數(shù)學(xué)人教A版必修3課時(shí)作業(yè)3-3-1幾何概型

課時(shí)作業(yè)21幾何概型——基礎(chǔ)鞏固類——1．兩根電線桿相距100米，若遭遇雷擊，且雷擊點(diǎn)距離電線桿10米之內(nèi)時(shí)，電線桿上的輸電設(shè)備將受損，則遭受雷擊時(shí)設(shè)備受損的概率為(B)A．0.1 B．0.2C．0.05 D．0.5解析：如圖所示，AB＝100米，AC＝DB＝10米，則當(dāng)雷擊點(diǎn)位于AC或BD上時(shí)，設(shè)備受損．記“遭受雷擊時(shí)設(shè)備受損”為事件A，故所求的概率為P(A)＝eq\f(AC＋DB,AB)＝0.2.2．某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是(B)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：如圖所示，畫出時(shí)間軸：小明到達(dá)的時(shí)間會隨機(jī)地落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過10分鐘．根據(jù)幾何概型，所求概率P＝eq\f(10＋10,40)＝eq\f(1,2).3．某人從甲地去乙地共走了500m，途經(jīng)一條寬為xm的河流，該人不小心把一件物品丟在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，則能找到．已知該物品能被找到的概率為eq\f(4,5)，則河寬為(B)A．80m B．100mC．40m D．50m解析：由已知易得：l從甲地到乙地＝500，l途中涉水＝x，故物品遺落在河里的概率P＝eq\f(x,500)＝1－eq\f(4,5)＝eq\f(1,5)，所以x＝100(m)．4．電腦掃雷游戲的操作面被平均分成480塊，其中有99塊埋有地雷，現(xiàn)在操作面上任意點(diǎn)擊一下，碰到地雷的概率為(D)A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,180)C.eq\f(1,99) D.eq\f(33,160)解析：由于電腦操作面上的480塊區(qū)域大小相等，不妨設(shè)每塊面積為S，則碰到地雷的概率P＝eq\f(地雷區(qū)的面積,操作面的面積)＝eq\f(99S,480S)＝eq\f(33,160).5．如圖，兩個(gè)正方形的邊長均為2a，左邊正方形內(nèi)四個(gè)半徑為eq\f(a,2)的圓依次相切，右邊正方形內(nèi)有一個(gè)半徑為a的內(nèi)切圓，在這兩個(gè)圖形上各隨機(jī)撒一粒黃豆，落在陰影內(nèi)的概率分別為P1，P2，則P1，P2的大小關(guān)系是(A)A．P1＝P2 B．P1>P2C．P1<P2 D．無法比較解析：由題意知P1＝1－eq\f(4×π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2,4a2)＝1－eq\f(π,4)，P2＝1－eq\f(πa2,4a2)＝1－eq\f(π,4)，∴P1＝P2.6．一只螞蟻在邊長分別為3,4,5的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則其恰在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都不小于1的地方的概率為(B)A.eq\f(π,12) B．1－eq\f(π,12)C．1－eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)解析：作出滿足題意的區(qū)域如下圖，則由幾何概型的知識得，所求概率P＝eq\f(\f(1,2)×3×4－\f(1,2)π×12,\f(1,2)×3×4)＝1－eq\f(π,12).7．《廣告法》對插播廣告的時(shí)間有一定的規(guī)定，某人對某臺的電視節(jié)目進(jìn)行了長期的統(tǒng)計(jì)后得出結(jié)論，他任意時(shí)間打開電視機(jī)看該臺節(jié)目時(shí)，看不到廣告的概率為eq\f(9,10)，那么該臺每小時(shí)約有________分鐘的廣告．(A)A．6 B．7C．8 D．9解析：由題意知某人在一小時(shí)內(nèi)看節(jié)目時(shí)，看到廣告的概率為1－eq\f(9,10)＝eq\f(1,10)，則該臺每小時(shí)約有60×eq\f(1,10)＝6(分鐘)的廣告．8．已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則eq\f(AD,AB)＝(D)A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(7),4)解析：先找出△ABP中AB最大時(shí)P點(diǎn)的臨界位置．矩形ABCD如圖所示，在點(diǎn)P從D點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動的過程中，DP在增大，AP也在增大，而BP在逐漸減小，當(dāng)P點(diǎn)到P1位置時(shí)，BA＝BP1，當(dāng)P點(diǎn)到P2位置時(shí)，AB＝AP2，故點(diǎn)P在線段P1P2上時(shí)，△ABP中邊AB最大，由題意可得P1P2＝eq\f(1,2)CD.在Rt△BCP1中，BPeq\o\al(2,1)＝eq\f(9,16)AB2＋AD2＝AB2，即AD2＝eq\f(7,16)AB2，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).9．若從區(qū)間[－4,7]上任意選取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則log5x<1的概率為eq\f(5,11).解析：由log5x<1解得0<x<5，在區(qū)間[－4,7]上隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù)x，對應(yīng)事件的區(qū)間長度為：7＋4＝11，而滿足事件“0<x<5”發(fā)生的事件的長度為5，由幾何概型的公式得到所求概率為eq\f(5,11).10．在圓內(nèi)作一條弦，其長度超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長a的概率是eq\f(1,4)(假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布)．解析：如圖所示，弦的長度的確定關(guān)鍵在于弦的中點(diǎn)H的確定，由于要求弦長AB大于a，則OH應(yīng)小于eq\f(\r(3),6)a，同時(shí)又由于題目中已明確弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)是均勻分布的，所以點(diǎn)H應(yīng)落在以O(shè)為圓心，半徑為eq\f(\r(3),6)a的圓內(nèi)，此時(shí)以H為中點(diǎn)的弦長大于a，故所求的概率P＝eq\f(π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a))2,π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2)＝eq\f(1,4)(其中eq\f(\r(3),3)a為大圓半徑)．11.一個(gè)底面半徑為4cm，高為10cm的倒置圓錐形容器內(nèi)盛滿液體(圓錐底部在上)，在此液體中有一個(gè)某種病毒，某人不小心碰到容器，潑灑掉了部分液體，使液面下降了5cm，則潑灑掉的液體里含有病毒的概率是eq\f(7,8).解析：由題意知，病毒在圓錐內(nèi)部任何位置都是等可能的，因此本題屬“體積型”幾何概型．原來容器內(nèi)液體的體積V1＝eq\f(1,3)π×42×10＝eq\f(160π,3)(cm3)，潑灑掉的部分液體的體積V2＝V1－eq\f(1,3)π×22×5＝eq\f(140π,3)(cm3)，所以eq\f(V2,V1)＝eq\f(\f(140π,3),\f(160π,3))＝eq\f(7,8)，因此可以得到潑灑掉的液體里含有病毒的概率為eq\f(7,8).12．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)在線段BC上任取一點(diǎn)M，求使∠CAM<30°的概率；(2)在∠CAB內(nèi)任作射線AM，求使∠CAM<30°的概率．解：(1)如圖，在BC上取點(diǎn)M1，使∠CAM1＝30°，則CM1＝eq\f(\r(3),3)AC＝eq\f(\r(3),3)CB.所有基本事件對應(yīng)的區(qū)域長度為線段BC的長度．記“使∠CAM<30°”為事件A，則事件A對應(yīng)的區(qū)域長度為CM1＝eq\f(\r(3),3)BC，由幾何概型概率公式可得P(A)＝eq\f(\f(\r(3),3)BC,BC)＝eq\f(\r(3),3).(2)由題意知∠CAB＝45°，在∠CAB內(nèi)任作射線AM，所有可能結(jié)果對應(yīng)的區(qū)域角度為45°，設(shè)“使∠CAM<30°”為事件B，則事件B對應(yīng)的區(qū)域角度為30°.所以P(B)＝eq\f(30°,45°)＝eq\f(2,3).13．有一正方形桌子，其邊長為4cm，現(xiàn)向桌子上投擲一枚直徑為2cm的硬幣，硬幣不能落在桌子上的情況不計(jì)，求硬幣落下后完全落在桌子內(nèi)的概率．解：記“硬幣落下后完全落在桌子內(nèi)”為事件A，事件A發(fā)生，則硬幣中心O到桌子邊緣的距離不小于1cm，事件A對應(yīng)的幾何圖形為如圖所示的陰影部分，其面積S陰＝4(cm2)．又由題意得試驗(yàn)的全部結(jié)果對應(yīng)的區(qū)域面積為42＝16(cm2)，所以P(A)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).——能力提升類——14．在[－1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為eq\f(3,4).解析：若直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交，則有圓心到直線的距離d＝eq\f(|5k|,\r(k2＋1))<3，即－eq\f(3,4)<k<eq\f(3,4)，所以所求概率P＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1－－1)＝eq\f(3,4).15．某校早8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30～7：5