新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章計(jì)數(shù)原理數(shù)學(xué)探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用學(xué)生用書(shū)新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

數(shù)學(xué)探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)1．經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)、提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、得到數(shù)學(xué)結(jié)論、推理論證、綜合應(yīng)用的過(guò)程，掌握數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的方法，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．2．經(jīng)歷從類(lèi)比模仿到自主創(chuàng)新、從局部實(shí)施到整體構(gòu)想的過(guò)程，初步掌握數(shù)學(xué)課題研究的基本方法．楊輝三角是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，從數(shù)學(xué)角度體現(xiàn)了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化．閱讀《詳解九章算法》一書(shū)中的開(kāi)方作法本源圖，如圖，其中蘊(yùn)藏著許多數(shù)學(xué)的奧秘．此圖為開(kāi)方作法本源圖，現(xiàn)在楊輝算書(shū)的傳本中都沒(méi)有這個(gè)圖，只在明朝《永樂(lè)大典》(1407)抄錄的《詳解九章算法》中還保存著這份寶貴遺產(chǎn)．《詳解九章算法》由楊輝所著，他在書(shū)中提到“出釋鎖算書(shū)，賈憲用此術(shù)”．這說(shuō)明，在我國(guó)至遲賈憲時(shí)期就已經(jīng)發(fā)明了這個(gè)數(shù)字三角形．關(guān)于賈憲的生平，所知甚少．根據(jù)一些記載，只能推定賈憲著書(shū)的年代是在1023年至1050年這段時(shí)期．知識(shí)點(diǎn)楊輝三角的性質(zhì)1．如圖所示，結(jié)合楊輝三角與二項(xiàng)式(a＋b)n的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)可發(fā)現(xiàn)如下性質(zhì)：第n行的n＋1個(gè)數(shù)是二項(xiàng)式(a＋b)n的展開(kāi)式的系數(shù)；當(dāng)行數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，C當(dāng)行數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，Cnn2．楊輝三角中各數(shù)字之間存在的性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性：每行中與首末兩端“等距離”之?dāng)?shù)相等，即Cnr＝Cn(2)遞歸性：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和，即Cnr＝Cn(3)第n行奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和相等，即Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋(4)第n行數(shù)的和為2n，即Cn0＋Cn1＋Cn2(5)第n行各數(shù)平方和等于第2n行中間的數(shù)，即Cn02＋Cn12＋Cn22＋…＋C1．下面是當(dāng)n＝1，2，3，4，5時(shí)，(a＋b)n(n∈N*)的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)表示圖．借助上圖，判斷λ，μ的值分別是()A．5，9B．5，10C．6，9D．6，102．如圖是與楊輝三角有類(lèi)似性質(zhì)的三角形數(shù)壘，a，b是某行的前兩個(gè)數(shù)，當(dāng)a＝7時(shí)，b等于()A．20B．21C．22D．23【例】(多選)我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》中給出了著名的楊輝三角，以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的有()A．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和”猜想：Cn+1r＝B．C32＋C42＋CC．第34行中從左到右第14與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3D．由“第n行所有數(shù)之和為2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋解決與楊輝三角有關(guān)的問(wèn)題的一般思路(1)觀察：對(duì)題目要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多角度觀察．(2)找規(guī)律：通過(guò)觀察找出每一行的數(shù)之間，行與行之間的數(shù)據(jù)的規(guī)律．(3)將數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學(xué)式表達(dá)出來(lái)，使問(wèn)題得解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]楊輝三角，又稱(chēng)帕斯卡三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書(shū)中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)式乘方展開(kāi)的系數(shù)規(guī)律．現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，記作數(shù)列{an}．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S47等于()A．235B．512C．521D．1033數(shù)學(xué)探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用[必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知]課前自主體驗(yàn)1．D[觀察題圖可分析出“楊輝三角”中的數(shù)的特點(diǎn)如下：(1)每一行有(n＋1)個(gè)數(shù)字，每一行兩端的數(shù)字均為1；(2)從第二行起，每一行中間的數(shù)字等于它上一行對(duì)應(yīng)(即兩肩上)的兩個(gè)數(shù)字的和，即Cn＋1m＝Cnm所以λ＝3＋3＝6，μ＝4＋λ＝10．故選D．]2．C[觀察題圖可知，從第三行開(kāi)始，每一行除開(kāi)始和末尾的兩個(gè)數(shù)外，中間的數(shù)分別是其兩肩上相鄰兩個(gè)數(shù)的和，當(dāng)a＝7時(shí)，b的兩肩上的兩個(gè)數(shù)分別為6，16，所以b＝6＋16＝22．][關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]例ACD[對(duì)于A：顯然Cn＋1對(duì)于B：C32＋C42＋C52＋…＋C102＝C3對(duì)于C：易知第n行從左到右第k個(gè)數(shù)是Cnk-1，則第34行從左到右第14與第15個(gè)數(shù)分別為對(duì)于D：第n行所有數(shù)之和為2n，即Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cn跟進(jìn)訓(xùn)練C[根據(jù)題意楊輝三角前9行共有1＋2＋3＋4＋