新版高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2習(xí)題第二章推理與證明2.2.2

2.2.2反證法課時(shí)過(guò)關(guān)·能力提升基礎(chǔ)鞏固1實(shí)數(shù)a,b,c不全為0是指()A.a,b,c均不為0B.a,b,c中至少有一個(gè)為0C.a,b,c中至多有一個(gè)為0D.a,b,c中至少有一個(gè)不為0解析“不全為0”并不是“全不為0”,而是“至少有一個(gè)不為0”.答案D2當(dāng)用反證法證明命題“三角形的三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí),應(yīng)假設(shè)()A.三角形的三個(gè)內(nèi)角都不大于60°B.三角形的三個(gè)內(nèi)角都大于60°C.三角形的三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D.三角形的三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°解析因?yàn)椤爸辽儆幸粋€(gè)”的反面是“一個(gè)也沒(méi)有”,所以“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”的否定是“三角形三個(gè)內(nèi)角沒(méi)有一個(gè)不大于60°”,即“三角形三個(gè)內(nèi)角都大于60°”,故選B.答案B3當(dāng)用反證法證明命題“若系數(shù)為整數(shù)的關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有有理數(shù)根,則a,b,c中存在偶數(shù)”時(shí),否定結(jié)論應(yīng)為()A.a,b,c都是偶數(shù)B.a,b,c都不是偶數(shù)C.a,b,c中至多有一個(gè)偶數(shù)D.a,b,c中至多有兩個(gè)偶數(shù)解析“a,b,c中存在偶數(shù)”,即“a,b,c中至少有一個(gè)偶數(shù)”,故其否定為“a,b,c都不是偶數(shù)”.選B.答案B4當(dāng)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是()A.方程x3+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根B.方程x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根答案A5當(dāng)用反證法證明命題“在△ABC中,若∠A>∠B,則a>b”時(shí),應(yīng)假設(shè).

答案a≤b6命題“關(guān)于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的結(jié)論的否定是.

答案關(guān)于x的方程ax=b(a≠0)無(wú)解或至少有兩個(gè)解7當(dāng)用反證法證明命題“若x2(a+b)x+ab≠0,則x≠a,且x≠b”時(shí),應(yīng)當(dāng)假設(shè).

答案x=a或x=b8當(dāng)用反證法證明“已知f(x)=x2+px+q,求證:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個(gè)不小于12”時(shí)的假設(shè)應(yīng)為.

解析“至少有一個(gè)”的反設(shè)詞為“一個(gè)也沒(méi)有”.答案|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于19已知非零實(shí)數(shù)a,b,c構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列,求證:1a,1分析本題題設(shè)條件較少,且求證的結(jié)論中有“不可能”這個(gè)詞,故考慮選用反證法證明.證明假設(shè)1a,則2b=1a+1c因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以2b=a+c.②把②代入①,得2ac=b(a+c)=b·2b.所以b2=ac.③由②平方,得4b2=(a+c)2.④把③代入④,得4ac=(a+c)2,所以(ac)2=0.所以a=c.代入②,得b=a,故a=b=c,所以數(shù)列a,b,c的公差為0.這與已知矛盾,故1a,能力提升1當(dāng)用反證法證明“已知a,b,c均為實(shí)數(shù),且a=x22y+π2,b=y22z+π3,c=z22x+π6,求證:a,b,c中至少有一個(gè)大于0”時(shí),正確的假設(shè)是(A.a,b,c均小于0B.a,b,c均不大于0C.a,b,c中至多有一個(gè)不大于0D.a,b,c中至多有一個(gè)小于0答案B2已知兩條相交直線l,m都在平面α內(nèi)且都不在平面β內(nèi).命題甲:l和m中至少有一條與平面β相交,命題乙:平面α與β相交,則甲是乙的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析若已知α與β相交,設(shè)交線為a,假設(shè)l,m都與平面β平行,則a∥l,a∥m,所以l∥m,這與已知l與m相交矛盾,所以乙?甲.若已知l,m中至少有一條與平面β相交,不妨設(shè)l∩β=A,則點(diǎn)A∈α,且點(diǎn)A∈β,所以點(diǎn)A必在α與β的交線上,即甲?乙.故選C.答案C3已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+2b+c=2,則()A.a,b,c都是正數(shù)B.a,b,c都大于1C.a,b,c都小于2D.a,b,c至少有一個(gè)不小于1解析假設(shè)a,b,c均小于12,則a+2b+c<12+1+12=2,與已知矛盾,答案D★4如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值,那么()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形C.△A1B1C1是鈍角三角形,△A2B2C2是銳角三角形D.△A1B1C1是銳角三角形,△A2B2C2是鈍角三角形解析因?yàn)槿切蝺?nèi)角的正弦值是正值,所以△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是銳角三角形.假設(shè)△A2B2C2也是銳角三角形,并設(shè)cosA1=sinA2,則cosA1=cos(90°∠A2),所以∠A1=90°∠A2.同理設(shè)cosB1=sinB2,cosC1=sinC2,則有∠B1=90°∠B2,∠C1=90°∠C2.又∠A1+∠B1+∠C1=180°,所以(90°∠A2)+(90°∠B2)+(90°∠C2)=180°,即∠A2+∠B2+∠C2=90°.這與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾,所以原假設(shè)不成立.故選D.答案D5用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾,故假設(shè)錯(cuò)誤.②所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角.③假設(shè)△ABC中有兩個(gè)直角,不妨設(shè)∠A=90°,∠B=90°.上述步驟的正確順序?yàn)?(只填序號(hào))

解析根據(jù)反證法知,上述步驟的正確順序應(yīng)為③①②.答案③①②6如圖,設(shè)SA,SB是圓錐SO的兩條母線,O是底面圓的圓心,C是SB上一點(diǎn).求證:AC與平面SOB不垂直.證明如圖,連接AB,假設(shè)AC⊥平面SOB.因?yàn)橹本€SO?平面SOB,所以AC⊥SO.因?yàn)镾O⊥底面圓O,所以SO⊥AB.又因?yàn)锳B∩AC=A,所以SO⊥平面ABC.所以平面ABC∥底面圓O.這顯然與AB?底面圓O矛盾,所以假設(shè)不成立.故AC與平面SOB不垂直.7已知直線axy=1與曲線x22y2=1相交于P,Q兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)a,使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O?若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解不存在.理由如下:假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,則OP⊥OQ.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由方程組ax-y=1,x2-