人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步精講精練專(zhuān)題相交線中分類(lèi)討論思想求角(基礎(chǔ)題＆提升題＆壓軸題)(原卷版+解析)

七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第五章相交線與平行線》專(zhuān)題相交線中分類(lèi)討論思想求角（基礎(chǔ)題＆提升題＆壓軸題）基礎(chǔ)題基礎(chǔ)題1．（2022春?東洲區(qū)期末）兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有兩個(gè)角分別是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，則x＝．2．在同一平面上，若∠BOA＝70°，BO⊥CO，垂足是O，則∠AOC的度數(shù)是．3．（2021?饒平縣校級(jí)模擬）已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC＝2：3，則∠BOC的度數(shù)為（）A．30° B．150° C．30°或150° D．90°4．已知∠AOB＝22.5°，分別以射線OA，OB為始邊，在∠AOB的外部作∠AOC＝∠AOB，∠BOD＝2∠AOB，則OC與OD的位置關(guān)系是．5．已知∠AOC=146°，OD為∠AOC的平分線，射線OB⊥OA于O，部分圖形如圖所示，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求∠BOD的度數(shù)．6．在直線AB上任取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作射線OC、OD，使OC⊥OD，如果∠AOC＝30°，OE平分∠BOD，求∠COE（要求：將圖形補(bǔ)充完整，寫(xiě)出求解過(guò)程）7．（2022春?啟東市期中）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOD=2∠BOD+60°．（1）求∠BOD的度數(shù)；（2）以O(shè)為端點(diǎn)引射線OE、OF，射線OE平分∠BOD，且∠EOF=90°，求∠BOF的度數(shù)．提升題提升題8．（2022春?元寶區(qū)校級(jí)期末）在同一平面內(nèi)，若∠A與∠B的兩邊分別垂直，且∠A比∠B的3倍少20°，則∠A的度數(shù)為（）A．10° B．50° C．10°或130° D．10°或50°9．點(diǎn)C在∠AOB的邊OA上，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OB，過(guò)點(diǎn)C作OA的垂線交射線OB于點(diǎn)E，若∠AOB＝66°，則∠DCE是度．10．已知，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，∠BOC＝150°，OE垂直AB于O，OF平分∠DOE，則∠BOF的度數(shù)為°．11．直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝30°，若OE⊥AB，OF平分∠DOE，則∠COF的度數(shù)為．12．（2020秋?香坊區(qū)校級(jí)月考）已知∠AOB與∠BOC互為鄰補(bǔ)角，OD平分∠BOC，OE⊥OB于點(diǎn)O，若∠AOD＝4∠BOC，則∠DOE＝．13．（2022?南京模擬）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成兩個(gè)角，且∠AOE=23∠EOC，將射線OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α＜360°）到OF，若∠AOF＝120°時(shí)，α的度數(shù)是14.已知∠AOB和∠BOC互為鄰補(bǔ)角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射線OE在∠AOB內(nèi)部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，則∠MOE＝．15．（2021春?綿陽(yáng)期末）已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O，射線OE將∠AOC分成兩部分，射線OF使得∠EOF＝∠BOF．若|∠BOF﹣∠AOE|＝36°，則銳角∠BOF＝．16．（2022秋?東營(yíng)區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，已知∠AOC＝80°，射線OE把∠BOD分成兩個(gè)角，且∠BOE：∠EOD＝3：5．（1）求∠EOB的度數(shù)．（2）過(guò)點(diǎn)O作射線OF⊥OE，求∠BOF的度數(shù)．壓軸題壓軸題17．已知：如圖，OC是∠AOB的角平分線．（1）當(dāng)∠AOB＝60°時(shí)，求∠AOC的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥OC，求∠AOE的度數(shù)；（3）當(dāng)∠AOB＝α?xí)r，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥OC，直接寫(xiě)出∠AOE的度數(shù)．（用含α的式子表示）18．（2021秋?望城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)O在直線EF上，點(diǎn)A、B與點(diǎn)C、D分別在直線EF兩側(cè)，且∠AOB＝120°，∠COD＝70°．（1）如圖1，若OC平分∠BOD，求∠AOD的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）的條件下，OE平分∠AOD，過(guò)點(diǎn)O作射線OG⊥OB，求∠EOG的度數(shù)；（3）如圖3，若在∠BOC內(nèi)部作一條射線OH，若∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，試判斷∠AOE與∠DOE的數(shù)量關(guān)系．19．（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）已知O是直線AB上一點(diǎn)，射線OD、OC、OE位于直線AB上方，OD在OE的左側(cè)，∠DOE＝α．（1）如圖1，∠AOC＝120°，α＝70°，當(dāng)OD平分∠AOC時(shí)，求∠EOB的度數(shù)；（2）若α＝90°①如圖2，射線OC平分∠BOD，求∠AOD與∠COE的數(shù)量關(guān)系；②∠AOC＝120°，射線OF在直線AB下方，∠FOA＝2∠AOD，OH平分∠EOC，當(dāng)∠FOH＝120°時(shí)，求∠BOF的度數(shù)．20．（2022秋?沈河區(qū)期末）直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠COF＝∠DOF，作射線OE，且OC在∠AOE的內(nèi)部．（1）當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在直線AB的同側(cè)；①如圖1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∠EOF的大小是；②如圖2，若OF平分∠BOE，請(qǐng)判斷OC是否平分∠AOE，并說(shuō)明理由；（2）若∠AOF＝2∠COE，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BOE與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系．21．（2021秋?鄞州區(qū)期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC．【基礎(chǔ)嘗試】（1）如圖1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度數(shù)；【畫(huà)圖探究】（2）作射線OF⊥OC，設(shè)∠AOC＝x°，請(qǐng)你利用圖2畫(huà)出圖形，探究∠AOC與∠EOF之間的關(guān)系，結(jié)果用含x的代數(shù)式表示∠EOF．【拓展運(yùn)用】（3）在第（2）題中，∠EOF可能和∠DOE互補(bǔ)嗎？請(qǐng)你作出判斷并說(shuō)明理由．22．（2021秋?成都期末）直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，∠AOD＝90°，射線OF在∠BOD內(nèi)部．（1）如圖1，射線OE在∠AOD內(nèi)部，若∠DOE＝∠BOF＝40°，請(qǐng)比較∠AOE和∠DOF的大小，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，小亮將∠BOF沿射線OH折疊，使OF與OD重合，OB落在∠AOD的內(nèi)部為OG．小亮提出了以下問(wèn)題，請(qǐng)你解決：①∠BOG等于∠COF嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；②現(xiàn)有一條射線OM在∠AOD內(nèi)部，若∠BOF＝50°，∠MOG＝15°，請(qǐng)求出∠MOH的度數(shù)．23．如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF⊥CD，OP是∠BOC的平分線．（1）請(qǐng)寫(xiě)出圖中∠EOC的所有的補(bǔ)角；（2）如果∠POC：∠EOC＝2：5．求∠BOF的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O在∠EOD內(nèi)部作射線OM，使得∠MOC＝6∠AOM，求∠AOM的度數(shù)．24．（2022春?臨川區(qū)校級(jí)月考）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成兩個(gè)角，且∠AOE=2（1）∠AOE度數(shù)是；∠DOE度數(shù)是；（2）將射線OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α＜360°）到OF．①如圖2，當(dāng)OF平分∠BOE時(shí)，OB是否平分∠DOF？請(qǐng)說(shuō)明其理由；②當(dāng)OA⊥OF時(shí)，請(qǐng)求出α的度數(shù)．25．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）已知直線AB和CD交于O，∠AOC的度數(shù)為x，OF⊥AB，OE平分∠AOD，（1）當(dāng)x＝30°時(shí)，則∠FOC＝度，∠EOD＝度．（2）當(dāng)x＝70°時(shí)，射線OF、OE分別以10°/s，4°/s的速度同時(shí)繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，求當(dāng)射線OF與射線OE重合時(shí)至少需要幾秒？（3）x＝70°時(shí)，射線OF以10°/s的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)射線OE以4°/s的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線OF轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)射線OE停止轉(zhuǎn)動(dòng)．射線OF在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，當(dāng)∠EOF＝90°時(shí)，求射線OF轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間．26．如圖，直線CD與EF相交于點(diǎn)O，∠COE＝60°，將一直角三角尺AOB的直角頂點(diǎn)與O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度數(shù)；（2）將三角尺AOB以每秒3°的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)直線EF也以每秒9°的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤40）．①當(dāng)t為何值時(shí)，直線EF平分∠AOB；②若直線EF平分∠BOD，直接寫(xiě)出t的值．七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第五章相交線與平行線》專(zhuān)題相交線中分類(lèi)討論思想求角（基礎(chǔ)題＆提升題＆壓軸題）基礎(chǔ)題基礎(chǔ)題1．（2022春?東洲區(qū)期末）兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有兩個(gè)角分別是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，則x＝．【分析】根據(jù)兩條直線交叉相交，形成4個(gè)角，對(duì)頂角相等，在同一條直線的兩個(gè)角的和是180°解答即可．【解答】解：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，根據(jù)題意可得：（2x﹣10）°=（110﹣x）°或（2x﹣10）°+（110﹣x）°=180°，解得：x=40或x=80，故答案為：40°或80°【點(diǎn)評(píng)】此題考查對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角問(wèn)題，解答此題的關(guān)鍵：應(yīng)明確對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，進(jìn)而根據(jù)其含義進(jìn)行分析、解答．2．在同一平面上，若∠BOA＝70°，BO⊥CO，垂足是O，則∠AOC的度數(shù)是．【分析】根據(jù)題意可以畫(huà)出相應(yīng)的圖形，從而可以解答本題．【解答】解：如右圖所示，∵∠BOA＝70°，BO⊥CO，垂足是O，∴∠BOC1＝90°，∠BOC2＝90°，∴∠AOC1＝∠BOC1﹣∠BOA＝20°，∠AOC2＝∠AOB+∠BOC2＝160°，即∠AOC的度數(shù)是20°或160°．故答案是20°或160°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂線，解題的關(guān)鍵是明確題意，畫(huà)出相應(yīng)的圖形．3．（2021?饒平縣校級(jí)模擬）已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC＝2：3，則∠BOC的度數(shù)為（）A．30° B．150° C．30°或150° D．90°【分析】根據(jù)垂直關(guān)系知∠AOC＝90°，由∠AOB：∠AOC＝2：3，可求∠AOB，根據(jù)∠AOB與∠AOC的位置關(guān)系，分類(lèi)求解．【解答】解：∵OA⊥OC，∴∠AOC＝90°，∵∠AOB：∠AOC＝2：3，∴∠AOB＝60°．因?yàn)椤螦OB的位置有兩種：一種是在∠AOC內(nèi)，一種是在∠AOC外．①當(dāng)在∠AOC內(nèi)時(shí)，∠BOC＝90°﹣60°＝30°；②當(dāng)在∠AOC外時(shí)，∠B′OC＝90°+60°＝150°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂線的定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，即兩條直線互相垂直．同時(shí)做這類(lèi)題時(shí)一定要結(jié)合圖形．4．已知∠AOB＝22.5°，分別以射線OA，OB為始邊，在∠AOB的外部作∠AOC＝∠AOB，∠BOD＝2∠AOB，則OC與OD的位置關(guān)系是．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，利用已知條件及角的和差關(guān)系，求∠COD度數(shù)．【解答】解：①當(dāng)射線OC在射線OA上方，射線OD在射線OB下方時(shí)，如圖，∵∠AOB＝22.5°，∠AOC＝∠AOB＝22.5°，∠BOD＝2∠AOB＝45°，∴∠COD＝∠AOC+∠AOB+∠BOD＝22.5°+22.5°+45°＝90°，∴OC與OD的位置關(guān)系是垂直．②當(dāng)當(dāng)射線OC在射線OA上方，射線OD在射線OB上方時(shí)，由題意可知，∠BOC＝∠BOD＝45°，此時(shí)射線OC和射線OD重合．故填垂直或重合．【點(diǎn)評(píng)】先利用角的和差關(guān)系求得這個(gè)角是90°，再由垂線的定義可得，兩直線垂直．5．已知∠AOC=146°，OD為∠AOC的平分線，射線OB⊥OA于O，部分圖形如圖所示，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求∠BOD的度數(shù)．【分析】作出圖形，根據(jù)角平分線的定義可得∠AOD=12∠AOC，再分OB在∠AOC內(nèi)部時(shí)，∠BOD=∠AOB-∠AOD，OB在∠AOC外部時(shí)，∠BOD=∠AOD＋∠AOB【解答】解：∵OD為∠AOC的平分線，∴∠AOD=12又∵OB⊥OA，∴∠AOB=90°，①當(dāng)射線OB在∠AOC的內(nèi)部時(shí)，∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=17°，②當(dāng)射線OB在∠AOC的外部時(shí)，∠BOD=∠AOB+∠AOD=163°綜上，∠BOD為17°或163°【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．6．在直線AB上任取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作射線OC、OD，使OC⊥OD，如果∠AOC＝30°，OE平分∠BOD，求∠COE（要求：將圖形補(bǔ)充完整，寫(xiě)出求解過(guò)程）【分析】根據(jù)角的和差，可得∠BOD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠DOE，根據(jù)角的和差，可得答案．【解答】解：如圖，由OC⊥OD，得∠COD＝90°．由角的和差，得∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝60°，由OE平分∠BOD，得∠DOE=12∠由角的和差，得∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°+30°＝120°．如圖2，由OC⊥OD，得∠COD＝90°．由角的和差，得∠AOD＝90°﹣∠AOC＝60°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°由OE平分∠BOD，得∠DOE=12∠由角的和差，得∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°+60°＝150°．綜上所述：∠COE是150°或120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線，利用角的和差是解題關(guān)鍵，要分類(lèi)討論，以防遺漏．7．（2022春?啟東市期中）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOD=2∠BOD+60°．（1）求∠BOD的度數(shù)；（2）以O(shè)為端點(diǎn)引射線OE、OF，射線OE平分∠BOD，且∠EOF=90°，求∠BOF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角，可得關(guān)于∠BOD的方程，根據(jù)解方程，可得答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠BOE的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得∠BOF的度數(shù)．【解答】解：（1）由鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，得∠AOD+∠BOD=180°，又∵∠AOD=2∠BOD＋60°，∴2∠BOD＋60°＋∠BOD=180°，解得∠BOD=40°；（2）如圖：由射線OE平分∠BOD，得∠BOE=12∠BOD=12由角的和差，得∠BOF′=∠EOF′＋∠BOE=90°＋20°=110°，∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=90°﹣20°=70°．∴∠BOF的度數(shù)為110°或70°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角，利用鄰補(bǔ)角得出關(guān)于∠BOD的方程是解題關(guān)鍵．提升題提升題8．（2022春?元寶區(qū)校級(jí)期末）在同一平面內(nèi)，若∠A與∠B的兩邊分別垂直，且∠A比∠B的3倍少20°，則∠A的度數(shù)為（）A．10° B．50° C．10°或130° D．10°或50°【分析】因?yàn)閮蓚€(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，可設(shè)∠B是x度，利用方程即可解決問(wèn)題．【解答】解：設(shè)∠B是x度，根據(jù)題意，得①兩個(gè)角相等時(shí)，如圖1：∠B＝∠A＝x，x＝3x﹣20，解得x＝10，故∠A＝10°，②兩個(gè)角互補(bǔ)時(shí)，如圖2：x+3x﹣20＝180，所以x＝50，3×50°﹣20°＝130°故∠A的度數(shù)為：10°或130°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂線，本題需仔細(xì)分析題意，利用方程即可解決問(wèn)題．9．點(diǎn)C在∠AOB的邊OA上，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OB，過(guò)點(diǎn)C作OA的垂線交射線OB于點(diǎn)E，若∠AOB＝66°，則∠DCE是度．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)垂直和互余的意義，可求出結(jié)果．【解答】解：如圖1，∵CD⊥OB，∠AOB＝66°，∴∠OCD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣66°＝24°，∵CE⊥OA，∴∠OCE＝90°，∴∠DCE＝90°﹣∠OCD＝90°﹣24°＝66°，如圖2，∵CD⊥OB，∠AOB＝66°，∴∠OCF＝90°﹣∠AOB＝90°﹣66°＝24°＝∠ACD，∵CE⊥OA，∴∠OCE＝90°，∴∠DCE＝90°+∠OCD＝90°+24°＝114°，故答案為：66或114．【點(diǎn)評(píng)】考查垂線的意義，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，通過(guò)圖形直觀，利用互余進(jìn)行計(jì)算．10．已知，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，∠BOC＝150°，OE垂直AB于O，OF平分∠DOE，則∠BOF的度數(shù)為°．【分析】由垂線的定義可得∠DOE＝90°，由鄰補(bǔ)角的定義可得∠BOD的度數(shù)，進(jìn)而可求解∠EOD的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可得∠DOF的度數(shù)，進(jìn)而可求解．【解答】解：如圖（1），∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∵∠BOC＝150°，∠BOC+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝30°，∴∠EOD＝90°﹣30°＝60°，∵OF平分∠EOD，∴∠FOD=12∠∴∠BOF＝∠DOF+∠BOD＝30°+30°＝60°；如圖（2）∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∵∠BOC＝150°，∠BOC+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝30°，∴∠EOD＝90°+30°＝120°，∵OF平分∠EOD，∴∠FOD=12∠∴∠BOF＝∠DOF+∠BOD＝60°﹣30°＝30°．故答案為：60°或30°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線，鄰補(bǔ)角，注意分類(lèi)討論，求解∠DOF的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．11．直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝30°，若OE⊥AB，OF平分∠DOE，則∠COF的度數(shù)為．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，需要注意射線OE的位置不確定，需要分類(lèi)討論，再根據(jù)圖形進(jìn)行求解．【解答】解：（1）當(dāng)射線OE在直線AB上方時(shí)，如圖1，∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∵∠AOC＝30°，∴∠BOD＝30°，∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝120°，∵OF平分∠DOE，∴∠DOF＝60°，∴∠COF＝180°﹣∠DOF＝120°．（2）當(dāng)射線OE在直線AB下方時(shí)，如圖2，∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∵∠AOC＝30°，∴∠BOD＝30°，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝60°，∵OF平分∠DOE，∴∠DOF＝30°，∴∠COF＝180°﹣∠DOF＝150°．故答案為：150°或120°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線的定義，垂直，角的和差等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖形，對(duì)不確定的情況進(jìn)行分類(lèi)討論．12．（2021秋?香坊區(qū)校級(jí)月考）已知∠AOB與∠BOC互為鄰補(bǔ)角，OD平分∠BOC，OE⊥OB于點(diǎn)O，若∠AOD＝4∠BOC，則∠DOE＝．【分析】分E在OB的左側(cè)和E在OB的右側(cè)兩種情況討論，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角的和差，可得答案．【解答】解：①當(dāng)E在OB的左側(cè)時(shí)，如下圖，設(shè)∠COD＝α，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠COD＝α，∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝2α，∵∠AOD＝4∠BOC，∴∠AOD＝8α，∵∠AOD+∠COD＝180°，∴8α+α＝180°，∴α＝20°，∴∠BOD＝20°，∵OE⊥OB，∴∠BOE＝90°，∴∠DOE＝∠BOE+∠BOD＝110°，②當(dāng)E在OB的右側(cè)時(shí)，如下圖，設(shè)∠COD＝α，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠COD＝α，∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝2α，∵∠AOD＝4∠BOC，∴∠AOD＝8α，∵∠AOD+∠COD＝180°，∴8α+α＝180°，∴α＝20°，∴∠BOD＝20°，∵OE⊥OB，∴∠BOE＝90°，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝70°．故答案為：110°或70°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了鄰補(bǔ)角和角平分線定義，關(guān)鍵是畫(huà)出圖形，進(jìn)行分類(lèi)討論．13．（2022?南京模擬）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成兩個(gè)角，且∠AOE=23∠EOC，將射線OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α＜360°）到OF，若∠AOF＝120°時(shí)，α的度數(shù)是【分析】OF在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中由兩個(gè)位置可以使∠AOF＝120°，分別作出對(duì)應(yīng)的圖像，根據(jù)∠AOC的度數(shù)以及∠AOE與∠COE間的比例求出兩角的值，進(jìn)而可求出角α的度數(shù)．【解答】解：①當(dāng)OF運(yùn)動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，∵∠BOD＝75°，∴∠AOC＝∠BOD＝75°，∵∠AOE=2∴∠AOE=2當(dāng)∠AOF＝120°時(shí)，∴α＝∠AOF﹣∠AOE＝120°﹣30°＝90°，②如圖所示，當(dāng)OF運(yùn)動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，∵∠BOD＝75°，∴∠AOC＝∠BOD＝75°，∵∠AOE=2∴∠AOE=2當(dāng)∠AOF＝120°時(shí)，∴α＝360°﹣（∠AOF+∠AOE）＝360°﹣150°＝210°，故答案為：90°或210°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)頂角，根據(jù)比例求出角的度數(shù)，以及角的和與差，能夠掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．14.已知∠AOB和∠BOC互為鄰補(bǔ)角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射線OE在∠AOB內(nèi)部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，則∠MOE＝．【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：OM在AC上方，或OM在AC下方，先依據(jù)已知條件求得∠BOE的度數(shù)，再根據(jù)∠MOB＝90°，即可得到∠MOE的度數(shù)．【解答】解：分兩種情況進(jìn)行討論：①如圖1所示，若OM在AC上方，∵OD平分∠BOC，∴∠COD＝∠BOD，∵4∠BOE+∠BOC＝180°，∠AOB+∠BOC＝180°，∴∠AOB＝4∠BOE，即∠AOE＝3∠BOE，設(shè)∠BOE＝α，則∠AOE＝3α，∠BOD＝70°﹣α＝∠COD，∵∠AOC為平角，∴∠AOE+∠DOE+∠COD＝180°，即3α+70°+70°﹣α＝180°，解得α＝20°，∴∠BOE＝20°，又∵OM⊥OB，∴∠MOB＝90°，∴∠MOE＝∠BOE+∠MOB＝20°+90°＝110°；②如圖2所示，若OM在AC下方，同理可得，∠BOE＝20°，又∵OM⊥OB，∴∠MOB＝90°，∴∠MOE＝∠MOB﹣∠BOE＝90°﹣20°＝70°；綜上所述，∠MOE的度數(shù)為110°或70°．故答案為：110°或70°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂線，角平分線的定義，鄰補(bǔ)角的定義，根據(jù)等量關(guān)系，利用方程思想求得∠BOE的度數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．15．（2021春?綿陽(yáng)期末）已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O，射線OE將∠AOC分成兩部分，射線OF使得∠EOF＝∠BOF．若|∠BOF﹣∠AOE|＝36°，則銳角∠BOF＝．【分析】畫(huà)出相應(yīng)的圖形，結(jié)合圖形中各個(gè)角之間的關(guān)系，分兩種情況進(jìn)行解答，即當(dāng)∠BOF﹣∠AOE＝36°時(shí)和當(dāng)∠AOE﹣∠BOF＝36°時(shí)，根據(jù)平角的定義列方程求解即可．【解答】解：如圖1，當(dāng)∠BOF﹣∠AOE＝36°時(shí)，設(shè)∠BOF＝x，則∠EOF＝x，∠AOE＝x﹣36°，由平角的定義可知，x+x+x﹣36°＝180°，解得x＝72°，如圖2，當(dāng)∠AOE﹣∠BOF＝36°時(shí)，設(shè)∠BOF＝x，則∠EOF＝x，∠AOE＝x+36°，由平角的定義可知，x+x+x+36°＝180°，解得x＝48°，故答案為：48°或72°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查鄰補(bǔ)角，對(duì)頂角以及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)圖形中各個(gè)角之間的關(guān)系分兩種情況進(jìn)行計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．16．（2022秋?東營(yíng)區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，已知∠AOC＝80°，射線OE把∠BOD分成兩個(gè)角，且∠BOE：∠EOD＝3：5．（1）求∠EOB的度數(shù)．（2）過(guò)點(diǎn)O作射線OF⊥OE，求∠BOF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠BOD＝∠AOC＝80°，然后根據(jù)比例求解即可；（2）先求出∠DOE，再分OF在∠AOD的內(nèi)部時(shí)，∠BOF＝∠EOF+∠BOE，OF在∠BOC的內(nèi)部時(shí)，∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：（1）∵∠AOC＝80°，∠BOD＝∠AOC，∴∠BOD＝80°，∵∠BOE：∠EOD＝3：5，∴∠EOB＝80°×3（2）如圖：∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，當(dāng)OF在∠AOD的內(nèi)部時(shí)，∠BOF＝∠EOF+∠BOE＝90°+30°＝120°，當(dāng)OF在∠BOC的內(nèi)部時(shí)，∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝90°﹣30°＝60°，綜上所述∠BOF＝60°或120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角相等的性質(zhì)，角的計(jì)算，熟記概念并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．壓軸題壓軸題17．已知：如圖，OC是∠AOB的角平分線．（1）當(dāng)∠AOB＝60°時(shí)，求∠AOC的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥OC，求∠AOE的度數(shù)；（3）當(dāng)∠AOB＝α?xí)r，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥OC，直接寫(xiě)出∠AOE的度數(shù)．（用含α的式子表示）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求解即可．（2）分兩種情形，求出∠AOE的度數(shù)即可．（3）分兩種情形，求出∠AOE的度數(shù)即可．【解答】解：（1）因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，∠AOB＝60°所以∠AOC=12∠（2）如圖，因?yàn)镺E⊥OC，所以∠EOC＝90°，又∠AOC＝30°，所以∠AOE＝∠EOC+∠AOC＝120°，當(dāng)OE′在OA的下方時(shí)，∠AOE′＝180°﹣120°＝60°，綜上所述，∠AOE的度數(shù)為120°或60°．（3）因?yàn)镺E⊥OC，所以∠EOC＝90°同法可得∠AOE＝90°+12α或∠AOE【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂線，角平分線的定義，對(duì)頂角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．18．（2021秋?望城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)O在直線EF上，點(diǎn)A、B與點(diǎn)C、D分別在直線EF兩側(cè)，且∠AOB＝120°，∠COD＝70°．（1）如圖1，若OC平分∠BOD，求∠AOD的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）的條件下，OE平分∠AOD，過(guò)點(diǎn)O作射線OG⊥OB，求∠EOG的度數(shù)；（3）如圖3，若在∠BOC內(nèi)部作一條射線OH，若∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，試判斷∠AOE與∠DOE的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)角平分線定義和周角是360°可得∠AOC的度數(shù)；（2）分兩種情況：當(dāng)OG在EF下方時(shí)；當(dāng)OG在EF上方時(shí)，計(jì)算即可；（3）由∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，設(shè)∠DOE＝5α，則∠FOH＝α，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可用α表達(dá)出∠COH∠BOC的度數(shù)，求出∠AOE與∠DOE的度數(shù)．【解答】解：（1）∵OC平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠COD＝2×70°＝140°，∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOD＝360°﹣120°﹣140°＝100°．（2）當(dāng)OG在EF下方時(shí)，∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，∴∠AOE=1∵OG⊥OB，∴∠BOG＝90°，∴∠AOG＝∠AOB﹣∠BOG＝120°﹣90°＝30°，∴∠EOG＝∠AOG+∠AOE＝80°．當(dāng)OG在EF上方時(shí)，∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，∴∠AOE=1∵OG⊥OB，∴∠BOG＝90°，∵∠AOE+∠AOB+∠BOG+∠EOG＝360°，∠AOB＝120°，∴∠EOG＝360°﹣50°﹣120°﹣90°＝100°；（3）設(shè)∠DOE＝5α，則∠FOH＝α，∴∠COH＝180°﹣∠DOE﹣∠COD﹣∠FOH＝110°﹣6α，∴∠BOC＝275°﹣15α，∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB＝360°﹣70°﹣（275°﹣15α）﹣120°＝15α﹣105°，∴∠AOE＝10α﹣105°，∴∠AOE＝2∠DOE﹣105°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角度的和差計(jì)算，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，結(jié)合圖形找到角度之間的和差關(guān)系是解題關(guān)鍵．19．（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）已知O是直線AB上一點(diǎn)，射線OD、OC、OE位于直線AB上方，OD在OE的左側(cè)，∠DOE＝α．（1）如圖1，∠AOC＝120°，α＝70°，當(dāng)OD平分∠AOC時(shí)，求∠EOB的度數(shù)；（2）若α＝90°①如圖2，射線OC平分∠BOD，求∠AOD與∠COE的數(shù)量關(guān)系；②∠AOC＝120°，射線OF在直線AB下方，∠FOA＝2∠AOD，OH平分∠EOC，當(dāng)∠FOH＝120°時(shí)，求∠BOF的度數(shù)．【分析】（1）由角平分線的定義可知∠COD=12∠AOC=60°，又可求∠BOC＝60°，即得出∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝10°，從而由∠EOB＝∠BOC（2）①由題意可求出∠EOB＝90°﹣∠AOD．再根據(jù)角平分線的定義可知∠BOC=12∠BOD．根據(jù)∠EOB＝∠BOC﹣∠COE，可求出∠EOB=12∠BOD?∠COE．根據(jù)∠BOD＝180°﹣∠AOD，可求出∠EOB=90°?12∠AOD?∠COE，即可列出等式，即得出∠AOD＝2∠COE；②分類(lèi)討論：ⅰ當(dāng)OE在OD和OC之間時(shí)，明顯∠FOA＞2∠AOD，故此時(shí)不成立；ⅱ當(dāng)OC在OD和OE之間時(shí)，設(shè)∠AOD＝x，則∠FOA＝2x，又可求出∠BOF＝180°﹣2x，∠COD＝120°﹣x，即得出∠BOH＝∠FOH﹣∠BOF＝2x﹣60°．結(jié)合∠DOE＝90°，可求出∠COE＝90°﹣∠COD＝x﹣30°．根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠EOH=∠COH=【解答】（1）解：（1）∵OD平分∠AOC，∠AOC＝120°，∴∠COD=12∠AOC=60°，∠BOC∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝10°，∴∠EOB＝∠BOC﹣∠COE＝50°；（2）①∵α＝90°，∴∠EOB＝90°﹣∠AOD．∵OC平分∠BOD，∴∠BOC=1∵∠EOB＝∠BOC﹣∠COE，∴∠EOB=1∵∠BOD＝180°﹣∠AOD，∴∠EOB=1∴90°?∠AOD=90°?1∴∠AOD＝2∠COE；②分類(lèi)討論：ⅰ當(dāng)OE在OD和OC之間時(shí)，如圖，明顯∠FOA＞2∠AOD，故此時(shí)不成立；ⅱ當(dāng)OC在OD和OE之間時(shí)，如圖，設(shè)∠AOD＝x，則∠FOA＝2x，∴∠BOF＝180°﹣∠AOF＝180°﹣2x，∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝120°﹣x，∴∠BOH＝∠FOH﹣∠BOF＝120°﹣（180°﹣2x）＝2x﹣60°．∵∠DOE＝90°，∴∠COE＝90°﹣∠COD＝90°﹣（120°﹣x）＝x﹣30°．∵OH平分∠EOC，∴∠EOH=∠COH=1又∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°＝∠COH+∠BOH，∴12解得：x＝54°．∴∠BOF＝180°﹣2×54°＝72°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)，角的和與差，一元一次方程的應(yīng)用．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．20．（2022秋?沈河區(qū)期末）直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠COF＝∠DOF，作射線OE，且OC在∠AOE的內(nèi)部．（1）當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在直線AB的同側(cè)；①如圖1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∠EOF的大小是；②如圖2，若OF平分∠BOE，請(qǐng)判斷OC是否平分∠AOE，并說(shuō)明理由；（2）若∠AOF＝2∠COE，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BOE與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）①先利用角度的和差關(guān)系求得∠COE，再根據(jù)∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度數(shù)；②先根據(jù)角平分線定義∠EOF＝∠FOB，再結(jié)合余角定義可得結(jié)論；（2）需要分類(lèi)討論，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在直線AB的同側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在直線AB的異側(cè)；再分別表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．【解答】解：（1）①∵∠COF＝∠DOF，∴OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°；∴∠EOF＝45°．故答案為：45°；②平分，理由如下：∵OF平分∠BOE，∴∠EOF＝∠FOB=1∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE；（2）當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在直線AB的同側(cè)時(shí)，如圖，記∠COE＝α，則∠AOF＝2∠COE＝2α，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)F在直線AB的異側(cè)時(shí)，如圖，記∠COE＝α，則∠AOF＝2∠COE＝2α，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．綜上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)頂角，角平分線定義，角的有關(guān)定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，并注意數(shù)形結(jié)合．21．（2021秋?鄞州區(qū)期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC．【基礎(chǔ)嘗試】（1）如圖1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度數(shù)；【畫(huà)圖探究】（2）作射線OF⊥OC，設(shè)∠AOC＝x°，請(qǐng)你利用圖2畫(huà)出圖形，探究∠AOC與∠EOF之間的關(guān)系，結(jié)果用含x的代數(shù)式表示∠EOF．【拓展運(yùn)用】（3）在第（2）題中，∠EOF可能和∠DOE互補(bǔ)嗎？請(qǐng)你作出判斷并說(shuō)明理由．【分析】（1）由補(bǔ)角的定義可求解∠BOC的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可求∠COE的度數(shù)，再利用平角的定義可求解；（2）可分兩種情況：當(dāng)OF在∠BOC內(nèi)部時(shí)，當(dāng)OF在∠AOD內(nèi)部時(shí)，利用平角的定義及角平分線的定義分別求解即可；（3）在AB⊥CD，且OF與OB重合的時(shí)候，∠EOF可以和∠DOE互補(bǔ)．【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠∵∠DOE+∠COE＝180°，∴∠DOE＝180°﹣70°＝110°；（2）∠EOF=12∠AOC或∠EOF＝180°?1當(dāng)OF在∠BOC內(nèi)部時(shí)，如圖，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，∴∠BOC＝（180﹣x）°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC＝（90?∵OF⊥OC，∴∠COF＝90°，∴∠EOF＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90?12x）°=當(dāng)OF在∠AOD內(nèi)部時(shí)，如圖，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，∴∠BOC＝（180﹣x）°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC＝（90?∵OF⊥OC，∴∠COF＝90°，∴∠EOF＝90°+∠COE＝90°+（90?12x）°＝（180?綜上所述：∠EOF=12x°或∠EOF＝180°?（3）∠EOF可能和∠DOE互補(bǔ)．當(dāng)AB⊥CD，且OF與OB重合時(shí)，∠BOC＝∠BOD＝90°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=12即∠EOF＝45°，∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝90°+45°＝135°，∴∠EOF+∠DOE＝180°，即∠EOF和∠DOE互補(bǔ)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查垂線，角平分線的定義，余角和補(bǔ)角，角的計(jì)算，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．22．（2021秋?成都期末）直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，∠AOD＝90°，射線OF在∠BOD內(nèi)部．（1）如圖1，射線OE在∠AOD內(nèi)部，若∠DOE＝∠BOF＝40°，請(qǐng)比較∠AOE和∠DOF的大小，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，小亮將∠BOF沿射線OH折疊，使OF與OD重合，OB落在∠AOD的內(nèi)部為OG．小亮提出了以下問(wèn)題，請(qǐng)你解決：①∠BOG等于∠COF嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；②現(xiàn)有一條射線OM在∠AOD內(nèi)部，若∠BOF＝50°，∠MOG＝15°，請(qǐng)求出∠MOH的度數(shù)．【分析】（1）因?yàn)椤螦OD＝90°，∠DOE＝∠BOF＝40°，所以∠AOE＝50°，∠DOF＝50°，則∠AOE＝∠DOF；（2）①因?yàn)椤螧OD＝90°，所以∠BOF+∠DOF＝90°，由折疊可知，∠BOF＝∠GOD，所以∠GOD+∠DOF＝90°，即∠GOF＝90°，因?yàn)镃OB＝90°，所以∠COB＝∠GOF，則∠BOG＝∠COF；②因?yàn)椤螧OF＝50°，所以∠DOF＝40°，由折疊可知，OH平分∠DOF，所以∠DOH＝∠FOH＝20°，因?yàn)椤螱OD＝∠BOF＝50°且∠MOG＝15°，所以∠MOH＝85°或∠MOH＝55°．【解答】解：（1）∠AOE＝∠DOF，理由如下：∵∠AOD＝90°，∠DOE＝∠BOF＝40°，∴∠AOE＝50°，∠DOF＝50°，∴∠AOE＝∠DOF；（2）①∠BOG＝∠COF，理由如下：∵∠BOD＝90°，∴∠BOF+∠DOF＝90°，∵∠BOF沿射線OH折疊得到∠GOD，∴∠BOF＝∠GOD，∴∠GOD+∠DOF＝90°，即∠GOF＝90°，∵∠COB＝90°，∴∠COB＝∠GOF，∴∠COB+∠BOF＝∠GOF+∠BOF，∴∠BOG＝∠COF；②∵∠BOF＝50°，∴∠DOF＝40°∵沿射線OH折疊，OF與OD重合，∴OH平分∠DOF，∴∠DOH＝∠FOH＝20°，∵∠GOD＝∠BOF＝50°且∠MOG＝15°，∴∠MOH＝85°或∠MOH＝55°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線、角平分線的定義、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，解決本題的關(guān)鍵是掌握角平分線定義．23．如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF⊥CD，OP是∠BOC的平分線．（1）請(qǐng)寫(xiě)出圖中∠EOC的所有的補(bǔ)角；（2）如果∠POC：∠EOC＝2：5．求∠BOF的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O在∠EOD內(nèi)部作射線OM，使得∠MOC＝6∠AOM，求∠AOM的度數(shù)．【分析】（1）首先根據(jù)垂直定義可得∠AOE＝∠DOF＝90°，然后再證明∠EOD＝∠AOF，根據(jù)補(bǔ)角定義可得∠EOD，∠AOF都是∠EOC的補(bǔ)角；（2）根據(jù)角平分線定義可得∠POC＝∠POB，再根據(jù)條件∠POC：∠EOC＝2：5，可得∠COP的度數(shù)，然后即可算出∠BOF的度數(shù)；（3）設(shè)∠AOM的度數(shù)為x，則∠COM＝6x，分兩種情況：①當(dāng)OM在AB的上方時(shí)，如圖1，②當(dāng)OM在AB的下方時(shí)，如圖2，根據(jù)∠COM，∠AOC和∠AOM的關(guān)系列方程可解答．【解答】解：（1）∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠AOE＝∠DOF＝90°，∴∠EOA+∠AOD＝∠DOF+∠AOD，即：∠EOD＝∠AOF，∵∠EOC+∠EOD＝180°，∴∠AOF+∠EOC＝180°，∴∠EOD，∠AOF都是∠EOC的補(bǔ)角；（2）∵OP是∠BOC的平分線，∴∠POC＝∠POB，∵∠POC：∠EOC＝2：5，∴∠POC＝90°×2∴∠POB＝20°，∵∠COF＝90°，∴∠BOF＝90°﹣20°﹣20°＝50°；（3）設(shè)∠AOM的度數(shù)為x，則∠COM＝6x，分兩種情況：①當(dāng)OM在AB的上方時(shí)，如圖1，∵∠AOC＝∠AOM+∠COM，∴x+6x＝180﹣40，x＝20°，∴∠AOM＝20°，②當(dāng)OM在AB的下方時(shí)，如圖2，∠COM﹣∠AOM＝∠AOC，∴6x﹣x＝180﹣40，x＝28°，∴∠AOM＝20°，綜上，∠AOM的度數(shù)為20°或28°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了補(bǔ)角、垂直、以及角的計(jì)算，關(guān)鍵是理清圖中角之間的和差關(guān)系．24．（2022春?臨川區(qū)校級(jí)月考）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成兩個(gè)角，且∠AOE=2（1）∠AOE度數(shù)是；∠DOE度數(shù)是；（2）將射線OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α＜360°）到OF．①如圖2，當(dāng)OF平分∠BOE時(shí)，OB是否平分∠DOF？請(qǐng)說(shuō)明其理由；②當(dāng)OA⊥OF時(shí)，請(qǐng)求出α的度數(shù)．【分析】（1）對(duì)于求解∠AOE與∠DOE的度數(shù)，首先從∠BOD＝75°分析，它們之間有什么關(guān)系．根據(jù)對(duì)頂角相等，以及給出的角關(guān)系比例即可求出2個(gè)角的度數(shù)；（2）要想得出OB是否平分∠DOF的結(jié)論，需要求出∠BOD與∠BOF的度數(shù)，進(jìn)行比較即可得出結(jié)論；要求α的度數(shù)，此時(shí)需要考慮到有兩種情況即可，即為OF在如圖所示位置附近與OF在上方位置．【解答】（1）∵直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∴∠BOD＝∠AOC＝75°∵∠AOE=23∠∴∠AOC＝∠AOE+∠COE=53∠∴∠COE＝45°，∴∠AOE＝30°，∵∠AOD＝180°﹣∠BOD＝105°，∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝30°+105°＝135°，（2）①當(dāng)OF平分∠BOE時(shí)∵∠BOF=12∠BOE=12（∠COE+∠∴∠BOF＝∠BOD＝75°，∴當(dāng)OF平分∠BOE時(shí)，OB是平分∠DOF．②當(dāng)OA⊥OF時(shí)，且OF在下方時(shí)，∵∠COF＝90°﹣∠AOC＝90°﹣75°＝15°，∴α＝∠COE+∠COF＝45°+15°＝60°，當(dāng)OA⊥OF時(shí)，且OF在上方