拓撲學基礎復習題

《拓撲學根底》復習題單項選擇題以下有關連續(xù)映射正確的選項是〔B〕A、對中的任意開集，有是中的一個開集B、中的任何一個閉集，有是中的一個閉集C、中的任何一個子集，有D、假設還是一一映射，那么是一個同胚映射設是一個拓撲空間，，那么=〔D〕A、B、C、D、以下拓撲性質(zhì)中，沒有繼承性的是(D)A、空間B、空間C、空間D、空間以下有關實數(shù)空間，不正確的選項是〔D〕A、它滿足第一可數(shù)性公理B、它滿足第二可數(shù)性公理C、它的任何一個子空間都滿足第二可數(shù)性公理D、它的任何一個子空間都是連通的設是度量空間〔〕中的一個非空子集，那么以下命題錯誤的選項是〔C〕A、當且僅當B、當且僅當C、對，且有，那么為中的一個開集D、當且僅當填空題假設拓撲空間有一個可數(shù)稠密子集，那么稱是一個可分空間。拓撲空間的某種性質(zhì)，如果為一個拓撲空間所具有也必然為它在任何一個連續(xù)映下的象所具有，那么稱這個性質(zhì)是一個在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)。實數(shù)空間中的有理數(shù)集，那么=。設是拓撲空間的一個子空間，那么的拓撲為。實數(shù)空間的一個基是且。設是一個拓撲空間，，假設是的一個稠密子集，那么=。設是一個拓撲空間，是的一個連通分支，那么=C。名詞解釋緊致空間：設是一個拓撲空間，如果的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋，那么稱拓撲空間是一個緊致空間。同胚映射：設與是兩個拓撲空間，如果是一個一一映射，并且與都是連續(xù)的，那么稱是一個同胚映射。不連通空間：設是一個拓撲空間，如果中的有兩個非空的隔離子集和，使得，那么稱拓撲空間是一個不連通空間。證明題:設是一個離散的度量空間，證明：〔1〕的每一個子集都是開集〔2〕假設也是一個度量空間，那么任何映射都是連續(xù)的證明：〔1〕對中的任意一個子集，令又是一個離散的度量空間∴當時從而是中的開集〔2〕對中的任意一個開集，是中的一個子集是一個離散的度量空間。由〔1〕知：是中的開集是一個連續(xù)映射設，〔1〕驗證是的一個拓撲〔2〕〕假設，求證明：〔1〕是的一個拓撲〔2〕對點，對點的任意鄰域，都有，而對點為點的一個開鄰域且對于點，其只有一個鄰域，且設和是兩個拓撲空間，，證明以下兩個條件等價〔1〕連續(xù)；〔2〕對于的每一個子集，有證明：〔1〕〔2〕又連續(xù)∴對于中的任何一個子集C，有即成立〔2〕〔1〕，對的任何一個子集，成立令，那么是中的一個子集，且由的任意性可知的任意性是連續(xù)的設是拓撲空間的一個子集，證明：是的一個不連通子集，當且僅當中存在兩個非空集合和，使得和成立。證明：充分性：令，那么………………必要性：是的一個不連通子集那么存在中的兩個非空隔離子集，使得：且為中的兩個閉子集從而為中的兩個閉子集設和是兩個拓撲空間，是一個連續(xù)映射，證明：如果是一個Lindel?ff空間，那么也是一個Lindel?ff空間。證明：是一個連續(xù)映射也是一個連續(xù)映射設為的任意一個開覆蓋，即∵連續(xù)