2023年北京重點(diǎn)校初二（上）期末數(shù)學(xué)試卷匯編：尺規(guī)作圖及軸對(duì)稱

第1頁/共1頁2023北京重點(diǎn)校初二（上）期末數(shù)學(xué)匯編尺規(guī)作圖及軸對(duì)稱一、單選題1．（2023秋·北京通州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt中，，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線AF交邊BC于點(diǎn)G，若，，則的面積是（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023秋·北京西城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，，．有下列結(jié)論：①把沿直線翻折180°，可得到；②把沿線段的垂直平分線翻折180°，可得到；③把沿射線DC方向平移與相等的長度，可得到．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．（2023秋·北京西城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）以下是用電腦字體庫中的一種篆體寫出的“誠信友善”四字，若把它們抽象為幾何圖形，從整體觀察（個(gè)別細(xì)微之處的細(xì)節(jié)可以忽略不計(jì)），其中大致是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·北京東城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一張四邊形紙片沿對(duì)角線翻折，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處．設(shè)，分別為和的面積，和數(shù)量關(guān)系是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·北京東城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知．下面是“作一個(gè)角等于已知角，即作”的尺規(guī)作圖痕跡．該尺規(guī)作圖的依據(jù)是（

）A． B． C． D．6．（2023秋·北京通州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC的BC邊上找一點(diǎn)P，使得PA＋PC＝BC．下面找法正確的是（

）A．如圖①以B為圓心，BA為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求B．如圖②以C為圓心，CA為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求C．如圖③作AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求D．如圖④作AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求二、填空題7．（2023秋·北京東城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在是的平分線，于點(diǎn)E，．則的面積大小為___________．三、解答題8．（2023秋·北京通州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：線段及過點(diǎn)A的直線l．如果線段與線段關(guān)于直線l對(duì)稱，連接交直線l于點(diǎn)D，以為邊作等邊，使得點(diǎn)E在的下方，作射線交直線l于點(diǎn)F，連結(jié)．(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；(2)如圖，如果，①；（用含有α代數(shù)式表示）②用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．9．（2023秋·北京西城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）設(shè)計(jì)作平行線的尺規(guī)作圖方案：已知：直線及直線外一點(diǎn)P．求作：經(jīng)過點(diǎn)P的直線，使得．分析：如圖1所示，之前我們學(xué)過“推”三角尺畫平行線，這種畫法的實(shí)物操作圖可以啟發(fā)我們預(yù)設(shè)目標(biāo)示意圖，分析尺規(guī)作圖思路．①請(qǐng)參考以上內(nèi)容完成尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法；②在①中用到的判定的依據(jù)是_______．（2）已知：如圖，在中，，．求作：凸四邊形，使得，且為等腰三角形．請(qǐng)完成尺規(guī)作圖并寫出所求作的四邊形，保留作圖痕跡，不必寫作法．10．（2023秋·北京西城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，平分，．(1)畫出的高；(2)的面積等于______．11．（2023秋·北京東城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，．點(diǎn)在的延長線上，的平分線交于點(diǎn)．的平分線與射線交于點(diǎn)．(1)依題意補(bǔ)全圖形；用尺規(guī)作圖法作的平分線；(2)求的度數(shù)．12．（2023秋·北京東城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）課堂上，老師提出問題：如圖1，，是兩條馬路，點(diǎn)A，B處是兩個(gè)居民小區(qū)．現(xiàn)要在兩條馬路之間的空?qǐng)鎏幗ɑ顒?dòng)中心P，使得活動(dòng)中心P到兩條馬路的距離相等，且到兩個(gè)小區(qū)的距離也相等．如何確定活動(dòng)中心P的位置？小明通過分析、作圖、證明三個(gè)步驟正確地解決了問題，請(qǐng)你將小明的證明過程補(bǔ)充完整．步驟1分析：若要使得點(diǎn)P到點(diǎn)A，B的距離相等，則只需點(diǎn)P在線段的垂直平分線上；若要使得點(diǎn)P到，的距離相等，則只需點(diǎn)P在的平分線上．步驟2作圖：如圖2，作的平分線，線段的垂直平分線，交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求．步驟3證明：如圖2，連接，，過點(diǎn)P作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G．∵，，且（填寫條件），∴（）（填寫理由）．∵點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，∴（）（填寫理由）．∴點(diǎn)P為所求作的點(diǎn)．13．（2023秋·北京東城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）課堂上，老師提出問題：如圖1，是兩條馬路，處是兩個(gè)居民小區(qū)．現(xiàn)要在兩條馬路之間的空?qǐng)鎏幗ɑ顒?dòng)中心，使得活動(dòng)中心到兩條馬路的距離相等，且到兩個(gè)小區(qū)的距離也相等，如何確定活動(dòng)中心的位置？小明通過分析、作圖、證明三個(gè)步驟正確地解決了問題，請(qǐng)你將小明的過程補(bǔ)充完整．步驟1分析：若要使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則只需點(diǎn)在線段的垂直平分線上；若要使得點(diǎn)到的距離相等，則只需點(diǎn)在的角平分線上．步驟2作圖：如圖2，作的平分線，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)為所求．步驟3證明：如圖2，∵連接．過點(diǎn)P作于點(diǎn)，于點(diǎn)．∵，且（填寫條件），∴（）（填寫理由）．∵點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴（）（填寫理由）．∴點(diǎn)為所求作的點(diǎn)．14．（2023秋·北京密云·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：在中，，邊的垂直平分線分別交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)連接，若，求的周長．15．（2023秋·北京密云·八年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)課上，李老師布置如下任務(wù)：如圖，已知，點(diǎn)D是邊上的一個(gè)定點(diǎn)，在邊上確定一點(diǎn)E，使．下面是小莉設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．作法：①以點(diǎn)D為圓心，長為半徑作弧交邊于點(diǎn)F，連接．②作的角平分線，交邊于點(diǎn)E；則點(diǎn)E即為所求．根據(jù)小莉設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明，并在括號(hào)內(nèi)填寫推理的依據(jù)．證明：∵，∴＝．（

）∵是的角平分線，∴．∵，（

）即，∴．∴．16．（2023秋·北京通州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下面是“已知斜邊作一個(gè)直角三角形”的尺規(guī)作圖過程．已知：線段求作：一個(gè)直角三角形，使線段為斜邊．作法：①過任意作一條射線；②在射線上任取兩點(diǎn)，；③分別以點(diǎn)，為圓心，，長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)；④作射線交射線于點(diǎn)．則就是所求作的直角三角形．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)證明：連接，∵_(dá)_____∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上（______________________）．（填推理的依據(jù)）同理可證：點(diǎn)在線段的垂直平分線上根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，可知是線段的垂直平分線．∴．(3)在中，，如果，猜想：與滿足的數(shù)量關(guān)系_____________，并證明．17．（2023秋·北京通州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是正方形網(wǎng)格，其中有兩個(gè)小正方形是涂黑的，請(qǐng)?jiān)龠x擇三個(gè)小正方形并涂黑，使整個(gè)涂成黑色的圖形成為軸對(duì)稱圖形．請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并且畫出對(duì)稱軸（如圖例），要求所畫的四種方案不能重復(fù)．

參考答案1．A【分析】利用基本作圖得到平分，利用角平分線的性質(zhì)得到G點(diǎn)到的距離為，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算的面積；【詳解】解：由作法得平分，點(diǎn)到的距離等于的長，即點(diǎn)到的距離為，所以的面積；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．也考查了角平分線的性質(zhì)．2．A【分析】由已知可得，進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱或平移確定結(jié)論是否正確．【詳解】解：∵，∴，在、和中．，∴（SAS）把沿直線翻折180°，可得到，故①正確；把沿線段的垂直平分線翻折180°，可得到，故②正確；把沿射線DC方向平移與相等的長度，不能得到．故③錯(cuò)誤，綜上所述：正確的結(jié)論是①②．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和平移和翻折變換，培養(yǎng)良好的空間想象能力是解題關(guān)鍵．3．D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義可得：A、B、C均不能找到一條直線，使得直線兩旁的部分能夠互相重合，故不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D是軸對(duì)稱圖形，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的定義，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，熟練掌握此定義是解題關(guān)鍵．4．B【分析】由折疊可知，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可知的面積和的面積相等，進(jìn)而求出與數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：∵由折疊可知∴∵點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)∴∵的面積為，的面積是∴【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，找出各個(gè)三角形的面積關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】根據(jù)“作一個(gè)角等于已知角，即作”的尺規(guī)作圖痕跡，結(jié)合兩個(gè)三角形全等的判定定理即可確定答案．【詳解】解：由題意可知，“作一個(gè)角等于已知角，即作”的尺規(guī)作圖的依據(jù)是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖“作兩角相等”以及兩個(gè)三角形全等的判定定理，掌握尺規(guī)作圖及兩個(gè)三角形全等的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．6．C【分析】根據(jù)題意得到PA=PB，根據(jù)線段垂直平分線的判定、尺規(guī)作圖判斷即可．【詳解】解：A、由作圖知BA=BP，不會(huì)得到PA+PC=BC，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B、由作圖知CA=CP，不會(huì)得到PA+PC=BC，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C、由作圖知點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，∴PA=PB，∴PA+PC=PB+PC=BC，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D、由作圖知點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上，∴PA=PC，不會(huì)得到PA+PC=BC，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作，也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．7．13.5【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得D到的距離為3即可求得的面積．【詳解】∵是的平分線，∴D到的距離等于的長，∴，故答案為：13.5．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會(huì)把已知轉(zhuǎn)化到所求問題上．8．(1)見解析(2)①；②，理由見解析【分析】（1）根據(jù)要求作出圖即可；（2）①利用等腰三角形得性質(zhì)以及三角形得內(nèi)角和定理求解即可；②結(jié)論：，在上截取，使得，連接，證明，推出，推出，可以得出結(jié)論．【詳解】（1）圖形如圖所示：（2）解：①∵線段與線段關(guān)于直線對(duì)稱，∴垂直平分線段，∵是等邊三角形，，，故答案為：；②結(jié)論：理由如下：在上截取，使得，連接，是等邊三角形在和中，，即．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰三角形得性質(zhì)，等邊三角形得性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．9．(1)①見解析；②同位角相等，兩直線平行；(2)見解析【分析】(1)①過點(diǎn)P任意作一條直線，交直線于點(diǎn)G，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的作法，即可作得；②根據(jù)作法，由平行線的判定定理，即可解答；(2)分別以點(diǎn)A、B、D為圓心，長為半徑畫圓，再作線段的垂直平分線，根據(jù)交點(diǎn)即可求得．【詳解】解：(1)①作法：a、過點(diǎn)P任意作一條直線，交直線于點(diǎn)G，b、以點(diǎn)G為圓心，任意長為半徑畫弧交直線于點(diǎn)M，交直線于點(diǎn)N，c、以點(diǎn)P為圓心，長為半徑畫弧交直線于點(diǎn)K，d、以點(diǎn)K為圓心，長為半徑畫弧交上一弧于點(diǎn)Q，e、過點(diǎn)P、Q作直線，直線即為所求作的直線作圖如下：②由①作法可知：，(同位角相等，兩直線平行)，故答案為：同位角相等，兩直線平行；(2)分別以點(diǎn)A、B、D為圓心，長為半徑畫圓，再作線段的垂直平分線，由作法可知：，、、都是等腰三角形，作圖見圖．則凸四邊形、、為所求作的凸四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，理解題意要求，熟練掌握和運(yùn)用基本圖形的作圖方法是解決本題的關(guān)鍵．10．(1)見解析；(2)3．【分析】（1）根據(jù)三角形高線的作法作圖即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，再由三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，高即為所求；（2）∵平分，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形高線的作法，角平分線的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)用各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．11．(1)作圖見解析(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖法即可作的平分線；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖所示：即為所求；（2）解：∵，∴，∵是的平分線，∴，∵是的平分線，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查基本尺規(guī)作圖-角平分線，在熟練掌握五種基本作圖的基礎(chǔ)上按照題意進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法靈活求解，在第一問基礎(chǔ)上由等腰三角形性質(zhì)、角平分線定義、鄰補(bǔ)角定義及外角性質(zhì)求解是解決問題的關(guān)鍵．12．點(diǎn)P在的平分線上；角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等【分析】利用角平分線的性質(zhì)，可得出，利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可得出，進(jìn)而可得出點(diǎn)P為所求作的點(diǎn)．【詳解】證明：如圖2，連接，，過點(diǎn)P作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G．∵，，且點(diǎn)P在的平分線上，∴（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）．∵點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，∴（垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等），∴點(diǎn)P為所求作的點(diǎn)．故答案為：點(diǎn)P在的平分線上；角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)，找出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．13．點(diǎn)P在∠MON的平分線上；角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩端的距離相等【分析】根據(jù)題意，由角平分線的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】證明：如圖2，∵連接．過點(diǎn)P作于點(diǎn)，于點(diǎn)．∵，且點(diǎn)在的平分線上（填寫條件），∴（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）（填寫理由）．∵點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴（線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩端的距離相等）（填寫理由）．∴點(diǎn)為所求作的點(diǎn)．故答案為：①點(diǎn)P在∠MON的平分線上；②角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；③線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩端的距離相等．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)，讀懂題意，熟記角平分線的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．14．(1)見解析(2)9【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，求出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到；（2）判定是等邊三角形，即可求出周長．【詳解】（1）證明：∵在中，，∴，∵是邊的垂直平分線，∴，∴，∴∴平分，∵，∴；（2）解：∵在中，，，

∴，

∵是邊的垂直平分線，∴，∴，∵，