新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布微專題2離散型隨機(jī)變量均值與方差的實(shí)際應(yīng)用教師用書(shū)新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

微專題2離散型隨機(jī)變量均值與方差的實(shí)際應(yīng)用離散型隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度，因此在實(shí)際決策問(wèn)題中，常借助均值與方差的取值來(lái)決策一些實(shí)際問(wèn)題．類型1均值的實(shí)際應(yīng)用【例1】(2021·新高考Ⅰ卷)某學(xué)校組織知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．(1)若小明先回答A類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？說(shuō)明理由．[解](1)由題意得，X的所有可能取值為0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)當(dāng)小明先回答A類問(wèn)題時(shí)，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4．當(dāng)小明先回答B(yǎng)類問(wèn)題時(shí)，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列為Y080100P0.40.120.48E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．因?yàn)?7.6＞54.4，即E(Y)＞E(X)，所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問(wèn)題．解答概率模型的三個(gè)步驟(1)建模：即把實(shí)際問(wèn)題概率模型化．(2)解模：確定分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的均值．(3)回歸：利用所得數(shù)據(jù)，對(duì)實(shí)際問(wèn)題做出判斷．類型2方差的實(shí)際應(yīng)用【例2】甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相同，所得次品數(shù)分別為X，Y，且X和Y的分布列如下表：X012P0.60.10.3Y012P0.50.30.2根據(jù)次品數(shù)的均值和方差，試對(duì)這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較．[解]E(X)＝0.1＋0.6＝0.7，D(X)＝0.72×0.6＋0.32×0.1＋1.32×0.3＝0.294＋0.009＋0.507＝0.81．E(Y)＝0.3＋0.4＝0.7，D(Y)＝0.72×0.5＋0.32×0.3＋1.32×0.2＝0.245＋0.027＋0.338＝0.61．E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，兩者的均值相同，但乙的穩(wěn)定性比甲好，故可認(rèn)為乙的技術(shù)水平更高．隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定．類型3決策問(wèn)題均值在決策問(wèn)題中的應(yīng)用【例3】甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無(wú)底薪，40單以內(nèi)(含40單)的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205若將頻率視為概率，回答下列問(wèn)題．(1)記乙公司送餐員日工資為X(單位：元)，求X的分布列和均值；(2)小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇，并說(shuō)明理由．[解](1)設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為a，當(dāng)a＝38時(shí)，X＝38×6＝228，P＝550＝1當(dāng)a＝39時(shí)，X＝39×6＝234，P＝1050＝1當(dāng)a＝40時(shí)，X＝40×6＝240，P＝1050＝1當(dāng)a＝41時(shí)，X＝40×6＋1×7＝247，P＝2050＝2當(dāng)a＝42時(shí)，X＝40×6＋2×7＝254，P＝550＝1故X的所有可能取值為228，234，240，247，254．故X的分布列為X228234240247254P11121故E(X)＝228×110＋234×15＋240×15＋247×25＋254×110(2)甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)為38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，則甲公司送餐員日平均工資為80＋4×39.7＝238.8(元)，因?yàn)橐夜舅筒蛦T日平均工資為241.8元，238.8<241.8，所以推薦小王去乙公司應(yīng)聘．?dāng)?shù)學(xué)期望在決策型問(wèn)題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的數(shù)字特征之一，它代表了隨機(jī)變量總體取值的平均水平．隨著社會(huì)的進(jìn)步和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，數(shù)學(xué)期望在日常生活中和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的運(yùn)用越來(lái)越廣，如個(gè)人的采購(gòu)，投資風(fēng)險(xiǎn)分析，企業(yè)的生產(chǎn)和經(jīng)營(yíng)方案等，經(jīng)常需要對(duì)事物的進(jìn)展情況進(jìn)行決策，以便用最有利的方式來(lái)采取行動(dòng)．人們常把數(shù)學(xué)期望作為決策參考的重要依據(jù)，應(yīng)用數(shù)學(xué)期望討論某些經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，從而得到一些有意義的結(jié)論．方差在決策問(wèn)題中的應(yīng)用【例4】某投資公司對(duì)以下兩個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行前期市場(chǎng)調(diào)研．項(xiàng)目A：通信設(shè)備．根據(jù)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，所有可能結(jié)果為獲利40%、虧損20%、不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為712，16，a．項(xiàng)目B：新能源汽車．根據(jù)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，所有可能結(jié)果為獲利30%、虧損10%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為經(jīng)測(cè)算，當(dāng)投入A，B兩個(gè)項(xiàng)目的資金相等時(shí)，它們所獲得的平均收益(即均值)也相等．(1)求a，b，c的值；(2)若將100萬(wàn)元全部投到其中一個(gè)項(xiàng)目，請(qǐng)你從投資回報(bào)穩(wěn)定性的角度考慮，為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說(shuō)明理由．[解](1)依題意，得712+16＋a＝1，解得設(shè)投到項(xiàng)目A，B的資金都為x萬(wàn)元，變量X1和X2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，則X1和X2的分布列分別為X10.4x－0.2x0P711X20.3x－0.1xPbc所以E(X1)＝0.4x×712＋(－0.2x)×16＋0×14＝E(X2)＝0.3bx－0.1cx，因?yàn)镋(X1)＝E(X2)，所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，即0.3b－0.1c＝0.2． ①又b＋c＝1， ②由①②，解得b＝34，c＝1所以a＝14，b＝34，c＝(2)選擇項(xiàng)目B．理由如下：當(dāng)投入100萬(wàn)元資金時(shí)，由(1)知x＝100，所以E(X1)＝E(X2)＝20，D(X1)＝(40－20)2×712＋(－20－20)2×16＋(0－20)2×14D(X2)＝(30－20)2×34＋(－10－20)2×14＝因?yàn)镋(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，說(shuō)明雖然項(xiàng)目A和項(xiàng)目B的平均收益相等，但項(xiàng)目B更穩(wěn)妥，所以從風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)穩(wěn)定性的角度考慮，建議該投資公司選擇項(xiàng)目B．均值、方差在決策中的作用(1)均值：均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．(2)方差：方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的離散波動(dòng)程度，方差越大越不穩(wěn)定．(3)在決策中常結(jié)合實(shí)際情形依據(jù)均值、方差做出決斷．微專題強(qiáng)化練(二)離散型隨機(jī)變量均值與方差的實(shí)際應(yīng)用1．某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘．由于下雨會(huì)影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：周一無(wú)雨無(wú)雨有雨有雨周二無(wú)雨有雨無(wú)雨有雨收益20萬(wàn)元15萬(wàn)元10萬(wàn)元7.5萬(wàn)元若基地額外聘請(qǐng)工人，可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù)．無(wú)雨時(shí)收益為20萬(wàn)元；有雨時(shí)收益為10萬(wàn)元．額外聘請(qǐng)工人的成本為a萬(wàn)元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬(wàn)元的概率為0.36．(1)若不額外聘請(qǐng)工人，寫(xiě)出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益(即X的均值)；(2)該基地是否應(yīng)該外聘工人，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解](1)設(shè)下周一無(wú)雨的概率為p，由題意得，p2＝0.36，則p＝0.6，基地收益X的可能取值為20，15，10，7.5，則P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16，所以基地收益X的分布列為X2015107.5P0.360.240.240.16基地的預(yù)期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4(萬(wàn)元)，所以基地的預(yù)期收益為14.4萬(wàn)元．(2)設(shè)基地額外聘請(qǐng)工人時(shí)的收益為Y萬(wàn)元，則其預(yù)期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝(16－a)萬(wàn)元，E(Y)－E(X)＝1.6－a，綜上，當(dāng)額外聘請(qǐng)工人的成本高于1.6萬(wàn)元時(shí)，不外聘工人；成本低于1.6萬(wàn)元時(shí)，外聘工人；成本恰為1.6萬(wàn)元時(shí)，是否外聘工人均可以．2．某人欲投資10萬(wàn)元，有兩種方案可供選擇，設(shè)X表示方案一所得收益(單位：萬(wàn)元)，Y表示方案二所得收益(單位：萬(wàn)元)，其分布列分別為X－28P0.70.3Y－312P0.70.3假定同期銀行利率為1.75%，該人征求你的意見(jiàn)，你通過(guò)分析會(huì)得到怎樣的結(jié)論呢？[解]由期望和方差的計(jì)算公式，得E(X)＝－2×0.7＋8×0.3＝1,E(Y)＝－3×0.7＋12×0.3＝1.5，D(X)＝(－2－1)2×0.7＋(8－1)2×0.3＝21，D(Y)＝(－3－1.5)2×0.7＋(12－1.5)2×0.3＝47.25．由于同期銀行利率為1.75%，所以若將10萬(wàn)元存入銀行，可得利息(無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益)10×1.75%＝0.175(萬(wàn)元)．從期望收益的角度來(lái)看，兩種投資方案都可以帶來(lái)額外的收益，但都需要冒一定的風(fēng)險(xiǎn)．方案一的期望收益小于方案二，但方案一的風(fēng)險(xiǎn)小于方案二．所以，如果想穩(wěn)賺而不冒任何風(fēng)險(xiǎn)，就選擇存入銀行；如果想多賺點(diǎn)又不想風(fēng)險(xiǎn)太大就選擇方案一；如果想多賺又不怕風(fēng)險(xiǎn)就選擇方案二．3．A，B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2．根據(jù)市場(chǎng)分析，X1和X2的分布列分別為X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，Y1(萬(wàn)元)和Y2(萬(wàn)元)分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)將x(0≤x≤100)萬(wàn)元投資A項(xiàng)目，(100－x)萬(wàn)元投資B項(xiàng)目，f(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x為何值時(shí)，f(x)取到最小值．[解](1)由題設(shè)可知Y1和Y2的分布列分別為Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12．(2)f(x)＝Dx100·Y1＋D100-x100·Y2＝x1002＝41002[x2＋3(100－x)2]＝41002(4x2－600x＋3×所以當(dāng)x＝6002×4＝75時(shí)，f(x)4．某保險(xiǎn)公司對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為A，B，C三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000，6000，2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如表(并以此估計(jì)賠付概率)：工種類別ABC賠付頻率121已知A，B，C三類工種的職工每人每年保費(fèi)分別為25元、25元、40元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)元、100萬(wàn)元、50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年10萬(wàn)元．(1)求保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤(rùn)的均值；(2)現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇：方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠償付給意外職工，企業(yè)開(kāi)展這項(xiàng)工作的固定支出為每年12萬(wàn)元；方案2：企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的70%，職工個(gè)人負(fù)責(zé)保費(fèi)的30%，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，企業(yè)無(wú)額外專項(xiàng)開(kāi)支．請(qǐng)根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議．[解](1)設(shè)工種A，B，C職工的每份保單保險(xiǎn)公司的收益為隨機(jī)變量X，Y，Z，則X，Y，Z的分布列分別為X2525－100×104P1－11Y2525－100×104P1－22Z4040－50×104P1－11所以E(X)＝25×1-1105＋(25－100×104)×E(Y)＝25×1-2105＋(25－100×104)×E(Z)＝40×1-1104＋(40－50×104)×保險(xiǎn)公司所獲利潤(rùn)的均值為