四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第04講-格點(diǎn)圖形面積計(jì)算（人教版）含詳解

第第頁(yè)第四講格點(diǎn)圖形面積計(jì)算在平面幾何知識(shí)中，面積計(jì)算是最重要的組成部分之一．我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形面積公式，你還記得這些公式嗎？這一講我們將學(xué)習(xí)格點(diǎn)圖形的面積．用線段連結(jié)格點(diǎn)圍成的封閉圖形稱之為格點(diǎn)圖形．雖然我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本直線形的面積公式，然而大多數(shù)的格點(diǎn)圖形都無(wú)法直接計(jì)算面積，需要我們通過(guò)這節(jié)課的探索學(xué)習(xí)去找到方法．常見(jiàn)的格點(diǎn)有正方形格點(diǎn)和三角形格點(diǎn)．例題1圖中每個(gè)最小正方形的面積都是1平方厘米，那么三個(gè)陰影圖形的面積分別是多少平方厘米？「分析」這幾個(gè)多邊形都不規(guī)則，我們能不能把它們切成很多規(guī)則的小塊，一塊一塊地求面積呢？或者給它們添補(bǔ)一些規(guī)則的小塊，使得它們變成規(guī)則可求的大圖形．

練習(xí)1圖中相鄰兩格點(diǎn)間的距離均為1厘米，那么陰影圖形的面積分別是多少平方厘米？

通過(guò)例1中的第1小題我們學(xué)會(huì)了將大塊不規(guī)則圖形“分割”成許多規(guī)則的圖形，這種方法稱為“分割法”；但是不一定每個(gè)圖形都很容易分割，第2小題我們學(xué)會(huì)了把不好算的圖形“添補(bǔ)”成規(guī)則的大圖形，計(jì)算時(shí)用大圖形的面積減去空白部分的面積，這種方法稱為“添補(bǔ)法”．分割法，正所謂“大事化小”，把不規(guī)則的大圖形化為規(guī)則的小圖形．添補(bǔ)法則正好相反，是“以小見(jiàn)大”，把不規(guī)則圖形周?chē)砩弦?guī)則的小圖形，使總面積便于計(jì)算．使用割、補(bǔ)法的時(shí)候，一般應(yīng)該從圖形的頂點(diǎn)出發(fā)，盡量沿著格線劃分，以便與小方格的面積找到聯(lián)系或者利用垂直等性質(zhì)．接下來(lái)我們用分割、添補(bǔ)的方法計(jì)算一下三角形格點(diǎn)圖形的面積．例題2①②③④⑤下圖是一個(gè)三角形點(diǎn)陣，其中能連出的最小等邊三角形的面積為1平方厘米．那么這①②③④⑤「分析」前三個(gè)圖是可以直接計(jì)算的，④、⑤是無(wú)法直接計(jì)算的，試著用分割、添補(bǔ)的方法解決吧！我們發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)三角形的兩邊都沿三角形格線方向，并且分別是最短線段的m倍和n倍，那么這個(gè)三角形的面積就是最小等邊三角形面積的倍．練習(xí)2①②③④①②③④要計(jì)算格點(diǎn)圖形的面積，我們只需要應(yīng)用合適的方法，數(shù)一下要求的圖形占了幾個(gè)單位面積即可．當(dāng)單位面積不為1時(shí)，我們就要格外小心了，千萬(wàn)不能在數(shù)完后再乘單位面積！對(duì)于復(fù)雜的格點(diǎn)圖形，使用割補(bǔ)法一定能計(jì)算面積．但是割補(bǔ)法有時(shí)顯得有些繁瑣，有沒(méi)有更簡(jiǎn)單明了的方法呢？那么我們接下來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單快捷的方法．例如，我們要計(jì)算如下圖的格點(diǎn)多邊形的面積（假設(shè)最小的正方形面積是1）．我們可以用割補(bǔ)的方法求出圖形的面積，現(xiàn)在還有另一種方法，從格點(diǎn)數(shù)入手．圍成陰影部分的邊線，經(jīng)過(guò)了一些格點(diǎn)．這些邊界上的格點(diǎn)叫做邊界格點(diǎn)，一共有12個(gè)；格點(diǎn)圖形還完全蓋住了一些格點(diǎn)，這些圖形內(nèi)部的格點(diǎn)叫做內(nèi)部格點(diǎn)，一共有1個(gè)．一般的，在最小正方形面積為1的正方形網(wǎng)格中，我們有：這樣，按公式計(jì)算：，我們就得出圖中陰影部分的面積了．例題3如圖，相鄰兩格點(diǎn)間的距離均為1厘米，求陰影部分的面積？「分析」嘗試著用格點(diǎn)圖形面積公式計(jì)算一下把！先數(shù)數(shù)邊界格點(diǎn)、內(nèi)部格點(diǎn)分別有多少個(gè)呢？練習(xí)3如圖，每一個(gè)最小正方形的面積都是2，陰影部分的面積是多少？類似地，在最小正三角形面積為1的三角形網(wǎng)格中，三角形格點(diǎn)圖形也有面積計(jì)算公式：仔細(xì)比較這兩個(gè)公式，可以發(fā)現(xiàn)：三角形格點(diǎn)的公式正好是正方形格點(diǎn)公式的2倍．大家想一下，為什么是這樣呢？例題4如圖，每個(gè)最小等邊三角形的面積都是1平方厘米．陰影部分的面積是多少平方厘米？「分析」嘗試著用格點(diǎn)圖形面積公式計(jì)算一下把！先數(shù)數(shù)邊界格點(diǎn)、內(nèi)部格點(diǎn)分別有多少個(gè)呢？

練習(xí)4如圖，每個(gè)最小等邊三角形的面積都是1平方厘米，陰影部分的面積是多少平方厘米？例題5如圖，每一個(gè)最小正方形的面積都是3平方厘米．陰影部分的面積是多少平方厘米？「分析」試著比較分割法、添補(bǔ)法、公式法，這三個(gè)方法哪個(gè)更合適呢？

例題6（1）左圖中每個(gè)最小正三角形的面積是2平方厘米．陰影部分面積是多少平方厘米？

（2）右圖中每個(gè)最小正三角形的面積是4平方厘米．陰影部分面積是多少平方厘米？「分析」試著比較分割法、添補(bǔ)法、公式法，這三個(gè)方法哪個(gè)更合適呢？對(duì)于大部分格點(diǎn)圖形而言，分割法和添補(bǔ)法都可以用來(lái)求面積．對(duì)于特殊的格點(diǎn)圖形，如果不易分割，可以試試添補(bǔ)；如果不易添補(bǔ)，可以試試分割．如果用分割法和添補(bǔ)法都不易解決，那么格點(diǎn)公式就派上用場(chǎng)了！在使用格點(diǎn)公式時(shí)，有以下幾點(diǎn)需要注意：注意是正方形格點(diǎn)還是三角形格點(diǎn)；按照順序來(lái)數(shù)邊界格點(diǎn)和內(nèi)部格點(diǎn)；用格點(diǎn)公式計(jì)算出來(lái)的不是面積，而是最小的正方形或正三角形的面積的倍數(shù)．看似這一講的題目不是很難，怎么保證計(jì)算的準(zhǔn)確性呢？如果你用分割法計(jì)算面積，不妨再用添補(bǔ)法驗(yàn)算一下．如果你用割補(bǔ)法計(jì)算面積，不妨再用格點(diǎn)公式算一算．用不同方法得到的都是同樣的結(jié)果，基本上就不會(huì)出錯(cuò)了．課堂內(nèi)外幾何的起源古埃及人聚居在尼羅河附近，以在河邊的農(nóng)田耕作為生．可是尼羅河每隔一段時(shí)間會(huì)泛濫，河水涌上岸，把河邊的農(nóng)田淹沒(méi)，沖毀農(nóng)田的邊界．所以，每次河水泛濫后，埃及人都要重新劃分農(nóng)田的范圍和界限．埃及人在劃分土地時(shí)，發(fā)現(xiàn)很多不同形狀的農(nóng)田，都可以分割為幾塊較細(xì)小的三角形農(nóng)田，例：1塊長(zhǎng)方形農(nóng)田2塊大小相同的三角形農(nóng)田1塊梯形農(nóng)田3塊三角形農(nóng)田這些不同形狀的農(nóng)田，其實(shí)就是不同的幾何圖形；把農(nóng)田分割為幾塊較細(xì)小的農(nóng)田，即是把幾何圖形分割．原來(lái)古埃及人是研究幾何圖形的先鋒呢！作業(yè)如圖，每相鄰兩個(gè)格點(diǎn)的距離都是1，那么兩個(gè)陰影圖形的面積分別是________、________．

下圖中三角形點(diǎn)陣所能連出的最小正三角形面積為1，圖中兩個(gè)圖形的面積分別是________、________．

如圖，最小正三角形的面積是4平方厘米，那么陰影部分的面積是________平方厘米．

右圖中，每個(gè)最小正方形面積為2，則圖中陰影部分的面積是________．

下圖三角形點(diǎn)陣所能連出的最小正三角形面積為2，圖形的面積是_________．

BB 第四講格點(diǎn)圖形面積計(jì)算例題1答案：7平方厘米；5平方厘米；11平方厘米詳解：如圖所示，用分割法、添補(bǔ)法．

三個(gè)圖形的面積分別是：平方厘米；

平方厘米；

平方厘米．

例題2答案：6；12；4；7；9④：⑤：或：或：詳解：①：平方厘米；②：平方厘米；③：平方厘米；

④：⑤：或：或：例題3答案：6.5平方厘米詳解：內(nèi)部格點(diǎn)：3個(gè)，邊界格點(diǎn)：9個(gè)．面積=平方厘米．

例題4答案：34平方厘米詳解：內(nèi)部格點(diǎn)：7個(gè)；邊界格點(diǎn)：22個(gè)．面積：平方厘米．例題5答案：19.5平方厘米；31.5平方厘米詳解：可以分割、添補(bǔ)，也可以用公式法：

（1）內(nèi)部格點(diǎn)：4個(gè)；邊界格點(diǎn)：7個(gè)．面積：平方厘米；

（2）內(nèi)部格點(diǎn)：8個(gè)；邊界格點(diǎn)：7個(gè)．面積：平方厘米．例題6答案：28平方厘米；56平方厘米詳解：可以分割、添補(bǔ)，也可以用公式法：

（1）內(nèi)部格點(diǎn)：4個(gè)；邊界格點(diǎn)：8個(gè)．面積：平方厘米；

（2）內(nèi)部格點(diǎn)：3個(gè)；邊界格點(diǎn)：10個(gè)．面積：平方厘米．練習(xí)1答案：3平方厘米；10平方厘米詳解：如圖，分別用分割法、添補(bǔ)法．

練習(xí)2③：④：答案：12；20；5；18

詳解：

①：平方厘米；

②：直接數(shù)，每層4個(gè)，共5層，平方厘米；

③：④：練習(xí)3答案：13簡(jiǎn)答：內(nèi)部格點(diǎn)：1個(gè)，邊界格點(diǎn)：13個(gè)．面積=．練習(xí)4答案：17平方厘米簡(jiǎn)答：內(nèi)部格點(diǎn)：1個(gè)；邊界格點(diǎn)：17個(gè)．面積：平方厘米．作業(yè)1答案：6；6.5簡(jiǎn)答：可用分割或添補(bǔ)法完成．

作業(yè)2答案：