數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位的必要性，了解數(shù)系的擴(kuò)充過程；2.理解在數(shù)系的擴(kuò)充中由實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念；3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念，實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)之間的關(guān)系，復(fù)數(shù)相等的含義。課堂引入被“數(shù)”出來的自然數(shù)今天真順，可是我現(xiàn)在共捕了多少頭野豬呢？有辦法了，用結(jié)繩來計(jì)數(shù)！

我真是天才！遠(yuǎn)古時(shí)期的人類，用劃痕、石子、結(jié)繩記數(shù)，創(chuàng)造了自然數(shù)1.2.3.4.

5……自然數(shù)是現(xiàn)實(shí)世界最基本的數(shù)量，是全部數(shù)學(xué)的發(fā)源地.計(jì)數(shù)的需要自然數(shù)被“欠”出來的負(fù)數(shù)該如何記出入賬呢?東漢初期的“九章算術(shù)”中就有負(fù)數(shù)的說法．負(fù)數(shù)的引入，解決了在數(shù)集中不夠減的矛盾.相反量的需要負(fù)數(shù)被“分”出來的分?jǐn)?shù)大約在春秋戰(zhàn)國時(shí)期等額公平分配的需要分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的引入,解決了在整數(shù)中不能整除的矛盾.數(shù)系的擴(kuò)充思考：數(shù)系為什么被擴(kuò)充？擴(kuò)充的原因是什么?更完備的數(shù)系可以幫我們解決更多的數(shù)學(xué)問題+負(fù)整數(shù)+分?jǐn)?shù)+無理數(shù)二、問題導(dǎo)學(xué)（8分鐘）數(shù)系的擴(kuò)充自然數(shù)正有理數(shù)和零有理數(shù)實(shí)數(shù)NQ+∪{0}QR用圖形表示數(shù)集包含關(guān)系：負(fù)數(shù)能否開平方?在解方程時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到這類問題.如果負(fù)數(shù)可以開平方,那這個(gè)平方根會(huì)不會(huì)是實(shí)數(shù),是什么數(shù)呢?實(shí)部2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式虛部其中i稱為虛數(shù)單位。思考2：你認(rèn)為如何定義兩個(gè)復(fù)數(shù)相等？通常用字母

z

表示，即

全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示

.一.復(fù)數(shù)的概念形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù).1.定義：

如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．二.復(fù)數(shù)相等思考2：在什么條件下z=a+bi(a,b∈R)是實(shí)數(shù)？復(fù)數(shù)集C和實(shí)數(shù)集R之間有什么關(guān)系？三.復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)：a+bi(a,b∈R)思考1：1.說明下列數(shù)中，那些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)，并指出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.0,練習(xí)：實(shí)數(shù):0,虛數(shù):純虛數(shù):×××例1.當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)是（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).1.復(fù)數(shù)z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是純虛數(shù)，則有(

)A．m＝±1 B．m＝－1C．m＝1 D．m≠1練習(xí)：B2.復(fù)數(shù)z＝cosθ＋isinθ，且θ∈[0,π]，若z是實(shí)數(shù)，則θ的值為________；若z為純虛數(shù)，則θ的值為______．0或ππ/2例2.已知x，y是實(shí)數(shù)，且滿足(2x－1)＋(3－y)i＝y(tǒng)－i，

求x，y.1.a2＋2i＝4＋(4－a)i，則實(shí)數(shù)a的值為(

)A．－2 B．2C．2或－2D．0或2練習(xí)：B2.已知關(guān)于x的方程(3＋2i)x＋(m－2i)＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為________，方程的實(shí)根x為________．1－3三、點(diǎn)撥精講對(duì)于一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．引入一個(gè)新數(shù)：滿足引入一個(gè)新數(shù)，叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定（2）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立．

(1)復(fù)數(shù)定義：我們把形如a+bi(a、b

∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C={a+bi

|

a、b∈R}叫做復(fù)數(shù)集表示法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a、b∈R).以后不作特殊說明時(shí)復(fù)數(shù)z=a+bi都有a、b∈R,其中的a與b

分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式實(shí)部通常用字母

z

表示，即虛部其中稱為虛數(shù)單位。復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)集虛數(shù)集實(shí)數(shù)集純虛數(shù)集1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)

(b＝0)，

(b≠0)純虛數(shù)

，非純虛數(shù)____________

實(shí)數(shù)虛數(shù)a＝0，b≠0a≠0,b≠0

1.下列哪些是純虛數(shù)？它們的實(shí)部和虛部分別是多少？看看你掌握了嗎？例1實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？解：（1）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)．（2）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)．（3）當(dāng)，且，即時(shí)，復(fù)

數(shù)z是純虛數(shù)．練習(xí)：當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝

＋(m2－2m)i為：(1)實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？相等復(fù)數(shù)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．即如果，那么00==?=+babia兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小例題講解解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組所以例2已知，其中，求.yx與

當(dāng)實(shí)數(shù)

分別取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)

是：(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).課堂練習(xí)

解：(1)要使

是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)

滿足：

解得

，

所以當(dāng)

時(shí)，

是實(shí)數(shù).

(2)要使

是虛數(shù)，則實(shí)數(shù)

滿足：

解得

且

，

所以當(dāng)

且

時(shí)，

是虛數(shù).課堂練習(xí)

(3)要使

是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)

滿足：

解得

，

所以當(dāng)

時(shí)，

是純虛數(shù).

當(dāng)實(shí)數(shù)

分別取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)

是：(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).方法點(diǎn)撥：(1)要判斷一個(gè)復(fù)數(shù)是什么類型的數(shù)，首先要分清這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部以及它們對(duì)復(fù)數(shù)分類的影響，因此要把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式

，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)時(shí)，要先確定參數(shù)的取值使代數(shù)式有意義.(2)因?yàn)閺?fù)數(shù)表示0，所以只需把0看作

即可轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)相等的

問題，故可求得當(dāng)

且

時(shí)復(fù)數(shù)表示0.

例2.求滿足下列條件的實(shí)數(shù)

，

的值：（1）（2）

(課本P70練習(xí)改編)

解：(1)由兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件得：

解得：

例題講解若

，

，則“

”是“”的(

).A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件當(dāng)

時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)

且

即

所以

或

，故“”是“”的充分不必要條件．因此選A.課堂練習(xí)分析：當(dāng)

時(shí)

，所以

.方法點(diǎn)撥：(1)解決復(fù)數(shù)相等問題是在復(fù)數(shù)的代數(shù)形式下根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等列方程（組）求解．(2)復(fù)數(shù)相等的充要條件是“化虛為實(shí)”的主要依據(jù)，是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化思想的體現(xiàn)．易錯(cuò)分析：沒有正確理解復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)混淆了.1.下列說法中，正確的有________．①若

，則

；

②是純虛數(shù)；③方程

無實(shí)根．課堂練習(xí)解：①錯(cuò)，如,；

②錯(cuò)，當(dāng)

，

是實(shí)數(shù)；

③正確．判別式

，所以方程無實(shí)根.2.若復(fù)數(shù)

為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)

的值．解:為純虛數(shù)，則需滿足

且

，解得

.易錯(cuò)分析：純虛數(shù)與虛數(shù)的概念不清,此題易忽視虛部

的取值，只由

得

，而當(dāng)

時(shí)，

不是純虛數(shù)．課堂練習(xí)易錯(cuò)分析：

對(duì)復(fù)數(shù)的分類不清,忽視條件中“”的意義，錯(cuò)誤認(rèn)為

且.實(shí)際上兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，才可以比較大小，否則是不能比較大小的．

3.已知

，若

，求實(shí)數(shù)

的值．解：能比較大小的兩個(gè)數(shù)一定是實(shí)數(shù)，故

，解得

或

因

，所以

，解得

，故實(shí)數(shù).

課堂練習(xí)解:設(shè)

是原方程的實(shí)數(shù)根,則原方程可以變?yōu)椋阂虼私獾?

若關(guān)于

的方程

有實(shí)數(shù)根，

求實(shí)數(shù)

的值.問題探究分析：將方程轉(zhuǎn)化為等號(hào)兩邊均為復(fù)數(shù)

的形式，確定兩邊的復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，列方程組求解.當(dāng)

時(shí)，方程的實(shí)數(shù)根：;當(dāng)

時(shí)，方程的實(shí)數(shù)根：.

對(duì)于虛系數(shù)的一元二次方程

，根與系數(shù)的關(guān)系依然適用，并可用求根公式

求出方程的根，但是不能用“判別式

”判斷方程有無實(shí)數(shù)根.因此對(duì)于含虛系數(shù)的一元二次方程有實(shí)數(shù)根求參數(shù)問題，由于虛數(shù)單位的特殊性,并且“判別式”是只適用于實(shí)系數(shù)的一元二次方程，因此不能用判別式求參數(shù)的取值.方法點(diǎn)撥：

解決此題關(guān)鍵是把含虛系數(shù)方程有實(shí)數(shù)根問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的問題，復(fù)數(shù)問題的“實(shí)數(shù)化”是解決復(fù)數(shù)問題的重要方法.數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念核心知識(shí)方法總結(jié)核心素養(yǎng)易錯(cuò)提醒1.數(shù)系的擴(kuò)充.2.復(fù)數(shù)有關(guān)的概念(1)判斷復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或者純虛數(shù)：①保證復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部均有意義．②根據(jù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，列出實(shí)部、虛部應(yīng)滿足的關(guān)系式再求解．(2)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)的步驟