磁場(chǎng)場(chǎng)的作用力電場(chǎng)對(duì)靜止或運(yùn)動(dòng)電荷都施加以平行于電場(chǎng)的作用力磁場(chǎng)僅對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷施加作用力，方向垂直于磁場(chǎng)場(chǎng)的描述電場(chǎng)：電場(chǎng)強(qiáng)度E(ElectricFieldIntensity)磁場(chǎng)：磁感應(yīng)強(qiáng)度B(MagneticFluxDensity)恒定電流或永磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化，稱為恒定磁場(chǎng)，也稱靜磁場(chǎng).磁感應(yīng)強(qiáng)度C2C12024/3/21shiyan@6安培定律(1820)法國(guó)物理學(xué)家安培根據(jù)實(shí)驗(yàn)總結(jié)的基本規(guī)律：真空中載流I1的回路C1給載流I2的回路C2的作用力為：磁感應(yīng)強(qiáng)度2024/3/21shiyan@7兩閉合載流回路間的作用力可以理解為，第一個(gè)回路在空間產(chǎn)生磁場(chǎng)，第二個(gè)回路在這個(gè)磁場(chǎng)中受力[定義]Note1：該式稱為畢奧-薩伐爾定律Note2：B為載流回路在r處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度Note3：?jiǎn)挝籘(特斯拉)，也用Wb/m2(韋/米2)磁感應(yīng)強(qiáng)度2024/3/21shiyan@8若電流不是線電流而是具有體分布的電流J，則線電流元模型Idl還原成為分布于體積元dV’的真實(shí)體電流分布模型：體分布電流系統(tǒng)的畢薩定律：面分布電流系統(tǒng)的比薩定律：磁感應(yīng)強(qiáng)度2024/3/21shiyan@9磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用力置于磁場(chǎng)中載流為I的線回路受到的磁場(chǎng)力：電流元Idl在外磁場(chǎng)受力：設(shè)dt時(shí)間內(nèi)電荷走過距離dl=vdt，v為電荷運(yùn)動(dòng)速度，且截面積dS，長(zhǎng)度dl的體積元電量為dq，則：以速度v運(yùn)動(dòng)，電量q的點(diǎn)電荷受外磁場(chǎng)作用力：磁感應(yīng)強(qiáng)度2024/3/21shiyan@10Note1：此公式不僅適用于傳導(dǎo)電流的運(yùn)動(dòng)電荷也適用于 運(yùn)流電流中的運(yùn)動(dòng)電荷。Note2：作用力同時(shí)垂直于磁感應(yīng)強(qiáng)度B和粒子運(yùn)動(dòng)速度vNote3：若電量為q的運(yùn)動(dòng)電荷所在空間同時(shí)存在電場(chǎng)和磁場(chǎng)，則它所受的電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力的總和即為洛侖茲力(Lorentz’sforceequation)：磁感應(yīng)強(qiáng)度例有一載電流I的細(xì)圓環(huán)，半徑為a，求其軸線上任意一 點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度[解]如圖所示axyzθ’α(0,0,z)載流圓環(huán)的磁感應(yīng)強(qiáng)度僅在軸向2024/3/21shiyan@11磁通連續(xù)性原理2024/3/21shiyan@12磁感應(yīng)強(qiáng)度在有向曲面上的通量簡(jiǎn)稱為磁通量(或磁通)，單位是Wb(韋)，用φ表示。再看磁感應(yīng)強(qiáng)度磁通連續(xù)性原理2024/3/21shiyan@13Note1：磁感應(yīng)強(qiáng)度是管形場(chǎng)、無源(指散度源)場(chǎng)；Note2：自然界不存在獨(dú)立的磁荷；（在永磁鐵中，南北極的命名并不意味著孤立的正磁荷位于北極，負(fù)磁荷位于南極，實(shí)際上無論怎么細(xì)分永磁鐵，即使到原子量級(jí)，每一個(gè)小磁鐵仍有南北極，很明顯磁極不能孤立存在。）閉合曲面磁通量Note1：通過任意閉合曲面S的磁通量為零Note2：磁力線總是閉合的，無頭無尾磁通連續(xù)性原理安培環(huán)路定律恒定磁場(chǎng)的旋度及環(huán)量？2024/3/21shiyan@14至此，我們已經(jīng)研究了恒定磁場(chǎng)的通量及散度磁感應(yīng)強(qiáng)度的旋度回顧磁感應(yīng)強(qiáng)度：安培環(huán)路定律2024/3/21shiyan@15旋度：安培環(huán)路定律2024/3/21shiyan@16安培環(huán)路定律的微分形式安培環(huán)路定律2024/3/21shiyan@17磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)量載流I的回路C′產(chǎn)生磁場(chǎng)B，研究其在任意閉回路C上的環(huán)量：Note1：安培環(huán)路定律的積分形式Note2：路徑正向與曲面S正法向成右手關(guān)系Note3：I是穿過曲面S的電流強(qiáng)度代數(shù)和，與曲面法向 方向一致取正值，反之取負(fù)值安培環(huán)路定律2024/3/21shiyan@18安培環(huán)路定律恒定磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)，其渦旋源是恒定電流磁感應(yīng)強(qiáng)度沿任意閉合路徑的環(huán)量等于與其交鏈的總電流I的μ0倍磁力線是與電流線交鏈的閉合曲線。安培環(huán)路定律2024/3/21shiyan@19安培環(huán)路定律的應(yīng)用從磁場(chǎng)求電流分布具有對(duì)稱性的電流分布產(chǎn)生的磁場(chǎng)1o在閉合路徑上B的數(shù)值處處相等，且與dl平行：2o在路徑的一部分上滿足1o，在另一部分上B處處與dl垂直或B=0：安培環(huán)路定律例4半徑為a的無限長(zhǎng)直導(dǎo)線，載有電流I，計(jì)算導(dǎo)體內(nèi)、 外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。[解]由對(duì)稱性可知磁感應(yīng)強(qiáng)度僅與r有關(guān)，且 只有φ分量，取半徑為r的積分路徑C：zxy2024/3/21shiyan@20恒定磁場(chǎng)的基本方程安培環(huán)路定律磁通連續(xù)性方程2024/3/21shiyan@21真空中的恒定磁場(chǎng)方程矢量磁位矢量磁位(VectorMagneticPotential)2024/3/21shiyan@22恒定磁場(chǎng)的基本方程約束著恒定電流激發(fā)磁場(chǎng)的特性，強(qiáng)有力地表征了恒定磁場(chǎng)的本質(zhì)和特征，但一般情況下無法直接用它們求解場(chǎng)；在靜電場(chǎng)中，為了求解普遍情況下的電場(chǎng)分布，引入了標(biāo)量函數(shù)---位函數(shù)，通過求解位函數(shù)進(jìn)而得到電場(chǎng)分布；在恒定磁場(chǎng)中，類似地引入了輔助函數(shù)來幫助磁場(chǎng)的計(jì)算矢量磁位2024/3/21shiyan@23由恒定磁場(chǎng)的磁通連續(xù)性方程的微分形式可知：A稱之為B的矢量磁位，簡(jiǎn)稱磁矢位單位T.m(特.米)，或Wb/m(韋/米)矢量磁位是輔助量，雖無明確物理意義，但與電流分布密切相關(guān)磁矢位參考點(diǎn)的選擇：若電流分布在有限區(qū)域，則取無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為參考點(diǎn)；若電流分布在無窮遠(yuǎn)區(qū)域，如果仍用無窮遠(yuǎn)點(diǎn)作參考點(diǎn)會(huì)造成磁矢位無限大，這就失去了磁矢位的意義，因而選取有限遠(yuǎn)點(diǎn)作參考點(diǎn)，計(jì)算出參考點(diǎn)與場(chǎng)點(diǎn)的磁矢位后取差，并取無限區(qū)域的極限，從而得到場(chǎng)點(diǎn)的磁矢位。矢量磁位2024/3/21shiyan@24庫(kù)侖規(guī)范一個(gè)確定磁場(chǎng)的磁矢位并不唯一顯然，若A為B的磁矢位，A’亦為B的磁矢位A與A’的變換稱為規(guī)范變換，在規(guī)范變換下B不變的特性稱為規(guī)范不變性根據(jù)亥姆霍茲定理，一個(gè)矢量場(chǎng)由其旋度和散度共同唯一確定，因此為了確定一個(gè)矢量場(chǎng)，除了需要約束其旋度，還需要確定其散度矢量磁位2024/3/21shiyan@25為了有一個(gè)確定的磁矢位A

，人為選定其散度在恒定磁場(chǎng)中通常選?。涸撘?guī)范稱為庫(kù)侖規(guī)范Note：若電流分布在有限區(qū)域，磁矢位自然滿足庫(kù)侖 規(guī)范，即對(duì)于恒定磁場(chǎng)該規(guī)范并非人為規(guī)定。矢量磁位2024/3/21shiyan@26由恒定磁場(chǎng)安培環(huán)路定律微分形式可知：利用矢量恒等式利用庫(kù)侖規(guī)范磁矢位微分方程磁矢位的泊松方程對(duì)于無源區(qū)矢量磁位分量形式的磁矢位方程回顧電位方程及其解磁矢位的解矢量磁位2024/3/21shiyan@28面電流磁矢位：線電流磁矢位：磁矢位的計(jì)算公式，均假設(shè)電流分布在有限區(qū)域，且磁矢位零點(diǎn)取在無窮遠(yuǎn)處磁矢位表示的磁通量其中C是曲面S的邊界矢量磁位例長(zhǎng)度為l的載流直導(dǎo)線的磁矢位，并討論其在無窮遠(yuǎn) 處的性質(zhì)，并用磁矢位計(jì)算B。[解]沿電流方向取z軸，顯然，電流密度 J僅有z方向的分量，由磁矢位的直 角坐標(biāo)系分量表示知，磁矢位僅有 z方向的分量，且：O2024/3/21shiyan@29矢量磁位用圓柱坐標(biāo)的旋度公式，可求出2024/3/21shiyan@30[討論]當(dāng)l>>z(導(dǎo)線中垂面附近的磁矢位分布)時(shí)若再取l>>r,則有當(dāng)電流分布在無限區(qū)域時(shí)，一般指定一個(gè)磁矢位的參考點(diǎn)，就可以使磁矢位不為無窮大。當(dāng)指定r=r0處為磁矢位的零點(diǎn)時(shí)，可以得出矢量磁位2024/3/21shiyan@31可以看出，已知電流分布求解其磁感應(yīng)強(qiáng)度分布可以采用三種方法：1