湖北省荊州市夾竹園中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖北省荊州市夾竹園中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列能判定向量，垂直的是()A.·=0

B.=(1，0，3)，=(0，2，0)C.=λ

D.+=－參考答案：B2.觀察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）=f（x），記g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則g（﹣x）=（）A．﹣g（x） B．f（x） C．﹣f（x） D．g（x）參考答案：A【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】由已知中（x2）'=2x，（x4）'=4x3，（cosx）'=﹣sinx，…分析其規(guī)律，我們可以歸納推斷出，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，即可得到答案．【解答】解：由（x2）'=2x中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)；（x4）'=4x3中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)；（cosx）'=﹣sinx中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)；…我們可以推斷，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）=f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，又∵g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則g（x）奇函數(shù)故g（﹣x）+g（x）=0，即g（﹣x）=﹣g（x），故選A．3.已知集合，，則A∩B=(

)A.{－2,－1,0} B.{－1,0,1} C.{0,1} D.{0,1,2}參考答案：C4.三對(duì)夫婦去上海世博會(huì)參觀，在中國(guó)館前拍照留念，6人排成一排，每對(duì)夫婦必須相鄰，不同的排法種數(shù)為(

)A.6B.24

C.48

D.72參考答案：C略5.在等差數(shù)列中，，則的值為：（

）A．20

B.

10

C.

0

D.

-10參考答案：D6.在中國(guó)古代的歷法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫作“十二地支”．古人用天干地支來(lái)表示年、月、日、時(shí)，十天干和十二地支進(jìn)行循環(huán)組合：甲子、乙丑、丙寅…一直到癸亥，共得到60個(gè)組合，稱為六十甲子．如果2016年是丙申年，那么1958年是（）A．乙未年 B．丁酉年 C．戊戌年 D．己亥年參考答案：C【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】由題意可得數(shù)列天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，以2017年的天干和地支分別為首項(xiàng)，即可求出答案．【解答】解：由題意，2016年是丙申年，2017年是丁酉年，2018年是戊戌年，1958年和2018相差60年，也是戊戌年．故選C．7.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是直線l：l=﹣上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)F（，0），點(diǎn)Q為PF的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足?=0，=λ（λ∈R）．過(guò)點(diǎn)M作圓（x﹣3）2+y2=2的切線，切點(diǎn)分別為S，T，則?的最小值是（）A． B． C． D．﹣參考答案：A【考點(diǎn)】圓的切線方程；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由題意結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求得M在拋物線y2=2x上，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)拋物線上一點(diǎn)，作圓（x﹣3）2+y2=2的切線，切點(diǎn)分別為S，T，求?的最小值，然后求出滿足條件的點(diǎn)M，代入平面向量數(shù)量積求解．【解答】解：如圖，設(shè)P（，m），∵F（，0），點(diǎn)Q為PF的中點(diǎn)，∴Q（0，），再設(shè)M（x0，y0），∴，，由=λ，得，即，∴M（），則，．再由?=0，得，即，∴M（），則M在拋物線y2=2x上，設(shè)以（3，0）為圓心，以r為半徑的圓為（x﹣3）2+y2=r2，聯(lián)立，得x2﹣4x+9﹣r2=0．由△=（﹣4）2﹣4（9﹣r2）=0，解得r2=5．∴r=．則拋物線y2=2x上的點(diǎn)M到圓心距離的最小值為，切線長(zhǎng)的最小值為，且sin，cos∠SMT=1﹣2sin2∠SMC=1﹣．∴?的最小值為=．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線方程，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，綜合性較強(qiáng)，是難題．8.i是虛數(shù)單位，=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)的分母為實(shí)數(shù)，即可．【解答】解：i是虛數(shù)單位，=，故選A．9.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=，BC=1，E為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將AED沿AE折起，使點(diǎn)D在面ABC上的射影K在直線AE上，當(dāng)E從D運(yùn)動(dòng)到C，則K所形成軌跡的長(zhǎng)度為D

A．

B．

C．

D．參考答案：D略10.設(shè)為非零實(shí)數(shù)，若，則下列不等式成立的是 A． B．

C． D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為3，則P到右準(zhǔn)線的距離為

.參考答案：略12.若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則=

.參考答案：4略13.已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)(1,－3)處的切線方程是

．參考答案：由題意,當(dāng)時(shí)，則，,則,所以曲線在點(diǎn)(1,-3)處的切線的斜率,則切線方程為.

14.已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝________.參考答案：315.已知兩曲線，相交于點(diǎn)P，若兩曲線在點(diǎn)P處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值是

▲

．參考答案：由，即，即有，設(shè)交點(diǎn)，的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為，由兩曲線在點(diǎn)處的切線相互垂直，可得，且，則，分子分母同除以，即有，可得，解得或（舍去），故答案為.

16.若曲線y=在點(diǎn)P（a，）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則實(shí)數(shù)a的值是．參考答案：4【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；直線的截距式方程．【分析】求導(dǎo)數(shù)可得切線的斜率，進(jìn)而可得切線的方程，可得其截距，由面積為2可得a的方程，解方程可得．【解答】解：對(duì)y=求導(dǎo)數(shù)可得y′=，∴曲線在P（a，）處的切線斜率為k=，∴切線方程為：y﹣=（x﹣a），令x=0，可得y=，即直線的縱截距為，令y=0，可得x=﹣a，即直線的橫截距為﹣a，∴切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為：S=|||﹣a|=2，解得a=4故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的截距，涉及導(dǎo)數(shù)法求曲線上某點(diǎn)的切線，屬基礎(chǔ)題．17.已知等比數(shù)列滿足，則_________.參考答案：或三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n，{bn}是等差數(shù)列，且an=bn+bn+1．（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令cn=，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（Ⅰ）求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，∴n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，n=1時(shí)，a1=S1=11，∴an=6n+5；∵an=bn+bn+1，∴an﹣1=bn﹣1+bn，∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）cn===6（n+1）?2n，∴Tn=6[2?2+3?22+…+（n+1）?2n]①，∴2Tn=6[2?22+3?23+…+n?2n+（n+1）?2n+1]②，①﹣②可得﹣Tn=6[2?2+22+23+…+2n﹣（n+1）?2n+1]=12+6×﹣6（n+1）?2n+1=（﹣6n）?2n+1=﹣3n?2n+2，∴Tn=3n?2n+2．19.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在[1,2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）令，是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)（是自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由；（3）當(dāng)時(shí)，證明：．參考答案：20.如圖：已知球的半徑為定值，球內(nèi)接圓錐的高為，體積為，(1)寫(xiě)出以表示的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)為何值時(shí)，有最大值，并求出該最大值.參考答案：解：(1)連接，設(shè)，有，，則有

，即.

分

分(2)

分

不等式取等條件為，即當(dāng)時(shí)，.

分21.（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上。（1）求圓C的方程；(2)若圓C與直線交于A，B兩點(diǎn)，且

，求a的值。參考答案：解：（1）曲線與y軸的交點(diǎn)為（0,1），與x軸的交點(diǎn)為（3+2,0），（3-2,0）。故可設(shè)C的圓心為（3，t），則有，解得t=1則圓C的半徑為3所以圓C的方程為（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），其坐標(biāo)滿足方程組消去y，得到方程由已知可得，從而由于可得又，所以由上可求得a=-1，滿足，故a=-122.如圖，在以點(diǎn)為圓心，為直徑的半圓中，，是半圓弧上一點(diǎn)，，曲線是滿足為定值的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，且曲線過(guò)點(diǎn).（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線相交于不同的兩點(diǎn)、.若△的面積不小于，求直線斜率的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)解法1:以O(shè)為原點(diǎn),AB、OD所在直線分別為x軸、y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(),依題意得

|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=

∴曲線C是以原點(diǎn)為中心,A、B為焦點(diǎn)的雙曲線.

設(shè)實(shí)平軸長(zhǎng)為a,虛半軸長(zhǎng)為b,半焦距為c,

則c=2,2a=2,∴a2=2,b2=c2-a2=2.

∴曲線C的方程為.

解法2:同解法1建立平面直角坐標(biāo)系,則依題意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|

|AB|=4.

∴曲線C是以原點(diǎn)為中心,A、B為焦點(diǎn)的雙曲線.

設(shè)雙曲線的方程為>0,b>0).

則由解得a2=b2=2,

∴曲線C的方程為

(Ⅱ)