2023年中考數(shù)學(xué)考前精練：銳角三角函數(shù)

2023年中考數(shù)學(xué)考前精練：銳角三角函數(shù)

一、單選題

1.在RtZ?A3C中，NC=90。，AB=IBC,貝IJCoSA的值是()

A.昱B.yC.巫D.在

2255

4

2.如圖，。為RtZ?45C的AC邊上一點，ZC=90o,ZDBC=ZA,AC=4,cosA=-,則CD=

()

3.如圖，在一ABC中，/8=90。,47=30。,4。是一ASC的角平分線，若囪）=1,則AC長度是（）

4.如圖，A3為。直徑，一ABC內(nèi)接于O,/為內(nèi)心，A7交圓于。，且OUAP于/,

貝IJSinNeW的值為（）

ASB-fC.亭D-T

5.如圖，已知直線y=-Kx+3與X軸交于點/1,點8與點Z關(guān)于y軸對稱.M是直線上的動點，

將OM繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。得ON.連接BN,則線段BN的最小值為（）.

Vi

A.3C.2√3D.3-√3

6.如圖，點4B、C。在。。上，AClBC,AC=4,NWC=300,則8C的長為()

A.2√2B.4C.4√2D.46

7.如圖，在邊長為4正方形ABCO中，點E在以8為圓心的弧AC上,射線DE交48于尸,連接

€'￡,若?！阓1￡＞尸，則￡)￡：=()

C.然D.∣√^

8.如圖，AB為，。的切線，切點為A,連接04、08,OB交)0于點C,點。在。上，連接

CD、AD,若NAZ）C=30。，OC=X,則AB的長為（）.

A.1B.√3C.2D.4

9.在AfiC中，NABC=90。，AB=I,AC=√5,過點A作直線〃?〃3C,將ABC繞點8順時

針旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置，此時點C的對應(yīng)點C’恰好落在直線ml.,則NCBC'的度數(shù)為（）

A.30oB.450C.60oD.75°

10.如圖，在矩形ABC。中，AT>=4,AB=2√5,以相>為直徑作。，E為BC的中點，AE交O

C.2√3-2D.√3+l

11.如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓頂4處看乙樓樓頂8處仰角為30°,

則甲樓高度為（）

A.15米B.（36-10√i）米C.15√5米D.（36-156）米

12.如圖，點/I是反比例函數(shù).V=-,圖像上一動點，連接力。并延長交圖像另一支于點8.又C

X

,4

為第一象限內(nèi)的點，且AC=BC,當(dāng)點/運(yùn)動時，點。始終在函數(shù)y=-的圖像上運(yùn)動.貝IJNe48

X

的正切值為（

y

A.2B.4cTDT

13.如圖，電線桿的中點C處有一標(biāo)志物，在地面。點處測得標(biāo)志物的仰角為35°,若拉線Co

的長度是。米，則電線桿A3的長可表示為（）

A.2Q?COS35米B.戶米C.2tz?sin35米D.-米

sin35tan35

14.如圖，Z,尸，8,C是。上的四點，ZAPC=NCPB=60。.若四邊形APBC面積為亍6,

且幺：「8=1:2,則，。的半徑為（）

C.我

15.如圖，在矩形A3CZ）中，DC=3,AD=6DC,尸是AO上一個動點，過點Q作PG_LAC,

垂足為G,連接BP,取BP中點E,連接EG,則線段EG的最小值為（）

BC

33

A.-B.-C.3D.√3

42

二、填空題

16.某校數(shù)學(xué)興趣小組開展“無人機(jī)測旗桿”的活動：已知無人機(jī)的飛行高度為30m,當(dāng)無人機(jī)飛行

至A處時，觀測旗桿頂部的俯角為30。，繼續(xù)飛行20m到達(dá)8處，測得旗桿頂部的俯角為60°,則

旗桿的高度約為m.(結(jié)果保留根號)

17.兩個形狀大小相同的菱形在矩形ABCO內(nèi)按如圖所示方式擺放，若菱形的邊長為2cm,

NF=I20。，且EFLEG,則AO的長為Cm.

18.如圖，在矩形ABCD中，Afi=IO,AD=6.矩形ABC。繞點力逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩

形A8C'。.若點8的對應(yīng)點3'落在邊8上，連接，則Ar)D的面積為.

19.如圖，在菱形43C。中，8。為對角線，過點。作DEJL即交BC的延長線于點E,連接AE交

CO于點尸，DF=√13,tanZABO=|,則Z)E的長為.

BE

20.已知鈍角ABC內(nèi)接于O,AB=BC,將_A3C沿AO所在直線翻折得到aA3'C'連接83'、

CC',如果班'：CC'=4：3,那么tan∕B4C的值為.

21.如圖，半徑為1的。與邊長為的等邊三角形ABC的兩邊AB,BC都相切.連接OC,

貝IJtanNoCA=.

22.如圖，“ABC中，ZC=90o,ΛB=4√3,BC=2√3,以AC為直徑的。交AB于點。，則Co

的長為_____________.

23.如圖，輪船8在碼頭力的正東方向，與碼頭力的距離為IOO海里，輪船8向北航行40海里

到達(dá)C處時，接到。處一艘漁船發(fā)來的求救信號，于是沿北偏西45°方向航行到。處，解教漁船

后輪船沿南偏西82。返回到碼頭Z,那么碼頭力與。的距離為海里.（結(jié)果保留整數(shù)，

參考數(shù)據(jù)：sin32o≈0.5,cos32o≈0.8,tan32o≈0.6.）

三、解答題

/?,?2i_2

24.先化簡，再求代數(shù)式。一衛(wèi)二二二的值，其中α=tan60°,b=6cos30°.

Ia）a

25.如圖，為了測量東西走向的公路橋梁A8的長度，數(shù)學(xué)興趣小組在公路橋南側(cè)選定觀測點C,

測得/1在C北偏西37。方向上點8在C的北偏東53。方向上若測得AC=240米求公路橋梁A8

的長（精確到1米）.（參考數(shù)據(jù)Sin37。z0.60,cos37o≈0.80,tan37o≈0.75）.

AB

C

26.如圖，在44BC中，AC=AB,ZfiAC=90°,。是AC邊上一點,連接BD,A尸于點

F,點E在即上，連接AE,CE,ZEAF=45°,若tanNECD=：,BC=6,則BE的長為

27.如圖1是某工廠生產(chǎn)的某種多功能兒童車，根據(jù)需要可變形為滑板車或三輪車，圖2、圖3

是其示意圖，已知前后車輪半徑相同，車桿A3的長為60Cm,點。是AB的中點，前支撐板

（1）如圖2,當(dāng)支撐點E在水平線BC上時則支撐點￡與前輪軸心B之間的距離BE的長為;

4

（2）如圖3,當(dāng)座板。E與地面保持平行時，求變形前后兩軸心BC的變化量（參考數(shù)據(jù)：sin53°?-,

34

cos53o≈-,tan53o≈—）

5,3；

28.如圖，A8是O的直徑，AC是弦，。是AB的中點，CQ與A8交于點E,尸是A8延長線

上的一點，且CF=EF.

D

(1)求證：Cf■為。的切線；

(2)連接80,取BQ的中點G,連接AG.若b=4,tanZBDC=?,求AG的長.

29.如圖，。是JIBC的外接圓，AB為。的直徑，點E為。上一點，EF/AC交48的延

長線于點尸，CE與AB交于氫D,連接BE,ZBCE=ZABC.

F

(1)求證：E尸是。的切線.

3

(2)若3尸=2,SinZBEC=-,求。的半徑.

參考答案：

1.A

解：如圖，

?,?Rt"BC中，ZC=90o,AB=IBC,設(shè)BC=αAB=2a,

2222

:.AC=√ΛB-BC=y∣(2a)-a=√3a,

：.COSA=世=回=2.

AB2a2

故選：A.

2.A

4

解:,.?RtΔABC,AC=4,cosA=-

.AB=5,BC?√AB2-AC2?√52-43?3,

ADBC=ZA,NDCB=NBCA,

:.XDCBsfXBCk,

CD_BC

CBAC

.BC2=CDAC,

.3婦，

AC4

故選：A.

3.B

解：ZB=90o,ZC=30°,

Λ∠1R4C=600,

.?A。是/3C的角平分線，

..ZBAD=30°,

?,?tanZBAD=—,

AB

,,-L=3，

AB3

"AB=C,

,?AC=2AB=2y∕3,

故選：B.

4.B

解：連接加入Bl,

D

?.A8為。直徑，

：.?D90?,

?./為工5。內(nèi)心，

ZABI=NCBI,/CAD=/BAD,

?ZCAD=ZCBD,

..ZBAD=ZCBD,

..ZIBD=ZIBC+ZCBD=ZABI+ZBAD=ABlD,

.BD=ID,

OILAD,0/過點O,

..AD=2D/,

.AD=2BD,

AB=√AD2+BD2=√5fiD,

.,.sinNCA￡>=sin4AL>=^=」==@,

AB√55

故選：B.

5.A

解：如圖，設(shè)直線y=-Jix+3與JZ軸的交點為再取AE的中點。，連接OnAN,過B

作8〃_L4V于〃點.

對于y=-√Ir+3,令X=O,貝IJy=3,

.?,E(0,3).

令y=o,貝IJX=6,

.?,A(√3?θ).

.?.0A=√3,QE=3.

-.ZAOE=90°,

-AE=+OE2≈2√3,

.?AE的中點為D,

DO=DA=DE=-AE=>β,

2

..DO=DA=OA=y∕3,

:.DAO為等邊三角形，

.?.ZA(9D=ZODA=60°,

:.NoDE=I20。.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OM=ON,ZMON=60°=ZDOA,

..ZMON-ZDON=ZDOA-ADON,即ZMOD=NNOA,

「MODANOA(SAS),

.-.ZOAN=ZODE=?20o.

M為定點，NaW=I20。為定值，

，當(dāng)例在直線y=-百X+3上運(yùn)動時，點/V也在定直線AN上運(yùn)動，

..當(dāng)點Λ/與點〃重合時，BN最短.

?.點B與點力關(guān)于。軸對稱,

.?.β(-√3,θ),

.?.A5=2√3.

:ZBAH=ISOo-ZOAN=60°,

.βW=ΛB?sin60o=3,即BN的最小值為3.

故選A.

6.D

解：連接AB,如圖所示，

D

AClBC,

:.ZACB=90°.

√ZADC=3(f,

.?ZABC=ΛADC=30°.

在RtzλABC中，

ΛΓ

tanZABC=——,

BC

.BC=———.

tanZABC

:AC=4,

.?.BC=^--=4√3.

tan30°

故選：D.

7.C

,連接BG,

CELDF,

..GC是B的直徑，

:,BC=IBC=?,,

:四邊形ABCD是正方形，

..CD=BC=4,ZDCG=90°,

..NDCE=MZGDC=NG,GD=√CD2+GC2=4√5,

.小丁ED,CD

.,.SinZDCE=-------=SinG=--------,

CDGD'

FnCD2164√5

GD4√55

故選：C.

8.B

解：.NADC=30。，OC=I

,-.Z.COA=2ZCDA=60。,OA=I

?.A8為。的切線，

：.ZOBA=90°,

在RtOAB中，BA=tanZBOA×OA=√3,

故選：B.

9.A

2222

解：由題意可求出在RtZ?ABC中，BC=y∣AC-AB≈y∣(y∣5)-?=2.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知8C'=8C=2,

m//BC,

...NBAC'=180°-ZABC=90°,ZCBC=ZACB.

又AB=I,

ARI

SinZACB=-=-,

BC2'

.-.ZACB=30°,

ΛZCBC=30°.

故選A.

10.A

?.四邊形ABCD是矩形，AD=4,A8=2√5

.?,DC=AB=2√3,AD=BC=4,ZB=NDABZADC=90°,

為BC的中點，

..BE=2,

,AanABAE=-=-,

AB3

.?.ZBA￡=30o,ZFAD=60°,

.?AD為。的直徑，

.-.ZAFD=90°,

DF=AD-sinAFAD=2√3,ZADF=30°,

二。F=DC=2后C=60。,

二.ZVTQ是等邊三角形，

：.CF=DF=DC=2-^3；

故選A.

11.B

解：過點A作ΛE,BD,交BD于點E,

B

□

口口36米

CZIC=]

呂10米T呂I

z∕∕z∕∕∕∕∕∕zz∕z/

甲CD乙

在RtAfiE中，AE=3O米，XBAE=30°,

.?.βf=30×tan30o=10√3（米），

AC=EO=Bo-BE=（36-IO⑹（米）.

..甲樓高為（36-106）米.

故選B.

12.A

解：連接。C,過點A作AELy軸于點E,過點C作CF_LX軸于點尸,如圖所示：

由直線A8與反比例函數(shù)y=-'的對稱性可知A、B點關(guān)于。點對稱，

.-.AO=BO.

又AC=BC,

.?.COLAB.

ZAOE+ZEOC=90o,ΛEOC+ZCOF=90°,

.?.ZAOE=ZCOF,

又NAEo=90°,ZCFO=90°,

.?.ΔAOE<^ΔCOF,

.AEOEAO

'^CF~~OF~^OC

AEOE=?-l?=↑,CFoF=4,

1

.ΛE^QEOE

CF~±~OF

OF

差=2（負(fù)值舍去）,

UtL

"C4B的正切值為巖=器=2

故選：A.

解:.CD=a,NCDB=35。,ABVBD,

.?,BC=CDsin35o=?sin35o,

一.點C是AB的中點，

..AB=2BC=2α?sin35o.

故選：C.

14.C

解：如圖，過A作4），BP于。，

由題意知，ZAP￡)=60。，？。90?,ZACB=I80。一ZAPB=60。，AC=BC,

:.ZPAD=30o,ABC是等邊三角形，AB=AC,

如圖，連接,過。作OE_LAB于E,

ΛΓ-?ADCA4E?/?

4E=_AB04=--------=—AλBd,

2cos3003

設(shè)PD=X,貝IJAP=2x,BP=Ax,BD=5x,AD=———=也X,

tanZPAD

在Rt.48。中，由勾股定理得，AB=y∣AD2+BD2=2√7x,

??36

?S四邊形Apse=SABP+SABc=eXBPXAD÷—×AB×AC×sin60o=?-x∣3,

s.-×4x×?∕3x-{--×2?∕7x×2?∕lx×-=-y∕3,

2227

解得，石=邁,χ2=—巫（不合題意，舍去）

7-7

..AB=4.

.百八*4G

..QA=—Λβ=-----,

33

二.半徑為逑，

故選：C.

15.A

解：如圖所示，取AP的中點尸，連接￡尸,作G”,AE＞于H,作ETLGH于T,

iS.AP=m,

四邊形ABCQ是矩形，

/.ZD=90o,AB=CD=3,

CDCD√3

tanZDAC=

AD-辰D-3

.?.NfiAC=30。，

PG.LAC,

ZAPG=900-ZDAC=60°,

:.PH=PGcosZAPG=-mcos60o=-m,

24

1n

GH=PG?sinZAPG=-m?sin60o=—m,

24

NPFE=NBAP=90°,ZEPF=NBPA,

：..EPFSLBPA,

PFEFPEI

'~AP~~AB~~BP~2,

131

EF=-AB=-,PF=-m,

222

.?.GT=GH-HT=GH-EF=-m--,

42

ET=FH=PF-PH=-m--m=-m,

244

222222

在RLEGT中，F(xiàn)G=GT+ET=(^/??-1)+(1m)=?(>M-?)+?,

當(dāng)m=也時,EG?取得最小值多,

216

:EG>0,

3

.〔EG的最小值為：.

4

故選：A.

16.30-10√3

解：設(shè)旗桿底部為點C,頂部為點。,延長8交直線AB于點E,依題意則小，AB,

貝IJCE=30m,AB=20m,ZEAD=30°,NEBD=60。,

設(shè)DE=ΛTΠ,

在Rtz?83E中，tan600==2-=G

解得BE=3X

3

貝IJAE=AB+BE=(20+^x)加，

*an°_OE_%√3

.,tan30---------7=——-—

在RtZ?AOE中，AEMK3,

20+——X

3

解得X=IO石rn,

CD=CE-DE=30-Wyfi.

故答案為：30-10√3.

17.2√6

解：連接EB,EC,過點F作"/_L3E于H,

:兩個菱形形狀大小相同，即兩個菱形全等，

,EB=EC,NBEF=NCEG,

,EFLEG,即:ZFEG=90o=ZFEC+ZCEG,

ZFEC+ZBEF=90o=ZBEC,

.?.BEC是等腰直角三角形，貝,

?.?BF=EF=2cm,/BFE='20。,FH±BE

：.NFBH=NFEH=30。,BH=EH=LBE

2

.?.β∕7=BF-cos30o=√3cm,

BE=2Λ∕3C?！?/p>

又?.?四邊形ABCQ是矩形，

AD=BC=?plBE=2?∕6cm,

故答案為：26.

54

d1θ8.—

5

解：如圖，過點?！蹲鱋EJ_A。于點

MB=IO,AD=6,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB'=10,

在Rt中，由勾股定理可得DQ=JlO?-6?=8,

又?：/￡>'A8'=90°,

.?,ZD'AD=90°-NDAB'=NDB'A,

.?,cosZD'AD=cosZDB'A=-=—=-,

AB'105

AE4

''~AD'~~5

,Y

18

在Rt△。/E中由勾股定理，得DEADAE

'=72-2T

_1八七_(dá)1,18_54

c=2A4nDDE=2X(>X~5=~5?

故答案為：］54.

19.8

解：如圖所示，連接AC,交80于點。，過點/作于點/,

?「四邊形ABCQ是菱形，

..AClBD,OD=OB,

:.FM//OC,

DE工BD

,DE//OC1

OD=OB,

BCBO

W=而=I1

即BC=CE,

,OC=-DE,

2

.?.AC=DE,

又AC〃DE

??四邊形AC%）是平行四邊形，

.DF=FC,

MF//OC,

DMDF

~0M~'FC'

,OM=MD,

MF=-OC,

2

AB//CD

:./CDB=ZABD

√DF=√13,tanZABD=-

3

.?.tan∕MOb=2="1

3DM

設(shè)MF'=2α,貝IJZW=3α,

22

.?.DF=λ∕(2rz)÷(3t/)=y∕?3a

：.a=\

.FM=2i

,?DE=2OC=4MF=S,

故答案為：8.

2°?f

解：延長Ao交。于尸，設(shè)BB'、CC'交AF于N、E,連接OC,OB,如圖，

B'--------

--------C

:BB'：CC'=4：3,

設(shè)B8'=4%CC'=3x,

由翻折知A尸是88'、CC'的垂直平分線，

,?BN=2x,CE=-,

2

AB=BC,

?'.AB=BC,

NAOB=/BOC,

在一BON和一CoM中，

NBoN=ZCOM

<NCMo=NBN0=96,

OB=OC

.BONACOM(AAS),

..CM=BN=2x,

.AC=2CM=4x,

:ZAMO=ZAEC,ZOAM=ZCAE,

..AMO^AEC,

OMOA

~CE~^AC

..OM=1r,

O

在RjAOM中，由勾股定理得，（2x）?+

解得r=電叵

55

.*2√55

..BM=------X.

11

2√55x

.?.tan∕8AC=BMZnZ=叵.

AM2x11

故答案為：3I.

11

21.—

9

解：連接8。并延長，交AC于點。,過點。作OEI_BC于點E,

A

?.?半徑為1的。與邊長為36的等邊三角形ABC的兩邊AB,3C都相切，

ΛZABC=60o,AC=BC=3√3,OBZABC,OE=],

.?,ZOBC=30o,BDIAC,

RQ1OFy

..BO=2OE=2,BD=BC?cosZDBC=3y∕3×-=-,CD=-AC=-

2222

..OD=BD-OB=-,

2

5

Kn/。CA=翁式二竽

2

故答案為：地.

9

22.冗

解：連接0。，

√ZC=90o,ΛB=4√3,βC=2√3,

sin'C=生=攣」

AB4√32

/.ZBAC=30°,

.?.ZCOD=60o,cosZBAC=-=—,

AB2

.-.AC=6,

..OC=3,

60°X萬χ3

.1C。的長為-----------------=71

180°

故答案為：萬.

B

23.105

解：過點。作E>F_LAB于F,過C作CE_L￡>F于￡,

則NCEF=NCED=ZEFB=ZB=90°,

四邊形為BCEF矩形，

..砂=BC=40海里,CE=BF,

由題意，ZCDE=ZDCE=45°,

.DE=CE=BF,

在Rt4D尸中，AF=AB-BF=?QQ-BF,DF=EF+DE=4Q+BF,

AP1QO_RF

由tan320=—=---≈0.6得BF=47.5海里,

DF40+BF'

.?,AF=100-47.5=52.5(海里)，

-AD=-af-≈-=105(海里)

Sin32°0,5S壬八

故答案為：105.

D

20￡

a-b

24.

a+b

解：原式=回"Xa-b

a(α+?)(β-?)a+b

:a=y∣3,b=6×——=3Λ∕3.

2

百T√3-3√3-261

；原式=7-----7=L=一二?

√3+3√34√32

25.約400米

解：作C"LAB于點“，則NA”C=90。,

在一ABC中，ZACB=37°+53°=90°,

.?.ZA+ZB=90°,

√ZACW+ZA=90°,

^ABC=ZACH=37°,

ΔΓ,

VsinZABC=-,

AB

Ar?40

.?.A8=上一≈竿=400（米）,

sin3700.60'f

答：公路橋梁/18的長約為400米.

26.亞

5

解：如圖，作A∕∕J?E4交8。的延長線于“,連接C”,

,ZEAH=ZBAC=fXr,

.?.Z1=Z2,

AFlEF,ZEAF=45o,

:.ZAEH=45°,

.?.△A￡W是等腰直角三角形，

:.AE=AH,

在ABE和Ae”中，

AB=AC

LZ1=Z2

AE=AH

..AftE-AC”(SAS),、

.BE=CH,

如圖，延長CE交A3于7,

3

.?.tanZ.ECD=tanZTCA=—,AC=AB=3y/i,

,-,AT=—,CT=^-,tanZCTA=,

443

.?,βτ=Aβ-AΓ=3√2--=—,

44

如圖，作ECAB于L,

設(shè)包=4a,貝∣j7L=34,ET=5α,BL=8T+7X=逑+34,AL=AT-TL=^■-3a,

44

CE=CT-ET=^!^-5a,

4

在RtBEL中,由勾股定理得8后2=8必+后乙2=(乎+3。)2+(44,

在RtVA皮中，由勾股定理得4后2=4/?+￡/?=(呼_3〃)2+(44)2,

.?,C∕∕2=5E2=(^+3α)2+(4α)2,AH2=AE2=(^-3a)2+(4a)2,

.?,E∕∕2=2[(^-3α)2+(4a)2],

4

√ZA77C=ZAEB=180o-z×AEF=135°,

.?.ΔEHC=ZAHC-ZAHF=135o-45o=90o,

在Rtz?CE”中，由勾股定理得CE2=CH2+E獷，即

(?^?-50f=(哼+3α)2+(4a)2+2[(呼-3a)2+(4a)」，

解得:"=吟＞

.M3后

..θ?=---,

故答案為：巫.

5

27.(1)36cm

(2)4cm

(1)解：過點。作DFLBE,

由題意可知：Afi=60,點。是AB的中點，DE=30,ZABC=53°,

..B。」AB=30

2

:,BD=DE=30,

..BF=BDcosZABC=30×-=18,

..BE=23尸=36(Cm).

故答案是：36cm.

圖2

(2)(2)過點。作。MLBC,過點E作ENLBC,

由題意知四邊形。Ew是矩形，

：.MN=DE=3。,