2023-2024學(xué)年黃岡中學(xué)數(shù)學(xué)高二年級上冊期末檢測模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年黃岡中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末檢測模擬試題

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

1.已知雙曲線=-斗=1（。>0,6>0）的兩個頂點分別為A、B,點尸為雙曲線上除A、5外任意一點，且點尸與點4、

ab

5連線的斜率為左，左2,若《?左2=3,則雙曲線的離心率為（）

A.夜B.后

C.2D.3

2.已知直線6丁+6=0與圓好+；/=12交于兩點，過A,3分別作/的垂線與x軸交于C,D兩點，貝!]

31=

A.2B.3

7

C.-D.4

2

PA

3.拋物線V=4x的焦點為尸，點P（尤,y）為該拋物線上的動點，點A是拋物線的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點，則行的最

大值是（）

A.2B.0

4.如圖所示，用3種不同的顏色涂入圖中的矩形A,B,C中，要求相鄰的矩形不能使用同一種顏色，則不同的涂法

有（）

ABC

A.3種B.6種

C.12種D.27種

5.我國古代銅錢蘊(yùn)含了“外圓內(nèi)方”“天地合一”的思想.現(xiàn)有一銅錢如圖，其中圓的半徑為r,正方形的邊長為

a（O<a<r）,若在圓內(nèi)隨即取點，取自陰影部分的概率是p,則圓周率〃的值為（）

a2a2

B,F^F

a

,(1-P)rD，(l+p)r

6.如圖，在四面體Q43c中，Q4=。，OB=b，OC=c>CQ=2QB,P為線段。4的中點，則PQ等于（）

1-1,2

A—。+—/?+—c

233233

D.」a+L+2

233233

7.已知函數(shù)〃x）=x（x-c）2在x=2處有極小值，貝！|c的值為（）

A.2B.4

C.6D.2或6

8.橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，經(jīng)過點（3,0）,且長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

2A222

A尤4y.

A.—+^—=1B.匕+±=1

99369

2A2222J2242

八元4y1―yx1nx4y1Ty4x1

C.—+^—=1或匚+—=1D.——+-^—=1或二+——=1

993699999

9.已知A,5c三個觀測點，A在8的正北方向，相距2040m,。在3的正東方向，相距1360m.在某次爆炸點定位

測試中，A,3兩個觀測點同時聽到爆炸聲，。觀測點晚2s聽到，已知聲速為340m/s,則爆炸點與。觀測點的距離

是（）

A.680mB.1020m

C.1360mD.1700m

10.如圖，耳和B分別是雙曲線￡=1（。〉0力〉0）的兩個焦點，A和3是以。為圓心，以|。耳|為半徑的圓

與該雙曲線左支的兩個交點，且A8是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）

A.百B.6

C色D.1+V3

2

11.點”是正方體ABCD-A4G2的底面ABC。內(nèi)（包括邊界）的動點.給出下列三個結(jié)論:

①滿足〃臺G的點”有且只有1個；

②滿足DXM±B,C的點M有且只有1個；

③滿足DXM//平面的點M的軌跡是線段.

則上述結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A.OB.1

C.2D.3

12.《張邱建算經(jīng)》記載：今有女子不善織布，逐日織布同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問第

11日到第20日這10日共織布（）

A.30尺B.40尺

C.6尺D.60尺

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.定義離心率是避二1的橢圓為“黃金橢圓”.已知橢圓E-.—+^=1（10〉機(jī)〉0）是“黃金橢圓”，則機(jī)=.

210m

22

若“黃金橢圓”C:=+A=1（。〉6〉0）兩個焦點分別為片（c,0）、鳥（G0）（?！?）,尸為橢圓C上的異于頂點的任意

ab

IPMI

一點，點M是耳心的內(nèi)心，連接并延長交耳心于點N,則?MN?

22

14.過雙曲線C：二y=1（。>03>0）的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交。于點P.若點P的橫坐標(biāo)為

ab2

2a,則C的離心率為-.

15.已知e為拋物線尸=6x的焦點，尸為拋物線上的任意一點,點3（4,3）,貝！］忸國+歸川的最小值為.

16.曲線“xNYco&x在尤=1處的切線斜率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知三角形ABC內(nèi)角A,3,C所對的邊分別為a,dc,5asinC=3c且C為鈍角.

（1）求cosA；

（2）若。=30，b=5,求三角形ABC的面積.

18.（12分）如圖,在四棱錐「—4^8中，底面ABC。，AB//DC,DA±AB,AB^AP=2,DA=DC=1,

E為PC上一點，且PE=2PC.請用空間向量知識解答下列問題:

3

（1）求證：AE_L平面PBC；

（2）求平面AEB與平面AE。夾角的大小.

V221

19.（12分）設(shè)橢圓C：3+=v=1（a>b>。）的離心率為e=^,橢圓。上一點尸到左右兩個焦點耳、工的距

a2b22

離之和是4.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過工的直線與橢圓。交于A、B兩點,且兩點與左右頂點不重合，若可加=44+63,求四邊形4

面積的最大值.

20.（12分）如圖，點。是曲線爐+￡=1（＞20）上的動點（點。在y軸左側(cè)），以點。為頂點作等腰梯形ABC。,

使點C在此曲線上，點A3在x軸上.設(shè)CD=2x,等腰梯ABC。的面積為S（x）.

（1）寫出函數(shù)S（x）的解析式，并求出函數(shù)的定義域；

（2）當(dāng)》為何值時，等腰梯形ABC。的面積最大？求出最大面積.

21.（12分）已知數(shù)列｛4｝中，％=1,且a”+i=2%+2"5eN*）

（1）求證：數(shù)列（三,是等差數(shù)列，并求出

（2）數(shù)列｛%｝前7項和為S“,求S“

22.（10分）已知拋物線V=2px（p〉0）的準(zhǔn)線方程是x=—g.

（I）求拋物線方程；

（II）設(shè)直線y=左（》-2）（左/0）與拋物線相交于河，N兩點，。為坐標(biāo)原點，證明：OMLON.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

222

【解析】根據(jù)題意設(shè)4（—。⑼1⑺⑼設(shè)/龍/），根據(jù)題意得到f^=3,二=1,進(jìn)而求得離心率

x—aa3ci

222

【詳解】根據(jù)題意得到A（—a,O）,5（a,O）設(shè)因為秘？=3,所以—^=3,二一二=1,

x—aa3ci

所以62=3/，貝！Ie=Jl+[=2

Va

故選：c.

2、D

【解析】由題意，圓心到直線的距離=3,

d=-^=\AB\=2V12-9=26,?直線/：X—百y+6=0.?.直線/的

V1+3

傾斜角為30。，1?過A,3分別作/的垂線與x軸交于C,。兩點，./⑦k苧=,，故選口.

3,B

【解析】設(shè)直線的傾斜角為凡設(shè)PP垂直于準(zhǔn)線于P，由拋物線的性質(zhì)可得怛尸|=歸耳，則

PA\PA\1\PA\

萬三=扁=一當(dāng)直線物與拋物線相切時，cos。最小，舄取得最大值，設(shè)出直線方程得到直線和拋物線

PF\PP|cos6*\PF\

相切時的點尸的坐標(biāo)，然后進(jìn)行計算得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)直線的傾斜角為。，設(shè)FP垂直于準(zhǔn)線于P，

由拋物線的性質(zhì)可得|PP'|=|P司，

|PA|1PAi1

所以則說后=而亓=---->

\PF\\PPIcos3

當(dāng)cos。最小時，則震值最大,

\PF\

所以當(dāng)直線M與拋物線相切時，，最大，即cos。最小,

由題意可得4(—1,。)，

設(shè)切線出的方程為：x^my-1,

x=my-lc

2，整理可得V—4根y+4=0,

y=4x

A=16m2—16=0,可得機(jī)=±1,

將加=±1代入J-4冽>+4=o,可得y=±2,所以］=1,

即產(chǎn)的橫坐標(biāo)為1,即尸的坐標(biāo)(1,±2),

所以|PH=V2172r=20，|PP|=1—(—1)=2,

所以然的最大值為：述=亞，

回|2

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì).解題的關(guān)鍵是利用了拋物線的定義.一般和拋物線有關(guān)的小

題，很多時可以應(yīng)用結(jié)論來處理的；平時練習(xí)時應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用.尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一

般都和定義有關(guān)，實現(xiàn)點點距和點線距的轉(zhuǎn)化

4、C

【解析】根據(jù)給定信息，按用色多少分成兩類，再分類計算作答.

【詳解】計算不同的涂色方法數(shù)有兩類辦法：

用3種顏色，每個矩形涂一種顏色，有A；種方法，用2色，矩形A,C涂同色，有A；種方法,

由分類加法計數(shù)原理得A；+A；=12(種),

所以不同的涂法有12種.

故選：C

5、B

【解析】根據(jù)圓和正方形的面積公式結(jié)合幾何概型概率公式求解即可.

2_2

【詳解】由夕=萬廠可得.=

nr(l-p).

故選：B

6、D

【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解

【詳解】由已知

21212112I

PQ=OC+CQ-OP=c+-CB--OA=c+-(OB-OC)--a=c+-(b-c)--a=--a+-b+-c9

故選：D

7、A

【解析】根據(jù)/'(2)=0求出c,進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)極小值的定義判斷答案.

【詳解】由題意，f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(%-c)(3%-c),貝！J/'(2)=(2_c)(6_c)=0,所以c=2或c=6.

若c=2,則于(x)=(x_2)(3x_2),xe1—8,|1時，rW>0,單調(diào)遞增，時，/(%)<0,/(%)

單調(diào)遞減，時，/'(X)>0,〃尤)單調(diào)遞增.函數(shù)“X)在x=2處有極小值，滿足題意；

若c=6,則/(x)=3(x-2)220,函數(shù)/(x)R上單調(diào)遞增，不合題意.

綜上：c=2.

故選：A.

8、C

【解析】分情況討論焦點所在位置及橢圓方程.

o2九2

【詳解】當(dāng)橢圓的焦點在X軸上時，由題意過點(3,0),故4=3,b=-,橢圓方程為三+三=1,

22

當(dāng)橢圓焦點在y軸上時，b=3,a=6,橢圓方程為工+±=1,

369

故選：C.

9、D

【解析】根據(jù)題意作出示意圖，然后結(jié)合余弦定理解三角形即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)爆炸點為。，由于兩個觀測點同時聽到爆炸聲，則點。位于43的垂直平分線上，又。在5的正東

方向且。觀測點晚2s聽到，則點。位于43的左側(cè)，AB=2040m,5C=1360m,OC—QB=340x2=680m,

設(shè)OB=xm,

BC

222

n?「亦X+1360-(X+680)V%-1020

I2)2x4360x

解得x=1020,則爆炸點與C觀測點的距離為1020+680=1700m,

故選：D.

10>D

【解析】解：，設(shè)FIF2=2C,

???△F2AB是等邊三角形，

.,.ZAFIF2==30°,

AFi=c,AFi=^C,

，a=(QC-C)+2,e=2c+(6c-c)=石+1,

故選D

11、C

【解析】對于①，根據(jù)線線平行的性質(zhì)可知點〃即為A點，因此可判斷①正確；

對于②，根據(jù)線面垂直的判定可知4CL平面QAB,,由此可判定”的位置，進(jìn)而判定②的正誤;

對于③，根據(jù)面面平行可判定平面ABC平面2AC,因此可判斷此時“一定落在AC上，由此可判斷③的正誤.

【詳解】如圖:

對于①，在正方體—中，DXABCX,

若聞異于A，則過。點至少有兩條直線和Bq平行，這是不可能的,

因此底面ABC。內(nèi)(包括邊界)滿足2M〃臺G的點”有且只有1個，即為A點,

故①正確；

對于②，正方體ABCD—A4GA中，平面3CG4,用Cu平面3CC4,

所以A3,與C,

又B[CAXD,\D±ADX,所以用C，A2，

而ABAR=A,A5,AD]u平面2A5,故耳CL平面QAB,

因此和B}C垂直的直線OM]一定落在平面2AB內(nèi)，

由M是平面ABC。上的動點可知，”一定落在AB上，這樣的點有無數(shù)多個，故②錯誤;

對于③，AC,\AC,ACu平面，AC，則AG"平面，AC,

同理BC]//平面AAC,而4G?BQC],

所以平面平面AC,而RM〃平面

所以D}M一定落在平面D.AC上，

由是"平面ABC。上的動點可知，此時“一定落在AC上，

即點”的軌跡是線段AC,故③正確，

故選：C.

12>A

【解析】由題意可知，每日的織布數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式得解.

【詳解】由題女子織布數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)第”日織布為4,有%=5,%0=1,所以

au+an++a20=]0x（旬720）=5（%+%（））=30，

故選:A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、①.5石-5②.心口

【解析】第一空，直接套入“黃金橢圓”新定義即可，第二空，從內(nèi)切圓入手，找到等量關(guān)系

1I?1II1??〃+CSPFF尸N

51P耳卜+5歸閭r+5寓引進(jìn)而得到丁=4：=宙，求解即可

【詳解】由題，e=Jl_4=J，=叵2所以機(jī)=5百一5

V?V102

X

如圖，連接"片,叫，設(shè)內(nèi)切圓半徑為廠，

則卜閭/+g區(qū)用"SgFj即，2a+2c)r=Sp"j

??耳閨閭r=SMFiF2=—?2c-r,

.〃+c_s也尸2_|PN|

??,丁二1^7二所

-\MN\=^\PN\

.”L

.\PM\175+1

\MN\CCy/5-12

a+c2

故答案為：575-5;縣口

2

【點睛】本題從新定義出發(fā)，第一空直接套用定義可得答案，第二空升華，需要在理解新定義的基礎(chǔ)上，借助內(nèi)切圓

a+cSPF、F,|PN|

的相關(guān)公式求解，層層遞進(jìn)，是一道好題.關(guān)鍵點在于找到“——=丁4=—"這一關(guān)系

cS\MN\

14、2+A/3

2

Y2v

【解析】雙曲線「-當(dāng)=1的右焦點為9,0).不妨設(shè)所作直線與雙曲線的漸近線y=2%平行，其方程為

aba

i222222

y=g(x—C),代入與—1=1求得點P的橫坐標(biāo)為x=t^,由巴士1=2。，得(￡)2—4￡+1=0,解之得

aab~2c2caa

￡=2+6,-=2-V3(舍去，因為離心率￡>1),故雙曲線的離心率為2+6.

aaa

考點：1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.直線方程.

11

15、

~2

【解析】由拋物線的幾何性質(zhì)知：|尸盟=|PN|,由圖知忸山為忸圍+忸目的最小值，求忸耳長度即可.

【詳解】

33

點/(],0)是拋物線V=6x的焦點，其準(zhǔn)線方程為作PNLI于N,作明人/于A,

311

+|PF|=|PB|+\PN\>\BA\=4-(--)=萬，當(dāng)且僅當(dāng)P為BA與拋物線的交點時取得等號,

+盟的最小值為*

故答案為：?

兀?12

16、—##——"2

44

【解析】首先求得/(%)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率般

【詳解】因為函數(shù)/(X)ufco&x的導(dǎo)數(shù)為/'(X)=2xcosx—%2sinx,

TT71(?丫.兀/

所以可得在X=1■處的切線斜率k=f----sin—=-----

2^2)24

故答案為：-J

4

三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

4

17、(1)-

5

⑵—

2

【解析】(1)由正弦定理邊化角，可求得角A的正弦，由同角關(guān)系結(jié)合條件可得答案.

4

⑵由（1）cosA=-,由余弦定理，求出邊。的長，進(jìn)一步求得面積

【小問1詳解】

因為5asinC=3c,由正弦定理得5sinAsinC=3sinC

3

因為sinCwO,所以sinA=（.

因為角C為鈍角，所以角A為銳角，所以cosA=Jl—sin2A=1

小問2詳解】

4

由（l）cosA=不，由余弦定理〃2=/+。2-2bccosAa—3y/2,b=5,

#18=25+C2-2X5CX1,所以C?—8C+7=0，

解得c=7或。=1,。=1<4不合題意舍去，「.0=7

11321

故一ABC的面積為一bcsinA=—x5x7x—=—

2252

18、（1）證明見解析

⑵-

3

【解析】（1）以A為原點，AB.AD,AP分別為左軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，證明出3CLAE,BP±AE,

結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

（2）利用空間向量法可求得平面A￡B與平面AEO夾角的大小.

【小問1詳解】

證明：上4,底面ABC。，AB±AD,故以A為原點，AB.AD,項分別為了軸、V軸、z軸建立如圖所示的

則4(0,0,0)、P(0,0,2)、C(1,1,O),5(2,0,0)、D(O,1,O),

(222、uuu

所以，AE=\-,-,-\,BC=(-1,1,0),BP=(-2,0,2),

則3CAE=0，BPAE=O,即3CLAE，BP±AE,

又BCBP=B,所以，AE，平面PBC.

【小問2詳解】

(222、uuu

解：知AE=H，g,AB=(2,0,0),">=(0,1,0),

設(shè)平面A￡B的法向量為"=(x,y,z),則AB.“=0，AEn=0>

2x=。.

即(2x2y2z_>令y=L可得7=(0」,—1),

--------1----------1--------=0

I333

設(shè)平面AE。的法向量為"z=(a,0,c),由A。?加=0，AEm=0>

必=0

即,2。+2)+2c_0，令。=1,可得加=(1,0,-1),

_T+T+T-

/.、\mA11

cos(m,n)—■；—i~7—7=-T=—產(chǎn)——,

'|zn|-|n|2

JI

因此，平面AEB與平面AE。夾角的大小為一.

3

22

19、(1)=1；(2)6.

43

【解析】(1)本小題根據(jù)題意先求。，b,c,再求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)本小題先設(shè)過工的直線的方程，再根據(jù)題意表示出四邊形的面積，最后求最值即可.

【詳解】解：(1)???橢圓。上一點尸到左右兩個焦點片、尸2的距離之和是4,

???2〃=4即〃=2,

??

?e=—c=—l?.?c=l1

a29f

又■:a2=b2+c29b2=3?

22

...橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為L+2L=1；

43

(2)設(shè)點A、3的坐標(biāo)為5(%，%)，

因為直線過點B，所以可設(shè)直線A3方程為％=沖+1,

x=my+1

聯(lián)立方程f2,消去%可得：3(mj+l)2+4y2=12,

—+—=1

[43

化簡整理得(3m2+4)/+6my-9=0,

22

其中A=36/n+36(3^2+4)=144(m+1)>0,

-6m-9

所以另+%=——i---，X,%=——5

3m2+43/n2+4

因為耳〃=片4+片3,所以四邊形AM5片是平行四邊形,

設(shè)平面四邊形AM3耳的面積為S,

1.I27

則S=2sAK=2x^x閨巴卜卜]一％|=2^/(%+%)?-4yly2=24x~-，

25m+4

設(shè)1=J*+1，則"Z2=/—1(?>!)，

S=24x^—=24x^-

所以3/+1Q-1，

t

因為所以3/+44,Se(O,6],

所以四邊形AM3耳面積的最大值為6.

【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，相交弦等問題，是偏難題.

20、(1)S(X)=2(X+1)V1-X2,(0<X<1);

⑵當(dāng)x時S(x)取到最大值，s(x)max=g=等

【解析】⑴設(shè)點。(―羽丁)，則根據(jù)題意得|/叫=2,/=4(l-x2),故S(x)=2(x+l)JI=Z(O<x<l)；

(2)4/(X)=S2(X)=^X4-8X3+8X+4,0<X<1,研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得〃龍)的最值，進(jìn)而得S(x)的最

大值.

【詳解】解：(1)根據(jù)題