2023年第一屆“飛機杯”高中數(shù)學能力大賽試題

2023年第一屆“飛機杯”高中數(shù)學能力大賽

試題部分

2023.8

本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號(即QQ號后6位)填寫在答題卡上.

2.作答選擇題時，將選擇題答案寫在試卷相應位置，最終請在“雨課堂”直接選中您作答

的選項.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)

相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；最終請逐題拍照上傳至”

雨課堂”的指定位置，要求字跡工整、清晰.

4.請認準〃飛機杯"高中數(shù)學能力大賽官方信息發(fā)布QQ群，后續(xù)閱卷申訴、獎金頒發(fā)和獲

獎名單公示都在此群內(nèi)進行，本大賽最終解釋權歸“飛機杯”賽事組委會所有.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.集合A={X|X3-3X+2=0),則4的真子集有幾個()

A.1B.2C.3D.4

2.ZeC,且ZiZ均滿足|Z-i|+|Z+i|=4,則|Z/-七|的最大值為()

A.3B.2C.2-V3D.2+V3

3.山東省實行新高考選科政策，在小明選擇了物理的情況下，李華選的三門科目與小明相

同的概率是()

4.AVA2,……,人是邊長為/的正方體的八個頂點，球面S是以正方體體心為球心，r為半徑

的球的球面，若要使得S上所有點恰能看到八個頂點中的至少一個，則r的充要條件是

()

K.r>-B.r>—C.0<r<iD.0<r<—

2222

5./(%)=2sinTTX4-2,g{x)=,f(x)=g(%)所有交點記為Om%)，則

w?+%)=(

2023年第一屆"飛機杯''高中數(shù)學能力大賽第1頁(共4頁)

6.在AA8C中，BE1AC,AD18&力。交8?于點。，若2。4+&0B+V30C=0,則

tanA:tanB:tanC=（）

A.4:6V2:3V3B.1:V2：V3C.V3：V6：V5D.2：V2：V3

7.小翔在化學實驗室內(nèi)給6瓶化學試劑貼標簽，則他恰貼錯4個的情況有（）種

A.270B.1800.162D.135

8./（%）=cos（^-%）+mx,xe[0,27r],與，乃是/'（%）的兩個極值點，與是極大值點，應是極

小值點，則2/（右）一/（%2）的最小值為（）

A.3B.—C.3V3D.-

22

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選

項中，有多項是符合題目要求.全部寫對的得5分，部分選對的得2分，有選

錯的得。分.

9,若存在正實數(shù)4,使得/（%）2/In!恒成立，則稱/（%）為好函數(shù)，下列為好函數(shù)的有（）

A./（x）=exlnzB./（X）=ex2C./（x）=D.f（x｝=exXnx-2X

10.已知數(shù)列｛即｝滿足an+i=a”+n+1,⑥=1下列說法正確的有（）

A.an=^BN匕%=鞏"+.+2）

C.｛黑｝為等比數(shù)列D.在數(shù)列與前2023項至少有3個完全平方數(shù)

11.在邊長為2的立方體4BCC-&B1GD1中，P為立方體內(nèi)一點（含邊界），且&P，GP,

連接CPMiP和4P,設BC中點M,下列說法正確的有（）

A.P的軌跡構成圖形的面積為:兀

B.P在平面BBiGC上時，PA?PB的范圍是[6-2通,8]

0.PM+2P4的最小值為VHD.PM+2P4的最小值為今

12.已知拋物線y2=2px（p>0）外有一點。（沏,乂））,過C作拋物線的兩條切線交于A,B兩

點，連接4B,下列正確的有（）

A.KCA,/B=詈B.若M為4B中點，貝！|CM1x軸

C.若CM中點為N,且N在拋物線上，則N處切線與4B平行

D.若C在準線上，則SApABmm=P2

2023年第一屆"飛機杯''高中數(shù)學能力大賽第2頁（共4頁）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在坐標系上有點4（0,1）,B（2,e2）,P在y=x上運動，若要使PA+PB最小，求點P的坐

標

14.袋子里有n個紅球k個白球，不放回地從袋子里任意抓取一個球，直到抓到白球為止，

則抓取次數(shù)的數(shù)學期望為

15.數(shù)列｛〃｝滿足：①的=1②與與%，。2,…，Cln-i中的任意一項不相等③…，為1-1

中的任意不重復項求和，和不等于每④71之2時，即為滿足上述條件的最小正整數(shù)，寫出

一個符合條件的｛即｝

16.已知曲線C:xy2=4,設P為第一象限的點，P在C上，過P作C的切線，交C于另一點

P1，過匕作C的切線交C于另一點P2，若NPPiP2=90°,求APP1P2外接圓的面積

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

17.（10分）

在四面體4-BCD中，cos^DAB=cos^DAC,AC=BC=3,AD=2,AB=273,。在空間

中運動.

（1）證明：AD1BC

（2）當四面體4一BCD外接球的球心為于其內(nèi)部時，求二面角4-BC-O余弦值的范圍.

18.（12分）

在A4BC中，。在BC上，4。=〃（券+器），BC=3

（1）若sinB+tanC-cosB=遮黑￡求|4。|的最大值

⑵若BD=2,DC=1,求SA.BC的最大值.

19.（12分）

利用數(shù)形結合以及概率統(tǒng)計的知識，可以用以下方法較為粗糙的估計圓周率兀.（已知兀在3

和4之間）取可視為無限大平面的一張大紙，在紙上畫滿間距為d的平行直線，然后把一根長

度為1＜d的細針完全隨意的扔在這張紙上，設總共扔了N次，其中有n次出現(xiàn)細針與所畫直

線相交的情況。已知當N充分大時，比值，可近似為相交概率p。根據(jù)以上材料，試解決下列

問題：

⑴設事件x（o）為''細針與直線的夾角為火0W0式號"，事件y為''細針與直線有交點”。記

p（y|x（。））=pg求p（。）解析式。

⑵記s為P（0）在［0,勺上與工軸圍成的面積（這里?？醋髯宰兞炕?，已知p=m.

求證：誓＜兀＜華

2023年第一屆"飛機杯''高中數(shù)學能力大賽第3頁（共4頁）

20.（12分）

雙曲線/一3y2=1在第一象限內(nèi)有一系列點4式工1，丫1）,4（%2，丫2），...，4i（Xi，%），規(guī)定

x0=1,%!=2,對Vn>2且nGN*,均有力=4xn_j-xn_2

（1）證明：對VneN*,yn為正整數(shù).

（2）證明：對VneN*,設4n關于x軸的對稱點為方,則對任意正整數(shù)k和沉，均有

B14/^m^m+k-l

21.（12分）

2

/（X）=ax-bx+\nx-n有三個零點.,x3（Xi<x2<x3）,且滿足不，小，工3成以Q為公

比的等比數(shù)列.

（1）若q=3,求一

2