第六章二次型的正定性

第六章二次型的正定性第1頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月定義5設(shè)二次型的任意一個標(biāo)準(zhǔn)形為則其中正項項數(shù)稱為f的正慣性指數(shù)，負(fù)項項數(shù)稱為f的負(fù)慣性指數(shù)，正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)的和r稱為f的慣性指數(shù)．第2頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，二次型的正慣性指數(shù)等于3;的正慣性指數(shù)等于3，負(fù)慣性指數(shù)等于1．因此，二次型的慣性定理可以表述為二次型的正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)及慣性指數(shù)在可逆線性變換下都不變．

在二次型中，比較常用的是二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的n個系數(shù)全為正或全為負(fù)的情形．第3頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月定義6

設(shè)二次型，如果對任何非零向量X，都有（1），則稱f為正定二次型，且稱矩陣A為正定矩陣；（2），則稱f為負(fù)定二次型，且稱矩陣A為負(fù)定矩陣；既不是正定二次型也不是負(fù)定二次型的二次型稱為不定二次型

二次型的正定、負(fù)定或不定統(tǒng)稱為二次型的正定性．例如二次型，僅當(dāng)時，f=0，除此之外，無論取何值，總有因此，f是正定二次型．第4頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月定理8

（1）二次型為正定的充分必要條件是：它的標(biāo)準(zhǔn)形的n個系數(shù)全為正；（2）二次型為負(fù)定的充分必要條件是：它的標(biāo)準(zhǔn)形的n個系數(shù)全為負(fù)；推論（1）n階實對稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是：A的n個特征值全為正．（2）n階實對稱矩陣A為負(fù)定矩陣的充分必要條件是：A的n個特征值全為負(fù)．第5頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月由以上結(jié)論可知，要判斷二次型的正定性，需將其化為標(biāo)準(zhǔn)形或求出對稱矩陣A的全部特征值．下面將介紹一個利用矩陣的順序主子式判斷矩陣正定性的方法：第6頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月定義7

n階方陣的左上角r階方陣的行列式稱為A的r階順序主子式．第7頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月定理9（1）n階實對稱矩陣為正定矩陣的充分必要條件是：A的各階順序主子式都為正，即（2）n階實對稱矩陣為負(fù)定矩陣的充分必要條件是：A的奇數(shù)階順序主子式都為負(fù)，偶數(shù)階順序主子式都為正．即第8頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月例27判別二次型的正定性．解利用配方法將f化為標(biāo)準(zhǔn)形．第9頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月令則由于二次型f的標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)有正有負(fù)，故f不是正定二次型，也不是負(fù)定二次型即f是不定二次型．第10頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月例28

判別二次型的正定性.解

f的矩陣為由于A的各階主子式故矩陣A的各階順序主子式都為正，從而二次型f是正定二次型．第11頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月例29判別二次型的正定性．解

f的矩陣為由A的特征多項式求得A的特征值為因為A的3個特征值全為負(fù)，故A是負(fù)定矩陣，從而f是負(fù)定二次型．第12頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月例30t滿足什么條件時，二次型是正定的．解f的矩陣為要使f為正定二次型，則矩陣A