九省聯(lián)考新題型背景專題訓(xùn)練-2024屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（解析版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)九省聯(lián)考后精典的新題型背景一、單選題1．（山東省名?？荚嚶?lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）歐拉公式（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉提出的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和模長(zhǎng)運(yùn)算可直接求得結(jié)果.【詳解】，.故選：A.2．（2024屆九省聯(lián)考高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)變式卷（2））歐拉恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的公式之一，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)常數(shù)聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數(shù)：自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，圓周率，兩個(gè)單位：虛數(shù)單位和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見(jiàn)的0．因此，數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式，我們只能看它而不能理解它”．根據(jù)該公式，引出了復(fù)數(shù)的三角表示：，由此建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，是復(fù)數(shù)體系發(fā)展的里程碑．根據(jù)上述信息，下列結(jié)論正確的是（

）A．的實(shí)部為1 B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限C．的虛部為1 D．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限【答案】D【分析】根據(jù)題干知：，把，，代入公式中，利用復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式和復(fù)平面中點(diǎn)的坐標(biāo)知識(shí)，即可得出正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，把代入得：，故的?shí)部為，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)不在第二象限，則排除A，B;把代入得：，則的虛部為，則排除C;因?yàn)椋?，，所以?duì)應(yīng)的點(diǎn)，該點(diǎn)在第二象限，則D正確.故選：D.3．（2024屆高三新高考改革數(shù)學(xué)適應(yīng)性練習(xí)（7）（九省聯(lián)考題型））柯西不等式最初是由大數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的.而后來(lái)有兩位數(shù)學(xué)家Buniakowsky和Schwarz彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才能將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步.該不等式的三元形式如下：對(duì)實(shí)數(shù)和，有等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)已知，請(qǐng)你用柯西不等式，求出的最大值是（

）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】A【分析】利用柯西不等式求出即可.【詳解】由題干中柯西不等式可得，所以的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：A4．（2024屆高三新高考改革數(shù)學(xué)適應(yīng)性練習(xí)（5）（九省聯(lián)考題型））“角股猜想”是“四大數(shù)論世界難題”之一，至今無(wú)人給出嚴(yán)謹(jǐn)證明．“角股運(yùn)算”指的是任取一個(gè)自然數(shù)，如果它是偶數(shù)，我們就把它除以2，如果它是奇數(shù)，我們就把它乘3再加上1．在這樣一個(gè)變換下，我們就得到了一個(gè)新的自然數(shù)．如果反復(fù)使用這個(gè)變換，我們就會(huì)得到一串自然數(shù)，該猜想就是：反復(fù)進(jìn)行角股運(yùn)算后，最后結(jié)果為1．我們記一個(gè)正整數(shù)經(jīng)過(guò)次角股運(yùn)算后首次得到1（若經(jīng)過(guò)有限次角股運(yùn)算均無(wú)法得到1，則記），以下說(shuō)法有誤的是（

）A．可看作一個(gè)定義域和值域均為的函數(shù)B．在其定義域上不單調(diào)，有最小值，無(wú)最大值C．對(duì)任意正整數(shù)，都有D．是真命題，是假命題【答案】A【分析】根據(jù)給定信息，利用函數(shù)的相關(guān)概念逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】依題意，的定義域是大于1的正整數(shù)集，A錯(cuò)誤；由，得在其定義域上不單調(diào)，而，，則有最小值1，由經(jīng)過(guò)有限次角股運(yùn)算均無(wú)法得到1，記，得無(wú)最大值，B正確；對(duì)任意正整數(shù)，，而，因此，C正確；對(duì)任意正整數(shù)，每次除以2，最后得到1的次數(shù)為，因此，由，知是假命題，D正確.故選：A5．（重慶市部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在他的著作《測(cè)地術(shù)》中最早記錄了“海倫公式”：，其中，，，分別為的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊，該公式具有輪換對(duì)稱的特點(diǎn).已知在中，，且的面積為，則邊上的中線長(zhǎng)度為（

）A． B．4 C． D．【答案】D【分析】先求得，然后利用三角形的面積公式、向量法求得邊上的中線長(zhǎng)度.【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接.依題意，在中，，設(shè)，由余弦定理得，所以為鈍角，所以，所以，，兩邊平方得，所以.故選：D6．（安徽省阜陽(yáng)市第三中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期二調(diào)考試（12月）數(shù)學(xué)試題）“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)的曼哈頓距離為：.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，作過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，結(jié)合直線的斜率得出平行于軸，最小，再設(shè)，求出，利用三角函數(shù)知識(shí)得最小值．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)表示的長(zhǎng)度，因?yàn)橹本€的方程為，所以，即，當(dāng)固定點(diǎn)時(shí)，為定值，此時(shí)為零時(shí)，最小，即與重合（平行于軸）時(shí)，最小，如圖所示，設(shè)，，則，，由三角函數(shù)知識(shí)可知，其中，則其最大值是，所以，故D正確.故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解曼哈頓距離的定義，得到，再利用輔助角公式即可求出其最值.二、多選題7．（云南省下關(guān)一中教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月段考（二）數(shù)學(xué)試卷）歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為，i虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個(gè)公式也被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位依據(jù)上述公式，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)B．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半圓【答案】ABD【分析】根據(jù)給定的公式，結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)概念逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】對(duì)于A，，則為純虛數(shù)，A正確；對(duì)于B，，而，即，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，B正確；對(duì)于C，，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半徑為的半圓，D正確．故選：ABD8．（重慶市南開(kāi)中學(xué)校2023-2024學(xué)年高三第六次質(zhì)量檢測(cè)（2月）數(shù)學(xué)試題）平面解析幾何的結(jié)論很多可以推廣到空間中，如：（1）平面上，過(guò)點(diǎn)，且以為方向向量的平面直線的方程為；在空間中，過(guò)點(diǎn)，且以為方向向量的空間直線的方程為.（2）平面上，過(guò)點(diǎn)，且以為法向量的直線的方程為；空間中，過(guò)點(diǎn)，且以為法向量的平面的方程為.現(xiàn)已知平面，平面，，，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】求出平面、的法向量，以及直線、所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)及其方向向量，利用空間中線面、面面位置關(guān)系與空間向量的關(guān)系可得出結(jié)論.【詳解】由題可知：平面的法向量，平面的法向量，直線的方程可化為，直線恒過(guò)，方向向量為，直線的方程可化為，直線恒過(guò)，方向向量，對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，且，故，則，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，則，所以，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由，可知與不平行，則與不垂直，D錯(cuò).故選：AC.9．（浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2023屆高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)試題）在空間直角坐標(biāo)系中，有以下兩條公認(rèn)事實(shí)：（1）過(guò)點(diǎn)，且以為方向向量的空間直線l的方程為；（2）過(guò)點(diǎn)，且為法向量的平面的方程為．現(xiàn)已知平面，，，（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)公認(rèn)事實(shí)求出直線的方向向量與平面的法向量，用空間向量判斷它們之間的位置關(guān)系.【詳解】平面，則平面法向量為，對(duì)，則，即，所以過(guò)點(diǎn)，方向向量為，所以，所以，所以，故A錯(cuò)誤D正確.對(duì)，即，所以過(guò)點(diǎn)，方向向量為，點(diǎn)代入平面方程成立，所以與平面有公共點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)，所以過(guò)點(diǎn)，方向向量為，因?yàn)椋?，所以或，但點(diǎn)代入平面不成立，故，所以，所以C正確.故選：CD10．（期末真題必刷壓軸60題（22個(gè)考點(diǎn)專練）-【滿分全攻略】（人教A版2019必修第一冊(cè)））高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，如：[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，y＝[x]又稱為取整函數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費(fèi)，出租車收費(fèi)等均按“取整函數(shù)”進(jìn)行計(jì)費(fèi)，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（）A．?x∈R，[2x]＝2[x]B．?x∈R，[x]+C．?x，y∈R，若[x]＝[y]，則有x﹣y＞﹣1D．方程x2＝3[x]+1的解集為【答案】BC【分析】對(duì)于A：取x＝判斷；對(duì)于B：設(shè)[x]＝x﹣a，a∈[0，1）判斷；對(duì)于C：設(shè)[x]＝[y]＝m，得到x＝m+t，0≤t＜1，y＝m+s，0≤s＜1判斷；對(duì)于D：由x2＝3[x]+1得到x2一定為整數(shù)且3[x]+1≥0，從而[x]≥0，x≥0，再由[x]2≤x2＜（[x]+1）2，得到[x]2≤3[x]+1＜（[x]+1）2判斷.【詳解】解：對(duì)于A：取x＝，[2x]＝[1]＝1，2[x]＝2[]＝0，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)[x]＝x﹣a，a∈[0，1），所以[x]+[x+]＝[x]+[[x]+a+]＝2[x]+[a+]，[2x]＝[2[x]+2a]＝2[x]+[2a]，當(dāng)a∈[0，）時(shí)，a+∈[，1），2a∈[0，1），則[a+]＝0，[2a]＝0，則[x]+[x+]＝2[x]，[2x]＝2[x]，故當(dāng)a∈[0，）時(shí)，[x]+[x+]＝2[x]成立；當(dāng)a∈[，1）時(shí)，a+∈[1，），2a∈[1，2），則[a+]＝1，[2a]＝1，則[x]+[x+]＝2[x]+1，[2x]+2[x]+1，故當(dāng)a∈[，1）時(shí)，[x]+[x+]＝2[x]成立，綜上B正確；對(duì)于C：設(shè)[x]＝[y]＝m，則x＝m+t，0≤t＜1，y＝m+s，0≤s＜1，則|x﹣y|＝|（m+t）﹣（m+s）|＝|t﹣s|＜1，因此x﹣y＞﹣1，故C正確；對(duì)于D：由x2＝3[x]+1知，x2一定為整數(shù)且3[x]+1≥0，所以[x]≥，所以[x]≥0，所以x≥0，由[x]2≤x2＜（[x]+1）2，得[x]2≤3[x]+1＜（[x]+1）2，由[x]2≤3[x]+1，解得≤[x]≤≈3.3，只能取0≤[x]≤3，由3[x]+1＜（[x]+1)2，解得[x]＞1或[x]＜0（舍），故2≤[x]≤3，所以[x]＝2或[x]＝3，當(dāng)[x]＝2時(shí)，x＝，當(dāng)[x]＝3時(shí)，x＝，所以方程x2＝3[x]+1的解集為，故D錯(cuò)誤．故選：BC．11．（廣東省東莞中學(xué)、廣州二中、惠州一中、深圳實(shí)驗(yàn)、珠海一中、中山紀(jì)念中學(xué)2024屆高三第四次六校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn).已知二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，其中.在函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作曲線的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；用代替，重復(fù)以上的過(guò)程得到；一直下去，得到數(shù)列.記，且，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．（其中） B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和【答案】AD【分析】根據(jù)可求的表達(dá)式，判斷A的真假；利用導(dǎo)數(shù)求二次函數(shù)在處切線的斜率，進(jìn)一步寫(xiě)出在處的切線方程，求出直線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，得，進(jìn)一步判斷數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，得到數(shù)列是等比數(shù)列，可判斷BC的真假；利用公式法可求數(shù)列的前項(xiàng)和，判斷D的真假.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由得，所以，故A正確.二次函數(shù)有兩個(gè)不等式實(shí)根，，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線方程為：，令，則，因?yàn)樗?，即：所以為公比?，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列.所以故BC錯(cuò).對(duì)于D選項(xiàng)，，得故D正確.故選：AD12．（重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷在年時(shí)提出：“如果對(duì)于的每一個(gè)值，總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么是的函數(shù).”這個(gè)定義較清楚的說(shuō)明了函數(shù)的內(nèi)涵，只要有一個(gè)法則，使得取值范圍內(nèi)的每一個(gè)，都有一個(gè)確定的和它對(duì)應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示.他還發(fā)現(xiàn)了狄里克雷函數(shù)，即：當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為，當(dāng)自變量取無(wú)理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為.狄里克雷函數(shù)的發(fā)現(xiàn)改變了數(shù)學(xué)家們對(duì)“函數(shù)是連續(xù)的”的認(rèn)識(shí)，也使數(shù)學(xué)家們更加認(rèn)可函數(shù)的對(duì)應(yīng)說(shuō)定義，下列關(guān)于狄里克雷函數(shù)的性質(zhì)表述正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C．的值域是 D．【答案】ACD【解析】利用狄里克雷函數(shù)的定義可判斷AC選項(xiàng)的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷B選項(xiàng)的正誤；分和兩種情況討論，結(jié)合狄里克雷函數(shù)的定義可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題意可知，.對(duì)于A選項(xiàng)，，則，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，則，則，當(dāng)時(shí)，則，則，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由于，所以，函數(shù)的值域?yàn)椋珻選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵就是緊扣函數(shù)的新定義，在解題的過(guò)程中要對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)的定義來(lái)求解，在判斷命題為假命題時(shí)，可以通過(guò)特例來(lái)說(shuō)明.三、填空題13．（湖南省張家界市慈利縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷）數(shù)學(xué)中有很多公式都是數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard

Euler）發(fā)現(xiàn)的，它們都叫歐拉公式，分散在各個(gè)數(shù)學(xué)分支之中，任意一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)V.棱數(shù)E.面數(shù)F之間，都滿足關(guān)系式，這個(gè)等式就是立體幾何中的“歐拉公式”.若一個(gè)凸二十面體的每個(gè)面均為三角形，則由歐拉公式可得該多面體的頂點(diǎn)數(shù)為【答案】12【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合“歐拉公式”運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)槎骟w的每個(gè)面均為三角形，每條棱都是兩個(gè)面共用，所以棱數(shù)，面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù).故答案為：12.14．（江西省景德鎮(zhèn)市2022屆高三第二次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（理）試題）1643年法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出了一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其到這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為最小.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心（即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線段兩兩成角120°），該點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知中，其中，，P為費(fèi)馬點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)，，進(jìn)而得到，，然后在中通過(guò)余弦定理得到的關(guān)系式，在和中通過(guò)正弦定理得到的關(guān)系式和的關(guān)系式，然后借助三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【詳解】如圖，根據(jù)題意，設(shè)，，則，，在中，由余弦定理有…①

在中，由正弦定理有，在中，由正弦定理有，故，則，由①，…②，且，設(shè)，則，由題意，，所以，而，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知.由②，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題難度較大，注意以下幾個(gè)細(xì)節(jié)的處理，首先“”這一步，開(kāi)根號(hào)的目的是降低運(yùn)算量；其次，在“”這個(gè)等式里發(fā)現(xiàn)了倒數(shù)關(guān)系，故而進(jìn)行了換元，否則通分化簡(jiǎn)運(yùn)算量特別大；再次，“”這一步變形目的在于可以直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，而函數(shù)的單調(diào)性需要借助導(dǎo)數(shù).15．（福建省泉州市普通高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月學(xué)科競(jìng)賽數(shù)學(xué)試題）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，為了紀(jì)念他，人們把函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù).設(shè)，則除以2023的余數(shù)是.【答案】1011【分析】先求得每項(xiàng)除以2023的余數(shù)，求每項(xiàng)除以2023的余數(shù)時(shí)，分奇偶項(xiàng)進(jìn)行討論，余數(shù)求和后再求除以2023的余數(shù)即可.【詳解】，又，則，又，所以，所以當(dāng)，，其除以2023的余數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，其除以2023的余數(shù)2022和3，當(dāng)且時(shí)，，其除以2023的余數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，其除以2023的余數(shù)為，除以2023的余數(shù)為除以2023的余數(shù)，即除以2023的余數(shù)，又其除以2023的余數(shù)為1011，故答案為：1011.【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵一是分奇偶項(xiàng)進(jìn)行討論，特別是偶數(shù)項(xiàng)時(shí)，最后兩項(xiàng)求得結(jié)果與前面項(xiàng)，求得結(jié)果不同，要分開(kāi)討論；二是余數(shù)求和后要再除以2023二次求余.四、解答題16．（2024年1月普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試適應(yīng)性測(cè)試（九省聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題）離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)是素?cái)?shù)，集合，若，記為除以的余數(shù)，為除以的余數(shù)；設(shè)，兩兩不同，若，則稱是以為底的離散對(duì)數(shù)，記為．(1)若，求；(2)對(duì)，記為除以的余數(shù)（當(dāng)能被整除時(shí)，）．證明：，其中；(3)已知．對(duì)，令．證明：．【答案】(1)1(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）第一問(wèn)直接根據(jù)新定義來(lái)即可.（2）第二問(wèn)結(jié)合新定義、帶余除法以及費(fèi)馬小定理即可得證.（3）根據(jù)新定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換即可得證.【詳解】（1）若，又注意到，所以.（2）【方法一】：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)，，故，此時(shí).當(dāng)時(shí)，因相異，故，而，故互質(zhì).記，則，使得，故，故，設(shè)，則，因?yàn)槌缘挠鄶?shù)兩兩相異，且除以的余數(shù)兩兩相異，故，故，故，而其中，故即.法2：記，，，其中，，k是整數(shù)，則，可知．因?yàn)?，a，，…，兩兩不同，所以存在，使得，即可以被p整除，于是可以被p整除，即．若，則，，因此，．

記，，，其中l(wèi)是整數(shù)，則，即．（3）【方法二】：當(dāng)時(shí)，由（2）可得，若，則也成立.因?yàn)?，所?另一方面，.由于，所以.法2：由題設(shè)和（2）的法2的證明知：，．故．由（2）法2的證明知，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是充分理解新定義，然后結(jié)合帶余除法以及費(fèi)馬小定理等初等數(shù)論知識(shí)即可順利得解.17．（重慶市巴蜀中學(xué)校2024屆高考適應(yīng)性月考卷（六）數(shù)學(xué)試題）對(duì)于函數(shù)，若存在，使得，則稱為函數(shù)的一階不動(dòng)點(diǎn)；若存在，使得，則稱為函數(shù)的二階不動(dòng)點(diǎn)；依此類推，可以定義函數(shù)的階不動(dòng)點(diǎn).其中一階不動(dòng)點(diǎn)簡(jiǎn)稱不動(dòng)點(diǎn)，二階不動(dòng)點(diǎn)也稱為穩(wěn)定點(diǎn).(1)已知，求的不動(dòng)點(diǎn)；(2)已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求證：“為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)”是“為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)”的充分必要條件；(3)已知，討論函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)1(2)證明見(jiàn)解析(3)答案見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，判斷該函數(shù)單調(diào)性，確定其解，即可求得答案；（2）根據(jù)函數(shù)新定義的含義，結(jié)合充分性以及必要性的證明，即可證明結(jié)論；（3）由題意可知只需研究的不動(dòng)點(diǎn)即可，令，求出其導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性，然后分類討論a的取值范圍，判斷的零點(diǎn)情況，即可判斷的穩(wěn)定點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）設(shè)，則恒成立，故函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，故函數(shù)在R上有唯一零點(diǎn)，即有唯一不動(dòng)點(diǎn)1；（2）證明：充分性：設(shè)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，則，則，即為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，充分性成立；必要性：設(shè)為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，即，假設(shè)，而在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，若，則，與矛盾；若，則，與矛盾；故必有，即，即，故為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，綜上，“為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)”是“為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)”的充分必要條件；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由（2）知的穩(wěn)定點(diǎn)與的不動(dòng)點(diǎn)等價(jià)，故只需研究的不動(dòng)點(diǎn)即可；令，則，則在上單調(diào)遞減，①當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)x無(wú)限接近于0時(shí)，趨向于負(fù)無(wú)窮小，且，故存在唯一的，使得，即有唯一解，所以此時(shí)有唯一不動(dòng)點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)x趨向無(wú)窮大時(shí)，趨近于0，此時(shí)，存在唯一，使得，此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨向于負(fù)無(wú)窮大，當(dāng)x趨向正無(wú)窮大時(shí)，趨向于負(fù)無(wú)窮大，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且，又在時(shí)單調(diào)遞增，故（i）當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，方程有一個(gè)解，即有唯一不動(dòng)點(diǎn)；（ii）當(dāng)shi，即，此時(shí)，方程無(wú)解，即無(wú)不動(dòng)點(diǎn)；（iii）當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，方程有兩個(gè)解，即有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；綜上，當(dāng)時(shí)或時(shí)，有唯一穩(wěn)定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，無(wú)穩(wěn)定點(diǎn)；當(dāng)，有兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)；【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)新定義問(wèn)題，涉及到知識(shí)點(diǎn)較多，解答時(shí)要注意理解函數(shù)新定義的含義，解答的難點(diǎn)是（3）中判斷函數(shù)穩(wěn)定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，解答時(shí)要結(jié)合新定義，采用分類討論的方法去解決問(wèn)題，解答過(guò)程較為復(fù)雜，要有較強(qiáng)的邏輯思維能力.18．（2024·湖北·二模）微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開(kāi)創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過(guò)渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段．對(duì)于函數(shù)在區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分便是由直線和曲線所圍成的區(qū)域（稱為曲邊梯形）的面積，根據(jù)微積分基本定理可得，因?yàn)榍吿菪蔚拿娣e小于梯形的面積，即，代入數(shù)據(jù)，進(jìn)一步可以推導(dǎo)出不等式：．(1)請(qǐng)仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：；(2)已知函數(shù)，其中．①證明：對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，曲線在和處的切線均不重合；②當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①證明見(jiàn)解析；②【分析】（1）根據(jù)題，設(shè)過(guò)點(diǎn)作的切線分別交于，結(jié)合，即可得證；（2）①求得，分別求得在點(diǎn)和處的切線方程，假設(shè)與重合，整理得，結(jié)合由（1）的結(jié)論，即可得證；②根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為時(shí)，在恒成立，設(shè)，求得，分和，兩種情況討論，得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.【詳解】（1）解：在曲線取一點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作的切線分別交于，因?yàn)椋傻?，即．?）解：①由函數(shù)，可得，不妨設(shè)，曲線在處的切線方程為，即同理曲線在處的切線方程為，假設(shè)與重合，則，代入化簡(jiǎn)可得，兩式消去，可得，整理得，由（1）的結(jié)論知，與上式矛盾即對(duì)任意實(shí)數(shù)及任意不相等的正數(shù)與均不重合．②當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以在恒成立，所以，下證：當(dāng)時(shí)，恒成立．因?yàn)?，所以設(shè)（i）當(dāng)時(shí)，由知恒成立，即在為增函數(shù)，所以成立；（ii）當(dāng)時(shí)，設(shè)，可得，由知恒成立，即在為增函數(shù)．所以，即在為減函數(shù)，所以成立，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．19．（重慶市第八中學(xué)校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期入學(xué)適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可記為．若，則表示曲線，直線以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積．(1)若，且，求；(2)已知，證明：，并解釋其幾何意義；(3)證明：，．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和題中定積分的含義得到.（2）先由定積分的預(yù)算得到，再分別構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證明結(jié)論；幾何意義由題干中定積分的含義得到.（3）先由二倍角公式化簡(jiǎn)得到，再由定積分的意義得到，最后根據(jù)求導(dǎo)與定積分的運(yùn)算得到，最后得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋栽O(shè)，又，代入上式可得，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，同理可得，綜上，.（2）因?yàn)?，所以，設(shè)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，故，即；設(shè)，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，所以，綜上，.幾何意義：當(dāng)時(shí)，曲線與直線（軸），以及軸圍成的“曲邊面積”大于直線（軸），以及軸，直線圍成的矩形面積，小于（軸），以及軸，直線圍成的矩形面積.（3）因?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1、由題干得到求導(dǎo)與定積分互為逆運(yùn)算；2、證明不等式時(shí)可作差構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性；3、利用定積分的幾何意義得到要證明的不等式間關(guān)系，再利用求導(dǎo)與定積分運(yùn)算得出最后結(jié)果.20．（廣東省廣州市華南師范大學(xué)附屬中學(xué)2024屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)周測(cè)試題（12））多元導(dǎo)數(shù)在微積分學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)是由，，…等多個(gè)自變量唯一確定的因變量，則當(dāng)變化為時(shí)，變化為，記為對(duì)的導(dǎo)數(shù)，其符號(hào)為.和一般導(dǎo)數(shù)一樣，若在上，已知，則隨著的增大而增大；反之，已知，則隨著的增大而減小.多元導(dǎo)數(shù)除滿足一般分式的運(yùn)算性質(zhì)外，還具有下列性質(zhì)：①可加性：；②乘法法則：；③除法法則：；④復(fù)合法則：.記.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），(1)寫(xiě)出和的表達(dá)式；(2)已知方程有兩實(shí)根，.①求出的取值范圍；②證明，并寫(xiě)出隨的變化趨勢(shì).【答案】(1)，(2)①；②證明見(jiàn)解析，隨增大而減小【分析】（1）設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，即可求解；（2）①由（1），得到單調(diào)遞增，求得，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，得到存在兩個(gè)零點(diǎn)，且；②由題設(shè)中的定義，求得，只需證明，令，設(shè)，得到，再求得，得到，結(jié)合，得出原命題成立，即可得證.【詳解】（1）解：設(shè)，則，同理.（2）解：①由（1），可得，則，且時(shí)，，，即單調(diào)遞減，時(shí)，即單調(diào)遞增，故，又由時(shí)，趨近于0的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于趨近于的速度，故，，因此只需且，即由零點(diǎn)存在性定理，，，存在兩個(gè)零點(diǎn)，故；②由，由①可得，，故只需證明，令，設(shè)，則，且，則，又單調(diào)遞增，且，故，單調(diào)遞增，則，必然，否則即單調(diào)遞減，不符合題意，，故原命題成立。所以隨增大而減小.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)的新定義試題中零點(diǎn)（方程的根）問(wèn)題的求解策略：1、正確理解新定義與高中知識(shí)的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，理解函數(shù)的定義的內(nèi)涵，緊緊結(jié)合定義，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行推理、論證求解.2、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過(guò)解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍；3、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；4、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見(jiàn)同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；③，構(gòu)造函數(shù)或.21．（廣東省八校（石門中學(xué)、國(guó)華紀(jì)念中學(xué)、三水中學(xué)、珠海一中、中山紀(jì)念中學(xué)、湛江一中、河源中學(xué)、深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校）2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）關(guān)于的函數(shù)，我們?cè)诒匦抟恢袑W(xué)習(xí)過(guò)“二分法”求其零點(diǎn)近似值.現(xiàn)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，介紹另一種求零點(diǎn)近似值的方法——“牛頓切線法”.(1)證明：有唯一零點(diǎn)，且；(2)現(xiàn)在，我們?nèi)稳?1,a)開(kāi)始，實(shí)施如下步驟：在處作曲線的切線，交軸于點(diǎn)；在處作曲線的切線，交軸于點(diǎn)；……在處作曲線的切線，交軸于點(diǎn)；可以得到一個(gè)數(shù)列，它的各項(xiàng)都是不同程度的零點(diǎn)近似值.（i）設(shè)，求的解析式(用表示)；（ii）證明：當(dāng)，總有.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明即可；（2）（i）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得曲線在處的切線方程為，進(jìn)而得；（ii）令，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明，再根據(jù)證明即可得答案.【詳解】（1）證明：，定義域?yàn)椋?，在上恒成立，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋裕嬖谖ㄒ唬沟?，即：有唯一零點(diǎn)，且.（2）解：（i）由（1）知，所以，曲線在處的切線斜率為，所以，曲線在處的切線方程為，即令得所以，切線與軸的交點(diǎn)，即，所以，.(ii)對(duì)任意的，由（i）知，曲線在處的切線方程為：，故令，令所以，，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；所以，恒有，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，另一方面，由（i）知，，且當(dāng)時(shí)，，（若，則，故任意，顯然矛盾）因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，所以因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以，對(duì)任意的時(shí)，總有又因?yàn)?，所以，?duì)于任意，均有，所以，所以，綜上，當(dāng)，總有【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，不等式的證明，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，是難題.本題第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于結(jié)合切線方程，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.22．（廣東省廣州市天河區(qū)2024屆高三畢業(yè)班綜合測(cè)試（二）數(shù)學(xué)試卷）已知函數(shù).(1)證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)，且；(2)我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過(guò)“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，另一種常用的求零點(diǎn)近似值的方法是“牛頓切線法”.任取，實(shí)施如下步驟：在點(diǎn)處作的切線，交軸于點(diǎn)：在點(diǎn)處作的切線，交軸于點(diǎn)；一直繼續(xù)下去，可以得到一個(gè)數(shù)列，它的各項(xiàng)是不同精確度的零點(diǎn)近似值.（i）設(shè)，求的解析式；（ii）證明：當(dāng)，總有.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明即可；（2）（i）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得曲線在處的切線方程為，進(jìn)而得；（ii）令，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明，再根據(jù)，證明即可得答案．【詳解】（1），定義域?yàn)椋?，在上恒成立，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，存在唯一，使得，即：有唯一零點(diǎn)，且；（2）（i）由（1）知，所以，曲線在處的切線斜率為，所以，曲線在處的切線方程為，即，令得，所以，切線與軸的交點(diǎn)，即，所以，；證明：（ii）對(duì)任意的，由（i）知，曲線在,處的切線方程為：，故令，令，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng),時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，恒有，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，另一方面，由（i）知，，且當(dāng)時(shí)，，（若，則，故任意，顯然矛盾），因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，所以，因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以，對(duì)任意的時(shí)，總有，又因?yàn)椋?，?duì)于任意，均有，所以，，，所以，綜上，當(dāng)，總有．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).23．（浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫(huà)曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C：上的曲線段，其弧長(zhǎng)為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫(huà)曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線C在點(diǎn)A處的曲率．（其中y＇，y＇＇分別表示在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）(1)求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；(2)求橢圓在處的曲率；(3)定義為曲線的“柯西曲率”．已知在曲線上存在兩點(diǎn)和，且P，Q處的“柯西曲率”相同，求的取值范圍．【答案】(1)1(2)(3)【分析】（1）依據(jù)所給定義求解即可.（2）直接利用定義求解即可.（3）合理構(gòu)造給定式子，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，結(jié)合高觀點(diǎn)極限方法求解即可.【詳解】（1）．（2），，，故，，故．（3），，故，其中，令，，則，則，其中（不妨）令，在遞減，在遞增，故；令，，令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，可得，即，故有，則在遞增，又，，故，故．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求導(dǎo)數(shù)新定義，解題關(guān)鍵是將給定式子合理轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，然后利用極限方法求得關(guān)鍵函數(shù)值域，最終即可求解．24．（江西省紅色十校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容．同余的定義為：設(shè)且．若，則稱a與b關(guān)于模m同余，記作（“|”為整除符號(hào)）．(1)解同余方程：；(2)設(shè)（1）中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列，其中．①若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求；②若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)或(2)6072；【分析】（1）根據(jù)同除的定義求解，（mod3），即能被3整除，從而得出x或能被3整除；（2）①首先求出（分奇偶項(xiàng)），確定出，用并項(xiàng)求和法求和；②求出，利用兩角差的正切公式變形通項(xiàng)，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和．【詳解】（1）由題意（mod3），所以或（），即或（）．（2）由（1）可得為，所以．①因?yàn)椋ǎ?，所以．則．②（）．因?yàn)?，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查學(xué)生的閱讀理解能力，創(chuàng)新意識(shí)，解題關(guān)鍵是正確理解新概念并能應(yīng)用解題，本題中同余問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是除以一個(gè)質(zhì)數(shù)后的余數(shù)相等，問(wèn)題轉(zhuǎn)化后可結(jié)合數(shù)列的求和方法，兩角差的正切公式等等知識(shí)才能順利求解．25．（湖北省襄陽(yáng)市第五中學(xué)2024屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）“物不知數(shù)”是中國(guó)古代著名算題，原載于《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二：五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二．問(wèn)物幾何？”問(wèn)題的意思是，一個(gè)數(shù)被3除余2，被5除余3，被7除余2，那么這個(gè)數(shù)是多少？若一個(gè)數(shù)被除余，我們可以寫(xiě)作．它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》大衍求一術(shù)中給出的．大衍求一術(shù)（也稱作“中國(guó)剩余定理”）是中國(guó)古算中最有獨(dú)創(chuàng)性的成就之一，現(xiàn)將滿足上述條件的正整數(shù)從小到大依次排序．中國(guó)剩余定理：假設(shè)整數(shù)，，…，兩兩互質(zhì)，則對(duì)任意的整數(shù)：，，…，方程組一定有解，并且通解為，其中為任意整數(shù)，，，為整數(shù)，且滿足．(1)求出滿足條件的最小正整數(shù)，并寫(xiě)出第個(gè)滿足條件的正整數(shù)；(2)在不超過(guò)4200的正整數(shù)中，求所有滿足條件的數(shù)的和．（提示：可以用首尾進(jìn)行相加）．【答案】(1)23，(2)82820【分析】（1）找出滿足條件的最小整數(shù)值為23，滿足條件的數(shù)形成以23為首項(xiàng)，105為公差的數(shù)列，即可求出答案；（2）確定該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，利用等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題目中給出的中國(guó)剩余定理可知，又因?yàn)?，解得，所以，?dāng)時(shí)，取得最小值，．所以第個(gè)滿足條件的正整數(shù)為．（2）不超過(guò)4200的正整數(shù)中，，解得，所以共有40個(gè)滿足條件的正整數(shù)，將這40個(gè)正整數(shù)首尾進(jìn)行相加有，故所有滿足條件的數(shù)的和為82820．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一問(wèn)的關(guān)鍵是充分理解剩余定理，從而得到方程組，解出相關(guān)值，再計(jì)算出即可.26．（河南省部分重點(diǎn)高中2024屆高三普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（期末聯(lián)考）數(shù)學(xué)試卷）三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下：．若，則稱為空間向量與的叉乘，其中（），（），為單位正交基底．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、分別以的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知A，B是空間直角坐標(biāo)系中異于O的不同兩點(diǎn)．(1)①若，，求；②證明：．(2)記的面積為，證明：．(3)證明：的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的6倍．【答案】(1)①；②證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用向量的叉乘的定義逐項(xiàng)分析即得.（2）利用數(shù)量積公式求得，則有可知，借助叉乘公式，利用分析法即可證得結(jié)果．（3）由（2），化簡(jiǎn)可得，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）①因?yàn)椋?，則．②證明：設(shè)，，則，將與互換，與互換，與互換，可得，故．（2）證明：因?yàn)?，故，故要證，只需證，即證．由（1），，，故，又，，，故則成立，故．（3）證明：由（2），得，故，故的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的6倍．27．（北京市朝陽(yáng)區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知是個(gè)正整數(shù)組成的行列的數(shù)表，當(dāng)時(shí)，記．設(shè)，若滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：①；②對(duì)任意，存在，使得，則稱為數(shù)表．(1)判斷是否為數(shù)表，并求的值；(2)若數(shù)表滿足，求中各數(shù)之和的最小值；(3)證明：對(duì)任意數(shù)表，存在，使得．【答案】(1)是；(2)(3)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)題中條件可判斷結(jié)果，根據(jù)題中公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)條件討論的值，根據(jù)，得到相關(guān)的值，進(jìn)行最小值求和即可；（3）當(dāng)時(shí)，將橫向相鄰兩個(gè)用從左向右的有向線段連接，則該行有條有向線段，得到橫向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)，同樣的方法得到縱向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)，根據(jù)條件建立不等關(guān)系，即可證明.【詳解】（1）是數(shù)表，（2）由題可知.當(dāng)時(shí)，有，所以.當(dāng)時(shí)，有，所以.所以所以或者，或者，或，或，故各數(shù)之和，當(dāng)時(shí)，各數(shù)之和取得最小值.（3）由于數(shù)表中共個(gè)數(shù)字，必然存在，使得數(shù)表中的個(gè)數(shù)滿足設(shè)第行中的個(gè)數(shù)為當(dāng)時(shí)，將橫向相鄰兩個(gè)用從左向右的有向線段連接，則該行有條有向線段，所以橫向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)設(shè)第列中的個(gè)數(shù)為.當(dāng)時(shí)，將縱向相鄰兩個(gè)用從上到下的有向線段連接，則該列有條有向線段，所以縱向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)所以,因?yàn)?所以.所以必存在某個(gè)既是橫向有向線段的起點(diǎn)，又是縱向有向線段的終點(diǎn)，即存在使得，所以，則命題得證.28．（廣東省2024屆普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試卷）數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計(jì)算，是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其主要研究對(duì)象包括向量和矩陣.對(duì)于平面向量，其模定義為.類似地，對(duì)于行列的矩陣，其?？捎上蛄磕Ｍ卣篂椋ㄆ渲袨榫仃囍械谛械诹械臄?shù)，為求和符號(hào)），記作，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對(duì)于矩陣，其矩陣模.弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)等前沿領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.(1)，，矩陣，求使的的最小值.(2)，，，矩陣求.(3)矩陣，證明：，，.【答案】(1)10(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式和一元二次不等式的求解即可；（2）總結(jié)得第對(duì)角線上的平方和為，再代入化簡(jiǎn)即可；（3）等價(jià)轉(zhuǎn)化結(jié)合放縮法得證明成立，再利用換元法和導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】（1）由題意得.若，則，即.因式分解得.因?yàn)?，所?所以使的的最小值是10.（2）由題得第1對(duì)角線上的平方和為，第2對(duì)角線上的平方和為，第對(duì)角線上的平方和為，第對(duì)角線上的平方和為，所以所以.（3）由題意知，證明等價(jià)于證明，注意到左側(cè)求和式，將右側(cè)含有的表達(dá)式表示為求和式有故只需證成立，即證成立，令，則需證成立，記，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，即成立，所以原不等式成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三小問(wèn)的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明，再結(jié)合放縮法轉(zhuǎn)化為證明，最后利用導(dǎo)數(shù)證明即可.29．（貴州省貴陽(yáng)市2024屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷（一））英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問(wèn)題.(1)證明：；(2)設(shè)，證明：；(3)設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）首先設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題；（2）首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可證明；（3）分和兩種情況討論，求出在附近的單調(diào)區(qū)間，即可求解.【詳解】（1）設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此，，即.（2）由泰勒公式知，①于是，②由①②得所以即.（3），則，設(shè)，由基本不等式知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此，是的極小值點(diǎn).下面證明：當(dāng)時(shí)，不是的極小值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí)，.因此，在上單調(diào)遞減.又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因此，是的極大值點(diǎn)，不是的極小值點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)是本題的難點(diǎn)，關(guān)鍵是分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷附近的單調(diào)性.30．（福建省福州第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，.(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.（i）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ii）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（i）不存在“和諧區(qū)間”，理由見(jiàn)解析（ii）存在，有唯一的“和諧區(qū)間”【分析】（1）利用來(lái)證得結(jié)論成立.（2）（i）通過(guò)證明方程只有一個(gè)實(shí)根來(lái)判斷出此時(shí)不存在“和諧區(qū)間”.（ii）對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合的單調(diào)性以及（1）的結(jié)論求得唯一的“和諧區(qū)間”.【詳解】（1）由已知當(dāng)時(shí)，，得，所以當(dāng)時(shí)，.（2）（i）時(shí)，假設(shè)存在，則由知，注意到，故，所以在單調(diào)遞增，于是，即是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，易知不是方程的根，由已知，當(dāng)時(shí)，，令，則有時(shí)，，即，故方程只有一個(gè)實(shí)根0，故不存在“和諧區(qū)間”.（ii）時(shí)，假設(shè)存在，則由知若，則由，知，與值域是矛盾，故不存在“和諧區(qū)間”，同理，時(shí)，也不存在，下面討論，若，則，故最小值為，于是，所以，所以最大值為2，故，此時(shí)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，符合題意.若，當(dāng)時(shí)，同理可得，舍去，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，于是，若即，則，故，與矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，從而，，從而，矛盾，綜上所述，有唯一的“和諧區(qū)間”.【點(diǎn)睛】對(duì)于“新定義”的題目，關(guān)鍵是要運(yùn)用新定義的知識(shí)以及原有的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)進(jìn)行求解.本題有兩個(gè)“新定義”，一個(gè)是泰勒發(fā)現(xiàn)的公式，另一個(gè)是“和諧區(qū)間”.泰勒發(fā)現(xiàn)的公式可以直接用于證明，“和諧區(qū)間”可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解.31．（北京市第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）對(duì)于給定的正整數(shù)n，記集合，其中元素稱為一個(gè)n維向量．特別地，稱為零向量．設(shè)，，，定義加法和數(shù)乘：，．對(duì)一組向量，，…，（，），若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)，，…，，使得，則稱這組向量線性相關(guān)．否則，稱為線性無(wú)關(guān)．(1)對(duì)，判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)，并說(shuō)明理由．①，；②，，；③，，，．(2)已知向量，，線性無(wú)關(guān)，判斷向量，，是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)，并說(shuō)明理由．(3)已知個(gè)向量，，…，線性相關(guān)，但其中任意個(gè)都線性無(wú)關(guān)，證明下列結(jié)論：①如果存在等式（，），則這些系數(shù)，，…，或者全為零，或者全不為零；②如果兩個(gè)等式，（，，）同時(shí)成立，其中，則．【答案】(1)①線性相關(guān)，②線性相關(guān)，③線性相關(guān)(2)向量，，線性無(wú)關(guān)，理由見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)定義逐一判斷即可；（2）設(shè)，則，然后由條件得到即可；（3）①如果某個(gè)，，然后證明都等于0即可；②由可得，然后代入證明即可.【詳解】（1）對(duì)于①，設(shè)，則可得，所以線性相關(guān)；對(duì)于②，設(shè)，則可得，所以，所以線性相關(guān)；對(duì)于③，設(shè)，則可得，可取符合該方程，所以線性相關(guān)；（2）設(shè)，則因?yàn)橄蛄?，，線性無(wú)關(guān)，所以，解得所以向量，，線性無(wú)關(guān)（3）證明：①，如果某個(gè)，則因?yàn)槿我鈧€(gè)都線性無(wú)關(guān)，所以都等于0所以這些系數(shù)，，…，或者全為零，或者全不為零②因?yàn)?，所以全不為零所以由可得代入可得所以所以，，所?2．（云南省昆明市西山區(qū)2024屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）我們把（其中，）稱為一元n次多項(xiàng)式方程．代數(shù)基本定理：任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式方程（即，，，…，為實(shí)數(shù)）在復(fù)數(shù)集內(nèi)至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根；由此推得，任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有n個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)化為n個(gè)一元一次多項(xiàng)式的積．即，其中k，，，，，……，為方程的根．進(jìn)一步可以推出：在實(shí)系數(shù)范圍內(nèi)（即，，，…，為實(shí)數(shù)），方程的有實(shí)數(shù)根，則多項(xiàng)式必可分解因式．例如：觀察可知，是方程的一個(gè)根，則一定是多項(xiàng)式的一個(gè)因式，即，由待定系數(shù)法可知，．(1)解方程：；(2)設(shè)，其中，，，，且．（i）分解因式：；（ii）記點(diǎn)是的圖象與直線在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn)．求證：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)，，(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）觀察得到是方程的一個(gè)根，從而設(shè)，對(duì)照系數(shù)得到，，，得到，求出方程的根；（2）（i）是方程的一個(gè)根，設(shè)，對(duì)照系數(shù)得到，，，從而得到答案；（ii）令，故是方程的最小正實(shí)根，由（i）知：，設(shè)，根據(jù)的開(kāi)口方向，結(jié)合，則一定有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，設(shè)正實(shí)根為t，結(jié)合得到，故，得到.【詳解】（1）觀察可知：是方程的一個(gè)根；所以，由待定系數(shù)法可知，，解得，，；所以，即或，則方程的根為，，．（2）（i）由可知，是方程的一個(gè)根；所以，即，對(duì)照系數(shù)得，，，，故，，；所以．（ii）令，即，點(diǎn)是的圖象與直線在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn)，等價(jià)于是方程的最小正實(shí)根；由（i）知：是方程的一個(gè)正實(shí)根，且，設(shè)，由，，，可知為開(kāi)口向上的二次函數(shù)；又因?yàn)?，則一定有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，設(shè)正實(shí)根為t；又，可得，所以；當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)單調(diào)性可知，即是方程的最小正實(shí)根．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三次函數(shù)是近兩年高考?？伎键c(diǎn)，需要對(duì)三次函數(shù)理解到位，求解三次函數(shù)的零點(diǎn)，常常需要先觀察函數(shù)，直接法得到其中一個(gè)零點(diǎn)，將三次函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，故常常利用二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究三次函數(shù)的性質(zhì).33．（山東省菏澤市2024屆高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．（注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）已知在處的階帕德近似為．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)比較與的大??；(3)若在上存在極值，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2)答案見(jiàn)解析；(3)．【分析】（1）由，，列方程組求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）令利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，又，可比較與的大小；（3）由在上存在極值，所以在上存在變號(hào)零點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)分類討論，對(duì)的零點(diǎn)進(jìn)行分析．【詳解】（1）由，，有，可知，，，，由題意，，，所以，所以，．（2）由（1）知，，令，則，所以在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，又，時(shí)，；時(shí)，；所以時(shí)，；時(shí)，．（3）由，．由在上存在極值，所以在上存在變號(hào)零點(diǎn)．令，則，．①時(shí)，，為減函數(shù)，，在上為減函數(shù)，，無(wú)零點(diǎn)，不滿足條件．②當(dāng)，即時(shí)，，為增函數(shù)，，在上為增函數(shù)，，無(wú)零點(diǎn)，不滿足條件．③當(dāng)，即時(shí)，令即，．當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù)，；令，，，在時(shí)恒成立，在上單調(diào)遞增，，恒成立；，，，則，，；，令，令，，則在是單調(diào)遞減，，所以，，令，則，，．，即．由零點(diǎn)存在定理可知，在上存在唯一零點(diǎn)，又由③知，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，，所以此時(shí)，，在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在上存在變號(hào)零點(diǎn)，綜上所述實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解題過(guò)程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，而構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.34．（重慶市求精中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題）“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且(1)求；(2)若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求；(3)設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)二倍角公式結(jié)合正弦定理角化邊化簡(jiǎn)可得，即可求得答案；（2）利用等面積法列方程，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.（3）由（1）結(jié)論可得，設(shè)，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】（1）由已知中，即，故，由正弦定理可得，故直角三角形，即.（2）由（1），所以三角形的三個(gè)角都小于，則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：，設(shè)，由得：，整理得，則.（3）點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，則，設(shè)，則由得；由余弦定理得，，，故由得，即，而，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，解得時(shí)，等號(hào)成立，又，即有，解得或（舍去），故實(shí)數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題首先要理解費(fèi)馬點(diǎn)的含義，從而結(jié)合（1）的結(jié)論可解答第二問(wèn)，解答第二問(wèn)的關(guān)鍵在于設(shè)，推出，結(jié)合費(fèi)馬點(diǎn)含義，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解.35．（東北三省三校（哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第一次聯(lián)合模擬考數(shù)學(xué)試題）十七世紀(jì)至十八世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上第一個(gè)提出二進(jìn)制記數(shù)法的人，用二進(jìn)制記數(shù)只需數(shù)字0和1，對(duì)于整數(shù)可理解為逢二進(jìn)一，例如：自然數(shù)1在二進(jìn)制中就表示為，2表示為，3表示為，5表示為，發(fā)現(xiàn)若可表示為二進(jìn)制表達(dá)式，則，其中，或1（）.(1)記，求證：；(2)記為整數(shù)的二進(jìn)制表達(dá)式中的0的個(gè)數(shù)，如，.（?。┣螅唬áⅲ┣螅ㄓ脭?shù)字作答）.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（?。?；（ⅱ）9841【分析】（1）借助二進(jìn)制的定義計(jì)算可得，，即可得證；（2）（?。┙柚M(jìn)制的定義可計(jì)算出，即可得表達(dá)式中的0的個(gè)數(shù)；（ⅱ）計(jì)算出從到中，、、，的個(gè)數(shù)，即可得.【詳解】（1），，，，；（2）（ⅰ），，（ⅱ），，故從到中，有、、、共9個(gè)，有個(gè)，由，即共有個(gè)有個(gè)，由，即共有個(gè)……，有個(gè)，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本體最后一小問(wèn)關(guān)鍵點(diǎn)在于結(jié)合二進(jìn)制的定義，得到，，通過(guò)組合數(shù)的計(jì)算得到、、、的個(gè)數(shù)，再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算得到結(jié)果.36．（2024屆廣東?。ǚ鹕绞械谝恢袑W(xué)、廣州市第六中學(xué)、汕頭市金山中學(xué)、）高三六校2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）如圖，已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合.點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進(jìn)行解答)極點(diǎn)與極線是法國(guó)數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)（不是原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為，且若極點(diǎn)在軸上，則過(guò)點(diǎn)作橢圓的割線交于點(diǎn)，則對(duì)于上任意一點(diǎn)，均有（當(dāng)斜率均存在時(shí)）.已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.連接交軸于點(diǎn).連接分別交橢圓于兩點(diǎn).①設(shè)直線、分別交軸于點(diǎn)、點(diǎn)，證明：點(diǎn)為、的中點(diǎn)；②證明直線：恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)，(2)①證明過(guò)程見(jiàn)解析②證明過(guò)程見(jiàn)解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）由橢圓焦點(diǎn)在軸上面，列出不等式組即可得的范圍，由的關(guān)系以及短軸長(zhǎng)列出方程組即可得，由此即可得橢圓方程.（2）為了說(shuō)明結(jié)論的驗(yàn)證性，首先證明一下題述引理（用解析幾何方法），即聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由韋達(dá)定理以及斜率公式證明即可，從而對(duì)于①由結(jié)論法說(shuō)明Q是和的交點(diǎn)，且，結(jié)合由此即可進(jìn)一步得證；對(duì)于②由結(jié)論法可表示出的方程，由此整理即可得解.【詳解】（1）由題意焦點(diǎn)在軸上，所以，解得，即的范圍為，且，解得，所以橢圓方程為.（2）我們首先給出題目給出的引理的證明：設(shè)，則Q在P的極線上，現(xiàn)在如果經(jīng)過(guò)P的直線交橢圓于：那么，代入橢圓就得到，所以，由韋達(dá)定理有，此時(shí)要證明的是：，也就是，也就是，也就是，

也就是，也就是，

也就是，也就是，也就是，也就是，也就是，這顯然成立，所以結(jié)論得證.接下來(lái)我們回到原題，

①首先由于Q在P的極線上，故由引理有，，而，所以，這表明Q是和的交點(diǎn)，又由于，故，設(shè)，而，，，所以，也就是E是的中點(diǎn)；②設(shè)，那么，所以，這表明的方程是，即，所以恒過(guò)點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)的關(guān)鍵是用解析幾何證明題述引理的正確性，由此即可利用結(jié)論法進(jìn)一步求解.37．（2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試卷）拓?fù)鋵W(xué)是一個(gè)研究圖形（或集合）整體結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的一門幾何學(xué)，以抽象而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z(yǔ)言將幾何與集合聯(lián)系起來(lái)，富有直觀和邏輯．已知平面，定義對(duì)，，其度量（距離）并稱為一度量平面．設(shè)，，稱平面區(qū)域?yàn)橐詾樾?，為半徑的球形鄰域?1)試用集合語(yǔ)言描述兩個(gè)球形鄰域的交集；(2)證明：中的任意兩個(gè)球形鄰域的交集是若干個(gè)球形鄰域的并集；(3)一個(gè)集合稱作“開(kāi)集”當(dāng)且僅當(dāng)其是一個(gè)無(wú)邊界的點(diǎn)集．證明：的一個(gè)子集是開(kāi)集當(dāng)且僅當(dāng)其可被表示為若干個(gè)球形鄰域的并集．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由交集的定義可解；（2）結(jié)合題意，利用并集的定義證明；（3）利用題目定義分別證明充分性和必要性.【詳解】（1）設(shè)這兩個(gè)球形鄰域分別為，，為和的交集．①若與不相交，則；②若與相交，則且故或且．（2）我們約定集合族是指以集合為元素的集合，其并運(yùn)算為表示集合族的所有集合的并集回到原題，設(shè)這兩個(gè)球形鄰域分別為，，為和的交集．①若與不相交，則，即可以看作零個(gè)球形鄰域的并集；②若與相交，則取，令，構(gòu)造球形鄰域．因?yàn)閷?duì)于，有故，這說(shuō)明．由于是中任取的一點(diǎn)，這說(shuō)明，繼而即可被表示為若干個(gè)球形鄰域的并集．命題得證．（3）①先證充分性：當(dāng)?shù)囊粋€(gè)子集可以寫(xiě)為若干球形鄰域的并時(shí)，其必為開(kāi)集．設(shè)，由（2）可知可看作若干個(gè)球形鄰域的并集，即則，使得，故是開(kāi)集．充分性證畢．②再證必要性：若的一個(gè)子集是開(kāi)集，則其可被表示為若干個(gè)球形鄰域的并集．設(shè)是一個(gè)開(kāi)集，由情況①得，使得，所以即故可被表示為若干個(gè)球形鄰域的并集．必要性證畢．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用集合的運(yùn)算和題干中的定義完成問(wèn)題.38．（安徽省黃山市2024屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛．差分和差分方程是描述離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用．對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，規(guī)定為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列，其中．(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由？(2)數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，對(duì)于任意的，都存在，使得，求的值；(3)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為常數(shù)列，對(duì)滿足，的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】(1)不是等差數(shù)列，是等差數(shù)列(2)(3)2【分析】（1）理清條件的新定義，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行判斷；（2）根據(jù)新定義和等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)等進(jìn)行分類討論求解；（3）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及新定義求解出，運(yùn)用均值不等式求解出的范圍，從而得出的最值.【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，，故，，顯然，所以不是等差數(shù)列；因?yàn)椋瑒t，，所以是首項(xiàng)為12，公差為6的等差數(shù)列.（2）因?yàn)閿?shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，所以，故，所以數(shù)列是以公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，，所以，且對(duì)任意的，都存在，使得，即，所以，因?yàn)?，所以，①若，則，解得（舍），或，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都存在，使得.②若，則，對(duì)任意的，不存在，使得.綜上所述，.（3）因?yàn)闉槌?shù)列，則是等差數(shù)列，設(shè)的公差為，則，若，則，與題意不符；若，所以當(dāng)時(shí)，，與數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)矛盾，所以，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以則當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，另一方面，當(dāng)時(shí)，令，，，則，，則，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，即，不滿足不等式恒成立，綜上，的最大值為2.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的新定義問(wèn)題，關(guān)于新定義問(wèn)題的常見(jiàn)思路為：（1）理解新定義，明確新定義中的條件、原理、方法與結(jié)論等；（2）新定義問(wèn)題要與平時(shí)所學(xué)知識(shí)相結(jié)合運(yùn)用；（3）對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題要結(jié)合均值不等式進(jìn)行求解最值，把握好分類討論的時(shí)機(jī).39．（云南省昆明市第一中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第六次考前基礎(chǔ)強(qiáng)化數(shù)學(xué)試題）懸鏈線的原理運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．通過(guò)適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，類比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關(guān)系：①，②和角公式：，③導(dǎo)數(shù)：定義雙曲正弦函數(shù)．(1)直接寫(xiě)出，具有的類似①、②、③的三種性質(zhì)（不需要證明）；(2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)求的最小值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)(3)0【分析】（1）類比，寫(xiě)出平方關(guān)系，和角關(guān)系和導(dǎo)數(shù)關(guān)系，并進(jìn)行證明；（2）構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)，分和兩種情況，結(jié)合基本不等式，隱零點(diǎn)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到答案；（3）多次求導(dǎo)，結(jié)合（2）中結(jié)論，先得到在內(nèi)單調(diào)遞增，再求出為偶函數(shù)，從而得到在內(nèi)單調(diào)遞減，求出.【詳解】（1）平方關(guān)系：；和角公式：；導(dǎo)數(shù)：．理由如下：平方關(guān)系，；，和角公式：故；導(dǎo)數(shù)：，；（2）構(gòu)造函數(shù)，，由（1）可知，i．當(dāng)時(shí)，由可知，故，故單調(diào)遞增，此時(shí)，故對(duì)任意，恒成立，滿足題意；ii．當(dāng)時(shí)，令，，則，可知單調(diào)遞增，由與可知，存在唯一，使得，故當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞減，故對(duì)任意，，即，矛盾；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（3），，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，由（2）可知，，則，令，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，因?yàn)?，即為偶函?shù)，故在內(nèi)單調(diào)遞減，則，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值0.【點(diǎn)睛】對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.40．（2024屆高三新高考改革數(shù)學(xué)適應(yīng)性練習(xí)（九省聯(lián)考題型））對(duì)于非空集合，定義其在某一運(yùn)算（統(tǒng)稱乘法）“×”下的代數(shù)結(jié)構(gòu)稱為“群”，簡(jiǎn)記為．而判斷是否為一個(gè)群，需驗(yàn)證以下三點(diǎn)：1.（封閉性）對(duì)于規(guī)定的“×”運(yùn)算，對(duì)任意，都須滿足；2.（結(jié)合律）對(duì)于規(guī)定的“×”運(yùn)算，對(duì)任意，都須滿足；3.（恒等元）存在，使得對(duì)任意，；4.（逆的存在性）對(duì)任意，都存在，使得．記群所含的元素個(gè)數(shù)為，則群也稱作“階群”．若群的“×”運(yùn)算滿足交換律，即對(duì)任意，，我們稱為一個(gè)阿貝爾群（或交換群）．(1)證明：所有實(shí)數(shù)在普通加法運(yùn)算下構(gòu)成群；(2)記為所有模長(zhǎng)為1的復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合，請(qǐng)找出一個(gè)合適的“×”運(yùn)算使得在該運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群，并說(shuō)明理由；(3)所有階數(shù)小于等于四的群是否都是阿貝爾群？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)在復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群，理由見(jiàn)解析(3)所有階數(shù)小于等于四的群都是阿貝爾群，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合實(shí)數(shù)運(yùn)算分析證明；（2）根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算分析證明；（3）分類討論群的階數(shù)，根據(jù)題意結(jié)合反證法分析證明.【詳解】（1）我們需證在普通加法下可構(gòu)成一個(gè)群，需從以下四個(gè)方面進(jìn)行驗(yàn)證：①封閉性：對(duì)，則，封閉性成立；②結(jié)合律：對(duì)，，結(jié)合律成立；③恒等元：取，則對(duì)任意，．符合恒等元要求；④逆的存在性：對(duì)任意，，且，滿足逆的存在性．綜上所述，所有實(shí)數(shù)在普通加法運(yùn)算下可構(gòu)成群．（2）首先提出，的“×”運(yùn)算可以是復(fù)數(shù)的乘法：，理由如下．即證明在普