2024屆北京市80中高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試卷附答案解析

屆北京市80中高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試卷（試卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘）2024年2月一?選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），是的共軛復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知向量滿足，，，則（

）A． B． C． D．4．下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（

）A．B．C． D．5．的展開式中，x的系數(shù)為（

）A． B． C．5 D．106．設(shè)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，且A到C焦點(diǎn)的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2，則p＝（

）A．1 B．2 C．3 D．47．在中，為的角平分線，在線段上，若，，則（

）A． B． C．2 D．8．已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在上存在最小值”的（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件9．已知數(shù)列滿足：，則下列命題正確的是（

）A．若數(shù)列為常數(shù)列，則 B．存在，使數(shù)列為遞減數(shù)列C．任意，都有為遞減數(shù)列 D．任意，都有10．如圖，已知棱長為3的正方體，在平面的同側(cè)，頂點(diǎn)A在平面上，頂點(diǎn)B，D到平面的距離分別為1和，則頂點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．二?填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11．函數(shù)的定義域?yàn)椋?2．已知雙曲線的一條漸近線為，則該雙曲線的離心率為.13．已知命題：若，則．能說明為假命題的一組的值為，．14．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，可見于中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第十六題的“物不知數(shù)”問題，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二．問物幾何？現(xiàn)有一個(gè)相關(guān)的問題：將到這個(gè)自然數(shù)中被除余且被除余的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為．15．已知函數(shù)，則下列說法正確的是.①是的周期②的圖象有對(duì)稱中心，沒有對(duì)稱軸③當(dāng)時(shí)，④對(duì)任意在上單調(diào)三?解答題：本大題共6小題，共70分.16．如圖，正方形的邊長為，，分別為，的中點(diǎn)，在五棱錐中，為棱的中點(diǎn)，平面與棱，分別交于點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若底面，且，求直線與平面所成角的大小，并求線段的長．17．已知函數(shù).再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，使得函數(shù)的解析式唯一確定(1)求的解析式及最小值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求t的取值范圍.條件①：函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為；條件②：函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)；條件③：函數(shù)的最大值與最小值的和為1.18．某公司在2013~2022年生產(chǎn)經(jīng)營某種產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：年份2013201420152016201720182019202020212022年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)（單位：萬臺(tái)）35566991010a年返修臺(tái)數(shù)（單位：臺(tái)）323854585271648075b年利潤（單位：百萬元）3.854.504.205.506.109.659.9810.0011.50c注：年返修率=年返修臺(tái)數(shù)÷年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)..(1)從2013~2021年中隨機(jī)抽取兩年，求這兩年中至少有一年生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均利潤不小于100元/臺(tái)的概率；(2)公司規(guī)定：若年返修率不超過千分之一，則該公司生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀.現(xiàn)從2013~2021年中隨機(jī)選出3年，記X表示這3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求X的分布列和期望；(3)記公司在2013~2017年，2018~2022年的年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)的方差分別為，.若，請寫出a的值.（只需寫出結(jié)論）（注：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）19．已知橢圓，、為橢圓的焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的方程和離心率．(2)設(shè)點(diǎn)，過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，滿足，點(diǎn)滿足滿足，求證：點(diǎn)在定直線上．20．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)與直線總相切，則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”．當(dāng)時(shí)，若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求證：．21．記無窮數(shù)列的前n項(xiàng)中最大值為，最小值為，令．(1)若，請寫出的值；(2)求證：“數(shù)列是遞增的等差數(shù)列”是“數(shù)列是遞增的等差數(shù)列”的充要條件；(3)若，求證：存在，使得，有．1．B【分析】化簡集合，結(jié)合并集的概念即可得解.【詳解】由題意集合，所以.故選：B.2．C【分析】借助復(fù)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算出后，由共軛復(fù)數(shù)的定義可得，由復(fù)平面的性質(zhì)可得其在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所處象限.【詳解】，則，故在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C.3．C【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算的性質(zhì)，結(jié)合可求得，由此可得，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】，，，解得：，，解得：.故選：C.4．C【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，定義域?yàn)椋适欠瞧娣桥己瘮?shù)，A錯(cuò)，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，∴B不對(duì)，對(duì)于C，∵定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，設(shè)，∵在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴在上為增函數(shù)，∴C對(duì).對(duì)于D，∵為奇函數(shù)，∴D不對(duì).故選：C.5．A【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，由的指數(shù)為1求得值，則答案可求．【詳解】的展開式的通項(xiàng)為．令，得．的系數(shù)為．故選：A．6．B【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，再利用定義求解作答.【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，顯然點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，由拋物線定義得：，所以.故選：B7．B【分析】根據(jù)角平分線利用三角形等面積公式可得，再由余弦定理即可求得.【詳解】如下圖所示：依題意設(shè)，由可得，即，也即，顯然，可得；在中，由余弦定理可得，解得.故選：B8．B【分析】按照的取值范圍進(jìn)行分類討論，結(jié)合反比例函數(shù)圖像性質(zhì)分析題意，找出在[1,＋∞）上存在最小值的等價(jià)條件，然后借助的取值范圍得出結(jié)論.【詳解】①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上存在最小值為0；②當(dāng)時(shí)，，可以看做是函數(shù)()圖像向左平移個(gè)單位得到，所以在只有最大值，沒有最小值；③當(dāng)時(shí)，，可以看做是函數(shù)()圖像向右平移個(gè)單位得到，所以若要在單調(diào)遞增，需要，即.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上存在最小值，所以“”是“”的必要不充分條件,即“”是“函數(shù)f（x）在[1，＋∞）上存在最小值”的必要不充分條件.故選：B.9．D【分析】解方程判斷A,利用單調(diào)性結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法判斷BD,舉反例判斷C.【詳解】對(duì)A:若數(shù)列為常數(shù)列，則，解得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)B:易得，若為遞減數(shù)列，則，解得或且，故不存在使得遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)C,令，則，故不是遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)D,用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)顯然成立，假設(shè)當(dāng)，則時(shí)，，故當(dāng)時(shí)成立,由選項(xiàng)B知，對(duì)任意則數(shù)列為遞減數(shù)列，故故D正確故選：D【點(diǎn)睛】利用遞推關(guān)系結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明，是本題關(guān)鍵.10．A【分析】設(shè)平面的法向量為且，應(yīng)用向量法表示點(diǎn)面距，進(jìn)而求到平面的距離.【詳解】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，則，，不妨設(shè)平面的法向量為且，由已知，所以，則，故選：A11．【分析】由對(duì)數(shù)復(fù)合型、分式復(fù)合型函數(shù)的定義域即可得解.【詳解】由題意，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.12．##【分析】根據(jù)給定條件，求出值，進(jìn)出求出離心率即可.【詳解】顯然，雙曲線的漸近線方程為，依題意，，即，因此雙曲線方程為，即，所以雙曲線的離心率.故答案為：13．（答案不唯一）（答案不唯一）【分析】根據(jù)立方和公式以及基本不等式求得正確答案.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，若，則，所以為假命題.所以一組的值為（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）；（答案不唯一）14．【分析】先得到新數(shù)列，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，解不等式即能求出數(shù)列的項(xiàng)數(shù).【詳解】由題知，滿足上述條件的數(shù)列為，該數(shù)列為首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列，則，解得，故該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為.故答案為：15．①③④【分析】利用函數(shù)周期的定義判斷①；根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性的定義求出對(duì)稱中心或?qū)ΨQ軸判斷②；借助輔助角公式可得，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性及三角恒等變換判斷③；當(dāng)，時(shí)，探討函數(shù)單調(diào)性判斷④.【詳解】對(duì)于①，，則是的周期，①正確；對(duì)于②，，且，有，，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于直線對(duì)稱，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，又，即，則，即，則，③正確；對(duì)于④，由是的周期知，只需考慮，時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)與均單調(diào)遞增，而在上遞增，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)與均單調(diào)遞減，而在上遞增，則單調(diào)遞減，④正確.故答案為：①③④【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：①函數(shù)奇偶性、周期性和對(duì)稱性的判斷常用定義去驗(yàn)證；②要證明周期函數(shù)的單調(diào)性往往只需證明函數(shù)的一個(gè)周期的單調(diào)性，復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性判斷優(yōu)先嘗試?yán)脧?fù)合函數(shù)的“同增異減”.16．(1)證明見解析(2)直線與平面所成角是，.【分析】（1）先證明平面，再由線面平行的性質(zhì)定理得證線線平行；（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求二面角，然后設(shè)，設(shè)，然后由與平面的法向量垂直求得，從而得點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算出向量的模（線段長）．【詳解】（1）證明：在正方形中，是的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面，平面，且平面平面，；（2）底面，，底面，，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，設(shè)直線與平面所成的角為，則，，直線與平面所成的角為，設(shè)，在棱上，可設(shè)，即，，，，是平面的法向量，，即，解得，，．17．(1)；(2)【分析】（1）先將解析式化簡，再選擇相應(yīng)條件，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)逐一分析，從而得解；（2）先求得在附近的五個(gè)零點(diǎn)，從而得到關(guān)于的不等式組，由此得解.【詳解】（1）選條件①②：由題意可知，，函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，所以，所以.選擇條件①③：函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，則，所以，，函數(shù)的最大值與最小值的和為1，所以，則，所以，所以.選條件②③：，函數(shù)的最大值與最小值的和為1，所以，則，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，所以或，顯然此時(shí)的值有多個(gè)，的解析式唯一確定，所以此種情形不符合題意，舍去.（2）由（1）知，令，得，所以或，即或，所以在附近的五個(gè)零點(diǎn)為，，，，，因?yàn)樵趨^(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，所以，為在區(qū)間上的兩個(gè)零點(diǎn)，故，解得，所以的取值范圍是.18．(1)(2)分布列見解析，期望為(3)7或12【分析】（1）計(jì)算出各年產(chǎn)品的平均利潤，得到平均利潤不小于100元/臺(tái)的有6個(gè)，小于100元/臺(tái)的有3個(gè)，利用組合知識(shí)求出概率；（2）計(jì)算出各年的年返修率，得到不超過千分之一的年份有7個(gè)，超過千分之一的年份有2個(gè)，得到X的可能取值和對(duì)應(yīng)的概率，求出分布列及期望值；（3）計(jì)算出，從而得到方程，求出a的值.【詳解】（1）2013年產(chǎn)品的平均利潤為元/臺(tái)，2014年產(chǎn)品的平均利潤為元/臺(tái)，2015年產(chǎn)品的平均利潤為元/臺(tái)，2016年產(chǎn)品的平均利潤為元/臺(tái)，2017年產(chǎn)品的平均利潤為元/臺(tái)，2018年產(chǎn)品的平均利潤為元/臺(tái)，2019年產(chǎn)品的平均利潤為元/臺(tái)，2020年產(chǎn)品的平均利潤為元/臺(tái)，2021年產(chǎn)品的平均利潤為元/臺(tái)，故平均利潤不小于100元/臺(tái)的有6個(gè)，小于100元/臺(tái)的有3個(gè)，故從2013~2021年中隨機(jī)抽取兩年，這兩年中至少有一年生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均利潤不小于100元/臺(tái)的概率為；（2）2013年產(chǎn)品的年返修率為，2014年產(chǎn)品的年返修率為，2015年產(chǎn)品的年返修率潤為，2016年產(chǎn)品的年返修率為，2017年產(chǎn)品的年返修率為，2018年產(chǎn)品的年返修率為，2019年產(chǎn)品的年返修率為，2020年產(chǎn)品的年返修率為，2021年產(chǎn)品的年返修率為，年返修率不超過千分之一的年份有7個(gè)，超過千分之一的年份有2個(gè)，X的可能取值為1,2,3，則，，，故分布列為：123故，（3）2013~2017年年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)的平均數(shù)為（萬臺(tái)），故，2018~2022年的年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)的平均數(shù)為，故，解得：或12（萬臺(tái)），故a的值為7或12.19．(1)；.(2)點(diǎn)在定直線上【分析】（1）由橢圓的定義求出，即可求出橢圓的方程和離心率；（2）若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立消去整理為關(guān)于的一元二次方程，由題意可知其判別式大于0，從而可得的范圍．再由韋達(dá)定理可得兩根之和，兩根之積．根據(jù)可得間的關(guān)系式．設(shè)，再由可得間的關(guān)系式，將韋達(dá)定理代入化簡即可得出點(diǎn)在定直線上，再檢驗(yàn)直線的斜率不存在是否滿足.【詳解】（1）由橢圓的定義知，，故，所以橢圓的方程為，故，所以橢圓的離心率為.（2）若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，則聯(lián)立可得：，則，解得：，設(shè)，，則，，由可得：，即，設(shè)，由可得：，即，即，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，所以點(diǎn)在定直線上，若直線的斜率不存在，過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，，，所以，則，所以，解得：，滿足點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定直線問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量之間的關(guān)系，同時(shí)得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知的等量關(guān)系，化簡整理得到所求定直線.20．(1)有極小值，無極大值.(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用極值的定義求解即可；（2）分類討論求的單調(diào)區(qū)間即可；（3）利用“恒切函數(shù)”的定義，列方程組得出，然后結(jié)合的范圍求解即可.【詳解】（1）函數(shù),,當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故有極小值，無極大值.（2），當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，,，,且為增函數(shù)，時(shí)，，在單調(diào)遞增；時(shí)，，在單調(diào)遞減；綜上得：