2024屆河北省教考聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二年級上冊期末達標檢測模擬試題含解析

2024屆河北省教考聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二上期末達標檢測模擬試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.過點P（L3）且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程是（）

A.2x+y-5=0B.2x+y+5=0

C.x—2y—5=0D?%—2y+5=0

2.設(shè)S”是數(shù)列｛4｝的前"項和，已知S,,=/（〃eN*）,則數(shù)列｛%｝（）

A.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列

C.是等比數(shù)列，也是等差數(shù)列D.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列

3.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進微積分概念.在研究切線時認識到，求曲線

的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意

義.設(shè)/'（%）是函數(shù)“力的導(dǎo)函數(shù)，若/'（">0,且對內(nèi)，/eR,且x產(chǎn)x2總有/（失/㈤<f［五產(chǎn)］,

則下列選項正確的是。

A"（兀）<〃e）</（2）B./'（2）</'（e）<㈤

c.r⑴</（2）-/⑴<八2）D.r（2）<〃2）-/'⑴</⑴

4.用反證法證明“若a,bGR,a2+b2^o,則“，入不全為0”時，假設(shè)正確的是。

A.a,）中只有一個為0B.〃，小至少一個不為0

C.af8至少有一個為0D.a,8全為0

5.已知實數(shù)％,V滿足f+y2+2x_4y—20=0,則丁的最小值是（）

A.-3B.2

C.7D.-6

6.設(shè)斜率為2的直線/過拋物線（。/0）的焦點尸，且和y軸交于點A,若AOF（。為坐標原點）的面積

為4,則拋物線方程為()

A.y2=±4xB.y2=±8x

C.y2=4xD.y1=8x

7.圓心為(2,-1)的圓，在直線x-y-l=O上截得的弦長為2日,那么，這個圓的方程為。

A.(x-2)2+(y+l)2=4B.(x-2)2+(y+l)2=2

C.(x+2)2+(y-l)2=4D.(x+2)2+(y-l)2=2

8.在一ABC中，A=64,a=&,b=2,滿足條件的三角形的個數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.無數(shù)多

9.已知A(3,2),點b為拋物線V=2x的焦點，點尸在拋物線上移動，為使歸川+忸目取得最小值，則點P的坐

標為()

A.(0,0)B.(2,2)

C.(1,V2)

10.已知圓的方程為一+y一2》+2'+機=0,則實數(shù)機的取值范圍是。

A.m>2B.m>2

C.m<2D.m<2

11.已知函數(shù)/(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)/''(%),g'G)的圖象如圖所示，則/(x)=g(x)—/(力的極值情況為()

A.2個極大值，1個極小值B.1個極大值，1個極小值

C.1個極大值，2個極小值D.1個極大值，無極小值

12.已知S“是等差數(shù)列｛4｝的前幾項和,%〉0,Sn<0,則S”的最小值為()

B.S5

C.s6D.S7

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

X2y2

13.已知A、3是橢圓二+=1（。>/?>0）長軸的兩個端點，P、。是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點，直線釬,

a"b2

的斜率分別為匕，k2（出功）.若橢圓的離心率為g,則%|+|目的最小值為

14.甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為,，!則密碼被成功破譯的概率

34

22

已知雙曲線?—左、右焦點分別為不點尸是雙曲線左支上一點且耳|+閭則

15.1_=1F2,|P|P=8,

sinZPF^

sinNPF2K-------

16.若圓錐的軸截面是頂角為120的等腰三角形，且圓錐的側(cè)面積為26乃，則該圓錐的體積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知數(shù)列｛4｝的前“項和S”=包（上且4〉。

（1）證明：數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

⑵設(shè)2喙，記數(shù)列也｝的前幾項和為，，若2—T.W與小對任意〃eN*恒成立，求實數(shù)彳的取值范圍

18.（12分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線「：y2=2px,點C（l,0）,過點P（2,0）的直線/與拋物線F交于A,

B兩點:當/與拋物線的對稱軸垂直時，AB=4y/2

（2）若點A在第一象限，記一的面積為航，一6OC的面積為S?,求S1+2S?的最小值

19.（12分）如圖，直四棱柱ABC。-44Gq中，底面ABC。是邊長為1的正方形，點E在棱8月上.

（1）求證：AC】，DE；

（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作已知，使得。4，平面E41cI，并給出證明.

條件①：E為8片的中點；條件②：3。//平面嗎G；條件③：DBJBD].

（3）在（2）的條件下，求平面E41G與平面04G夾角的余弦值.

20.（12分）在中，內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知acos5=Z?sinA.

（1）求5；

（2）若a=0,c=3,求6的值.

22

21.（12分）已知雙曲線L—21=1的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過居作斜率為近的弦A3.求:

27一一

（1）弦AB的長；

（2）△耳A5的周長.

22.（10分）已知橢圓。：1+2=1（?！?〉0）的離心率為坐，直線4與橢圓C相切于點P（2，D

（1）求橢圓C方程；

（2）已知直線"與橢圓C交于不同的兩點M,N,與直線4交于點0（P,Q,M,N均不重合），記/”乙的斜率分別

為左]，左2,若k,2=——

①求△PMV面積的范圍，

1P

②證明:?！簽槎ㄖ?/p>

\QM\\QN\

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解題分析】根據(jù)所求直線垂直于直線x-2y+3=0,設(shè)其方程為2x+y+m=0,然后將點P（l,3）代入求解.

【題目詳解】因為所求直線垂直于直線x-2y+3=0,

所以設(shè)其方程為2x+y+m=0,

又因為直線過點P（L3）,

所以2xl+3+m=0,

解得m--5

所以直線方程為：2x+y-5=0,

故選:A.

2、B

【解題分析】根據(jù)知與5〃的關(guān)系求出通項，然后可知答案.

【題目詳解】當“=1時，q=S|=l,當“22時，q=S"—Si="2—（〃—1）2=2"—1,

綜上，｛4｝的通項公式為

冊一%7二2〃—1—[2（〃—1）—1]=2

,數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列

同理，由等比數(shù)列定義可判斷數(shù)列｛%｝不是等比數(shù)列.

故選：B

3、D

【解題分析】由/'（x）＞0,得/（九）在R上單調(diào)遞增，并且由“X）的圖象是向上凸，進而判斷選項.

【題目詳解】由/'（%）＞0,得了（力在R上單調(diào)遞增，因為〃＞e＞2,所以/（%）＞/,）〉/（2）,

故A不正確;

對V%,x2eR,且石力々，總有,可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表

示，

由/'(%)表示函數(shù)圖象上各點處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，

隨著x的增大，/(%)的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，

所以/'(?)<r(e)</'(2),故3不正確；

/(2)-/(1)==心，表示點與點(2,/(2))連線的斜率，

由圖可知/"(2)<鼬所以。正確，C不正確.

故選：D.

【題目點撥】本題考查以數(shù)學(xué)文化為背景，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，屬于中檔題型.

4、D

【解題分析】把要證的結(jié)論否定之后，即得所求的反設(shè)

【題目詳解】由于“a,》不全為0”的否定為：％,b全為?！保?/p>

所以假設(shè)正確的是。，分全為0.

故選：D

5、A

【解題分析】將"2+y2+2%一4y—20=0化成(X+1)2+(y—2)2=25,即可求出y的最小值

【題目詳解】由f+y2+2%—4y—20=0可化為(x+l)?+(y—2)2=25,所以(y—2)?<25,解得一3WyW7,因

此V最小值是-3

故選：A

6、B

【解題分析】根據(jù)拋物線的方程寫出焦點R坐標，求出直線/的方程、點A的坐標，最后根據(jù)三角形面積公式進行求

解即可.

【題目詳解】拋物線V=ax(aw0)的焦點廠的坐標為(￡,0),

所以直線/的方程為：y=2(x—￡),

令x=0,解得y=—T，因此點A的坐標為：(0，-^3

因為A/MF面積為4,

.1〃〃，-

所以有萬,一5,-Z=4，即。?=64，〃二±8,

因此拋物線的方程為產(chǎn)=±8%.

故選：B.

7、A

【解題分析】由垂徑定理，根據(jù)弦長的一半及圓心到直線的距離求出圓半徑，即可寫出圓的標準方程.

d=V2

【題目詳解】圓心(2,—1)到直線x-y-l=0的距離d=',

V1+(-I)2

弦長2加，設(shè)圓半徑為r,

則+if=4故r=2

則圓的標準方程為(％—2)2+(y+1)2=4

故選：A

【題目點撥】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系和圓的標準方程,屬于基礎(chǔ)題.

8、B

【解題分析】利用正弦定理得到sin3=1,進而5=45或135

，由得即可求解

2

2X

【題目詳解】由正弦定理得，.RbsinAT、歷，

sinn=-------二—；=—=—

a,62

.?.5=45或135，

a=A/6>b=2,

B=45

故滿足條件的ABC有且只有一個.

故選：B

9、B

【解題分析】設(shè)點尸到準線的距離為d,根據(jù)拋物線的定義可知|24|+|?目=|Q4|+d,即可根據(jù)點到直線的距離最

短求出

【題目詳解】如圖所示:

設(shè)點P到準線的距離為d,準線方程為彳=-；，

17

所以網(wǎng)+附=網(wǎng)+1邛同=3+5=：當且僅當點P為A3與拋物線的交點時，陷+閥取得最小值，此

時點P的坐標為(2,2)

故選：B

10、C

【解題分析】根據(jù)。2+石2一4尸＞0可求得結(jié)果.

【題目詳解】因為/+/一2》+2'+機=0表示圓，

22

所以。2+石2—4尸=(_2)+2-4機〉0,解得加＜2.

故選：C

【題目點撥】關(guān)鍵點點睛：掌握方程表示圓的條件是解題關(guān)鍵.

11、B

【解題分析】根據(jù)圖象判斷尸(x)的正負，再根據(jù)極值的定義分析判斷即可

【題目詳解】由網(wǎng)x)=g(x)—“X)，得尸(x)=g'(x)—r(x),令嚴(x)=0,

由圖可知F\x)=0的三個根即為g'(x)與/(%)的交點的橫坐標，

當無6(—00,尤2)時,g'(X)>f\x),

當時，g'(x)</'(%)，即尸'(無)<。,

所以x=々為歹(X)的極大值點，F(xiàn)(&)為F(X)的極大值，

當龍€(兀3，+8)時,g'(x)>/'(%),BPF'(x)>0,

所以X=%3為尸(X)的極小值點，/(%)為F(x)的極小值，

故選：B

12、C

【解題分析】根據(jù)Su<0,可得。6<0,再根據(jù)%〉0,得d>0,從而可得出答案.

【題目詳解】解：因為511=必竽日=11&<0,所以。6<0，

又％=4+d>0,所以d〉0,

所以s“的最小值為$6.

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

巫

亍

【解題分析】設(shè)出點P,Q,A,3的坐標，表示出直線"，5Q的斜率，作和后利用基本不等式求最值，利用離

心率求得。與。的關(guān)系，則答案可求

詳解】解：設(shè)尸O,S),。9-s),re[0,a],5G[O,b],A(-a,0),B(a,0),

=------k=---------

t+a92t-a

I占I+1%21=1~~I+1----I?-2Jl——I*I——I-2J-~2

/+〃t—ClV/+t—Clx(2—t

當且僅當上=-上，即t=0時等號成立

t+at-a

22

A,3是橢圓二+多=1(?！?〉0)長軸的兩個端點，P,。是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點，P(t,s),。9-s),

ab

即s=6,

2b

.1%I+1左21的最小值為一，

a

橢圓的離心率為且,

3

cA/3c2_a2-b2_1

-----9得yfla=6b，

a3a1-3,

.■.IKI+出I的最小值為2X親=半

故答案為：巫

3

1

14、-

2

【解題分析】根據(jù)題意，由相互獨立事件概率的乘法公式可得密碼沒有被破譯的概率，進而由對立事件的概率性質(zhì)分

析可得答案

【題目詳解】解：根據(jù)題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是,，v，

則密碼沒有被破譯，即甲乙都沒有成功破譯密碼概率q-：）=:，

342

故該密碼被成功破譯的概率鳥=1-6=l-g=g

故答案為：—

15、3

【解題分析】根據(jù)雙曲線方程求出。，再根據(jù)雙曲線的定義可知歸6|-歸周=4,即可得到|尸制、\PF2\,再由正弦

定理計算可得；

22

【題目詳解】解：因為雙曲線為4=1,所以a=2、c=3,因為點P是雙曲線左支上一點且|P制+|尸閭=8,

所以已周一歸制=4,所以戶4=2,|尸匐=6,在△刊記中，由正弦定理可得.町|二=L，所以

ZPFF

sin2{sinAPFXF2

sin平區(qū)=*=3

sin/P月耳—「片|一；

故答案為：3

16、冗

【解題分析】設(shè)圓錐的高為人可得出圓錐的母線長為2〃，以及圓錐的底面半徑為也力，利用圓錐的側(cè)面積公式求出

h的值，再利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.

【題目詳解】設(shè)圓錐的高為力，由于圓錐的軸截面是頂角為120的等腰三角形，則軸截面三角形的底角為30，

故該圓錐的母線長為2”,底面半徑為后，圓錐的側(cè)面積為萬義百"2九=2辰/=2辰，可得/i=l,

因此，該圓錐的體積為丫=!"><（6『xl=?.

故答案為：兀.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）證明見解析

（2）[3,+oo）

【解題分析】（1）利用4=5“—5"_1（幾.2）可得答案；

（2）利用錯位相減可得7；=2-己7，轉(zhuǎn)化為對任意“eN*，九4+—恒成立，求出1+—的最大值可得答案

2nn

小問1詳解】

當”=1時，由q=q（：+l）,得4=1或q=0（舍去），

由S“=飛+1）,得2S〃=a；+a〃，①

當加.2時，2sl=a,ti+an-x，②

由①一②,得2%=（個+%）—,3+4_1）,

整理得（4+磯）3-%-1）=0,

因為4>0,所以4—"〃一1-1

所以｛&｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列

【小問2詳解】

由（1）可得4=〃，bn^—

所以北V+③

1_12Tn-1n與

—T〃=-yH-T+LH-----1——,④

22223T2向

,yc311111n

由③一④，得不（=3+57+57++-

乙乙乙乙乙乙

口rEcn+2

^Tn=2--

〃+2An-日入nrC、2

由2-北,，也得,,---9所以為1..71+2,即丸..1H9

2"2〃n

該式對任意〃eN*恒成立，因此九?=3,

max

所以彳的取值范圍是［3,+8）

18、（1）y2=4x.

（2）8.

【解題分析】（1）將點代入拋物線方程可解得基本量.

（2）設(shè)直線為x=ty+2,代入聯(lián)立得關(guān)于V的一元二次方程，運用韋達定理，得到H+2s2關(guān)于f的函數(shù)關(guān)

系，再求函數(shù)最值.

【小問1詳解】

當/與拋物線的對稱軸垂直時，A（2,2A/2）,5（2,-272）,

則代入拋物線方程得8=4p,p=2,

所以拋物線方程是y2=4x

【小問2詳解】

設(shè)點B（x2,y2）,直線45方程為x=iy+2,

聯(lián)立拋物線整理得：丁―4。一8=0,

A=16r+32>0>t&R

%=4/，8,

8

有％——=4,由A在第一象限，則“〉0,即為＜0,

Ayl-4ty2-8=0,可得必=2f—212+產(chǎn)

|AB|=J1+/-J（%+%『-4yly2=4小（1+產(chǎn)）（2+產(chǎn)）,

2

又。到AB的距離〃

Jl+/

.-.^=-^-1451=47277,而S2=L|0CH%|=^=V^?T，

222

:.S]+2s2=612+產(chǎn)-2t，f(t)=6,2+1-2?(?eR)

當/(/)<0,單調(diào)遞減

Ze[^,+TrW>°‘單調(diào)遞增；

，+2s2的最小值為/=8,此時％=4,%=-2.

19、(1)證明見解析；

(2)答案見解析；(3)巫.

10

【解題分析】(1)連結(jié)3。，42,由直四棱柱的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可得§4,AG，再由正方形的性質(zhì)及線面

垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.

(2)選條件①③，設(shè)4Gc4〃=。，連結(jié)OE,BD],由中位線的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)可得，。石、

AQIDB^再由線面垂直的判定證明結(jié)論；選條件②③，設(shè)AGC4A=。，連結(jié)OE,由線面平行的性質(zhì)及平

行推論可得。用1由線面垂直的性質(zhì)有AG1再由線面垂直的判定證明結(jié)論；

OE,DB1,

(3)構(gòu)建空間直角坐標系，求平面璃G、平面D&G的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標表示求平面璃G與平面

DAG夾角的余弦值.

【小問1詳解】

連結(jié)30,42，由直四棱柱ABC。—a4G，知：3月，平面451G2,又AGu平面片用弓，,

所以又4片01。為正方形，即又BQiCBBi=Bi，

：.AG,平面D[DBB[,又DEu平面DiDBB{,

：.AGIDE.

【小問2詳解】

選條件①③，可使。4，平面E41G?證明如下：

設(shè)AGC42=。，連結(jié)0￡,BD],又E,。分別是8月，42的中點，

：.OEHBDX.

又DBJBDi，所以。與，0E.

由（1）知：4G，平面DlDBBl,DB[U平面DlDBBl,則AG，DB「

又AGcOE=。，即平面E41G.

選條件②③，可使。4，平面E4G.證明如下:

設(shè)AGc4A=。，連結(jié)OE.

因為3。"/平面璃G，BD[U平面DQBB],平面2。3與c平面E4G=0E，

所以BDJ/OE,又DB[LB/,則。用LOE.

由（1）知：AG，平面。。3與，DB[u平面，則AGLDB「

又4CiC0E=。，即。5]，平面E41G.

【小問3詳解】

由（2）可知，四邊形為正方形，所以=BD=JL

因為ZM,DC,兩兩垂直，

如圖，以。為原點，建立空間直角坐標系Dfz,則￡＞（0,0,0）,4（1,0,、歷），40,1,夜），q（0,1,72）,

E1,1,^-,￡）,（0,0,72）,

所以AG=（—U,o），%=（1,0,3）.

由（1）知：平面E4G的一個法向量為。4=（1/，、歷）.

設(shè)平面D4G的法向量為〃={x,y,z},貝卜

1U：二評;叱

設(shè)平面E41cl與平面以孰的夾角為凡貝!|cos8=cos

,卜|西2x7510

所以平面E41G與平面以加夾角的余弦值為巫.

10

71

20、(1)B=一；

4

(2)b=45-

【解題分析】(1)利用正弦定理，將邊化角轉(zhuǎn)化acos5=〃sinA,即可求得3；

(2)利用余弦定理，結(jié)合(1)中所求，即可求得6.

【小問1詳解】

在_45。中，由正弦定理得sinAcos5=sin3sinA,

因為OvA<?,所以sinAwO,所以tan5=l,

jr

又因為0<3<〃，所以3=—.

4

【小問2詳解】

在ABC中，由余弦定理得〃=4+o2-2accos3,

代入數(shù)據(jù)解得/=2+9-2x后x3x也=5，

2

所以6=右

21、(1)16A/2;

⑵36vL

【解題分析】(1)聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，求得交點A3的坐標，再用兩點之間的距離公式即可求得|4闿；

(2)根據(jù)(1)中所求，利用兩點之間的距離公式，即可求得三角形周長.

【小問1詳解】

設(shè)點A3的坐標分別為(%,%)、(%,%)，

由題意知雙曲線的左、右焦點坐標分別為耳(-3,0)、巴(3,0),

直線AB的方程y=S(x—3),

22

與^-—±=1聯(lián)立得了2_12%+20=0,解得西=2,々=10,

27-

代入AB的方程為y=V7(x-3)分別解得必=-V7,%=7々.

所以|=m%-%)2+(乂-%)2=,(2-10)2+(-V7-7A/7)2=160.

【小問2詳解】

由⑴知|AB|=16后,

22

\AF1\=^(2+3)+(-V7-0)=40，

忸4|=410+3)2+(7近—0『=166,

所以△GA3的周長為|A制+忸耳|+|AB|=36A/L

22

22、(1)—+^-=1