2022年全國初中數(shù)學(xué)競賽模擬試卷

第1頁（共1頁）2022年全國初中數(shù)學(xué)競賽模擬試卷一、填空題（共7小題，每空2分，滿分20分）1．（2分）已知，，那么．2．（2分）如圖，以為直徑畫一個大半圓，，分別以，為直徑在大半圓內(nèi)部畫兩個小半圓，那么陰影部分的面積與大半圓面積的比等于．3．（2分）加油站和商店在馬路的同一側(cè)（如圖），到的距離大于到的距離，米，一個行人在馬路上行走，問：當(dāng)?shù)降木嚯x與到的距離之差最大時，這個差等于米．4．（4分）如圖，有個正方形，有個三角形．5．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點，為實數(shù)）不可能在第象限．6．（4分）某校組織師生春游，如果單獨租用45座客車若干輛，剛好坐滿；如果單獨租用60座客車，可以少租一輛，且余30個座位．則該校去參加春游的人數(shù)為；若已知45座客車的租金為每輛250元，60座客車租金為每輛300元，這次春游同時租用這兩種客車，其中60座客車比45座客車多租1輛，所以租金比單獨一種客車要節(jié)省，按這種方案需要租金元．7．（2分）如圖，是平行四邊形內(nèi)一點，且，，則陰影部分的面積為．二、選擇題（共1小題，每小題4分，滿分2分）8．（2分）如果，，均為正數(shù)，且，，，那么的值是A．672 B．688 C．720 D．750三、解答題（共9小題，滿分100分）9．（8分）已知，，都是整數(shù)，當(dāng)代數(shù)式的值能被13整除時，那么代數(shù)式的值是否一定能被13整除，為什么？10．（8分）如圖所示，在四邊形中，，，四邊形，，的面積分別記為，和，求？（提示：連接、、和11．（9分）已知是正整數(shù)，且與都是完全平方數(shù)．是否存在，使得是質(zhì)數(shù)？如果存在，請求出所有的值；如果不存在，請說明理由．12．（10分）某市電話號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位數(shù)和第二位數(shù)之間加上3成為一個七位數(shù)；第二次升位是在首位數(shù)前加上2成為一個八位數(shù)，某人發(fā)現(xiàn)他家中的電話號碼升位后的八位數(shù)恰好是原六位數(shù)的電話號碼33倍．問這家原來的電話號碼是多少？13．（10分）如圖，一個的方格圖，由粗線隔為9個橫豎各有3個格的“小九宮”格，其中，有一些方格填有1至9的數(shù)字，小鳴在第九行的空格中各填入了一個不大于9的正整數(shù)，使每行、每列和每個“小九宮”格內(nèi)的數(shù)字都不重復(fù)，然后小鳴將第九行的數(shù)字從左向右寫成一個9位數(shù)．請寫出這個9位數(shù)，簡單說明理由．14．（10分）平面上有6個點，其中任何3個點都不在同一條直線上，以這6個點為頂點可以構(gòu)造多少個不同的三角形？從這些三角形中選出一些，如果要求其中任何兩個三角形沒有公共頂點，最多可以選出多少個三角形？如果要求其中任何兩個三角形沒有公共邊，最多可以選出多少個三角形？（前兩問不要求說明理由）15．（15分）壯壯、菲菲、路路出生時，他們的媽媽都是27歲，某天三位媽媽王雪、劉芳和李薇閑談時，王雪說：“菲菲比劉芳小29歲”；李薇說：“路路和劉芳的年齡的和是36歲”，劉芳說：“路路和王雪的年齡的和是35歲”．已知壯壯、菲菲、路路和他們的媽媽6個人年齡的總和是105歲．請回答：是路路的媽媽？壯壯、菲菲和路路的年齡各是歲，歲，歲？16．（15分）請回答：能否表示為3個互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和？能否表示為3個互異的完全平方數(shù)的倒數(shù)的和？如果能，請給出一個例子；如果不能，請說明理由．17．（15分）甲、乙二人在同一條橢圓形跑道上作特殊訓(xùn)練：他們同時從同一地點出發(fā)，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達出發(fā)點后立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時，乙的速度是甲速度的，甲跑第二圈時速度比第一圈提高了，乙跑第二圈時速度提高了．已知甲、乙二人第二次相遇點距第一次相遇點190米，問：這條橢圓形跑道長多少米？

2011年全國初中數(shù)學(xué)競賽模擬試卷參考答案與試題解析一、填空題（共7小題，每空2分，滿分20分）1．（2分）已知，，那么97．【分析】根據(jù)，，可求出，然后利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：，，，，又，故．故答案為：97．【點評】本題考查了完全平方公式，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式．2．（2分）如圖，以為直徑畫一個大半圓，，分別以，為直徑在大半圓內(nèi)部畫兩個小半圓，那么陰影部分的面積與大半圓面積的比等于．【分析】設(shè)出小半圓的半徑為，利用，得到稍大半圓的半徑和大半圓的半徑，然后算出陰影部分的面積并求出它們的比值即可．【解答】解：設(shè)，，，，陰影部分的面積與大半圓面積的比為：，故答案為：．【點評】本題考查了特殊的扇形半圓的面積的計算方法，相比一般的扇形的面積計算方法，此類扇形面積相對較為簡單．3．（2分）加油站和商店在馬路的同一側(cè)（如圖），到的距離大于到的距離，米，一個行人在馬路上行走，問：當(dāng)?shù)降木嚯x與到的距離之差最大時，這個差等于7米．【分析】當(dāng)構(gòu)成三角形時，與的差小于第三邊，所以當(dāng)在同一直線上時，與之差最大．【解答】解：當(dāng)、、三點不在同一直線上時，此時三點構(gòu)成三角形．兩邊與的差小于第三邊．、、在同一直線上，到的距離與到的距離之差最大，這個差就是的長，故答案為：7．【點評】本題考查了對稱的相關(guān)知識，解題時關(guān)鍵是弄清當(dāng)三點在同一直線上時，距離之差最大．4．（4分）如圖，有95個正方形，有個三角形．【分析】（1）找正方形分為兩類，一類是有一組對邊為水平方向的正方形個數(shù)，另外還有4個正方形，從而可算出正方形的個數(shù)．（2）三角形也可按照分類來找①直角邊長為1的三角形，②直角邊長為2的三角形，③直角邊長為3的直角三角形，④直角邊長為4的直角三角形，⑤斜邊長為2的三角形，⑥斜邊長為4的三角形，⑦列依次有個．從而可算出三角形的個數(shù)．【解答】解：（1）一類是有一組對邊為水平方向的正方形個數(shù)，這類正方形的個數(shù)為．另外還有4個正方形．所以正方形的個數(shù)為；（2）①直角邊長為1的三角形的個數(shù)為個．②直角邊長為2的三角形個．③直角邊長為3的直角三角形個④直角邊長為4的直角三角形有2個．⑤斜邊長為2的三角形個．⑥斜邊長為4的三角形個．⑦列依次還有個．所以三角形的個數(shù)為個．故答案為：95；155．【點評】本題考查看圖能力，關(guān)鍵是能夠分類找出正方形和三角形，最后求出和．5．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點，為實數(shù)）不可能在第二象限．【分析】先確定點的橫坐標(biāo)的符號，進而判斷點的縱坐標(biāo)的符號，即可得到它可能在象限，也就求得了不可能在的象限．【解答】解：（1）當(dāng)時，有或，所以或，因此或，即，可能經(jīng)過第一或四象限．（2）當(dāng)時，有或，所以，因此，即，經(jīng)過第三象限．綜合得，，不經(jīng)過第二象限．【點評】考查所給點不可能經(jīng)過的象限，根據(jù)象限內(nèi)的點的符號判斷出所給點可能的橫縱坐標(biāo)的符號是解決本題的突破點．6．（4分）某校組織師生春游，如果單獨租用45座客車若干輛，剛好坐滿；如果單獨租用60座客車，可以少租一輛，且余30個座位．則該校去參加春游的人數(shù)為270；若已知45座客車的租金為每輛250元，60座客車租金為每輛300元，這次春游同時租用這兩種客車，其中60座客車比45座客車多租1輛，所以租金比單獨一種客車要節(jié)省，按這種方案需要租金元．【分析】（1）設(shè)該校去參加春游的人數(shù)為人，單獨租用45座客車需輛，單獨租用60座客車需輛，根據(jù)單獨租用60座客車，可以少租一輛，可求出春游的人數(shù)；（2）設(shè)租用45座客車輛，則租用60座客車輛，根據(jù)同時租用這兩種客車，其中60座客車比45座客車多租1輛，租金比單獨一種客車要節(jié)省，列出不等式組可解出這種方案需要的租金．【解答】解：設(shè)該校去參加春游的人數(shù)為人，則有，解得：設(shè)租用45座客車輛，則租用60座客車輛，由題意若單獨租45座客車需要輛，租金元，若單獨租60座客車需要輛，租金元，則有：，解得：為正整數(shù)即租45座客車2輛，60座客車3輛，此時租金為：（元．故答案為270，1400．【點評】解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，關(guān)鍵知道60座客車比45座客車多租1輛，租金比單獨一種客車要節(jié)省，進而找到所求的量的等量關(guān)系．7．（2分）如圖，是平行四邊形內(nèi)一點，且，，則陰影部分的面積為3．【分析】可由，再通過面積之間的轉(zhuǎn)化，進而得出結(jié)論．【解答】解：，，則，，，．故答案為：3．【點評】本題主要考查平行四邊形內(nèi)三角形面積的求解問題，應(yīng)熟練掌握此類問題．二、選擇題（共1小題，每小題4分，滿分2分）8．（2分）如果，，均為正數(shù)，且，，，那么的值是A．672 B．688 C．720 D．750【分析】首先將，，分別展開，即可求得①，②，③，然后將三式相加，即可求得值，繼而求得，，的值，將它們相乘再開方，即可求得的值．【解答】解：，，，①，②，③，①②③，并化簡，得：④，④①得：，④②得：，④③得：，，即，，，均為正數(shù)，．故選：．【點評】此題考查了對稱式和輪換對稱式的知識，考查了方程組的求解方法．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是將，，看作整體，利用整體思想與方程思想求解．三、解答題（共9小題，滿分100分）9．（8分）已知，，都是整數(shù)，當(dāng)代數(shù)式的值能被13整除時，那么代數(shù)式的值是否一定能被13整除，為什么？【分析】設(shè)，，，是整數(shù)，并且假設(shè)，則有，從而得出，，，則有，從而得出代數(shù)式的值能被13整除．例如：取，則有，，，則有實際上，（2）是一組二元整系數(shù)不定方程，我們先解第一個，得到，，這里是任意整數(shù)，將代入其余方程，解得，，這里是任意整數(shù)，則可以有．【解答】解：設(shè)，，，是整數(shù)，并且假設(shè)（1）比較上式，，的系數(shù)，應(yīng)當(dāng)有（2），取，可以得到，，，則有（3）既然和都能被13整除，就能被13整除．【點評】本題考查了數(shù)的整除性問題，特殊值法是常用的方法．10．（8分）如圖所示，在四邊形中，，，四邊形，，的面積分別記為，和，求？（提示：連接、、和【分析】分別連接、和、，要求與之間的關(guān)系，可先設(shè)四邊形的面積為，根據(jù)三角形的面積公式分別求出、與四邊形的面積為之間的關(guān)系，求出即可．【解答】解：如圖所示：連接、和，設(shè)四邊形的面積為，，，，，上面兩個式子相加得并且四邊形的面積，即：，．連接，如圖所示：，，，，，，上面兩個式子相加得四邊形的面積，所以，，因此，．答：．【點評】本題主要考查了靈活運用三角形的面積公式，分別求出各個量與中間量得關(guān)系，分別用中間量表示各個量，代入所求式子求值的方法，關(guān)鍵在于設(shè)出合適的中間量．11．（9分）已知是正整數(shù)，且與都是完全平方數(shù)．是否存在，使得是質(zhì)數(shù)？如果存在，請求出所有的值；如果不存在，請說明理由．【分析】設(shè)，，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于、的代數(shù)式的積，根據(jù)式子特點，得到是合數(shù)．【解答】解：如果，，則．因為，所以（否則．從而是合數(shù)．【點評】本題考查了完全平方數(shù)的應(yīng)用，考查了因式分解法求值的應(yīng)用，考查了分類討論思想，本題中討論與的值是解題的關(guān)鍵．12．（10分）某市電話號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位數(shù)和第二位數(shù)之間加上3成為一個七位數(shù)；第二次升位是在首位數(shù)前加上2成為一個八位數(shù)，某人發(fā)現(xiàn)他家中的電話號碼升位后的八位數(shù)恰好是原六位數(shù)的電話號碼33倍．問這家原來的電話號碼是多少？【分析】先設(shè)原電話號碼為，則兩次升位后為，令，由題意找到關(guān)鍵描述語升位后的8位數(shù)是原6位的33倍，列出不等式即可求得結(jié)果．【解答】解：設(shè)原電話號碼為，則升位后為，令由題意得，即，化簡得，的整數(shù)），故，解得，所以．于是．故所求的電話號碼為859375．【點評】本題考查了不等式的相關(guān)知識，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進而找到所求的量的等量關(guān)系．13．（10分）如圖，一個的方格圖，由粗線隔為9個橫豎各有3個格的“小九宮”格，其中，有一些方格填有1至9的數(shù)字，小鳴在第九行的空格中各填入了一個不大于9的正整數(shù)，使每行、每列和每個“小九宮”格內(nèi)的數(shù)字都不重復(fù)，然后小鳴將第九行的數(shù)字從左向右寫成一個9位數(shù)．請寫出這個9位數(shù)，簡單說明理由．【分析】此題可以用排除法填數(shù)，用表示位于第行和第列的方格．根據(jù)“小九宮”格已填的數(shù)，并按要求使每行、每列和每個“小九宮”格內(nèi)的數(shù)字都不重復(fù)進行分析填數(shù)．【解答】解：填數(shù)的方法是排除法，用表示位于第行和第列的方格．第七行、第八行和第3列有9，所以，原題圖6左下角的“小九宮”格中的9應(yīng)當(dāng)填在格子中；第1列、第2列和第七行有數(shù)字5，所以，在圖右下角的“小九宮”格中的數(shù)字5只能填在中；第七行、第八行有數(shù)字6，圖6中下部的“小九宮”格的數(shù)字6應(yīng)當(dāng)填在；此時，在第九行尚缺數(shù)字7和3，由于第9列有數(shù)字7，所以，7應(yīng)當(dāng)填在；3自然就填在了，填法見圖．九位數(shù)是：495186273．【點評】此題考查的知識點是整數(shù)問題的綜合運用．解答此題關(guān)鍵是根據(jù)要求使每行、每列和每個“小九宮”格內(nèi)的數(shù)字都不重復(fù)采用排除法填數(shù)．14．（10分）平面上有6個點，其中任何3個點都不在同一條直線上，以這6個點為頂點可以構(gòu)造多少個不同的三角形？從這些三角形中選出一些，如果要求其中任何兩個三角形沒有公共頂點，最多可以選出多少個三角形？如果要求其中任何兩個三角形沒有公共邊，最多可以選出多少個三角形？（前兩問不要求說明理由）【分析】（1）先從6個點中選取1個做三角形的一個頂點，有6種取法；再從余下的5個點中選取1個做三角形的第二個頂點，有5種取法；再從余下的4個點中選取1個做三角形的第三個頂點，有4種取法；因為任何3個點不在同一條直線上，所以這樣選出的三個點可以作出1個三角形．但是如果選出的三個點相同的話，則作出的三角形相同，三個點相同的取法有種，依此即可求解；（2）每個三角形有3個頂點，依此即可求解；（3）用英文大寫字母、、、、、記這6個點，假設(shè)可以選出兩兩沒有公共邊的5個三角形，它們共有15個頂點，需要15個英文大寫字母．依此分析即可求解．【解答】解：（1）先從6個點中選取1個做三角形的一個頂點，有6種取法；再從余下的5個點中選取1個做三角形的第二個頂點，有5種取法；再從余下的4個點中選取1個做三角形的第三個頂點，有4種取法．因為任何3個點不在同一條直線上，所以，這樣選出的三個點可以作出1個三角形．但是，如果選出的三個點相同的話，則作出的三角形相同，三個點相同的取法有種，所以，以這6個點為頂點可以構(gòu)造個不同的三角形；（2）每個三角形有3個頂點，所以，6個點最多只能構(gòu)造2個沒有公共頂點的三角形；（3）用英文大寫字母、、、、、記這6個點，假設(shè)可以選出兩兩沒有公共邊的5個三角形，它們共有15個頂點，需要15個英文大寫字母．這里不同的英文大寫字母僅有6形兩兩沒有公共邊，即除去公共頂點之外，其余6個頂點互不相同，即表示這6個頂點的字母不相同．但是，除之外，我們僅有5個不同的字母．所以不可能存在5個三角形，它們兩兩沒有公共邊．又顯然，，和這4個三角形兩兩沒有公共邊．所以，最多可以選出4個三角形，其中任何兩個三角形都沒有公共邊．【點評】考查了三角形邊角關(guān)系，關(guān)鍵是學(xué)生通過特例分析，從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力．15．（15分）壯壯、菲菲、路路出生時，他們的媽媽都是27歲，某天三位媽媽王雪、劉芳和李薇閑談時，王雪說：“菲菲比劉芳小29歲”；李薇說：“路路和劉芳的年齡的和是36歲”，劉芳說：“路路和王雪的年齡的和是35歲”．已知壯壯、菲菲、路路和他們的媽媽6個人年齡的總和是105歲．請回答：王雪是路路的媽媽？壯壯、菲菲和路路的年齡各是歲，歲，歲？【分析】根據(jù)題中所給的條件，先設(shè)劉芳的年齡為歲，由題意可知壯壯、菲菲和路路之間的關(guān)系，從中得出正確答案．【解答】解：設(shè)劉芳的年齡為歲．①劉芳和路路的年齡和是36歲，是個偶數(shù)，他們的年齡差也是一個偶數(shù)，而路路和媽媽的年齡的差是奇數(shù)，因此路路的媽媽不是劉芳．注意到菲菲比劉芳小29歲，菲菲的媽媽不是劉芳，所以，壯壯的媽媽是劉芳．②壯壯和媽媽劉芳的年齡的和為路路歲，他的媽媽應(yīng)當(dāng)是歲，和為菲菲歲，她的媽媽應(yīng)當(dāng)是歲，和為由于6個人共105歲，所以，．③解出，菲菲比劉芳小29歲，所以菲菲3歲；路路和劉芳的年齡的和是36，路路4歲；路路和王雪的年齡的和是35歲，所以王雪31歲．答：王雪是路路的媽媽；壯壯5歲、菲菲3歲和路路4歲．故填：王雪，5，3，4．【點評】解決此題的關(guān)鍵在于找出其中的相互關(guān)系，然后根據(jù)實際情況討論，同時也考查了一元一次方程的應(yīng)用．16．（15分）請回答：能否表示為3個互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和？能否表示為3個互異的完全平方數(shù)的倒數(shù)的和？如果能，請給出一個例子；如果不能，請說明理由．【分析】（1）由證明即可；（2）設(shè)，尋找滿足的整數(shù)．【解答】解：（1）由于，故有．所以，能表示為3個互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和（表示法不唯一）．（2）不妨設(shè)，現(xiàn)在的問題就是尋找整數(shù)，，，滿足由，則有，從而，所以．又有，所以，故或16．若，則