中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：走出錯解等腰三角形的誤區(qū)

走出錯解等腰三角形的誤區(qū)等腰三角形是特殊的三角形，它有許多特有的性質(zhì)，在求解有關(guān)等腰三角形的問題時(shí)，一定要仔細(xì)推敲，縝密思考，才能完滿地將問題解決好．本文就解決等腰三角形問題提出需要注意的兩大誤區(qū)，望對同學(xué)們有所幫助．一、走出求邊長的誤區(qū)例1已知等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為()．(A)12或9(B)12(C)9(D)7錯解因?yàn)轭}目未指明誰為等腰三角形的底和腰，所以要分別考慮．①當(dāng)以邊長2為底時(shí)，則邊長5做腰，其周長為12；②當(dāng)以邊長5為底時(shí)，則邊長2做腰，此時(shí)其周長為9．所以答案為(A)．錯因分析以上的解題思路很清晰，進(jìn)行了正確的分類思考，但問題出在沒有考慮到構(gòu)成三角形的三邊長是有條件的，在②中以5為底、2做腰時(shí)，以5,2,2為三邊長不能構(gòu)成三角形．正確答案：選B．例2已知等腰△ABC的周長是18cm，BC＝8cm，若△ABC≌△A'B'C'，則△A'B'C'中一定有一條邊等于()．(A)7cm(B)2cm或7cm(C)5cm(D)2cm或5cm．錯解∵△ABC≌△A'B'C'．∴BC＝B'C'＝8cm，△ABC的周長與△A'B'C'的周長也相等，∴腰長＝＝5cm，所以△A'B'C'中一定有一邊長是5cm，即選C．錯因分析上面的解答僅把對應(yīng)邊BC＝B'C'＝8cm當(dāng)成了全等等腰三角形的底邊，而題目并沒有指明哪條邊是底邊，所以已知的對應(yīng)邊BC＝B'C'＝8cm既可以作底邊，也可以作腰，因此，需要進(jìn)行分類討論，才能最后得到結(jié)論．正確解答∵△ABC≌△A'B'C'．∴BC＝B'C'＝8cm，△ABC的周長與△A'B'C'的周長也相等，①若B'C'與BC是兩全等等腰三角形的底邊，則△A'B'C'的腰長為5cm;②若B'C'與BC是兩全等等腰三角形的腰，即腰長是8cm時(shí)，此時(shí)底邊長為2cm，那么△A'B'C'中一定有一邊的長等于5cm或2cm．故應(yīng)選D．點(diǎn)評因?yàn)榈妊切稳龡l邊中至少有兩條邊相等，所以在解等腰三角形的邊長問題時(shí)，關(guān)鍵在分清誰是底，誰是腰，如果題目未指明，那就意味著要分類討論．在求出腰或底邊長后，不要輕易作答，還要考慮求出的邊長與已知邊長形成的三邊能否構(gòu)成三角形（即是否滿足三角形三邊關(guān)系的基本條件）．二、走出求角度的誤區(qū)例3下面是數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)學(xué)習(xí)片段，閱讀后，請回答下列問題．學(xué)習(xí)等腰三角形有關(guān)內(nèi)容后，張老師請同學(xué)們交流討論這樣一個(gè)問題：“已知等腰△ABC的角A等于30°請你求出其余兩角”．同學(xué)們經(jīng)片刻的思考與交流后，李明同學(xué)舉手講：“其余兩角是30°和120°；王華同學(xué)說：”其余兩角是75°和75°；還有一些同學(xué)也提出了不同的看法……(1)假如你也在課堂中，你的意見如何？為什么？(2)通過上面數(shù)學(xué)問題的討論，你有什么感受？錯解(1)①我同意李明同學(xué)的計(jì)算結(jié)果．∵角A等于30°且是底角時(shí)，那么還有一個(gè)底角是30°，則頂角為120°．∴其余兩角是30°和120°．②我贊同王華同學(xué)的計(jì)算結(jié)果．因?yàn)榻茿等于30°且是等腰三角形的頂角時(shí)，那么另外兩個(gè)底角都是＝75°，所以其余兩角是75°和75°．(2)略．錯因分析以上解答出錯的原因是解題者給題目強(qiáng)加了限定條件，因?yàn)轭}目只給了等腰三角形ABC的角A等于30°，而并未說角A一定是底角或頂角，因此，解答時(shí)既要考慮是底角來計(jì)算又要考慮是頂角來計(jì)算，這樣的結(jié)論才完滿．正確解答(1)把李明與王華兩同學(xué)的答案合起來就是題目的完滿解答，即其余兩個(gè)角是30°和120°或75°和75°．(2)略．例4已知等腰三角形的腰上的高等于腰長的一半，則頂角等于______度．錯解如圖，在等腰△ABC中，腰AB上的高為CD，即CD⊥AB．由題意知CD＝AB＝AC．在直角三角形ADC中，由CD＝AC得頂角A等于30°錯因分析造成漏解的主要原因是同學(xué)們會受畫圖思維定勢的影響，一旦需要同學(xué)們畫三角形時(shí)，首當(dāng)其沖畫出的是銳角三角形，實(shí)際上，有的題目它還隱含了鈍角三角形．正確答案①當(dāng)已知等腰三角形為銳角三角形ABC時(shí)，如圖1所示，CD⊥AB，由題意知CD＝AC，得頂角為30°；②當(dāng)已知等腰三角形為鈍角三角形ABC時(shí)，如圖2所示，腰上的高CD⊥腰BA，垂足是D，此時(shí)由題意CD＝AC＝AB．在直角三角形ADC中，由CD＝AC得∠DAC＝30°，從而得到等腰三角形的頂角∠BAC＝150°．所以結(jié)論是30°或150°．點(diǎn)評等腰三角形的三個(gè)角中至少有兩個(gè)角相等．因此，在解決求等腰三角形的角的問題時(shí)，也要象求邊長一樣，先分清已知的角是底角還是頂角，若題目沒有指明，則可能隱