第三章 圓錐曲線的方程（單元重點綜合測試）（解析版）

第3章圓錐曲線的方程（單元重點綜合測試）一、單項選擇題：每題5分，共8題，共計40分。1．若點到直線的距離比它到點的距離小1，則點的軌跡為（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【詳解】依題意，點P到直線x＝－2的距離等于它到點(2,0)的距離，故點P的軌跡是拋物線2．已知拋物線上一點到焦點的距離為，則其焦點坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線的定義可求的值，進(jìn)而可求焦點坐標(biāo).【詳解】解：拋物線上一點到焦點的距離為，由拋物線的定義知，即，所以，所以，拋物線的焦點坐標(biāo)為，故選：A.3．已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，，再由即可求出，得出方程.【詳解】∵雙曲線1(a>0，b>0)的焦距為，，，又雙曲線的一條漸近線與直線2x+y+1=0平行，∴，結(jié)合，可解得，∴雙曲線的方程為.故選：B.4．已知實數(shù)，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】實數(shù)，滿足，通過討論，得到其圖象是橢圓、雙曲線的一部分組成的圖形，借助圖象分析可得的取值就是圖象上一點到直線距離范圍的2倍，求出切線方程根據(jù)平行直線距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.【詳解】因為實數(shù)，滿足，所以當(dāng)時，，其圖象是位于第一象限，焦點在軸上的橢圓的一部分（含點），當(dāng)時，其圖象是位于第四象限，焦點在軸上的雙曲線的一部分，當(dāng)時，其圖象是位于第二象限，焦點在軸上的雙曲線的一部分，當(dāng)時，其圖象不存在，作出橢圓和雙曲線的圖象，其中圖象如下：任意一點到直線的距離所以，結(jié)合圖象可得的范圍就是圖象上一點到直線距離范圍的2倍，雙曲線，其中一條漸近線與直線平行通過圖形可得當(dāng)曲線上一點位于時，取得最小值，無最大值，小于兩平行線與之間的距離的倍，設(shè)與其圖像在第一象限相切于點，由因為或（舍去）所以直線與直線的距離為此時，所以的取值范圍是．故選：C．5．已知斜率為1的直線與橢圓相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，AB的中點為P，若直線OP的斜率為，則橢圓C的離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】這是中點弦問題，注意斜率與橢圓a,b之間的關(guān)系.【詳解】如圖：依題意，假設(shè)斜率為1的直線方程為：，聯(lián)立方程：，解得：，代入得，故P點坐標(biāo)為，由題意，OP的斜率為，即，化簡得：，，，；故選：B.6．已知點F是雙曲線（）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的對稱性結(jié)合題意可得為等腰三角形，由此可得，進(jìn)而得到關(guān)于的齊次式，即可求解離心率.【詳解】由題意可知即為等腰三角形，

故是銳角三角形，只需，將代入可得，故在中，，，則，化簡整理，得，∴，∴，又，∴，故選：B.7．已知為雙曲線的左?右焦點，過作的垂線分別交雙曲線的左?右兩支于兩點(如圖).若，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件和雙曲線的定義可求得，，再在中運用余弦定理建立關(guān)于a，b，c的方程，可求得雙曲線的漸近線方程得選項.【詳解】解：由，設(shè)，由得，，所以，，又得，，令，化簡得：，得，所以漸近線方程為，故選：C.8．已知點是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上.在中，若，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用拋物線的幾何性質(zhì)，求得的坐標(biāo).利用拋物線的定義以及正弦定理，將題目所給等式轉(zhuǎn)化為的形式.根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可以求得的最大值.【詳解】由題意得，準(zhǔn)線，，，過作，垂足為，則由拋物線定義可知，于是，在上為減函數(shù)，當(dāng)取到最大值時（此時直線與拋物線相切），計算可得直線的斜率為，從而，,故選C.

【點睛】本小題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，還考查了正弦定理.屬于中檔題.二、多項選擇題：每題5分，共4題，共計20分，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的不得分。9．（多選題）若方程所表示的曲線為C，則下面四個命題中正確的是（

）A．若1＜t＜5，則C為橢圓B．若t＜1．則C為雙曲線C．若C為雙曲線，則焦距為4D．若C為焦點在y軸上的橢圓，則3＜t＜5【答案】BD【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)，逐項判定，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，若方程表示橢圓，則滿足，解得或，對于A中，當(dāng)時，此時方程表示圓，所以不正確；當(dāng)方程表示焦點在軸上橢圓，則滿足，解得，所以D項正確；對于B中，當(dāng)時，，此時表示焦點在軸上的雙曲線，所以是正確的；對于C中，當(dāng)時，方程，此時雙曲線的焦距為，所以不正確.故選BD.若方程表示橢圓，則滿足，解得或，【點睛】本題主要考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.10．若橢圓上的一個焦點坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．的長軸長為C．的長軸長為4 D．的離心率為【答案】AB【分析】先根據(jù)焦點坐標(biāo)求出，結(jié)合選項逐個驗證.【詳解】因為焦點坐標(biāo)為，所以，解得或（舍），所以橢圓的方程為，長軸長為，離心率.故選：AB.11．已知雙曲線過點且漸近線為，點在雙曲線的一條漸近線上，為坐標(biāo)原點，為雙曲線的右焦點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線的離心率為2 B．雙曲線的方程是C．的最小值為2 D．直線與有兩個公共點【答案】AB【分析】設(shè)雙曲線的方程為，由雙曲線過點求出，判斷B；再由離心率公式判斷A；聯(lián)立直線和雙曲線方程判斷D.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由雙曲線過點可得，即雙曲線的方程是，故B正確；可化為，則，，故A正確；由題意可得，當(dāng)直線與漸近線垂直時，取最小值，且最小值，故C錯誤；由，解得，即直線與只有一個交點，故D錯誤；故選：AB12．1.已知橢圓的左，右兩焦點分別是，，其中．直線與橢圓交于A，B兩點．則下列說法中正確的有（

）A．的周長為B．若的中點為M，則C．若，則橢圓的離心率的取值范圍是D．若的最小值為，則橢圓的離心率【答案】AC【分析】根據(jù)橢圓的定義判斷A；用點差法判斷B；先算出，進(jìn)而根據(jù)A在橢圓上進(jìn)行消元得到，然后結(jié)合橢圓的范圍得到的范圍，最后求出離心率的范圍；根據(jù)的最小值為通徑的長度求得答案.【詳解】對A，根據(jù)橢圓的定義的周長為，正確；對B，設(shè)，則，所以，，由，即，錯誤；對C，，則，正確；對D，容易知道，的最小值為通徑長度，由于直線斜率存在，所以不能取到最小值，不正確.故選：AC.三、填空題：每題5分，共4題，共計20分。13．若拋物線經(jīng)過點，，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】由所過兩點坐標(biāo)即可設(shè)出拋物線方程，待定系數(shù)即可求得結(jié)果.【詳解】因為拋物線經(jīng)過點，，即拋物線經(jīng)過第一、二象限，故設(shè)拋物線方程為，代入點，可得，即，則拋物線方程為：.故答案為：.【點睛】本題考查由拋物線上一點求拋物線方程，屬基礎(chǔ)題.14．過原點的一條直線與圓相切，交曲線于點，若，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)圓和曲線關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)切線方程為，，即可根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系解出．【詳解】易知圓和曲線關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)切線方程為，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．當(dāng)時，同理可得．故答案為：15．直線與拋物線相交于，兩點，當(dāng)時，則弦中點到軸距離的最小值為.【答案】【分析】由定義直接將所求轉(zhuǎn)化為焦點三角形中的問題．【詳解】由題意，拋物線的焦點坐標(biāo)為（0，），根據(jù)拋物線的定義如圖，所求d=故答案為．【點睛】本題考查拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．已知圓：（）和：，動圓與圓內(nèi)切，與圓外切，是的內(nèi)心，且，則的值為.【答案】17【分析】首先根據(jù)題意得到的軌跡為以，為焦點的橢圓，設(shè)為，且，，，根據(jù)得到，再代入即可得到答案.【詳解】因為，，，所以，又因為動圓與圓內(nèi)切，與圓外切.設(shè)動圓，半徑為，所以，，即，所以的軌跡為以，為焦點的橢圓，如圖所示：設(shè)橢圓為：，且，，.因為是的內(nèi)心，所以到，，的距離相等，設(shè)為.又因為，所以，即，，又，所以.故答案為：17四、綜合題：共6題，共計70分。17．求適合下列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）與橢圓有相同的焦點，且經(jīng)過點；（2）經(jīng)過兩點.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用已知橢圓可得焦點的坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的定義可求，從而可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）利用待定系數(shù)法，設(shè)出方程，代入兩點的坐標(biāo)，解方程可求.【詳解】（1）橢圓的焦點坐標(biāo)為，∵橢圓過點，∴，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)所求的橢圓方程為．把兩點代入，得：，解得，∴橢圓方程為．【點睛】本題主要考查橢圓方程的求解，待定系數(shù)法和定義法是常用的求解方法，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).18．已知拋物線（）的焦點為，點為拋物線上一點，且.(1)求拋物線的方程；(2)不過原點的直線：與拋物線交于不同兩點，，若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線過點，且，利用拋物線的定義求解；（2）設(shè)，聯(lián)立，根據(jù)，由，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）由拋物線過點，且，得所以拋物線方程為；（2）由不過原點的直線：與拋物線交于不同兩點，設(shè)，聯(lián)立得，所以，所以，所以因為，所以，則，，即，解得或，又當(dāng)時，直線與拋物線的交點中有一點與原點重合，不符合題意，故舍去；所以實數(shù)的值為.19．已知直線y＝－x＋1與橢圓相交于兩點.（1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段的長；（2）若（共中為坐標(biāo)原點），當(dāng)橢圓的離心率時，求橢圓的長軸長的最大值.【答案】（1）（2）【分析】(1)根據(jù)橢圓中基本量的關(guān)系計算橢圓的方程,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用弦長公式求解線段的長即可.(2)設(shè),,根據(jù)可得,再聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理表達(dá)出關(guān)于橢圓的基本量的關(guān)系,再根據(jù)橢圓的離心率可列出不等式求解關(guān)于的不等式,從而得到長軸長的最大值.【詳解】解：（1）,,,,則,橢圓的方為,聯(lián)立消去得：,設(shè),,則,（2）設(shè),,,,即,由,消去得,由,整理得,又,,,由,得：,,整理得：,,代入上式得,,,,,,,,適合條件,由此得,,故長軸長的最大值為.【點睛】本題主要考查了橢圓中基本量的計算以及聯(lián)立直線與橢圓的方程,根據(jù)韋達(dá)定理求解基本量參數(shù)的關(guān)系,進(jìn)而求得基本量的最值問題.屬于難題.20．已知橢圓經(jīng)過．(1)求橢圓的方程；(2)若直線交橢圓于不同兩點，，是坐標(biāo)原點，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）將兩點坐標(biāo)代入橢圓方程中，求出，的值，可求出橢圓的方程；（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到一元二次方程，解這個方程，求出兩點的縱坐標(biāo)，，設(shè)直線與軸交于點，利用進(jìn)行求解．【詳解】（1）橢圓經(jīng)過，將兩點坐標(biāo)代入橢圓方程中，得，解得：，，即橢圓的方程為；（2）記，，可設(shè)的方程為，由，消去得，解得，直線與軸交于點，則.21．已知拋物線T：（）和橢圓C：，過拋物線T的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，線段的中垂線交橢圓C于M，N兩點.(1)若F恰是橢圓C的焦點，求p的值；(2)若恰好被平分，求面積的最大值【答案】(1)4(2)．【分析】（1）求出橢圓焦點，得拋物線焦點，從而得的值；（2）設(shè)直線方程為，代入拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理得中點坐標(biāo)，根據(jù)橢圓的弦中點性質(zhì)得出一個參數(shù)值，由中點在橢圓內(nèi)部得出另一個參數(shù)的范圍，然后求出三角形面積，得出最大值．【詳解】（1）在橢圓中，，所以，；（2）設(shè)直線方程為，代入拋物線方程得，設(shè)，中點為，則，，，，設(shè)，則，兩式相減得，所以，，，所以，解得，點在橢圓內(nèi)部，所以，得，因為，所以或，，時，，時，，所以面積的最大值為．【點睛】本題考查求拋物線的方程，考查直線與橢圓、拋物線相交問題，考查圓錐曲線中的面積問題．解題方法采用設(shè)而不求的思想方法，即設(shè)交點坐標(biāo)，設(shè)直線方程，代入曲線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理，求得弦中點坐標(biāo)，弦長等，把這個結(jié)論代入其他條件可求得參數(shù)關(guān)系，參數(shù)值，參數(shù)范圍等．即設(shè)參數(shù)，利用韋達(dá)定理把目標(biāo)用參數(shù)表示，進(jìn)而求最值，證明一些結(jié)論．本題考查學(xué)生的邏輯推理能力，運算求解能力，對學(xué)生的要求較高，屬于難題．22．已知拋物線的焦點為F.(1)過點F且斜率為的直線交拋物線C于P，Q兩點，若，求拋物線C的方程；(2)過點F的直線交拋物線C于A，B兩點，直線AO，BO分